GAAL LISTA1 20171

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1a Lista de Exercícios 
 
1) Com base na figura, sobre os vetores
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Com base na figura abaixo, escreva o vetor 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verdadeiro ou falso? Para as falsas dê um contraexemplo.
 
a) Se 

 vu então 

 vu . 
b) Se 

v // u então 

 vu . 
c) Se 

 v u w então 

 uw 
d) 

DCAB ABCD é paralelogramo. h) 
i) 

v3
4) Dados os vetores )1,3( 

u e 

v
EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Curso: Engenharias 
Professores: Equipe de Matem
1 
 
Lista de Exercícios – Vetores – 2017.1 
vetores coloque Verdadeiro ou Falso: 
escreva o vetor 

x em função de 

u , 

v , 

w , 

t e 
Para as falsas dê um contraexemplo. 
. e) Se 

 vu então 

 vu . 
. f) Se 

 vu então 

v // u . 

 vu . g) Se 

 vuw então 

e u, w
é paralelogramo. h) 

 u5u5u5 

v e 

 v4 são paralelos e de mesmo sentido.
)2 ,1(  , determine o vetor 

w tal que 
3
2 u 
a) AB = GH = LJ 
b) LM, GH e FA são coplanares.
c) LE, JI e IH são coplanares.
d) (BC + CI + IB) e MF são coplanares.
e) GM e 2AH são coplanares.
f) FA, FE e FM não são coplanares.
g) FA é oposto a JL. 
h) ML, GM, IJ, AB, FE, CD são coplanares
i) F = E + LM 
j) H = I + LM 
 
ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
de Matemática 
e 

s : 

v e são paralelos. 
são paralelos e de mesmo sentido. 
 
2
)(2
2
1 uvwvu
  
LM, GH e FA são coplanares. 
LE, JI e IH são coplanares. 
e MF são coplanares. 
coplanares. 
FA, FE e FM não são coplanares. 
ML, GM, IJ, AB, FE, CD são coplanares. 
 
5) (G1 - cftce 2007) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e 
possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos 
B e B - A e desenhe-os nessa sequência
 
 
6) Considere no plano os pontos: A(1,1), B(1,3) e C(3,
 
a) Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) 
representante do vetor 

v , com origem no ponto A
 
b) Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano.
 
7) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(
 
 a) determinar a natureza do triângulo;
 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
 
8) Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, d
módulo e a representação da força 
algebricamente): 
 
a) O eloda figura está submetido as forças F
Dados: considere 41,1273,13  e
b) Dados: considere 2;7,13 
 
 
 
 
 
 
 
*Elo (Designação de cada uma argola que faz conexão entre a peça e os cabos ou 
9) Considere os vetores 

 jiu 23
a) 

 wvu 32 
b) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, 
c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b.
d) O versor de 

b , onde 

b é paralelo a 
 
10) Num paralelogramo ABCD sabe
(−2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
2 
Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e 
possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos deslocamentos A + B, A 
os nessa sequência. 
Considere no plano os pontos: A(1,1), B(1,3) e C(3,-2) e o vetor 

 ABv . 
Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) 
, com origem no ponto A1 (-3,1), indicando o ponto B
Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano. 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):Represente o triângulo 
determinar a natureza do triângulo; 
b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, d
módulo e a representação da força resultante do sistema abaixo em cada caso
O eloda figura está submetido as forças F1 e F2. 
41 . 
70cos;3,020;9,020cos;4,1 000  sen
que faz conexão entre a peça e os cabos ou com outras argolas)

k2 ; 

 kjiv 22 e 

 jiw 52 . Determine:
As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e 

u = AB

 
coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b.
é paralelo a 

v . 
Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são
Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 
Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e 
deslocamentos A + B, A - 
Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) 

 ABv e um 
3,1), indicando o ponto B1 tal que 

 11BAv . 
Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
 no plano cartesiano. 
b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. 
Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, determine o 
em cada caso(Geometricamente e 
9,0703,0 0  sene 
outras argolas) 
. Determine: 
coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. 
2) e que as diagonais sãoܣܥሬሬሬሬሬԦ = (4,2, – 3) e ܤܦሬሬሬሬሬሬԦ =
3 
 
11) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. 
Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). 
12) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
a) se eles formam alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) o ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD . 
13) Considere os vetores )2,0,1( 

v ; kiu

34 

; kjiw

32

 e kjis

2
2
15

 . Determine: 
 
 
 
14) Sabendo que | 

u | = 3, | 

v | = 2 e 1

vu , calcule: 
a) 

 uvu ).2( b) )u4v) . (vu(

 c) )2).(2(

 vuv d) )uv) . (vu(

 
15) Calcular: a)

 vu , b) 

 vu , sabendo que 4u 

 e 3v 

 e o ângulo entre 

u e 

v é de 60º 
16) Determinar o vetor 

u tal que 2u 

,o ângulo entre 

u e 

v = (1, -1, 0) é 45º e 

u é ortogonala 

w = (1,1,0). 
17) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores 

u = (1, -2, 1) e

v = (-2, 1, m + 1). 
18) Determine o que se pede: 
a) os ângulos diretores de v=(1,-1,0); 
b) os ângulos diretores de um vetor são α, 45° e 60°. Determine α; 
c) calcule o vetor u sendo ),(,0),cos(,
2
2),cos( kujuiu  é obtuso e |u|=5. 
19) Calcular o valor dempara que o vetor ሬܷሬԦ + ሬܸԦseja ortogonal ao vetor ሬܹሬሬԦ – ሬܷሬԦ, sendo ሬܷሬԦ= (2, 1, m), ሬܸԦ = (m+2, -5, 2) 
e ሬܹሬሬԦ = (2m, 8, m). 
20) Dados os vetores

 jiu

 kj2iv , determine: 
a) 

 vu ; b) um vetor unitário ortogonal a 

u e a 

v ; c) área do triângulo ABC, sendo

u = AB

e

v = AC

 
4 
 
 
21) De um triângulo ABC sabemos que | AB

 | = 2 , | AC

 | = 3 e AB

. AC

 = 33 . Determine a área desse 
triângulo. 
 
22) Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1) 
a) mostre que AC

 AB

. 
b) verifique se o triângulo ABC é isósceles. 
 
23) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que 
satisfaz a seguinte condição; 10)72.(  kjiv . 
24) Dados os vetores1v
 =(0,1,1), 2v
 =(2,0,0) e 3v
 =(0,2,3).Determine um vetor v , tal que 3// vv
 e 21 vvxv
  . 
 
25) Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine 
o quarto vértice, a área desse paralelogramo e osen ( AB

, AD

). 
 
26) Dados os vetores u

=(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: 
a) a área do paralelogramo determinado por u

 e v

; 
 b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u

 . 
27) Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetorܯܪሬሬሬሬሬሬሬԦ, onde 
H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 
 
28) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e AC
 o =  2/2,0,2/2 . Determine a altura do 
triângulo ABC em relação à base AC. 
 
29) Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que 
tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. 
 
30) Do cubo a abaixo, sabemos que: A (2,1,0), B(2,4,0) e ܣܦሬሬሬሬሬԦ = (0,0,3). Determine as coordenadas: 
a) Do vetor ACሬሬሬሬሬԦ; 
b) Do ponto E; 
c) Do vetor projeção ܧFሬሬሬሬሬԦ sobre ܧܩሬሬሬሬሬԦ. 
 
31) Na figura ao lado, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P. 
 
32) Do cubo ao lado, sabemos que A(2,1,0), B(2,4,0) e ܣܦሬሬሬሬሬԦ଴ = (0,0,1) 
 
5 
 
 
33) Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). 
34) Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que 

 ABAM
2
1 e 

 ABAN
3
2 . Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que 

 ABAP
2
3
. 
Questões Fechadas 
 
1) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: 
R = a + b + c + d + e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a 
alternativa que contém a relação vetorial correta. 
 
 
 
 
3) (Mackenzie 98) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono 
regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: 
a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 
são dados os vetores Ԧܽ, ݓሬሬԦ ݁ ݒԦ. 4) (Unifesp 2002) Na figura, 
 
 
a) zero 
b) 20 
c) 1 
d) 2 
e) 52 
 
6 
 
 
 
 
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor = Ԧܽ − ݓሬሬԦ + ݒԦtem 
módulo: 
a) 2uc, e sua orientação é vertical, para cima. 
b) 2uc, e sua orientação é vertical, para baixo. 
c) 4uc, e sua orientação é horizontal, para a direita. 
d)√2uc, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário. 
e) √2uc, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário. 
5) (PUC-SP) Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos lados 
possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que corresponde ao 
vértice do circuito. Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo do 
deslocamento vetorial foram, respectivamente, de: 
a) 14700 m e 700 m 
b) 7350 m e 700 m 
c) 700 m e 14700 m 
d) 700 m e 7350 m 
e) 14700 m e 500 m 
6) Uma das aplicações importantes do produto vetorial à Física é no cálculo do torque, que é uma grandeza 
definida pelo produto vetorial, representado  , e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer 
torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é Fr
  , onde r é 
a distância do ponto de aplicação da força F

ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Sendo 
assim, se uma força vetorial dada por kF

3 newtons é aplicada em uma barra, onde ܣܤሬሬሬሬሬԦ = ݎԦ = (0,2,0), 
ao longo de uma barra (linha reta), então a intensidade (módulo) do torque sobre a barra no deslocamento 
d , é: 
 
a) (-6 k

) mN 
b) 6 mN 
c) (6 i

) mN 
d) 2 mN 
e) -(6 i

) mN 
 
7) Uma partícula está sujeita a duas forças, conforme a figura. Considere sen530=0,8 e cos530=0,6 e 
|F1|=|F2|=10N. 
 
 
 
 
 
 
8) Grandezas vetoriais são grandezas que precisam de módulo, direção e sentido para serem definidas, por 
exemplo força, velocidade e aceleração. Considere as afirmações e de acordo com a teoria de vetores 
analise as afirmativas dadas para os vetores ݑሬԦ ݁ ݒԦ: 
7 
 
 
I) Se u=v, então |u| =|v| 
II) Os vetores 2u e -4u são paralelos de mesmo sentido. 
III) u x v =0 então u é ortogonal a v 
IV) Se ݑሬԦ = ܣܤሬሬሬሬሬԦ então ܤ = ܣ + ݑሬԦ 
 
9) Se u = (1,2), v = (-2, 5) e w = (x, y) são vetores de R2, então para que w = 3u – v, x + y deve ser igual a: 
 
a) 2 
b) 6 
c) 0 
d) 12 
e) 18 
10) Considere os vetores u e v unitários, tais que o produto escalar u.v = -1, a soma u + v será o vetor: 
 
a) Unitário 
b) De módulo 2 
c) Nulo 
d) - u 
e) Igual à diferença u - v 
Respostas: 
 
1) 
 
 
 
 
2) tvwsx
  
 
 
 
3 ) 
 
 
 
4) 



 
3
2,12w ; 5) |A+B| = m38 ; |A - B| = |B - A| = 8 m Observe a figura a 
seguir: 
6) a) A1(-3, 1); b) D(3, -4); B1(-3, 3)7) a) Isósceles; b) |AM| = 2√2ݑܿ 
8) a) NFr 630

 b) NFr 1,707

 
9) a) (-6, 8, -2); b) (2,-3,-4); c) (3/2, -3/2, 1); d) ሬܾԦ଴ = ቀଶ
ଷ
, ଵ
ଷ
, ିଶ
ଷ
ቁ ݋ݑ ሬܾԦ଴ = ቀିଶ
ଷ
, ିଵ
ଷ
, ଶ
ଷ
ቁ 
10) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3); 11) -1 e 13/512) a) Paralelogramo b) 




21
21arccos ; 
13) a) u . v = -10 e u . w = 0b) | u | = 5uc e u o = (-4/5, 0, 3/5); c) (u , v) = arccos (ିଶ√ହ
ହ
) e (u , w) = 900 d) ( -2, 
0, 4); e) (-4/5, 0, 3/5);f) (-36/5, 0, 27/5); g) (4, -1, 2) ou (-4,1,-2)h) (-4/5, 0,3/5) 
i) ቀି ସ√ହ
ଵହ
, √ହ
ଷ
, ିଶ√ହ
ଵହ
ቁ ݋ݑ ቀ ସ√ହ
ଵହ
, ି√ହ
ଷ
, ଶ√ହ
ଵହ
ቁj) 5/2 ua. 
14) a) 11 b) -29 c) -18 d) 13; 15) a) √37ݑܿ b)√13ݑܿ16)ݑሬԦ = ൫1, −1, ∓√2൯ 17) m = 0 ou m = -18 
18)ܽ) ߙ = 45଴, ߚ = 135଴ ݁ ߛ = 90଴; ܾ) 60଴ ݋ݑ 120଴; ܿ) ݑሬԦ = ቀହ√ଶ
ଶ
, 0, ିହ√ଶ
ଶ
ቁ19) -6 ou 3 
a b c d e f g h i j 
F V F V V V V V F V 
a b c d e f g h i 
V F F F F V V V F 
8 
 
20) a) (1, -1, -3); b) ቀ√ଵଵ
ଵଵ
, ି√ଵଵ
ଵଵ
, ଷ√ଵଵ
ଵଵ
ቁ; c) ܣ௧ =
√ଵଵ
ଶ
ݑܽ; 21)ܣ௧ =
ଷ
ଶ
ݑܽ 22) b) sim 23) ݒԦ =
(7, 5, 1)24) ݒԦ = (0, 4, −6) 25) D = (0, 4, 2) 26) a) ܣ௣ = √6ݑܽ b) √2ݑܿ27) (2,2,1); 28)
√ଶଶ
ଶ
ݑܿ 
29) ݒԦ = ቀଶ
ଷ
, ଵ
ଷ
, ଵ
ଷ
ቁ 30) a) (2, 4, 3); b) (5, 1, 0); c) (0, -6, -6) 
31) a) (2, 4, 0); b) (2, 0, 3); c) (0, 4, 3); p) (2, 4, 3); o) (0, 0, 0) 
32)a) (0, 3, 3); b) (5, 1, 0); c) (3, 2, 0) 33) y ± 234)ܯሬሬԦ = (1, 0); ሬܰሬԦ = ቀ଻
ଷ
, ିଶ
ଷ
ቁ 
 Questões Fechadas 
 
...Ainda que eu falasse 
A língua dos homens 
E falasse a língua dos anjos 
Sem amor eu nada seria... 
(I cor – 13,1) 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
e d b b e c b c b c