Energia e Trabalho (1)

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍ
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE GRADUAÇÃO 
LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA, MODALIDADE A DISTÂNCIA.
FÍSICA 1 RECUPERAÇÃOFÍSICA 1 RECUPERAÇÃO
COORDENADOR
PROF. ILDEMIR FERREIRA DOS SANTOS
 
OBJETIVOSOBJETIVOS
Esta disciplina tem como objetivos:
● Abordar temas relacionados a Energia Cinética, 
Trabalho, Energia Potencial e Conservação da Energia, 
Energia Mecânica e Aplicação, conceitos necessários 
para a solução de problemas de Física.
 
UNIDADE 1 
 Será discutido: Energia Cinética, Trabalho e 
o Teorema Trabalho-Energia
Tipos de energia
Energia cinética – está relacionada ao movimento.
Energia potencial – está relacionada à configuração de um sistema.
 Exemplo: sistema Terra-Lua que possui energia potencial gravitacional.
Energia térmica – está relacionada com o movimento aleatório dos átomos, 
moléculas, ou íons dentro de um sistema e está diretamente ligada à temperatura. 
Energia elétrica – está relacionada ao movimento dos portadores de carga elétrica.
Energia nuclear – está relacionada à configuração do núcleo dos átomos.
 
Energia cinética (EEnergia cinética (Ecc))
A energia associada ao estado de movimento de um objeto.
Temos: Objetos em movimento
devido a aplicação
 de uma forma F
De que a Ec depende?
Definição:
Maior velocidade v -> maior energia cinética
Maior massa m -> maior energia cinética
Unidade de medida (SI) : Kg m2/s2= Joule (J)
 
Energia cinética (EEnergia cinética (Ecc))
A energia associada ao estado de movimento de um 
objeto.
Definição:
Unidade de medida (SI) : Kg m2/s2= Joule (J)
 
Energia cinética (EEnergia cinética (Ecc))
Está associada ao estado de movimento de um objeto.
Aplicação
Objeto 1
Objeto 2
Dados:
m1=m; F1=F
m2=2m; F2=F
Sabemos que: vf2=vi2+2ad e que Ec = (1/2)mvf2
Para m1=m:
vf12 = vi12+2a1d=2(F1/m1)d  vf12 = 2(F/m)d  
Objeto 1
Objeto 2
Objeto 1
Objeto 2
Ec = (1/2)m[2(F/m)d] = Fd
Para m2=2m
vf22 = vi22+2ª2d=2(F2/m2)d vf22 = 2(F/2m)dvf22 = vi22+2ª2d=2(F2/m2)d vf22 = 2(F/2m)dvf22 = vi22+2ª2d=2(F2/m2)d vf22 = (F/m)d Ec = (1/2)2m[(F/m)d] = Fd 
Conclui-se que: mesmo sendo no final vf1>vf2, a massa m2>m1. Isto termina por 
compensar resultando que as energias no final do percurso neste caso são iguais 
 
TRABALHO: força constanteTRABALHO: força constante
W = Fd 
(obs.: para uma força constante atuando na direção e no sentido do deslocamento)
Definição:
Gráfico de uma 
força constante
 
TRABALHO: força constanteTRABALHO: força constante
A generalização
Caso em que a força não está na direção do deslocamento do 
objeto. 
É imediato generalizar a definição anterior neste caso, para:
Usando a definição de produto escalar, 
re-escrevemos:
 
Produto escalar: revisãoProduto escalar: revisão
Por definição:

Sejam A e B dois vetores (ver figura)

Pela componente do vetor , , na direção do vetor :B cos( θ)B⃗ A⃗
A⃗⋅B⃗=AB cos (θ)
Produto do módulo do vetor A⃗
cos (θ )=
Bcomp
B
Bcomp=B cos( θ)
 
Produto escalar: revisãoProduto escalar: revisão
A⋅B⃗=(A x x^+A y y^ )⋅(Bx x^+By y^ )
A⋅B⃗=(A xBx+A yB y )
Outra definição:
A⋅A⃗=(A x A x+A y A y )
A⋅A⃗=(A x
2+A y
2 )
sendo : A⋅A⃗=AA cos (0 )=AA=A2 , então :
(A x
2+A y
2 )=A2 ou
A=√Ax2+A y2
O Módulo de um 
vetor
Caso especial: quando B = A
 
 
A⋅B⃗=B⃗⋅A⃗
A) O produto escalar é comutativo
B) O produto escalar é distributivo
A⋅( B⃗+C⃗ )=A⋅B⃗+ A⃗⋅C⃗
Algumas propriedadesProduto escalar:Produto escalar:
 
Produto escalar: Algumas propriedadesProduto escalar: Algumas propriedades
A⋅x^=(A x^+A y^ )⋅x^
x⋅x= y⋅y=z⋅z=1⋅1cos (0 )=1
x⋅y=x⋅z= y⋅z=1⋅1cos (90o )=0
Componente de um vetor em uma direção específica x, por exemplo:^
Note que:
 
Produto escalar: Algumas propriedadesProduto escalar: Algumas propriedades
d
dt
(A⋅B⃗ )=d A⃗
Dt
⋅B⃗+ A⃗⋅d B⃗
dt
Regra de diferenciação de produto interno
 
TRABALHO: forma TRABALHO: forma variávelvariável
Situações:
(1) Uma mola estirada exerce uma força proporcional à distância que ela foi esticada.
(2) A força gravitacional que a Terra exerce sobre uma nave espacial varia 
inversamente com o quadrado da distância entre os centros de massa dos dois 
corpos.
Como o trabalho é numericamente igual a área sob a curva F x X: 
“ O trabalho TOTAL realizado por uma força 
variável é igual à soma das áreas de um 
número crescentemente grande destes 
retângulos no limite em que a largura de cada 
retângulo individual aproxima-se de zero.
Um elemento de área
 
TRABALHO: forma variável
O limite é uma integral de Fxdx (no intervalo de x1 a x2)
 
TRABALHO
Exercício 1.3: Bloco deslizando em uma rampa inclinada
Dados:
F= 100N
d= 5,0m (deslocamento ao longo da rampa)
h= 3,0m (altura)
W= ? (após deslocar-se de 5,0 m)
W=F⃗⋅l
l Vetor deslocamento
 
continuação
Fazendo o produto escalar
De outro modo, teremos:
 
POTÊNCIA
● Por definição, potência média é:
Unidade de Pm:
J
s
=watt ou W
Potência instantânea P:
 
POTÊNCIA: em termos de f e v
com
ou ainda:
ou
Potência instantânea é o limite da potência média quando 
 
TEOREMA TRABALHO-ENERGIATRABALHO-ENERGIA
O trabalho mecânico, W, realizado sobre um corpo de massa, m, por uma força 
é igual a variação da energia cinética do corpovariação da energia cinética do corpo.
(É um teorema da mecânica clássica, segundo o qual:)
energia cinética do corpoenergia cinética do corpo
variação da energia cinética do corpovariação da energia cinética do corpo
Já sabemos que:
 
TEOREMA TRABALHO-ENERGIATRABALHO-ENERGIA
(É um teorema da mecânica clássica, segundo o qual:)
Integrando no tempo ambos os lados
da equação:
 
TEOREMA TRABALHO-ENERGIATRABALHO-ENERGIA
(É um teorema da mecânica clássica, segundo o qual:)
Por outro lado:
Assim, teremos que:
Expressão formal do Teorema Trabalho-energiaTeorema Trabalho-energia
W total=ΔEc
 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIACONSERVAÇÃO DA ENERGIA
 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
● a quantidade total de energia em um sistema isolado 
permanece constante .
ENERGIA POTENCIAL
 
Energia Potencial Elástica
A mola é comprimida pelas forças externas F1 e F2 . 
 
FORÇAS CONSERVATIVAS E NÃO 
CONSERVATIVAS
Uma força é dita 
conservativa quando o seu 
trabalho é independente da 
trajetória. 
forças não-conservativas, 
são aquelas em que o 
trabalho depende da 
trajetória percorrida. 
 
FORÇA E A FUNÇÃO ENERGIA 
POTENCIAL 
• Definição:
O trabalho realizado por uma força conservativa é igual 
ao decréscimo na função energia potencial:
deslocamento infinitesimal:
 
ENERGIA POTENCIAL 
GRAVITACIONAL
Considere o campo gravitacional , 
A força F que o campo gravitacional exerce sobre uma partícula de massa m:
Deslocamento infinitesimal: 
 A variação da função da energia potencial é dada por:
 
Obtemos: 
Energia potencial gravitacional próximo a superfície da Terra. 
Integrando 
Energia potencial gravitacional de um sistema de partículas
A soma é executada sobre todas as partículas do sistema.
 
A altura do centro de massa é dada por:
Substituindo essa equação na anterior, obtemos a expressão da energia potencial
Gravitacional para um sistema de partícula:
 
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
Dada a função energia potencial:
Temos,
U0 é a energia potencial quando x=0, isto é, quando a mola está relaxada.
 Escolhendo U0 teremos:
 
ENERGIA MECÂNICA E OS 
DIAGRAMAS DE ENERGIA
 Trabalho total feito sobre cada partícula em um sistema:
Os doisconjuntos de forças realizam trabalho sobre a partícula no sistema: 
as forças externas e as forças internas. 
(1)
O trabalho total feito por todas as forças é igual ao trabalho feito por todas 
as forças externas mais o trabalho feito por todas as forças internas 
conservativas 
(2)
 
Que arranjando resulta em:
(3)
O negativo do trabalho total feito por todas as forças internas 
conservativas é igual a variação na energia potencial interna do sistema 
(4)
Substituindo as equações (1) e (4) na Equação (3), obtemos:
 (5)
 
O lado direito pode ser simplificado como:
ENERGIA MECÂNICA TOTAL
(6)
(7)
Combinando as equações (6) e (7) e substituindo na equação (5): 
(8)
 
(9)
Conservação da energia mecânica
 
ENERGIA POTENCIAL E CONDIÇÕES DE ENERGIA POTENCIAL E CONDIÇÕES DE 
EQUILÍBRIOEQUILÍBRIO
● Considere um sistema com movimento 
unidimensional, por exemplo, massa mola.
U=−1
2
kx2
dU
dx
=−kx=−F
Energia potencial
Taxa de variação da energia potencial
Gráfico da Energia potencial do 
sistema massa-mola
Análise: se x<0  
Em um ponto onde U(x) tem valor mínimo (x=0)Em um ponto onde U(x) tem valor mínimo (x=0)
a inclinação da curva é zero, e a força é nula, a inclinação da curva é zero, e a força é nula, 
isto é:isto é:
dU
dx
=0
Este é um ponto de Este é um ponto de EQUILÍBRIOEQUILÍBRIO
 
PONTO DE PONTO DE EQUILÍBRIO ESTÁVELEQUILÍBRIO ESTÁVEL..
Se deslocada da posição de equilíbrio, x=0:
F=−dU
dx
Tenderá a retorná-la para a 
posição de equilíbrio, e ela 
oscilará em torno deste ponto 
de equilíbrio que é chamado de
PONTO DE EQUILÍBRIO ESTÁVELPONTO DE EQUILÍBRIO ESTÁVEL
 
Análise de outra situaçãoAnálise de outra situação
Considere o gráfico de uma função potencial como mostra a figura abaixo.
F=−dU
dx
A partícula tenderá a se afastar, 
indefinidamente.
Chama-se este ponto de:Chama-se este ponto de:
PONTO DE EQUILÍBRIO INSTÁVELPONTO DE EQUILÍBRIO INSTÁVEL
Se deslocada da posição de equilíbrio, x=0:
 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIACONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Energia Potencial
Força Conservativa
Energia Mecânica
Lei de Conservação da energia (mecânica)
MATERIAL SUPLEMENTAR
 
Energia PotencialEnergia Potencial
W=∫
x i
x f
F ( x )dx=−∫
xi
x f
kxdx=−k∫
x i
x f
xdx
W=−1
2
kx 2
Já foi visto que:
Para um sistema massa-mola massa-mola (F=-kx):
Trabalho é numericamente igual a área sob a curva F x X: 
A força da mola sobre o bloco m realiza trabalho sobre este.
Este capacidade de realizar trabalho é chamada de Energia potencial U da 
mola, W=U.
U=−1
2
kx2
 
Energia PotencialEnergia Potencial
W=∫
x i
x f
F ( x )dx=−∫
xi
x f
kxdx=−k∫
x i
x f
xdx
W=−1
2
k ( x f
2−x i
2)
Já foi visto que:
Para um sistema massa-mola massa-mola (F=-kx):
Trabalho é numericamente igual a área sob a curva F x X: 
Este capacidade da força de realizar trabalho é chamada de Energia potencial 
U da mola, W=U.
U=−1
2
k ( x f
2−x i
2 )
Que pode ser positiva ou negativa dependendo da posiçõesposições inicial e final
 
Força ConservativaForça Conservativa
Vejamos o comportamento de três tipos de forças:
A) Força de uma mola, durante um ciclo completo: o bloco de massa m se
move sob a ação de uma força .
De x=+d
Até x=0
De x=0 
Até x=-d
A energia cinética>0 
Pois a veloc. do bloco aumenta
A energia cinética<0 
Pois a veloc. do bloco diminui
De x=-d
Até x=0
de x=0
Até x=d
A energia cinética>0 
Pois a veloc. do bloco aumenta
A energia cinética<0 
Pois a veloc. do bloco diminui
EEcc>0 e E>0 e Epp<0<0
EEcc<0 e E<0 e Epp>0>0
EEcc>0 e E>0 e Epp<0<0
EEcc<0 e E<0 e Epp>0>0
 
Força ConservativaForça Conservativa
ΔEc=−ΔE p
Ecf+E pf=Eci+E pi
Ecf−Eci=−(E pf−E pi )
Vejamos o comportamento de três tipos de forças:
A) Força de uma mola, durante um ciclo completo: o bloco de massa m se
move sob a ação de uma força .
Emf=Emi
Definindo Energia Mecânica Em=Ec+Ep
Esta é a sentença matemática da Lei de Conservação da Energia
 
Força ConservativaForça Conservativa
A) Força de uma mola, durante um ciclo completo: o bloco de massa m se 
move sob a ação de uma força variável.
Neste ciclo completo
O TRABALHO total é nulo
Neste caso, a forma é dita CONSERVATIVA
 
Força ConservativaForça Conservativa
A força é dita conservativa quando o o TRABALHO realizado em um ciclo 
fechado é nulo .
 
Força ConservativaForça Conservativa
De outro modo:
Quando o trabalho necessário para deslocar o objeto de um ponto a outro 
independe do caminho
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