Estatística UFV (EST105)

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EST 105
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Somatório
Consideremos a amostra X = {90,95,97,98,100,60} e
queremos encontrar sua soma.
Soma = 90 + 95 + 97 + 98 + 100 + 60 = 540.
Para simplificar a representação da operação de adição nas
expressões algébricas, utiliza-se:
I Xi para identificar o elemento que encontra-se na i−ésima
posição, assim
90 95 97 98 100 60
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
X1 X2 X3 X4 X5 X6
I A notação Σ, letra grega sigma maiúsculo para
representar a soma.
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Somatório
n∑
i=1
Xi
Lê-se como: somatório de X índice i , com i variando de 1(um)
até n, em que:
n, é a ordem da última parcela ou limite superior (LS) do
somatório;
i = 1, é a ordem da primeira parcela da soma ou limite inferior
do somatório (LI);
i , é o índice que está indexando os valores da variável X
(outras letras como j , l , k podem ser utilizadas).
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Somatório
X = {90,95,97,98,100,60}
6∑
i=1
Xi = 540
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Somatório
As somas mais comuns são:
1)
n∑
i=1
Xi = X1 + X2 + · · ·+ Xn, soma simples
2)
n∑
i=1
X 2i = X
2
1 + X
2
2 + · · ·+ X 2n , soma dos quadrados
3)
(
n∑
i=1
Xi
)2
= (X1 + X2 + · · ·+ Xn)2, quadrado da soma
4)
n∑
i=1
XiYi = X1Y1 + X2Y2 + · · ·+ XnYn, soma dos produtos
5)
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
= (X1 + X2 + · · ·+ Xn) (Y1 + Y2 + · · ·+ Yn),
produto das somas
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Somatório
Se X = {90,95,97,98,100,60} e Y = {60,70,80,60,90,75}
então
1)
6∑
i=1
Xi = 90 + 95 + 97 + 98 + 100 + 60 = 540,
2)
6∑
i=1
Yi = 60 + 70 + 80 + 60 + 90 + 75 = 435,
3)
6∑
i=1
X 2i = (90)
2 +(95)2 +(97)2 +(98)2 +(100)2 +(60)2 = 49738,
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Somatório
4)
(
6∑
i=1
Xi
)2
= (90 + 95 + 97 + 98 + 100 + 60)2 = (540)2,
5)
6∑
i=1
XiYi = 90× 60 + 95× 70 + · · ·+ 60× 75
= 39190
6)
(
6∑
i=1
Xi
)(
6∑
i=1
Yi
)
= (540)× (435) = 234900.
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Número de termos de um somatório
NT = LS − LI + 1− r
em que
LS é a ordem do último termo do somatório;
LI é a ordem do primeiro termo do somatório;
r é o número de restrições.
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Número de termos de um somatório - Exemplos
a)
8∑
i=3
Xi
b)
15∑
i=1
i 6=9;11
Xi
c)
9∑
k=1
8∑
l=5
Zkl
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Somatório - propriedades
P1) Somatório de uma constante k
O somatório de uma constante é igual ao produto do número
de termos pela constante.
n∑
i=1
k = nk
note que, neste caso n = NT .
10∑
i=1
5 = [(10− 1) + 1]× 5 = 10× 5 = 50
10∑
i=3
7 = [(10− 3) + 1]× 7 = 8× 7 = 56
10∑
i=3
Yj = [(10− 3) + 1]Yj = 8Yj
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Somatório - propriedades
P2) Somatório do produto de uma constante por uma variável
O somatório do produto de uma constante por uma variável é
igual ao produto da constante pelo somatório da variável.
n∑
i=1
kXi = kX1 +kX2 + . . .+kXn = k(X1 +X2 + . . .+Xn) = k
n∑
i=1
Xi
Se X = {90,95,97,98,100,60}, sabemos que
6∑
i=1
Xi = 540
então
6∑
i=1
3Xi = 3× 90 + 3× 95 + · · ·+ 3× 60
= 3× (90 + 95 + · · ·+ 60)
= 3× 540 = 1620
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Somatório - propriedades
P3) Somatório de uma soma ou subtração de variáveis
O somatório de uma soma ou subtração de variáveis é igual à
soma ou subtração dos somatórios dessas variáveis. Sem
perda de generalidade, para três variáveis X , Y e W , tem-se:
n∑
i=1
(Xi + Yi −Wi) =
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
Yi −
n∑
i=1
Wi
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Exercícios
1) Nos itens a seguir assinale (V) se estiver inteiramente correto
ou (F) caso contrário.
( )
n∑
i=1
Xi
Yi
=
(
n∑
i=1
Xi
)
(
n∑
i=1
Yi
) .
( )
n∑
i=1
m∑
j=1
XiYj =
(
n∑
i=1
Xi
) m∑
j=1
Yj
.
( )
5∑
j=3
10∑
k=1
k 6=6;7
n∑
i=1
X 2i = 30
n∑
i=1
X 2i
( )
n∑
i=1
m∑
j=1
s∑
k=1
(2Xi + 3XiYj − Zk ) =
2ms
n∑
i=1
Xi + 3
n∑
i=1
Xi
m∑
j=1
Yj − nm
s∑
k=1
Zk .
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2) Dado que
10∑
i=1
Xi = 20 e
10∑
i=1
X 2i = 50, calcule:
10∑
i=1
8∑
j=3
(Xi + 2)
2
a.( ) 1020
b.( ) 650
c.( ) 780
d.( ) 1360
e.( ) n.d.r.a.
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3) Dado que,
30∑
i=5
Xi = 200,
15∑
j=8
Yj = 150 e
10∑
k=1
k 6=3;5;8
Zk = 30,
Utilize as propriedades de somatório e calcule:
30∑
i=5
15∑
j=8
10∑
k=1
k 6=3;5;8
(
2Xi + Yj − 5Zk
)
.
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Exercício 01 pg 18
4) Sabendo que
n∑
x=1
x = n(n+1)2 , calcule
200∑
x=1
(x − 100)
2
.
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Exercício 04 pg 19
5) Verifique por indução matemática que
n∑
k=1
k2 =
n (n + 1) (2n + 1)
6
.
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Exercício 05 pg 19
6) Dados
5∑
i=1
Xi = 2,6;
5∑
i=1
X 2i = 1,84;
8∑
j=3
Yj = 11 e
8∑
j=3
Y 2j = 31,
calcule
5∑
i=1
8∑
j=3
(
2Xi − Yj
)2
.
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Exercício 20 pg 23 (letra c)
7) Sabendo que:
20∑
i=1
Xi = 11,
n∑
k=1
k = n(n+1)2 e
n∑
k=1
k2 = n(n+1)(2n+1)6 ,
calcule:
60∑
x=1
{
(x − 1)2 − 1161
}
.
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8) Dado que,
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
,
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
e,
n∑
k=1
k3 =
[
n(n + 1)
2
]2
.
Utilize as propriedades de somatório e calcule:
30∑
k=1
(2k − 1)3
5
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9) Dado que,
20∑
i=1
Xi = 100,
20∑
i=1
X 2i = 250,
10∑
j=1
Yj = 40,
10∑
j=1
Y 2j = 65,
15∑
k=1
k 6=4;7
Zk = 12 e
15∑
k=1
k 6=4;7
Z 2k = 32,
Utilize as propriedades de somatório e calcule:
20∑
i=1
10∑
j=1
15∑
k=1
k 6=4;7
(
Xi − Yj + Zk
)2
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Fases de um estudo estatístico
Definição do problema
Planejamento
Coleta dos dados
Crítica dos dados
Apresentação dos dados
Tabelas Gráficos
Descrição dos dados
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Medidas de posição
I São também chamadas de medidas de tendência central;
I Resumem um conjunto de dados pela informação do
posicionamento dos valores da amostra;
I Nos dão um (ou mais valores) que representam a amostra.
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Medidas de posição
Principais medidas
I Moda;
I Mediana;
I Média;
I Dentre outras.
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Medidas de posição
Moda
A moda é definida como a realização mais frequente do
conjunto de valores observados.
Em algumas situações, a distribuição das observações é tal
que as frequências são maiores nos extremos.
Nesses casos, a utilização apenas da média e da mediana é
contra-indicada, pois são valores pouco representativos do
conjunto eo uso da moda poderá, então, ser considerado.
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Medidas de posição
Moda
Com relação à moda, uma série de dados pode ser
classificada em:
I Amodal: não possui moda;
I Unimodal: possui apenas uma moda;
I Bimodal: possui duas modas;
I Multimodal: possui mais de duas modas.
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Medidas de posição
Exercício 04 pg 42
1) Em um Painel Sensorial indivíduos treinados avaliam
(degustam) determinado produto e atribuem uma nota de
acordo com a percepção do sabor:
0 1 2 3 4 5
muito ruim ruim regular bom muito bom excelente
Na tabela a seguir são informadas as notas obtidas com um
determinado azeite de oliva,
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5
Determine a moda do conjunto de dados.
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Medidas de posição
Exercício 14 pg 46 - letra c)
2) Uma empresa avaliou 30 lotes de peças da indústria A e
também 30 lotes da indústria B. O número de peças
defeituosas por lote é apresentado na tabela a seguir.
Número de Indústria A Indústria B
Lotes 9 9 5 4 2 1 18 6 3 3 0 0
Defeituosas 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
Calcule para as duas amostras (indústrias A e B):
c) O número modal de peças defeituosas por lote;
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Medidas de posição
Mediana
Para um conjunto de valores colocados em ordem crescente
ou decrescente de grandeza, a mediana é o elemento que
ocupa a posição central.Interpretação
Pode-se afirmar que pelo menos 50% das observações da
amostra são valores iguais ou superiores e pelo menos 50%
das observações da amostra são valores iguais ou inferiores à
mediana.
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Medidas de posição
Mediana
Não esquecer de colocar os dados em ordem.
I Caso 1: O número de elementos é ímpar.
Md é o elemento que ocupa a posição
n + 1
2
, ou seja,
Md = X( n+12 ).
I Caso 2: O número de elementos é par.
Md é dada por:
Md =
X( n2 ) + X( n2 +1)
2
.
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Medidas de posição
Mediana
Seja uma variável aleatória X assumindo os seguintes valores:
X = {14,8,10,5,7,0,9} .
Determine a mediana.
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Exercício 04 pg 42
3) Em um Painel Sensorial indivíduos treinados avaliam
(degustam) determinado produto e atribuem uma nota de
acordo com a percepção do sabor:
0 1 2 3 4 5
muito ruim ruim regular bom muito bom excelente
Na tabela a seguir são informadas as notas obtidas com um
determinado azeite de oliva,
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5
Determine a mediana e interprete o valor obtido.
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Medidas de posição
Mediana
Seja uma variável aleatória X assumindo os seguintes valores:
X Frequência
0 3
-1 4
7 2
1 1
3 3
Determine a mediana.
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Medidas de posição
Média aritmética
I É uma medida de tendência central, representando o
fenômeno pelos seus valores médios em torno do qual os
dados tendem a se concentrar.
I Se X1,X2, . . . , Xn são n valores quaisquer da variável X , a
média aritmética de X , que denotaremos por X¯ é dada por
X¯ =
X1 + X2 + . . .+ Xn
n
=
n∑
i=1
Xi
n
,
ou seja, é a soma de todos os valores que a variável
assume, dividido pelo número total de valores que a mesma
assume.
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Medidas de posição
Média aritmética
Seja uma variável aleatória X assumindo os seguintes valores:
X = {14,8,10,5,7,0,9} .
Determine a média.
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Medidas de posição
Média aritmética
Agora, se temos n observações da variável X , das quais f1 são
iguais a X1, f2 são iguais a X2, . . . , fk são iguais a Xk , então a
média aritmética de X será dada por
X¯ =
f1X1 + f2X2 + · · ·+ fkXk
f1 + f2 + · · ·+ fk =
k∑
i=1
fiXi
k∑
i=1
fi
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Exercício 04 pg 42
1) Em um Painel Sensorial indivíduos treinados avaliam
(degustam) determinado produto e atribuem uma nota de
acordo com a percepção do sabor:
0 1 2 3 4 5
muito ruim ruim regular bom muito bom excelente
Na tabela a seguir são informadas as notas obtidas com um
determinado azeite de oliva,
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5
Determine a média.
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Exercício 14 pg 46 - letras a) e c)
2) Uma empresa avaliou 30 lotes de peças da indústria A e
também 30 lotes da indústria B. O número de peças
defeituosas por lote é apresentado na tabela a seguir.
Número de Indústria A Indústria B
Lotes 9 9 5 4 2 1 18 6 3 3 0 0
Defeituosas 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
Calcule para as duas amostras (indústrias A e B):
a) O número médio de peças defeituosas por lote;
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Medidas de posição
Média aritmética - Propriedades
P1) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores
da série X1,X2, . . . , Xn, a média aritmética fica somada ou subtraída
dessa constante.
n∑
i=1
(
Xi + k
n
)
= X¯ + k
X = {14,8,10,5,7,0,9} .
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Medidas de posição
Média aritmética - Propriedades
P2) Multiplicando-se ou dividindo-se cada um dos valores da série
X1,X2, . . . , Xn, por uma constante, a média aritmética fica
multiplicada ou dividida pela constante.
n∑
i=1
(
kXi
n
)
= kX¯
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Medidas de posição
Média aritmética - Propriedades
P3) A soma algébrica dos desvios em relação à média aritmética é nula,
isto é:
SD =
n∑
i=1
(Xi − X ) = 0
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Medidas de posição
Média aritmética - Propriedades
P4) A soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética é
um mínimo, isto é,
SQD =
n∑
i=1
(Xi − X )2
é um mínimo.
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Medidas de dispersão - (ou Medidas de Variabilidade)
As medidas de dispersão são estatísticas descritivas, que
quantificam de algum modo a variabilidade dos dados,
geralmente utilizando como referência uma medida de posição.
Caracterizar um conjunto de dados apenas por medidas de
posição é inadequado e perigoso, pois, conjuntos com medidas
de posição semelhantes podem apresentar características
muito diferentes.
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Medidas de dispersão
Amostra A : {6,6,6,6}
Amostra B : {2,2,10,10}
Note que XA = 6 e XB = 6, porém, a dispersão dos valores na
amostra B é maior.
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Medidas de dispersão
Variância amostral
A variância mede a dispersão dos valores em torno da média.
Ela é dada pela soma dos quadrados dos desvios em relação à
média aritmética, dividida pelo número de graus de liberdade.
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Medidas de dispersão
Para uma amostra de n valores, X1,X2, . . . ,Xn, a variância
amostral é dada por:
S2(X ) = Vˆ (X ) =
SQDX
n − 1 =
n∑
i=1
(Xi − X )2
n − 1 =
n∑
i=1
X 2i −
( n∑
i=1
Xi
)2
n
n − 1
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Medidas de dispersão
Propriedades
P1) A variância é sempre maior ou igual a zero, isto é,
S2(X ) ≥ 0;
P2) Para X = k , sendo k uma constante, S2(X ) = 0;
P3) Para Y = X + k , sendo k uma constante, S2(Y ) = S2(X );
P4) Para Y = kX , sendo k uma constante, S2(Y ) = k2S2(X ).
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Medidas de dispersão
Exemplos
a) Se X = {4,4,4,4,4} então S2(X ) = 0;
b) Se X = {4,8,3,9,7,5} e Y = X + 5, S2(X ) = 5,6
S2(Y ) = 5,6;
c) Para Y = 5X , S2(X ) = 5,6
S2(Y ) = 140 = 25× 5,6 = 52 × S2(X ).
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Medidas de dispersão
Desvio padrão amostral
I A variância tem a desvantagem de apresentar unidade de
medida igual ao quadrado da unidade dos dados;
I O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e por isso
tem a vantagem de apresentar a mesma unidade dos dados;
I
S (X ) =
√
V̂ (X )
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Medidas de dispersão
Erro padrão da média
O erro padrão da média é uma medida utilizada para avaliar a
precisão da média.
É dado por:
S
(
X¯
)
=
S(X )√
n
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Medidas de dispersão
Exemplo
Desejando estimar o peso médio dos alunos da UFV, uma
amostra de tamanho n = 16 forneceu X¯ = 70 kg com desvio
padrão 4 kg. Determine o erro padrão da média.
51 / 338
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação
I Utilizado, quando se tem o interesse em comparar
variabilidades de diferentes conjuntos de valores;
I Note que o CV é o desvio padrão expresso em percentagem
da média;
I Nesses casos, o CV é indicado por ser uma medida de
dispersão relativa. É uma medida adimensional;
I O CV expresso em percentagem é dado por:
CV (%) =
S(X )
X¯
100%
52 / 338
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação
I Utilizado para avaliação da precisão de experimentos;
I Utilizado para analisar qual amostra é mais homogênea
(menor variabilidade).
I Para amostras com médias diferentes, aquela que
apresentar menor CV, é a mais homogênea.
53 / 338
Medidas de dispersão
Coeficiente de variação
Duas turmas A e B da disciplina EST 105 apresentaram as
seguintes estatísticas na primeira prova:
Turma A Turma B
nA = 50 nB = 60
X¯A = 65 X¯B = 70
S2A = 225 S
2
B = 235
Qual é a turma mais homogênea?
54 / 338
Medidas de dispersão
Amplitude total
É dada pela diferença entre o maior e o menor valor da
amostra.
ATX = X(n) − X(1)
55 / 338
Medidas de dispersão
Exemplo
Se X = {4,8,3,9,7,5} então
ATX = 9− 3 = 6
56 / 338
Medidas de dispersão
Exercício 8 pg 43
1) As estatísticas descritivas apresentadas na tabela a seguir são
referentes à duas variáveis, X e Y , avaliadas em n unidades
experimentais.
EstatísticasVariáveis
X Y
Média aritmética 12 14
Mediana 10 15
Erro-padrão da média 0,6 1,12
Coeficiente de variação 50% 80%
57 / 338
Medidas de dispersão
Exercício 8 pg 43 - continuação
Assinale com V se a afirmativa estiver totalmente correta ou
assinale F caso contrário e indique o(s) erro(s).
a. ( ) A amostra de valores X apresenta uma menor dispersão
relativa ou maior homogeneidade.
b. ( ) n = 150 unidades experimentais foram avaliadas.
c. ( ) S2X = 36 e S
2
Y = 11,2.
58 / 338
Medidas de dispersão
Exercício 7 pg 43 - Para casa
59 / 338
Coeficiente de correlação amostral
Coeficiente de correlação amostral rXY ou ρˆXY
O coeficiente de correlação mede o grau de associação linear
entre duas variáveis aleatórias X e Y .
Considere duas amostras das variáveis X e Y , como a seguir:
Xi X1 X2 ... Xn
Yi Y1 Y2 ... Yn
60 / 338
Coeficiente de correlação amostral
O coeficiente de correlação entre os valores de X e Y é dado
por:
rXY =
SPDXY√
SQDX × SQDY
,
em que:
61 / 338
Coeficiente de correlação amostral
SPDXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n
,
SQDX =
n∑
i=1
X 2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
,
e
SQDY =
n∑
i=1
Y 2i −
(
n∑
i=1
Yi
)2
n
.
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Coeficiente de correlação amostral
Assim:
rXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n√√√√√√√√
 n∑i=1X 2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n

 n∑i=1Y 2i −
(
n∑
i=1
Yi
)2
n

Vale observar que −1 ≤ rXY ≤ 1
63 / 338
Coeficiente de correlação amostral
X e Y estão positivamente correlacionadas quando elas
caminham num mesmo sentido;
I À medida que uma variável tende a crescer a outra
também tende a crescer;
I À medida que uma variável tende a decrescer a outra
também tende a decrescer.
I Horas de estudo e nota obtida em uma prova;
I Temperatura média e quantidade de sorvete consumida.
64 / 338
Coeficiente de correlação amostral
X e Y estão negativamente correlacionadas quando elas
caminham em sentido contrário;
I À medida que uma variável tende a crescer a outra tende
a diminuir;
I À medida que uma variável tende a diminuir a outra
também tende a aumentar.
I Número de dias de experiência no serviço e número de
peças defeituosas produzidas;
I Venda de carros e desemprego.
65 / 338
Coeficiente de correlação amostral
Correlação não implica relação de causa-e-efeito.
Número de televisões na Inglaterra e população brasileira;
Quantidade de sorvetes consumidos e número de casos de
bronquite.
66 / 338
Coeficiente de correlação amostral
Exemplo
O conjunto de dados usado aqui contém as seguintes
variáveis:
I DistCap: distância à capital da respectiva Unidade da
Federação.
I EspVida: esperança de vida ao nascer
Determine a correlação entre as variáveis X e Y
67 / 338
Município DistCap (X ) EspVida (Y )
Araruna (PR) 365 67,99
Nova Redenção (BA) 278 61,19
Monção (MA) 150 59,58
Porto Rico do Maranhão (MA) 78 58,96
Campo Erê (SC) 468 68,10
Lagoa do Piauí (PI) 40 63,65
São José das Palmeiras (PR) 486 71,01
Paraíba do Sul (RJ) 83 71,36
Malhada dos Bois (SE) 65 64,46
Jandaíra (BA) 175 62,45
Vespasiano (MG) 14 68,68
Ipaba (MG) 167 67,42
Tabela 1: Fonte: Atlas de Desenvolvimento Humano
(www.pnud.org.br/atlas)
68 / 338
Na calculadora
P1) Limpar a memória;
SHIFT + CLR + 3 (ALL) + =
P2) Colocar no modo regressão;
MODE + 3 (REG) + 1 (LIN)
Aparecerá REG pequeno no alto da calculadora.
P3) Entrar com os dados;
I X1 , Y1+ M+
I
...
...
...
I Xn , Yn+ M+
P4) Obter informações;
SHIFT + 1 (S-SUM) para somatórios
SHIFT + 2 (S-VAR) para média, desvios padrões,
equação de regressão, coeficiente de correlação, valores
de Xˆ e Yˆ .
69 / 338
Regressão linear simples
Permite determinar, a partir das estimativas dos parâmetros,
como uma variável independente X exerce, ou parece exercer,
influência sobre outra variável Y , chamada de variável
dependente.
Por exemplo, qual a influência do número de horas estudadas
sobre a nota final obtida em uma prova?
Esta pergunta poderia ser respondida a partir de uma
regressão linear simples entre as variáveis Y (nota final obtida)
e X (número de horas estudadas).
70 / 338
Dados n pares de valores de duas variáveis, Xi e Yi , com
i = 1,2, · · · ,n, se admitirmos que Y é função linear de X ,
podemos estabelecer uma regressão linear simples, cujo
modelo estatístico é
Yi = β0 + β1Xi + εi ,
em que β0 e β1 são os parâmetros do modelo, e ei são os
erros aleatórios.
71 / 338
Figura 1: Interpretação geométrica dos parâmetros estimados na
RLS
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ε é o erro aleatório;
ε̂ é o desvio da regressão;
ε̂i = Yi − Ŷi
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O intuito é determinar a equação de regressão linear simples
e, utilizando o método dos mínimos quadrados obtemos:
Ŷ = β̂0 + β̂1X
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Pelo método dos mínimos quadrados temos
β̂1 =
SPDXY
SQDX
=
n∑
i=1
XiYi −
( n∑
i=1
Xi
)( n∑
i=1
Yi
)
n
n∑
i=1
X 2i −
( n∑
i=1
Xi
)2
n
e
β̂0 = Y − β̂1X .
Na prática, determina-se βˆ1 em primeiro lugar e depois βˆ0.
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I β̂1 é chamado de coeficiente da regressão;
I β̂0 é chamado de constante da regressão.
Interpretação
I β̂1 é o aumento médio estimado na variável Y para cada
aumento de uma unidade na variável X ;
I β̂0 é a estimativa da variável Y quando a variável não estiver
presente, isto é, X = 0;
I A interpretação deve ser feita dentro do problema,
adaptando as respostas às variáveis do problema.
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Na calculadora
P1) Limpar a memória;
SHIFT + CLR + 3 (ALL) + =
P2) Colocar no modo regressão;
MODE + 3 (REG) + 1 (LIN)
Aparecerá REG pequeno no alto da calculadora.
P3) Entrar com os dados;
I X1 , Y1+ M+
I
...
...
...
I Xn , Yn+ M+
P4) Obter informações;
SHIFT + 1 (S-SUM) para somatórios
SHIFT + 2 (S-VAR) para média, desvios padrões,
equação de regressão, coeficiente de correlação, valores de
Xˆ e Yˆ .
77 / 338
Coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação de uma regressão linear
simples, denotado por r2 e expresso em porcentagem, é dado
por:
r2(%) =
SQregressão
SQTotal
× 100%, 0 ≤ r2 ≤ 100%,
sendo
SQregressão = β̂21SQDX = β̂1SPDXY =
(SPDXY )
2
SQDX
,
e
SQTotal = SQDY
78 / 338
Interpretação
O r2 indica a proporção da variação de Y que é explicada pela
regressão, ou quanto da SQTotal está sendo explicada pela
regressão, ou quanto da variação na variável dependente Y
está sendo explicada pela variável independente X .
Quanto maior for o r2, melhor.
Além do coeficiente de determinação, outros critérios devem
ser adotados na escolha de modelos.
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Exercício 04 pg 166
1) Um economista interessado em estudar a relação entre o valor
da renda familiar extra (X ) ou disponível para gastos extras
(chamada de disposable income na literatura em inglês) e o
valor dos gastos com alimentação (Y ), conduziu um estudo
preliminar com 8 famílias, todas compostas por marido esposa
e dois filhos. Os resultados estão na tabela a seguir, com os
valores de X em milhares de dólares por ano e Y em centenas
de dólares por ano.
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Exercício 04 pg 166 - continuação
i 1 2 3 4 5 6 7 8
X 30 36 27 20 16 24 19 25
Y 55 60 42 40 37 26 39 43
Sendo
81 / 338
Exercício 04 pg 166 - continuação
a) Determine
n∑
i=1
Xi ;
n∑
i=1
X 2i ,
n∑
i=1
Yi ;
n∑
i=1
Y 2i ;
n∑
i=1
YiXi
b) Ajuste a equação de regressão linear simples;
c) Interprete a constante de regressão em termos do problema
enunciado;
d) Interprete o coeficiente de regressão em termos do problema
enunciado;
e) Para um aumento de 4 milhares de dólares por ano na renda
extra, determine o aumentoestimado no valor dos gastos com
alimentação;
f) Determine o coeficiente de correlação linear simples;
g) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o valor
obtido;
h) Estime o valor dos gastos com alimentação de uma família
que possui 20 mil dólares para gastos extras anualmente;
i) Obtenha o desvio da regressão para o item h).
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Exercícios de revisão
Prova 2013-II
1) Dado que,
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
,
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
n∑
k=1
k3 =
[
n(n + 1)
2
]2
,
Utilize as propriedades de somatório e calcule:
30∑
k=1
(2k − 1)3
5
83 / 338
Solução:
Sabemos que
(a− b)3 = (a− b)2 (a− b) =
(
a2 − 2ab + b2
)
(a− b)
=
(
a2 − 2ab + b2
)
(a− b)
= a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3
= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Em nosso problema a = 2k e b = 1, assim
(2k − 1)3 = 8k3 − 12k2 + 6k − 1
84 / 338
Solução:
30∑
k=1
(2k − 1)3
5
=
30∑
k=1
(
8k3 − 12k2 + 6k − 1)
5
=
1
5
(
30∑
k=1
8k3 −
30∑
k=1
12k2 +
30∑
k=1
6k −
30∑
k=1
1
)
=
1
5
(
8
30∑
k=1
k3 − 12
30∑
k=1
k2 + 6
30∑
k=1
k − 30
)
=
1
5
(8× 216225− 12× 9455 + 6× 465− 30)
=
1619100
5
= 323820
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2) Um comerciante vendeu diversos itens obtendo lucro (o)
conforme a tabela a seguir (em reais):
300 100 250 400 220
200 200 180 280 120
Com base nesta tabela responda:
86 / 338
a) Qual o lucro médio?
b) Qual o lucro modal?
c) Qual o lucro mediano?
d) Calcule o coeficiente de variação dos lucros;
e) Determine o erro padrão da média dos lucros.
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Introdução à teoria da probabilidade - página 53
Probabilidade
É o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios;
Os fenômenos que sob mesmas condições resultam nos
mesmos resultados são chamados de fenômenos
determinísticos;
Um carro parte do repouso em movimento retilíneo uniforme
acelerando a velocidade de 5m/s2, após 10s qual sua
velocidade?
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Conceitos fundamentais
Experimento aleatório
São aqueles cujos resultados podem não ser os mesmos,
mesmo que sob condições essencialmente idênticas, sendo
denotados por E ;
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Exemplos
i) E1 : “Lançar uma moeda 10 vezes e observar o número de
caras obtidas”;
ii) E2 : “Escolher, ao acaso, um ponto de um círculo de raio
unitário”;
iii) E3 : “Selecionar uma carta de um baralho com 52 cartas e
observar seu naipe”;
iv) E4 : “Lançar um dado e observar o número da sua face
superior”;
v) E5 : “Amostrar n peças em um lote e verificar o número de
defeituosas, designado como X ”;
vi) E6 : “Registrar com o auxílio de um aparelho apropriado, o
número de partículas radioativas emitidas por uma fonte em
um período de 24 horas, designado como Y ”;
vii) E7 : “Realizar um teste de vida útil com n componentes
eletrônicos para registrar os tempos ti , i = 1, . . . ,n de
operação contínua até a ocorrência da primeira falha”;
90 / 338
Espaço amostral
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um
experimento aleatório, sendo denotado por S;
Pode ser finito, infinito e enumerável, infinito e não enumerável;
91 / 338
Exemplos
Associados aos exemplos de experimentos aleatórios vistos
anteriormente em i) a vii), temos:
i) S1 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
ii) S2 = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1} é finito e não enumerável;
iii) S3 = {ouro, paus, copas, espadas} = {♦,♣,♥,♠};
iv) S4 = {1,2,3,4,5,6};
v) S5 = {0,1,2, . . . ,n} é finito e enumerável;
vi) S6 = {0,1,2, . . .} é infinito e enumerável;
vii) S7 = {ti : 0 < ti ≤ tmax} é finito porém não enumerável. O
valor tmax poderá ser conhecido ou desconhecido, sendo
que estimar tmax poderá ser um dos objetivos do
experimento.
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Eventos
Denomina-se evento a todo conjunto particular de resultados
de S, ou ainda, a todo subconjunto de S.
93 / 338
Associados aos espaços amostrais v) a vii) temos:
Exemplos
i) Seja A = {nenhuma peça defeituosa foi amostrada} ou
A = {X = 0};
ii) Seja B = {no máximo 10 partículas} ou B = {Y ≤ 10};
iii) Seja C = {t(1) > 300 horas}, em que t(1) é o mínimo valor ti .
94 / 338
Eventos mutuamente exclusivos
Diz-se que dois eventos são mutuamente exclusivos (ou
mutuamente excludentes) se, e somente se, a ocorrência de
um impede a ocorrência do outro.
Caracterizam-se, na teoria dos conjuntos, por dois conjuntos
disjuntos, isto é, que não possuem nenhum ponto em comum.
A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = ∅.
95 / 338
Algumas operações e propriedades de conjuntos
P1) Comutativa: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A;
P2) Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
P3) Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
P4) Leis de DeMorgan:
P4.i) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ou A ∪ B = (Ac ∩ Bc)c ;
P4.ii) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc ou A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c .
96 / 338
Probabilidade axiomática
i) P(A) ≥ 0;
ii) P(S) = 1;
iii) Se A e B são dois eventos em S mutuamente exclusivos,
então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
97 / 338
Teoremas do cálculo de probabilidades - pg 66
Alguns resultados auxiliam os os cálculos de probabilidades,
dentre as quais temos
P1) P (∅) = 0;
P2) P (Ac) = 1− P (A);
P3) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
P4) Se A ⊂ B então P (A) ≤ P (B);
P5) P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ Bc);
P6) Se A e B são dois eventos quaisquer então
P (A ∩ Bc) = P (A)− P (A ∩ B) ;
P7) Teorema da soma de probabilidades
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P (A ∩ B) ;
P8) Para três eventos temos:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩ B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+P (A ∩ B ∩ C)
98 / 338
Probabilidade
A probabilidade surgiu no século XIX com o intuito de
determinar as chances de se ganhar jogos de azar.
Esta motivação levou à chamada probabilidade a priori
(clássica).
99 / 338
Probabilidade clássica
Sejam:
I E um experimento aleatório;
I S um espaço amostral, a ele associado e, composto de n
pontos amostrais;
I Cada ponto amostral tem a mesma probabilidade, isto é,
os pontos são equiprováveis;
I A um evento em S, (A ⊂ S);
Então
100 / 338
P (A) =
f
n
em que:
f é o número de eventos favoráveis ao evento A;
n é o numero de pontos amostrais.
101 / 338
Sejam:
E o experimento relativo ao lançamento de um dado
perfeitamente simétrico e não viciado;
A o evento ocorrência de um número par;
Determinar P(A).
102 / 338
Temos que
S = {1,2,3,4,5,6};
Todos os pontos são equiprováveis, isto é, cada ponto de
S tem a mesma probabilidade de ocorrer, pois o dado não
é viciado;
Então f = 3, n = 6 e assim
P(A) =
3
6
= 0,5
103 / 338
Problemas
Só é aplicável se o espaço amostral for enumerável finito e
equiprovável;
Se S tivesse infinitos elementos, então cada evento teria
probabilidade zero de ocorrer.
104 / 338
Exercício 01 pg 85
1. Considerando o espaço amostral de um experimento
constituído do lançamento de dois dados perfeitamente
simétricos e não viciados, pede-se:
a) Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre a face
dois e o segundo a face três?
b) Qual a probabilidade de que ambos os dados mostrem a
mesma face?
c) Qual a probabilidade de que o segundo dado mostre um
número par?
105 / 338
Exercício 02 pg 85
2. Uma moeda perfeita é lançada três vezes e observado o
número de caras. Qual é a probabilidade de ocorrer?
a) Pelo menos uma cara?
b) Somente cara ou somente coroa?
c) Exatamente uma cara?
106 / 338
Exercício 03 pg 85
Para casa.
107 / 338
Probabilidade frequentista
Também chamada de probabilidade a posteriori;
108 / 338
Considere um experimento aleatório que possa ser repetido
indefinidamente em idênticas condições;
Seja A um evento pertencente ao espaço amostral associado a
este experimento aleatório;
Se após n repetições do experimento, com nsuficientemente
grande, for observado m ≤ n vezes o evento A, então uma
estimativa da probabilidade P(A) é dada pela frequência
relativa f = mn .
109 / 338
Um dado foi lançado n vezes e registrou-se o número de vezes
m que determinada face ocorreu.
Com o aumento do número de repetições n, as duas se
aproximam, f ≈ P(A).
110 / 338
Problemas
A exigência n suficientemente grande é por demais vaga para
que sirva como uma boa definição de probabilidade, além de
impossibilitar, tal como o conceito clássico, o tratamento
probabilístico de eventos associados a experimentos aleatórios
com espaços amostrais infinitos.
111 / 338
Probabilidade axiomática
Foi axiomatizada por Kolmogorov;
i) P(A) ≥ 0;
ii) P(S) = 1;
iii) Se A e B são dois eventos em S mutuamente exclusivos,
então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
112 / 338
Exercício 15 pg 87
3. Quatro equipes A, B, C e D participam de um torneio que
premiará uma única equipe campeã. Com relação as
probabilidades de cada equipe vencer o torneio: as equipes C
e D são equiprováveis, a equipe A é duas vezes mais provável
do que B, a equipe B é duas vezes mais provável do que as
equipes C e D. Pede-se: Qual é a probabilidade de que as
equipes C ou D sejam campeãs?
113 / 338
Exercício 06 pg 86
4. Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral S.
Sabendo-se que:
P (A) = P (B) =
1
3
; P (C) =
1
4
; P (A ∩ B) = 1
8
;
P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 1
9
; P (A ∩ B ∩ C) = 1
20
.
Calcular as probabilidades:
a) De ocorrer pelo menos um dos eventos A, B ou C;
b) De que não se realize nenhum dos eventos A, B ou C;
114 / 338
Probabilidade condicional e independência - pg 72
A noção de probabilidade condicional é uma ferramenta básica
da teoria das probabilidades.
115 / 338
Considere um departamento de uma universidade assim
distribuído:
116 / 338
XXXXXXXXXXXCurso
Sexo
Homens (H) Mulheres (F) Totais
Música (M) 70 40 110
Administração (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C) 20 10 30
Totais 115 85 200
Podemos calcular:
P(A) P(H) P(A ∩ H) P(A ∪ H)
P(A|H) P(H|A)
117 / 338
Probabilidade condicional
Seja B um evento cuja probabilidade é positiva. Para um
evento A, arbitrário, definimos.
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
, P(B) > 0
118 / 338
Obviamente tem-se que:
P(B|A) = P(A ∩ B)
P(A)
, P(A) > 0
119 / 338
Exercício 10 pg 86
1) Jogam-se dois dados. Se as duas faces mostram números
diferentes, qual é a probabilidade condicional de que uma das
faces seja quatro?
120 / 338
Exercício 06 pg 86
2) Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral S.
Sabendo-se que:
P (A) = P (B) =
1
3
; P (C) =
1
4
; P (A ∩ B) = 1
8
;
P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 1
9
; P (A ∩ B ∩ C) = 1
20
.
Calcular as probabilidades:
c) De que o evento A se realize, sabendo-se que já ocorreu B ou
C (probabilidade condicional).
121 / 338
Exercício 01 pg 84
3) Numa prova há sete questões do tipo verdadeiro-falso (V ou F).
Calcule a probabilidade de acertarmos todas as 7 questões se:
a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas.
b) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas, mas, sabendo-se
que há mais respostas V do que F (condicional).
122 / 338
Teorema do produto das probabilidades
Vimos que a probabilidade condicional de A dado B é,
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
A fórmula é frequentemente usada na forma,
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)
Esse resultado é conhecido pelo nome de teorema do produto
das probabilidades.
123 / 338
Independência
A probabilidade condicional P(A|B) não é, em geral, igual à
probabilidade P(A).
No caso em que P(A|B) = P(A) diremos que A é
estocasticamente (probabilísticamente) independente de B.
124 / 338
Independência
Em termos de probabilidades temos que A e B são
independentes se
P(A|B) = P(A);
ou equivalentemente
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
125 / 338
Independência
Para três eventos
i)
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
ii)
P(A ∩ C) = P(A)P(C)
iii)
P(B ∩ C) = P(B)P(C)
Se i), ii) e iii) são satisfeitas temos que os eventos são
independentes dois a dois;
iv)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)
Se i), ii), iii) e iv) são satisfeitas temos que os eventos são
mutuamente independentes.
126 / 338
Independência
Para n eventos
Os n eventos A1,A2, · · · ,An são mutuamente independentes,
se para todas as combinações 1 ≤ i < j < k < · · · ≤ n, as
regras de multiplicação,
P(Ai ∩ Aj) = P(Ai) · P(Aj)
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P(Ai) · P(Aj) · P(Ak )
...
...
...
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) · P(A2) · . . . P(An)
se aplicam.
127 / 338
Exercício 04 pg 84
4) Considere a escolha aleatória de um número entre os 10
primeiros números inteiros positivos (a partir de um), e os
eventos:
A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7} e C = {5,9}.
Pede-se: Os eventos são mutuamente independentes? Mostre
por quê.
128 / 338
Exercício 19 pg 88
5) Suponha que a probabilidade de que um vigia noturno num
navio com luzes apagadas descubra um periscópio em certas
condições de tempo seja igual a 0,7. Pede-se: qual é a
probabilidade de que uma combinação de dois vigias similares
façam a descoberta? Qual é a pressuposição necessária para
o cálculo desta probabilidade?
129 / 338
Teorema da probabilidade total
130 / 338
Teorema da probabilidade total
Sejam B1,B2, · · · ,Bn eventos mutuamente exclusivos e
exaustivos. Isto é, {B1, B2, · · · , Bn} satisfazem:
Bi ∩ Bj = ∅, ∀i 6= j
e também
B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = S
então,
A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bn)
131 / 338
Teorema da probabilidade total
Mediante aplicação da definição de probabilidade condicional,
P(A|Bi) = P(A ∩ Bi)P(Bi)
teremos,
P(A ∩ Bi) = P(A|Bi)P(Bi)
logo
P(A) = P(A|B1) ·P(B1) +P(A|B2) ·P(B2) + . . .+P(A|Bn) ·P(Bn)
e finalmente
P(A) =
n∑
i=1
P(A|Bi) · P(Bi)
132 / 338
Teorema de Bayes
Com base na definição de probabilidade condicional, pode-se
estabelecer um resultado bastante útil conhecido como o
Teorema de Bayes.
P(Bj |A) =
P(A|Bj)P(Bj)
n∑
i=1
P(A|Bi)P(Bi)
133 / 338
Exercício 2 página 79
1) Sejam duas urnas I e II. A urna I contém três fichas vermelhas
e duas fichas azuis, e a urna II contém duas fichas vermelhas e
oito fichas azuis. Joga-se uma moeda “honesta” Se a moeda
der “cara”, extrai-se uma ficha da urna I; se der “coroa”,
extrai-se uma ficha da urna II. Pede-se:
a) Determine a probabilidade de escolha de uma ficha vermelha.
b) Dado que a ficha é vermelha, qual é a probabilidade
condicional de ter vindo da urna I?
134 / 338
Diagrama de árvore
Em geral, o chamado diagrama de árvore é uma ferramenta útil
para avaliar probabilidades;
Seu uso nos teoremas da probabilidade total e de Bayes é,
muita das vezes, necessário por facilitar o entendimento do
problema.
135 / 338
B
A
3
5
2
5
Bc
•
1
2
1
2
B
Ac
2
10
8
10
Bc
136 / 338
Exercício 04 pg 78
2) Suponha que um teste seja 99% acurado em indicar uma
doença rara, que somente ocorre em uma pessoa a cada um
milhão. Avalie a probabilidade condicional de uma pessoa
estar com esta doença rara se o teste indicar que sim.
137 / 338
Exercício 03 pg 84
3) Certa firma utilizava um teste para classificar os funcionários
em categorias; ao final eles eram classificados em: 25% bons
(B), 50% médios (M) e 25% fracos (F). Um novo teste é
proposto, de tal forma a classificar os funcionários como
aprovado (A) ou reprovado (R). Com base em informações do
antigo teste, foram obtidas as seguintes probabilidades
condicionais com o novo teste:
Categorias do Aprovados pelo
antigo teste novo teste(%)
B 80
M 50
F 20
Pede-se: qual é a probabilidade condicional de um funcionário
aprovado no novo teste, ser classificado como fraco peloantigo
teste?
138 / 338
Exercício 13 pg 91
4) Considere que a probabilidade condicional de um equipamento
eletrônico falhar depende apenas da temperatura, de acordo
com as seguintes probabilidades condicionais:
Temperatura (t) Probabilidade de falhar
t < 5◦C 0,80
5◦C ≤ t ≤ 15◦C 0,40
t > 15◦C 0,10
Considere também que a temperatura no local de operação do
equipamento se distribui de acordo com as seguintes
probabilidades:
(t) t < 5◦C 5◦C ≤ t ≤ 15◦C t > 15◦C
P (t) 0,10 0,50 0,40
Pede-se: Tendo-se observado uma falha no equipamento, qual
é a probabilidade condicional de que ela tenha ocorrido com
temperatura superior a 15◦C?
139 / 338
Exercícios resolvidos 1 a 5 pg 79 a 83
5) Fazer os exercícios resolvidos das páginas 79 a 83.
140 / 338
Variáveis aleatórias - (v.a.) - página 101
O uso de variáveis aleatórias permite descrever os resultados
de um experimento aleatório por meio de números ao invés de
palavras, o que apresenta a vantagem de possibilitar melhor
tratamento matemático.
Considere o lançamento de duas moedas e seja X o número
de caras obtidas, denote c = cara e k = coroa.
S = {kk , ck , kc, cc}
SX = {0,1,2}
X (kk) = 0, X (ck) = X (kc) = 1 e X (cc) = 2
141 / 338
Variáveis aleatórias - (v.a.)
Se E é um experimento aleatório e S o espaço amostral
associado a este experimento, uma função X que associe a
cada elemento s pertencente a S um número real X (s), é
denominada variável aleatória:
∀s ∈ S tem-se X (s) : S 7→ Sx = {x ∈ R : X (s) = x}
142 / 338
Variáveis aleatórias - (v.a.)
As variáveis aleatórias classificam-se em:
i) Discretas: (v.a.d) se os valores x que X pode assumir
formam um conjunto enumerável, finito ou infinito. Em geral o
valor x é obtido mediante alguma forma de contagem.
I O número de acidentes ocorridos em uma semana;
I O número de peças defeituosas em uma amostra;
I O número de chamadas telefônicas recebidas por hora em
uma central.
ii) Contínuas: (v.a.c) se puder assumir todo e qualquer valor x
em algum intervalo: a ≤ x ≤ b, em que a e b podem ser,
respectivamente, −∞ e +∞. Portanto, uma v.a. c. está
associada a um espaço amostral infinito não enumerável.
I Peso dos alunos da UFV;
I Altura dos alunos da UFV;
I Tempo até a queima de uma lâmpada.
143 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Associada a variáveis aleatórias temos a chamada função de
probabilidade;
Função de probabilidade (f.p.)
A função de probabilidade f (x) atribui a cada ponto do espaço
amostral sua probabilidade de ocorrência;
Pode ser dada em termos de uma tabela, gráfico e ou através
de uma fórmula matemática.
144 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Considere o lançamento de um dado não viciado e seja X a
v.a. que é o número da face voltada para cima. A função de
probabilidade neste caso pode ser dada como:
Tabela
x 1 2 3 4 5 6
P(X = x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Fórmula
f (x) = P(X = x) =
1
6
,
para x = 1,2,3,4,5,6, e zero (0), caso contrário.
145 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Para que uma função seja uma função de probabilidade deve
satisfazer:
i) f (x) ≥ 0, para todo x ;
ii)
∞∑
x=1
f (x) = 1.
146 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Exemplo
Seja E : Observar X = “número de pontos da face superior” no
lançamento de um dado viciado, de tal forma que a
probabilidade de cada face é proporcional ao número de
pontos. Determine a função de probabilidade (f.p.).
147 / 338
Exercício 15 pg 134
1) Este é um problema com nomes e fatos reais. Vou a um
churrasco e encontro o meu amigo Luiz Abrantes com as suas
três filhas: Luiza, Paula e Bruna. Eu sei os nomes das filhas
dele mas não tenho a menor idéia de quem é quem e portanto
de forma completamente aleatória falarei os nomes. Considere
que a variável aleatória X represente o número de nomes que
eu acerto. Pede-se: Construa a tabela com a distribuição das
probabilidades de X .
148 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
2) Exercício prova 2 - 2012/II
Quando um componente eletrônico é testado ele pode
apresentar três tipos de defeitos de funcionamento A, B e C.
Admita que as probabilidades sejam: P(A) = 0,30,
P(B) = 0,28, P(C) = 0,31. Pode também ocorrer mais que
um tipo de defeito em um mesmo componente, de modo que:
P(A ∩ B) = 0,15, P(A ∩ C) = 0,17, P(B ∩ C) = 0,13 e
P(A ∩ B ∩ C) = 0,05. Seja X a variável aleatória discreta que
represente o número de tipos de defeitos que um componente
pode apresentar. Pede-se: Obtenha a tabela com a
distribuição de probabilidades de X .
149 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Associada às variáveis aleatórias discretas temos também a
chamada função de distribuição acumulada (F (x)), também é
chamada de função de distribuição;
Função de distribuição acumulada
É a função F (·) tal que
F (x) = P (X ≤ x)
F (x) nos dá a probabilidade acumulada até x .
150 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Considere o lançamento de um dado não viciado e seja X a
v.a. que é o número da face voltada para cima. A função de
probabilidade é dada por:
Tabela
x 1 2 3 4 5 6
P(X = x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Determine a função de distribuição.
151 / 338
Variáveis aleatórias discretas - (v.a.d.)
Exercício prova 2 - 2013/I
Considere a função de distribuição acumulada da variável
aleatória X dada a seguir:
F (x) =

0,
2/6,
3/6,
4/6,
1,
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2
se 2 ≤ x < 3
se 3 ≤ x
Pede-se: calcule a seguinte probabilidade P(1 ≤ X < 3).
a) 1/6
b) 1/2
c) 2/3
d) 1/3
e) n.d.r.a.
152 / 338
Adaptação exemplo página 108
3) Considere a função de distribuição acumulada da variável
aleatória discreta X dada a seguir,
F (x) =

0, se x < −2
1/4, se −2 ≤ x < −1
3/8, se −1 ≤ x < 2
7/8, se 2 ≤ x < 4
1, se 4 ≤ x
Determine:
a) Esboce o gráfico de F (x).
b) Determine a função de probabilidade.
c) P
(
X ≥ 3
2
)
d) P (−1 ≤ X < 4)
153 / 338
Exercício 07 pg 132
4) O número de anos de serviço dos funcionários de uma grande
empresa é uma variável aleatória discreta X , cuja função de
probabilidade f (x) = P (X = x) é dada na tabela a seguir,
f (x) =

0,08, x = 1, . . . ,5
0,09, x = 6, . . . ,10
0,01, x = 11, . . . ,25
0, para outros valores de x
a) Obtenha a função de distribuição acumulada
F (x) = P(X ≤ x).
b) Qual é o percentual de funcionários com no máximo 10 anos
de serviço.
c) Dentre os funcionários com no mínimo 10 anos de serviço,
calcule o percentual com no mínimo 20 anos (probabilidade
condicional).
154 / 338
Variáveis aleatórias contínuas - (v.a.c.)
Função densidade de probabilidade (f.d.p.)
A função que denotaremos por f (x), definida para a ≤ x ≤ b,
será chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.) se
satisfizer às seguintes condições:
i) f (x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b];
ii)
∫ b
a
f (x)dx = 1.
155 / 338
Variáveis aleatórias contínuas - (v.a.c.)
I Se c < d então P(c < X < d) =
∫ d
c
f (x)dx
I P(X = c)=P(c ≤ X ≤ d)=
∫ c
c
f (x)dx = 0
I P(c≤X ≤d) =P(c≤X <d) =P(c<X ≤d) =P(c < X < d)
I A função densidade de probabilidade f (x), não representa
probabilidade. Somente quando a função for integrada entre
dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a
área sob a curva da função entre os valores considerados.
156 / 338
Variáveis aleatórias contínuas - (v.a.c.)
Exemplo 1 - página 106
1) Seja uma v.a.c. X definida pela seguinte função densidade de
probabilidade:
f (x) =

0, se x < 0
kx , se 0 ≤ x ≤ 2
0, se 2 < x
a) Determinar o valor de k ;
b) Traçar o gráfico da função densidade de probabilidade;
c) Calcular P(X ≤ 1);
d) calcular P(X > 1).
Respostas: (a) k=1/2, (c) 1/4,(d) 3/4.
157 / 338
Exercício 04 pg 125
2) Uma variável aleatória contínua X possui a seguinte função
densidade de probabilidade:
f (x) =

0, para x < −1 ou x ≥ 4/3,
k
(
1− x2), para −1 ≤ x < 0,
k , para 0 ≤ x < 4/3.
Determinar:
a) O valor de k ;
b) P (−0,5 ≤ X ≤ 0,5);
158 / 338
Exercício 25 pg 137
3) Seja X a vida útil de um componente eletrônico, que
representa o tempo de funcionamento em horas até ele
apresentar a primeira falha. A função densidade de
probabilidade de X é dada por,
f (x) =
{
ke−x/200, 0 ≤ x <∞,
0, caso contrário.
Pede-se:
a) O valor de k ;
b) A probabilidade de um componente durar pelo menos 300
horas;
c) A probabilidade condicional de um componente durar pelo
menos 700 horas sabendo-se que durar 300 horas é certo.
e) Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de modo que no
máximo 10% dos componentes tenham vida útil inferior à
garantia?
Letra d será resolvida posteriormente.
159 / 338
4) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade
de probabilidade dada por,
f (x) =

3x2
c
, 1 ≤ x ≤ 3
0, outros valores x
Pede-se: O valor de c é igual a,
a.( ) 27
b.( ) 81
c.( ) 26
d.( ) 9
e.( ) n.d.r.a.
160 / 338
Função de distribuição acumulada
É a função F (x) associada à variável aleatória X , tal que:
F (x) = P (X ≤ x) =
∑
xi≤x
P (X = xi).
161 / 338
Variáveis aleatórias contínuas - (v.a.c.)
Função de distribuição acumulada
É a função F (x) associada à variável aleatória X , tal que:
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (u)du.
162 / 338
Variáveis aleatórias contínuas - (v.a.c.)
Através de f (x) podemos obter F (x) por integração;
Através de F (x) podemos obter f (x) por derivação.
163 / 338
Exercício 04 pg 125
1) Uma variável aleatória contínua X possui a seguinte função
densidade de probabilidade:
f (x) =

0, para x < −1 ou x ≥ 4/3,
1
2
(
1− x2
)
, para −1 ≤ x < 0,
1
2
, para 0 ≤ x < 4/3.
Determinar:
c) F (x), a função de distribuição acumulada.
164 / 338
Exercício 25 pg 137 - letra d)
2) Seja X a vida útil de um componente eletrônico, que
representa o tempo de funcionamento em horas até ele
apresentar a primeira falha. A função densidade de
probabilidade de X é dada por,
f (x) =
{ 1
200e
−x/200, 0 ≤ x <∞,
0, caso contrário.
Pede-se:
d) A função de distribuição acumulada de X .
165 / 338
Variáveis aleatórias bidimensionais
Variáveis aleatórias bidimensionais surgem quando para um
determinado experimento aleatório, cada resultado s do
espaço amostral S se associa a dois resultados X (s) = x e
Y (s) = y .
Estudar a estatura X e o peso Y , de alguma pessoa escolhida
ao acaso, o que forneceria o resultado (x , y).
Nos restringiremos aqui às variáveis aleatórias bidimensionais.
166 / 338
Variáveis aleatórias bidimensionais
 
s
S
( )s
X
X
Y
( )s
Y
167 / 338
v.a.d
y
x y1 y2 · · · ys P(X = x)
x1 P(x1, y1) P(x1, y2) · · · P(x1, ys) P(X = x1)
x2 P(x2, y1) P(x2, y2) · · · P(x2, ys) P(X = x2)
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
xr P(xr , y1) P(xr , y2) · · · P(xr , ys) P(X = xr )
P(Y = yj) P(Y = y1) P(Y = y2) · · · P(Y = ys) 1
P(X = xi ,Y = yj) = P(xi , yj) = pij .
168 / 338
v.a.d
Condições para que P(xi , yj) seja uma função de
probabilidade conjunta bidimensional
(a) P(xi , yj) ≥ 0, para todo par (xi , yj)
(b)
∑
i
∑
j
P(xi , yj) = 1
Y
X 0 1 2
0 0,10 0,20 0,20
1 0,04 0,08 0,08
2 0,06 0,12 0,12
169 / 338
v.a.d
Marginal de X
xi x1 x2 · · · xr Total
P(X = xi) P(X = x1) P(X = x2) · · · P(X = xr ) 1
P(X = xi) = P(xi) =
s∑
j=1
P(xi , yj)
Marginal de Y
yj y1 y2 · · · ys Total
P(Y = yj) P(Y = y1) P(Y = y2) · · · P(Y = ys) 1
P(Y = yj) = P(yj) =
r∑
i=1
P(xi , yj)
170 / 338
v.a.d
Exemplo 1: pg 116
Dada a distribuição de probabilidade conjunta de (X ,Y ) abaixo
Y
X 0 1 2
0 0,10 0,20 0,20
1 0,04 0,08 0,08
2 0,06 0,12 0,12
pede-se:
a) A distribuição de X ;
b) P [X ≤ 1];
c) P [X > 1];
d) A distribuição de Y ;
e) A distribuição de W = X + Y ;
f) A distribuição de V = XY .
171 / 338
Exercício 11 pg 127 letras a) e b)
1) Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta, com
a seguinte função de probabilidade:
P(xi , yj) =

2xi + yj
42
, para xi = 0,1,2 e yj = 0,1,2,3;
0, caso contrário.
Pede-se:
a) A tabela com a distribuição de probabilidade conjunta;
b) A tabela com a distribuição marginal de X e também a de Y .
172 / 338
v.a.d
Probabilidade condicional
Seja xi um valor de X , tal que P(X = xi) = P(xi) > 0. A
probabilidade condicional de Y = yj , dado que X = xi é
dada por,
P(Y = yj |X = xi) =
P(X = xi ,Y = yj)
P(X = xi)
Variáveis aleatórias independentes
Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional. X e Y são
independentes se
P(Y = yj |X = xi) = P(Y = yj)
ou equivalentemente
P(X = xi ,Y = yj) = P(X = xi)P(Y = yj)
173 / 338
v.a.d
Prova 02 - 2014/I
Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta com
a seguinte distribuição de probabilidades,
Y
X 1 3 8 P(x)
0 0,18 0,12 0,30 0,60
5 0,12 0,08 0,20 0,40
P(y) 0,30 0,20 0,50 1,00
Pede-se:
a) Aplique a definição de probabilidade condicional e calcule:
P(X = 5|Y ≥ 3).
b) A probabilidade encontrada no item a) é igual a P(X = 5)?
responda SIM ou NÃO e justifique sua resposta com o
conceito de variáveis aleatórias independentes.
c) Se W = X + Y , calcule P(W > 3).
174 / 338
v.a.d
Prova 02 - 2012/II
Considere a função de distribuição acumulada da variável
aleatória discreta X dada a seguir,
F (x) =

0, se x < −1,
1/6, se −1 ≤ x < 1,
2/6, se 1 ≤ x < 2,
4/6, se 2 ≤ x < 3,
5/6, se 3 ≤ x < 5,
1, se x ≥ 5.
Determine
a) P(2 ≤ X < 5);
b) P(X ≤ 4|X > 0).
175 / 338
v.a.d
Variáveis aleatórias discretas independentes
Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta. X e
Y são independentes se
P(Y = yj |X = xi) = P(Y = yj),
ou equivalentemente,
P(X = xi ,Y = yj) = P(X = xi)P(Y = yj),
para todos (xi , yj) ∈ Ω.
176 / 338
v.a.d
Exemplo 1
1) Dada a distribuição de probabilidade conjunta de (X ,Y ) abaixo
Y
X 0 1 2 P(X = x)
0 0,10 0,20 0,20 0,50
1 0,04 0,08 0,08 0,20
2 0,06 0,12 0,12 0,30
P(Y = y) 0,20 0,40 0,40 1
pede-se:
i) P(X = 1|Y = 0);
ii) P(X ≤ 1|Y = 0);
iii) A distribuição condicional de X dado que Y = 0;
iv) X e Y são independentes?.
177 / 338
v.a.c
Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas
Uma variável aleatória (X ,Y ) é dita ser uma variável aleatória
bidimensional contínua se X e Y forem variáveis aleatórias
contínuas.
Associada a uma variável aleatória bidimensional contínua
temos a função densidade de probabilidade bidimensional.
178 / 338
v.a.c
Condições para que f (x , y) seja uma função densidade
de probabilidade bidimensional
(a) f (x , y) ≥ 0, para todo par (x , y);
(b)
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f (x , y)dxdy = 1
179 / 338
v.a.c
P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y)dydx
=
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y)dxdy
180 / 338
v.a.c
Exemplo 2 - pg 116
2) Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função
densidade de probabilidade conjunta dada por:
f (x , y) =
{
k (2x + y) , 2 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 5
0, para outros valores
Pede-se:
a) O valor de k ;
b) P(X ≤ 3; 2 ≤ Y ≤ 4);
181 / 338
v.a.c
Distribuição marginal
A função densidade de probabilidade marginal de X é definida
por:
g(x) =
∫ ∞
−∞
f (x , y)dy ;
Analogamente, a função densidade de probabilidade marginal
de Y é definida por:
h(y) =
∫ ∞
−∞
f (x , y)dx ;
182 / 338
v.a.c
Variáveis aleatórias independentes
Seja (X ,Y ) uma variável aleatória contínua bidimensional.
Diremos que X e Y são independentes,se e somente se, a
função densidade de probabilidade conjunta puder ser fatorada
no produto das duas funções densidade de probabilidade
marginais:
f (x , y) = g(x)h(y)
183 / 338
v.a.c
Exemplo 2 - pg 116
3) Sejam X e Y variável aleatória contínua bidimensional com a
seguinte função densidade de probabilidade conjunta,
f (x , y) =
{
k (2x + y) , 2 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 5
0, para outros valores
Pede-se:
c) P (Y ≤ 2);
d) P (X > 4);
e) X e Y são independentes?
184 / 338
Exercício 16 pg 128
4) Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas, com função
densidade de probabilidade conjunta dada por:
f (x , y) =
 3− y16 , se 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 20, para outros valores de x e y .
Pede-se:
a) As funções marginais de X e Y ;
b) X e Y são v.a. independentes? Justifique.
185 / 338
Exercício resolvido página 114
5) Refaça o exercício resolvido da página 114 da apostila.
186 / 338
v.a.c
Prova 02 - 2014/I
6) Seja (X ,Y ) uma variável aleatória (v.a.) contínua bidimensional
com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta,
f (x , y) =

kx2y , para 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 1
0, para outros valores x e y
Pede-se:
a) Calcule o valor k ;
b) Verifique se X e Y são v.a. contínuas independentes.
Responda SIM ou NÃO e justifique sua resposta. Atenção: se
não souber o valor de k do item a), indique os cálculos.
187 / 338
v.a.c
Distribuição condicional
A função densidade de probabilidade condicional de X , dado
que Y = y é definida por:
f (x |y) = f (x , y)
h(y)
, h(y) > 0;
Analogamente, a função densidade de probabilidade
condicional de Y , dado X = x é definida por:
f (y |x) = f (x , y)
g(x)
, g(x) > 0
188 / 338
v.a.c
Exemplo 2 - pg 116
1) Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional contínua com
a seguinte função densidade de probabilidade conjunta,
f (x , y) =
 1210 (2x + y) , 2 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 50, para outros valores
Pede-se:
f) f (x |y)
g) f (x |Y = 1)
189 / 338
v.a.c
2) Seja (X ,Y ) uma variável aleatória contínua bidimensional com
a seguinte função densidade de probabilidade conjunta,
f (x , y) =

4 + 6(x + y) + 9xy
16
, −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1
0, para outros valores x e y .
Pede-se:
a) Determine f (x |y);
b) Determine P
(
X < − 13 |Y = − 13
)
;
c) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique sua
resposta.
190 / 338
Prova 2013/II
1) Considere o seguinte jogo de azar: o jogador paga R$ X (valor
que não é devolvido) e depois aleatoriamente escolhe uma
dentre três moedas idênticas, sendo uma delas viciada. A
moeda escolhida é então lançada, e, se mostrar a face cara, o
jogador não recebe nenhum prêmio; se mostrar a face coroa,
ele recebe um prêmio de R$ 24. Admita que a moeda viciada
mostre a face cara com probabilidade igual a 0,75 (ou 3/4).
Pede-se:
191 / 338
Prova 2013/II
a) se a moeda mostrou a face cara, qual é a probabilidade condicional
de que a moeda lançada tenha sido a viciada?
i.( )
4
7
ii.( )
7
12
iii.( )
1
4
iv.( )
3
7
v.( ) n.d.r.a.
192 / 338
b) qual deve ser o valor pago pelo jogador para que este jogo seja
justo? isto é, para que o valor esperado (recebido pelo jogador ou
pelo organizador do jogo) seja igual a zero.
i.( ) ≈ R$ 17,143
ii.( ) R$ 10
iii.( ) R$ 14
iv.( ) ≈ R$ 12,35
v.( ) n.d.r.a.
193 / 338
Solução 1a)
Solução: Sejam:
A:“A moeda é viciada”
B:“A face mostrada é cara”.
Temos que
P [A] = 13 , P [A
c] = 23 , P [B |A ] = 34 ,
P [Bc |A ] = 14 , P
[
B|A c] = 12 , P [Bc |A c] = 12 ,
conforme mostrado no diagrama de árvore a seguir:
194 / 338
Solução 1a) B
A
3
4
1
4
Bc
•
1
3
2
3
B
Ac
1
2
1
2
Bc
195 / 338
Solução 1a)
P [A |B ] = P [A ∩ B]
P [B]
=
P [B |A ]P [A]
P [B |A ]P [A] + P [B |Ac ]P [Ac]
=
3
4 × 13
3
4 × 13 + 12 × 23
=
1
4
7
12
=
3
7
Desta forma a resposta correta é a letra iv).
196 / 338
Solução 1b)
Solução: Seja X o valor recebido pelo jogador. Então
Face B Bc Total
P[X = x ] 712
5
12 1
x 0 24
E(X ) =
∑
x
xP(X = x) = 0× 7
12
+ 24× 5
12
=
120
12
= 10
Desta forma o valor médio recebido é de R$10,00 e, assim
sendo, o jogador deve pagar R$10,00 para que o jogo seja
justo, sendo a resposta correta a letra ii).
197 / 338
Prova 2014/I
2) Suponha que um site especializado tenha previsto os
seguintes finalistas para a copa do mundo de 2014:
Brasil(BRA), Espanha(ESP), França(FRA) e Argentina(ARG),
portanto a seguinte partição do espaço amostral para o jogo
final com as seguintes probabilidades:
P(BRA x ESP)=0,40, P(BRA x ARG)=0,20, P(FRA x
ESP)=0,10 e P(FRA x ARG)=0,30.
Admita também que o Brasil vença o jogo final contra a
Espanha com probabilidade 0,8 e contra a Argentina com
probabilidade 0,70. Nos demais jogos finais admita
probabilidade 0,50 de vitória para qualquer um dos dois times.
Com base apenas nestas informações, pede-se:
a) A probabilidade condicional do Brasil ser o campeão, dado
que a Argentina estará na final.
b) A probabilidade do Brasil ser o campeão (Dica: faça um
diagrama em árvore).
198 / 338
Solução 2a)
Sejam:
A : “A final é Brasil versus Espanha”;
B : “A final é Brasil versus Argentina”;
C : “A final é França versus Espanha”;
D : “A final é França versus Argentina”;
E : “Brasil vence Espanha na final”;
F : “Brasil vence Argentina na final”;
G : “França vence Espanha na final”;
H : “França vence Argentina na final”;
então
P(A) = 0,40 P(B) = 0,20
P(C) = 0,10 P(D) = 0,30
P(E |A) = 0,80 P(F |B) = 0,70
P(G|C) = 0,50 P(H|D) = 0,50
199 / 338
E
A
0,80
0,20
Ec
F
•
0,40
0,20
0,10
0,30
B
0,70
0,30
F c
C
0,50
0,50
G
Gc
D
0,50
0,50
H
Hc 200 / 338
Solução 2a)
P (E ∪ F |B ∪ D) =?
P (E ∪ F |B ∪ D) = P [(E ∪ F ) ∩ (B ∪ D)]
P (B ∪ D)
Temos que
(E ∪ F ) ∩ (B ∪ D) = [(E ∪ F ) ∩ B] ∪ [(E ∪ F ) ∩ D]
e
(E ∪ F ) ∩ D = ∅,
logo
(E ∪ F ) ∩ (B ∪ D) = [(E ∪ F ) ∩ B] ∪∅ = (E ∪ F ) ∩ B
201 / 338
Solução 2a)
Desta forma
P (E ∪ F |B ∪ D) = P [(E ∪ F ) ∩ B]
P (B ∪ D) .
Entretanto,
(E ∪ F ) ∩ B = (E ∩ B) ∪ (F ∩ B) = ∅ ∪ (F ∩ B) = F ∩ B.
Logo
P (E ∪ F |B ∪ D) = P (F ∩ B)
P (B ∪ D) .
202 / 338
Solução 2a)
Temos que
P (F ∩ B) = P (F |B)P (B) = 0,70× 0,20 = 0,14
e,
P (B ∪ D) = P (B)+P (D)−P (B ∩ D) = 0,20+0,30−0 = 0,50
Assim
P (E ∪ F |B ∪ D) = 0,14
0,50
= 0,28.
203 / 338
Solução 2b)
Seja I : “O Brasil é campeão”, assim
P(I) = P [(A ∩ E) ∪ (B ∩ F )]
= P (A ∩ E) + P (B ∩ F )− P [(A ∩ E) ∩ (B ∩ F )]
= P (A ∩ E) + P (B ∩ F )− 0
= P (E |A)P (A) + P (F |B)P (B)
= 0,40× 0,80 + 0,70× 0,20
= 0,32 + 0,14 = 0,46
204 / 338
Prova 2014/I
3) Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta com
a seguinte distribuição de probabilidades,
Y
X 1 3 8 P(x)
0 0,18 0,12 0,30 0,60
5 0,12 0,08 0,20 0,40
P(y) 0,30 0,20 0,50 1,00
Pede-se:
a) Aplique a definição de probabilidade condicional e calcule:
P(X = 5|Y ≥ 3).
b) A probabilidade encontrada no item a. é igual a P(X = 5)?
responda SIM ou NÃO e justifique sua resposta com o
conceito de variáveis aleatórias independentes.
c) Se W = X + Y , calcule P(W > 3).
205 / 338
Solução 3a)
P (X = 5|Y ≥ 3) = P (X = 5,Y ≥ 3)
P (Y ≥ 3)
=
P (X = 5,Y = 3) + P (X = 5,Y = 8)
P (Y = 3) + P (Y = 8)
=
0,08 + 0,20
0,20 + 0,50
=
0,28
0,70
= 0,40
206 / 338
Solução 3b)
Temos que P (X = 5) = 0,40 (vide enunciado da questão 3).
Além disso do exercício 3a) temos que
P (X = 5|Y ≥ 3) = 0,40. Desta forma
P (X = 5|Y ≥ 3) = P(X = 5).
Isto ocorre porque X e Y são variáveis aleatórias discretas
independentes, haja vista que
P (X = x ,Y = y) = P (X = x)P (Y = y) , ∀x e y .
207 / 338
Solução 3c)
P(W > 3) =
∑
x
∑
y
x+y>3
P (x , y) = 0,30 + 0,12 + 0,08 + 0,20
= 0,70
ou
P (W > 3) = 1− P (W ≤ 3) = 1−
∑
x
∑
y
x+y≤3
P (x , y)
= 1− 0,18− 0,12 = 0,70
208 / 338
Prova 2014/I
4) Seja (X ,Y ) uma variável aleatória (v.a.) contínua
bidimensional com a seguinte função densidade de
probabilidade conjunta,
f (x , y) =

kx2y , para 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 1
0, para outros valores x e y
Pede-se:
a) Calcule o valor k .
b) Verifique se X e Y são variáveis aleatórias contínuas
independentes. Responda SIM ou NÃO e justifique sua
resposta. Atenção: se não souber o valor de k do item 4a),
indique os cálculos.
209 / 338
Solução 4a)
Para que f (x , y) seja uma função densidade de probabilidade
conjunta devemos ter:
i) f (x , y) ≥ 0, ∀ (x , y) ∈ R2;
ii)
+∞∫
−∞
+∞∫
−∞
kx2ydxdy = 1.
De ii) temos:
1 =
1∫
0
3∫
0
kx2ydxdy = k
∫ 1
0
x3
3
∣∣∣∣3
x=0
ydy
=
k
3
∫ 1
0
(
33 − 03
)
ydy =
27k
3
∫ 1
0
ydy
= 9k × y
2
2
∣∣∣∣1
y=0
= 9k ×
(
12 − 02)
2
=
9k
2
.
Assim 9k2 = 1, logo k =
2
9 .
210 / 338
Solução 4b)
Temos que
g (x) =
∫ 1
0
2
9
x2ydy =
2
9
x2 ×y
2
2
∣∣∣∣1
y=0
=
2
9
x2 ×
(
12 − 02)
2
=
x2
9
e
h (y) =
∫ 3
0
2
9
x2ydx =
2
9
y ×x
3
3
∣∣∣∣3
x=0
=
2
9
y ×
(
33 − 03)
3
=
2× 27
27
y = 2y
Assim
g (x)h (y) =
x2
9
× 2y = 2
9
x2y = f (x , y) ,
logo X e Y são variáveis aleatórias independentes.
211 / 338
Sugestão de exercícios
Probabilidade
pg 69 ex2 resolvido no roteiro;
pg 78 ex1 e ex2;
pg 86 ex6;
pg 87 ex16;
pg 88 ex20;
pg 94 ex24;
pg 95 ex 27.
Variáveis aleatórias
pg 109 ex2;
pg 116 ex1 e ex2;
pg 128 ex14;
pg 132 ex7;
pg 135 ex19 somente a primeira parte.
212 / 338
Medidas de posição de uma variável aleatória
Esperança matemática (valor esperado ou valor médio)
O valor esperado ou a esperança matemática de uma variável
aleatória X é o valor médio calculado de acordo com o modelo
de probabilidade associado a X ;
Corresponde ao valor que se espera observar em média para
uma variável aleatória X ;
É uma medida de tendência central da distribuição.
Notação
E(X ) ou µ
213 / 338
Esperança para variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte
distribuição de probabilidade:
xi x1 x2 · · · xn Total
P(xi) P(x1) P(x2) · · · P(xn) 1
Define-se esperança matemática de X por:
E(X ) = µx = µ = x1P(x1) + x2P(x2) + · · ·+ xnP(xn).
Isto é,
E(X ) =
n∑
i=1
xiP(xi).
214 / 338
Exemplo
Um fabricante produz peças tais que 10% delas são
defeituosas e 90% não são defeituosas. Se uma peça
defeituosa for produzida, o fabricante perde U$ 1,00, enquanto
uma peça não defeituosa lhe dá um lucro de U$ 5,00. Seja a
variável aleatória X = {lucro líquido por peça}. Calcular a
média do lucro líquido por peça.
215 / 338
Esperança para variável aleatória contínua
A esperança matemática de uma variável aleatória contínua X
é definida por:
E(X ) =
∞∫
−∞
xf (x)dx
216 / 338
Exemplo
Uma variável aleatória contínua X apresenta a seguinte função
densidade de probabilidade:
f (x) =

0, se x < 0;
x
2 , se 0 ≤ x ≤ 2;
0, se x > 2.
Calcular E(X ).
217 / 338
Propriedades da esperança
E1)
E(k) = k , k ∈ R.
A média de uma constante é a própria constante.
218 / 338
E2)
E(kX ) = kE(X ).
A esperança matemática do produto de uma constante por uma
variável é igual ao produto da constante pela esperança matemática
da variável, ou seja, multiplicando-se uma variável aleatória por uma
constante, sua média ficará multiplicada por essa constante.
219 / 338
E3) A esperança matemática do produto de duas variáveis aleatórias
independentes é igual ao produto das esperanças matemáticas das
variáveis, ou seja, a média do produto de duas variáveis aleatórias
independentes é o produto das médias.
E(XY ) = E(X )E(Y ),
desde que X e Y sejam independentes.
Cuidado
A fórmula não é válida se não houver independência.
E(XY ) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
xyf (x , y)dxdy
220 / 338
E4)
E(X + Y ) = E(X ) + E(Y );
E(X − Y ) = E(X )− E(Y ).
A esperança matemática da soma ou da subtração de duas variáveis
aleatórias quaisquer é igual a soma ou a subtração das esperanças
matemáticas das duas variáveis aleatórias, ou seja, a média da soma
ou da subtração de duas variáveis aleatórias é igual a soma ou
subtração das médias.
221 / 338
E5)
E(X + k) = E(X ) + k , k ∈ R;
E(X − k) = E(X )− k , k ∈ R.
A esperança matemática da soma ou subtração de uma variável
aleatória com uma constante é igual a soma ou subtração da
esperança matemática com a constante, ou seja, somando-se ou
subtraindo-se uma constante a uma variável aleatória, a sua média
fica somada ou subtraída da mesma constante.
222 / 338
E6)
E [X − µx ] = 0.
A média de uma variável aleatória centrada é zero, ou seja, a média
dos desvios dos valores da variável aleatória em relação a sua média
é zero.
223 / 338
Exercício 01 pg 123
1) Sabendo-se que Y = 3X − 5, E(X ) = 2 e V (X ) = 1, calcule:
a) E(Y );
b) E(X + 3Y );
224 / 338
Exercício 06 pg 124
2) (X ,Y ) é uma variável aleatória bidimensional discreta com a
seguinte distribuição conjunta:
x |y -3 2 4 P(xi)
1 0,1 0,2 0,2 0,5
3 0,3 0,1 0,1 0,5
P(yj) 0,4 0,3 0,3 1,0
Pede-se calcular:
a) E(X );
b) E(Y );
c) E(X + Y );
d) X e Y são independentes?
225 / 338
Exercício 07 pg 124
3) Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função
densidade de probabilidade:
f (x) =

2
3
, se x ∈ [0,1) ,
2
3
(2− x) , se x ∈ [1,2] ,
0, para outros valores de x .
Calcule:
a) A esperança matemática de (X − 1)2;
226 / 338
Prova 2013/II
4) Considere o seguinte jogo de azar: o jogador paga R$ X (valor
que não é devolvido) e depois aleatoriamente escolhe uma
dentre três moedas idênticas, sendo uma delas viciada. A
moeda escolhida é então lançada, e, se mostrar a face cara, o
jogador não recebe nenhum prêmio; se mostrar a face coroa,
ele recebe um prêmio de R$ 24. Admita que a moeda viciada
mostre a face cara com probabilidade igual a 0,75 (ou 3/4).
Pede-se:
227 / 338
Prova 2013/II
a) se a moeda mostrou a face cara, qual é a probabilidade condicional
de que a moeda lançada tenha sido a viciada?
i.( )
4
7
ii.( )
7
12
iii.( )
1
4
iv.( )
3
7
v.( ) n.d.r.a.
228 / 338
b) qual deve ser o valor pago pelo jogador para que este jogo seja
justo? isto é, para que o valor esperado (recebido pelo jogador ou
pelo organizador do jogo) seja igual a zero.
i.( ) ≈ R$ 17,143
ii.( ) R$ 10
iii.( ) R$ 14
iv.( ) ≈ R$ 12,35
v.( ) n.d.r.a.
229 / 338
Solução 4a)
Solução: Sejam:
A:“A moeda é viciada”
B:“A face mostrada é cara”.
Temos que
P [A] = 13 , P [A
c] = 23 , P [B |A ] = 34 ,
P [Bc |A ] = 14 , P
[
B|A c] = 12 , P [Bc |A c] = 12 ,
conforme mostrado no diagrama de árvore a seguir:
230 / 338
Solução 4a) B
A
3
4
1
4
Bc
•
1
3
2
3
B
Ac
1
2
1
2
Bc
231 / 338
Solução 4a)
P [A |B ] = P [A ∩ B]
P [B]
=
P [B |A ]P [A]
P [B |A ]P [A] + P [B |Ac ]P [Ac]
=
3
4 × 13
3
4 × 13 + 12 × 23
=
1
4
7
12
=
3
7
Desta forma a resposta correta é a letra iv).
232 / 338
Solução 4b)
Solução: Seja X o valor recebido pelo jogador. Então
Face B Bc Total
P[X = x ] 712
5
12 1
x 0 24
E(X ) =
∑
x
xP(X = x) = 0× 7
12
+ 24× 5
12
=
120
12
= 10
Desta forma o valor médio recebido é de R$10,00 e, assim
sendo, o jogador deve pagar R$10,00 para que o jogo seja
justo, sendo a resposta correta a letra ii).
233 / 338
Medidas de dispersãode uma variável aleatória
Variância
A variância de uma distribuição é uma medida que quantifica a
dispersão dos valores em torno da média.
Notação
V (X ) ou σ2x
234 / 338
A variância é dada por:
V (X ) = σ2x = E [(X − E (X ))2] = E [(X − µx)2].
Ou equivalentemente
V (X ) = σ2x = E
(
X 2
)
− (E (X ))2 = E
(
X 2
)
− (µ)2
235 / 338
Exemplo
Uma variável aleatória contínua X apresenta a seguinte função
densidade de probabilidade:
f (x) =

0, se x < 0;
x
2 , se 0 ≤ x ≤ 2;
0, se x > 2.
Calcular V (X ).
236 / 338
Propriedades da variância
V1)
A variância de uma constante é igual a zero.
V (k) = 0, k ∈ R.
237 / 338
V2)
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a uma variável
aleatória, sua variância não se altera.
V (X + k) = V (X ), k ∈ R.
238 / 338
V3)
Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua
variância é multiplicada pelo quadrado da constante.
V (kX ) = k2V (X ), k ∈ R.
239 / 338
V4)
A variância da soma de duas variáveis aleatórias independentes é
igual a soma das variâncias das duas variáveis.
A variância da subtração de duas variáveis aleatórias
independentes é igual a soma das variâncias das duas variáveis.
V (X + Y ) = V (X ) + V (Y );
V (X − Y ) = V (X ) + V (Y ).
240 / 338
Desvio padrão
É a raiz quadrada positiva da variância de X .
σx =
√
V (X )
241 / 338
Covariância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. A covariância denotada
por Cov(X ,Y ) é definida por:
Cov(X ,Y ) = E {[X − E(X )][Y − E(Y )]} ,
equivalentemente
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ].
242 / 338
E(XY ) =
∑
i
∑
j
xiyjP(xi , yj),
para (X ,Y ) variável aleatória discreta;
E(XY ) =
∞∫
−∞
∞∫
−∞
xyf (x , y)dxdy ,
para (X ,Y ) variável aleatória contínua.
243 / 338
A covariância nos dá uma ideia da relação de dependência
entre as variáveis.
A variância é um caso particular da covariância, pois
Cov(X ,X ) = V (X ).
244 / 338
Se X , Y , Z e W são variáveis aleatórias e a e b são
constantes, então:
C1) Cov(X ,Y ) = Cov(Y ,X ), a covariância é simétrica;
C2) Se V (X ) = 0 ou V (Y ) = 0, então Cov(X ,Y ) = 0;
C3) Cov(aX ,Y ) = aCov(X ,Y );
C4) Cov(aX ,bY ) = abCov(X ,Y );
C5) Cov(X + Z ,Y −W ) =
Cov(X ,Y )− Cov(X ,W ) + Cov(Z ,Y )− Cov(Z ,W );
C6) V (X ± Y ) = V (X ) + V (Y )± 2Cov(X ,Y ).
245 / 338
Se X e Y forem independentes então sabemos pela
propriedade E3) que
E(XY ) = E(X )E(Y )
e, como
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ],
temos que
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ] = E [X ]E [Y ]− E [X ]E [Y ] = 0.
Se X e Y forem independentes então Cov(X ,Y ) = 0.
246 / 338
Se X e Y forem independentes então Cov(X ,Y ) = 0.
Cov(X ,Y ) = 0 não implica em X e Y independentes.
247 / 338
Exercício 01 pg 123
1) Sabendo-se que Y = 3X − 5, E(X ) = 2 e V (X ) = 1, calcule:
a) E(Y );
b) V (Y );
c) E(X + 3Y );
d) E(X 2 + Y 2);
e) V (3X + 2Y ).
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Exercício 06 pg 124
2) (X ,Y ) é uma variável aleatória bidimensional discreta com a
seguinte distribuição conjunta:
x |y -3 2 4 P(xi)
1 0,1 0,2 0,2 0,5
3 0,3 0,1 0,1 0,5
P(yj) 0,4 0,3 0,3 1,0
Pede-se calcular:
a) E(X ), V (X ) e σx ;
b) E(Y ), V (Y ) e σy ;
c) E(X + Y ), Cov(X ,Y );
d) X e Y são independentes?
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Exercício 07 pg 124
3) Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função
densidade de probabilidade:
f (x) =

2
3
, se x ∈ [0,1) ,
2
3
(2− x) , se x ∈ [1,2] ,
0, para outros valores de x .
Calcule:
a) A esperança matemática de (X − 1)2;
b) O desvio-padrão de X .
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2013/II - Final
4) No UFV informa do dia 10/02/2014 foi publicada uma
reportagem intitulada: Estudantes de Cooperativismo
promovem Dia da Carona Consciente. Com os objetivos de
desenvolver a consciência no trânsito e diminuir a poluição e o
fluxo de automóveis no campus Viçosa da UFV, os estudantes
da disciplina Marketing para Organizações Sociais do curso de
Cooperativismo promoveram, no dia 12 de fevereiro, o Dia da
Carona Consciente. A ideia é fazer com que as pessoas que
se deslocam de carro para a Universidade combinem caronas
e contribuam para a melhoria do ambiente e para a diminuição,
em pelo menos 10%, do trânsito no campus. Em janeiro, os
estudantes da disciplina realizaram uma pesquisa para
comprovar que a maioria dos carros que entram no campus
Viçosa contêm apenas o motorista.
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2013/II - Final - continuação
No dia 29, eles se posicionaram nas três entradas principais da
Universidade, Quatro Pilastras, à direita da lagoa e via
alternativa, entre 7h30 e 8h15. Dos 680 veículos que
passaram por esses locais, 400 tinham uma pessoa; 226 duas;
41 três; 11 quatro, e dois cinco pessoas. Considere que a
variável aleatória discreta X seja o número de “caroneiros”
em cada carro, com a seguinte distribuição de probabilidade.
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2013/II - Final - continuação
x 0 1 2 3 4 total
P(x) 0,588 0,333 0,060 0,016 0,003 1,00
Pede-se: (Utilize três casas decimais)
a) O número médio de caroneiros por carro.
b) A variância do número de caroneiros por carro.
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Solução 4a)
Seja X :“Número de “caroneiros” por carro;”
E [X ] = 0× 0,588 + 1× 0,333 + 2× 0,060 + 3× 0,016
+ 4× 0,003
= 0,513
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Solução 4b)
A variância do número de caroneiros por carro.
Temos que V [X ] = E
[
X 2
]− (E [X ])2 e
E
[
X 2
]
= 02 × 0,588 + 12 × 0,333 + 22 × 0,060
+ 32 × 0,016 + 42 × 0,003
= 0,765.
Assim
V [X ] = 0,765− (0,513)2 = 0,5018.
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Prova 2014/I
5) Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que:
E(X ) = 1,8, V (X ) = 0,36, E(Y ) = 1,9, V (Y ) = 0,49,
E(XY ) = 3,42.
Pede-se: utilize as propriedades de esperança, variância e
covariância para calcular:
a) E
(
X 2 − 2Y 2 + 15);
b) V (2X − 3Y + 5);
c) COV (5X − 1,3Y + 2).
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Solução 5a)
E
(
X 2
)
= V (X ) + [E (X )]2 = 0,36 + (1,8)2 = 3,6
e
E
(
Y 2
)
= V (Y ) + [E (Y )]2 = 0,49 + (1,9)2 = 4,1.
Então
E
(
X 2 − 2Y 2 + 15
)
= E
(
X 2
)
− 2E
(
Y 2
)
+ 15
= 3,6− 2× 4,1 + 15
= 10,4
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Solução 5b)
Cov (X ,Y ) = E (XY )− E (X )E (Y )
= 3,42− 1,8× 1,9
= 0
Então
V (2X − 3Y + 5) = 4V (X ) + 9V (Y )− 12Cov (X ,Y )
= 4× 0,36 + 9× 0,49− 12× 0
= 5,85
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Solução 5c)
Cov (5X − 1,3Y + 2) = Cov (5X ,3Y ) = 15Cov (X ,Y ) = 0
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Distribuições de variáveis aleatórias - pág. 143
Algumas variáveis aleatórias adaptam-se muito bem a uma
série de problemas práticos e aparecem com bastante
frequência.
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Variável aleatória discreta
a) E1 : n lançamentos de uma moeda; X = número de caras;
b) E2 : n lançamentos de um dado; X = número de vezes que
ocorre a face 5;
c) E3 : n parafusos produzidos por uma fábrica; X = número de
parafusos defeituosos;
d) E4 : n doentes são vacinados; X = número de doentes que se
curam.
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Distribuições de variáveis aleatórias - pág. 143
xi x1 x2 · · · xn Total
P(X = xi) P(X = x1) P(X = x2) · · · P(X = xn) 1
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Variável aleatória discreta
Binomial
Uma função de probabilidade é binomialmente distribuída se
P (X = x) = Cxnp
x(1− p)n−x ;
Cxn =
(
n
x
)
=
n!
(n − x)!x! ;
q = 1− p
Notação: X ∼ Binomial(n,p)
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Variável aleatória discreta
Binomial
Se X ∼ Binomial(n,p), então
I Pode-se mensurar o sucesso e o fracasso;
I As n tentativas são independentes e p é constante;
I E (X ) = np;
I V (X ) = npq;
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Variável aleatória discreta
Binomial
1) Considere a amostragem de 6 peças que saem de uma linha
de produção. Sabe-se que são produzidas 20% de peças
defeituosas. Calcule as seguintes probabilidades:
a) 2 peças defeituosas;
b) 2 peças não defeituosas;
c) Pelo