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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 5 1o Semestre de 2017 Prof. Moise´s Lima de Menezes Versa˜o Tutor 1. Um agricultor seleciona aleatoriamente 60 plantas de milho e anota o nu´mero de espigas de milho em cada planta. 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 a) Determine o nu´mero me´dio de espigas de milho desta amostra; b) Determine o desvio padra˜o e o coeficiente de variac¸a˜o; c) Refac¸a esta tabela com os escores padronizados; d) Calcule a moda, determine o coeficiente de assimetria e decida o tipo de assimetria desta amostra; e) Calcule os quartis e determine o intervlo interquartil; f) Fac¸a o Boxplot e decida se ha´ dados discrepantes. 2. Em uma pesquisa sobre atividades de lazer realizada com uma amostra de 20 alunos de um campus universita´rio, perguntou-se o nu´mero de horas que os alunos gastaram “navegando” na Internet na semana anterior. Os resultados obtidos foram os seguintes: 15 24 18 8 10 12 15 14 12 10 18 12 6 20 18 16 10 12 15 9 Com estas informac¸o˜es, construa um diagrama de ramo-e-folhas e um boxplot. 3. (AD1 - Questa˜o 4)- (2,5 pontos)* Dado o conjuno de dados abaixo, determine: 10 10 23 23 23 25 31 31 31 32 32 32 38 38 38 39 42 42 42 42 43 43 43 46 46 46 47 47 47 48 a) A mediana; b) Os quartis Q1 e Q3 ; c) O intervalo Interquartil; d) O Boxplot. 1 Soluc¸a˜o: 1. a) O nu´mero me´dio de espigas sera´ dado por: x = ∑ Xi n = 225 60 = 3, 75. b) O desvio padra˜o sera´ dado por: σ = √ 1 n ∑ x2 − x2 = √ 1 60 × 929 − 14, 06 = √ 15, 48 − 14, 06 = √ 1, 42 = 1, 19. e o coeficiente de variac¸a˜o: CV = σ x = 1, 19 3, 75 = 0, 32. c) Para refazer a tabela com os escores padronizados, usaremos a seguinte fo´rmula para a trans- formac¸a˜o: zi = xi − x σx , onde: x = 3, 75 , σx = 1, 19 e cada xi representa cada um dos dados iniciais. Desta forma, obtemos abaixo os escores padronizados. -2,31 -2,31 -1,47 -1,47 -1,47 -1,47 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 d) i) Moda: x∗ = 3 Pois e´ o valor de maior frequeˆncia. ii) Coeficiente e assimetria: e = x− x∗ σ = 3, 75 − 3 1, 19 = 0, 63. Como e > 0 , enta˜o temos ASSIMETRIA A` DIREITA. e) Os quartis: Q2 e´ a mediana. Como temos 60 espigas, enta˜o: Q2 = xn/2 + x(n/2)+1 2 = 4 + 4 2 = 4. Para os ca´lculos de Q1 e Q3 , consideramos a mediana e, no primeiro caso, calculamos a mediana dos dados do mı´nimo valor ate´ a mediana exclusive (Ou seja, de x1 a x30 )e no segundo caso, usma os dados da mediana exclusive ate´ o mx´imo valor (Ou seja, de x31 a x60 ). Assim, obtemos: Q1 = 3 e Q3 = 4, 5 . 2 O interalo interquartil dado por: I = Q3 −Q1 = 4, 5 − 3 = 1, 5. f) Para o desenho do Boxplot, temos: Q1 = 3 , Q2 = 4 , Q3 = 4, 5 e I = 1, 5. Para sabermos se existem dados discrepantes, verificcamos se existem dados abaixo de Q1 − 1, 5 × I ou acima de Q3 + 1, 5 × I . Como I = 1, 5 , enta˜o 1, 5 × I = 2, 25 . Assim, ha´ dados discrepantes se existe xi < 3 − 2, 25 = 0, 75 ou xi > 4, 5 + 2, 25 = 6, 75. Como os dados varima de 1 a 6, enta˜o na˜o existem dados discrepantes. 2. O diagrama de Ramo-e-folhas 0 6 8 9 1 0 0 0 2 2 2 2 4 5 5 5 6 8 8 8 2 0 4 Os quartis: Veja os dados em ordem crescente: 6 8 9 10 10 10 12 12 12 12 14 15 15 15 16 18 18 18 20 24 Como sa˜o 20 elementos amostrais, enta˜o Q2 sera´: Q2 = x10 + x11 2 = 12 + 14 2 = 26 2 = 13. Para determinarmos Q1 , usemos metade dos dados, ou seja: 3 6 8 9 10 10 10 12 12 12 12 Como temos 10 elementos, enta˜o Q1 sera´: Q1 = x5 + x6 2 = 10 + 10 2 = 20 2 = 10. Para determinarmos Q3 , usemos a outra metade dos dados, ou seja: 14 15 15 15 16 18 18 18 20 24 Como temos 10 elementos, enta˜o Q3 sera´: Q3 = x15 + x16 2 = 16 + 18 2 = 34 2 = 17. Logo: Q1 = 10, Q2 = 13 e Q3 = 17. O intervalo interquartil e´ dado por: I = Q3 −Q1 = 17 − 10 = 7. Para sabermos se existem dados discrepantes, verificcamos se existem dados abaixo de Q1 − 1, 5 × I ou acima de Q3 + 1, 5 × I . Como I = 7 , enta˜o 1, 5 × I = 10, 5 . Assim, ha´ dados discrepantes se existe xi < 10 − 10, 5 = −0, 5 ou xi > 17 + 10, 5 = 27, 5. Como os dados variam de 6 a 24, enta˜o na˜o ha´ dados discrepantes e o Boxplot e´ dado como a seguir. 4
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