null cantor meas

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Medida e Integrac¸a˜o.
Departamento de F´ısica e Matema´tica. USP-RP.
Prof. Rafael A. Rosales
22 de maio de 2007.
1 Conjuntos enumera´veis
Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, 1] ∩ Q, sa˜o os nu´meros racionais em
[0, 1]. Se agrupamos estes nu´meros de acordo aos denominadores comuns, estes podem
ser ordenados da seguinte maneira
0, 1,
1
2
,
1
3
,
2
3
,
1
4
,
2
4
,
3
4
,
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
,
1
6
, . . .
O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8, . . . na˜o tem importaˆncia (podemos
omitir qualquer nu´mero que ja esteja na sequ¨eˆncia de tal forma que cada racional em
[0, 1] seja obtido de uma u´nica forma).
Definic¸a˜o 1. Um conjunto e´ enumera´vel se os seus elementos podem ser dispostos em
uma sequ¨eˆncia (permitindo repetic¸o˜es).
Teorema 1. Q e´ enumera´vel.
A demosntrac¸a˜o deste Teorema utilizara o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 1. A unia˜o de uma sequ¨eˆncia de conjuntos enumera´veis e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. 1 Se os conjuntos sa˜o denotados por Si = {sij}, i, j > 1, enta˜o os
te´rminos da sequ¨eˆncia
s11, s12, s21, s31, s22, s13, s14, . . .
formada ao seguir as frechas no desenho
S1 s11,
""
s12, s13,@@
¢
¢
¢
¢
¢
""
s14,
¡¡¢¢
¢
¢
¢
. . .
S2 s21,
¡¡
¢
¢
¢
¢
¢
ÃÃ
s22,@@
¢
¢
¢
¢
¢
s23,
¡¡¢¢
¢
¢
¢
s24, . . .
S3 s31, s32,
¡¡¢¢
¢
¢
¢
s33, s34, . . .
S4 s41, s42, s43, s44, . . .
contam (poss´ıvelmente com repetic¸o˜es) todos os elementos de todos os conjuntos Si.
Portanto a unia˜o ∪iSi e´ enumera´vel.
Para provar o Teorema 1, e´ suficiente tomar S1, S2, S3, S4, . . ., como os conjun-
tos formados pelos nu´meros racionais nos intervalos [0, 1], [−1, 0], [1, 2], [−2,−1], . . .
respectivamente.
1O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento ‘diagonal’, e´ devido a Georg Cantor.
1
Teorema 2. R na˜o e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. 2 Mostraremos apenas que os nu´meros reais em (0, 1) na˜o sa˜o enu-
mera´veis. Seja {sn} uma sequ¨eˆncia arbitraria dos nu´meros reais no intervalo aberto
(0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um nu´mero real que na˜o
corresponde a nenhum dos nu´meros sn. Observamos que os nu´meros sn podem ser ex-
pressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansa˜o decimal, por exemplo, o
nu´mero 4,291. . . pode ser escrito como 4+2/10+9/102 +1/103 + . . .. Em geral qualquer
nu´mero s ∈ R pode ser expressado pela se´rie
s = a +
∞∑
k=1
ak
10k
= a, a0a1a2
onde ak ∈ {0, 1, . . . , 9}, e a e´ a parte inteira de s. Esta representac¸a˜o e´ consistente se,
por exemplo, sempre e´ utilizado o nu´mero 0, 1999 . . . em lugar de 0, 2000 . . . para 1/5.
Seja
s1 = 0, a11a12a13 . . .
s2 = 0, a21a22a23 . . .
s3 = 0, a31a32a33 . . .
...
Se ann 6= 1 seja bn = 1 e se ann = 1 seja bn = 2. Isto define bn para qualquer n > 1.
Devido a construc¸a˜o realizada, a expansa˜o decimal sem fim
0, b1b2b3 . . .
converge a um nu´mero real b em (0, 1) o qual e´ diferente de qualquer sn, sendo que a
sua expansa˜o difere da expansa˜o de sn na n-e´sima posic¸a˜o. Suponhamos, por exemplo,
que a nossa listagem {sn} e´ dada pelos nu´meros
s1 = 0.23115 . . .
s2 = 0.13789 . . .
s3 = 0.83161 . . .
s4 = 0.91152 . . .
logo
a11 = 2 6= 1 ⇒ b1 = 1
a22 = 3 6= 1 ⇒ b2 = 1
a33 = 1 ⇒ b3 = 2
a44 = 5 6= 1 ⇒ b4 = 1
Assim b = 0, 1121 . . . ∈ (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = sN , para algun
N ∈ N, mas a expansa˜o decimal de b difere da expansa˜o de sN no N -e´simo decimal.
Conclu´ımos que na˜o e´ poss´ıvel dispor numa sequ¨eˆncia todos os nu´meros em (0,1), isto
e´, R na˜o e´ enumera´vel.
2 Conjuntos nulos
A noc¸a˜o de integral esta intimamente ligada ao conceito de a´rea. Alguns dos problemas
da integral de Riemann dependem deste fato. Por exemplo, seja
f = 1Q (1)
2Esta prova tambe´m e´ devida a G. Cantor.
2
definida para x ∈ [0, 1]. Esta func¸a˜o e´ igual a 1 nos nu´meros Q ∩ [0, 1], e zero em
[0, 1] \ Q. Logo a integral de f em [0, 1] devera ser igual ao cumprimento do conjunto
Q∩ [0, 1]. Mas como podera´ ser definido o cumprimento de Q∩ [0, 1], ou [0, 1] \Q, sendo
estes conjuntos bem diferentes dos intervalos ussuais em R? Resulta portanto necessa´rio
extender a noc¸a˜o de cumprimento para conjuntos mais gerais.
A func¸a˜o em (1) motivo em parte o desenvolvimento da teoria da integral de Lebes-
gue.
Suponhamos que I e´ um intervalo limitado em R, por exemplo I = [a, b], I = (a, b],
I = [a, b) ou I = (a, b). O cumprimento de qualquer um destes intervalos e´ definido
como l(I) = b − a. Em particular, l({a}) = l([a, a]) = 0, isto e´, o conjunto com um
elemento e´ ‘nulo’. Seja N um conjunto finito. Mesmo que N na˜o seja um intervalo,
temos que l(N) = 0, pois o cumprimento de qualquer ponto i ∈ N e´ 0, logo l(N) =
l(∪i) =
∑
l(i) = 0. Analogamente, se um conjunto pode ser particionado em intervalos
disjuntos, enta˜o o seu cumprimento e´ igual a soma dos cumprimentos de cada elemento
da partic¸a˜o.
Mais geralmente (para qualquer conjunto arbitra´rio) na˜o sempre e´ poss´ıvel decom-
por um conjunto em intervalos. Em lugar disto sera´ considerado um recobrimento enu-
mera´vel de conjuntos, o qual permite a seguinte generalizac¸a˜o da noc¸a˜o de conjunto
nulo.
Definic¸a˜o 2. Um conjunto nulo N ⊆ R e´ um conjunto que pode ser coberto por uma
sequ¨eˆncia de intervalos de cumprimento arbitrariamente pequeno, isto e´, para qualquer
ε > 0 e´ poss´ıvel encontrar uma sequ¨eˆncia {In : n > 1} de intervalos tais que
N ⊆
∞⋃
k=1
In, e
∞∑
n=1
l(In) < ε.
Note-se que o recobrimento na˜o precisa ser disjunto. Segue-se da definic¸a˜o que o
conjunto {∅} e´ nulo. Agora, qualquer conjunto unita´rio {x} tambe´m e´ nulo. Para
verificarmos isto, sejam ε > 0, I1 = (x − ε/4, x + ε/4), e In = [0, 0] para n > 2.
(Poderiamos ter escolhido In = (0, 0) = ∅.) Logo
∞∑
n=1
l(In) = l(I1) =
ε
2
< ε.
Em geral, qualquer conjunto enumera´vel A = {x1, x2, . . .} e´ nulo. A maneira mais
simples de mostrar isto consiste em tomar In = [xn, xn] para todo n. Pore´m, uma breve
introduc¸a˜o ao Teorema 3, veja embaixo, fornece um recobrimento de A por conjuntos
abertos. Seja ε > 0 e o seguinte recobrimento de A,
I1 =
(
x1 −
ε
4
, x1 +
ε
4
)
l(I1) =
1
2
ε
1
21
I2 =
(
x2 −
ε
8
, x2 +
ε
8
)
l(I2) =
1
2
ε
1
22
I3 =
(
x3 −
ε
16
, x3 +
ε
16
)
l(I2) =
1
2
ε
1
23
...
...
In =
(
xn −
ε
2 · 2n
, xn +
ε
2 · 2n
)
l(I2) =
1
2
ε
1
2n
3
Dado que
∞∑
n1
1
2n
= 1, enta˜o
∞∑
n=1
l(In) =
ε
2
< ε.
Neste caso temos a seguinte situac¸a˜o: A e´ a unia˜o enumera´vel de conjuntos com um
elemento. Cada um destes conjuntos e´ nulo, portanto A tambe´m e´ nulo. Em geral e´
poss´ıvel enunciar o seguinte Teorema.
Teorema 3. Se (Nk), k > 1 e´ uma sequ¨eˆncia de conjuntos nulos, enta˜o
N =
∞⋃
k=1
Nk
tambe´m e´ nulo.
Demonstrac¸a˜o. (Esta prova pode ser estudada numa segunda leitura.) A prova consiste
em mostrar que N pode ser coberto por um nu´mero enumera´vel de intervalos, cada um
de cumprimento menor que ε.
Num primeiro passo fornecemos um recobrimento de cada um dos conjuntos Nn
utilizando intervalos de cumprimento ‘pequeno’. Dado que N1 e´ nulo, enta˜o existem
intervalos I1k , k > 1, tais que
∞∑
k=1
l(I1k) <
ε
2
, N1 ⊆
⋃
k=1∞
I1k .
Para N2 encontramos o sistema de intervalos I
2
k , k > 1, tais que
∞∑
k=1
l(I2k) <
ε
4
, N2 ⊆
⋃
k=1∞
I2k ,
e em geral para Nn consideramos o sistema I
n
k , k > 1, de cumprimento total ε/2
n,
∞∑
k=1
l(Ink ) <
ε
2n
, Nn ⊆
⋃
k=1∞
Ink .
A familia enumera´vel de intervalos {Ink }k>1,n>1 pode ser disposta numa sequ¨eˆncia Jj ,
j > 1. Por exemplo J1 = I
1
1
, J2 = I
12
, J3 = I
1
3
, . . ., de forma que todos os intervalos Ink
sejam incluidos. A unia˜o destes u`ltimos intervalos deve ser igual a unia˜o dos Ikn, logo
N =
∞⋃
n=1
Nn ⊆
∞⋃
j=1
Jj .
Finalmente calculamos o cumprimento total de todos os conjuntos Jj ,
∞∑
j=1
l(Jj) =
∞∑
n=1,k=1
l(Ink )
=
∞∑
n=1
∞∑
k=1
l(Ink ) <
∞∑
n=1
ε
2n
= ε.
4
Qualquer conjunto enumera´vel e´ portanto nulo. Os conjuntos numera´veis carecem
portanto de cumprimento a diferencia dos intervalos comuns de R. Enunciamos agora o
seguinte resultado, consequencia dos Teoremas 1 e 3.
Teorema 4. Q e´ nulo.
Os conjuntos na˜o enumera´veis tambe´m podem ser nulos. Um exemplo deste fato
surpreendente e´ apresentado a continuac¸a˜o.
3 O conjunto (terna´rio) de Cantor
Considere o intervalo fechado [0, 1] e divida este em treˆs partes iguais. Retire o subinter-
valo aberto do meio, isto e´, retire o intervalo G1 = (1/3, 2/3). O resultado e´ o intervalo
Cn = [0, 1] \G1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. Divida agora cada um destes intervalos e retire de
cada um deles o subintervalo aberto do centro, (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) respectivamente.
Seja G2 = (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9). Neste caso o resultado e´ o intervalo
C2 = [0, 1] \ (G1 ∪G2) = [0, 1/3
2] ∪ [2/32, 3/32] ∪ [6/32, 7/32] ∪ [8/32, 1].
Se continuarmos este processo indefinidamente obtemos o conjunto
C = [0, 1] \
(
∪n>1 Gn
)
o qual e´ conhecido como o conjunto de Cantor. A figura 1 embaixo apresenta este
conjunto.
0 1
1
3
2
3
[0, 1] \G1
[0, 1] \ (G1 ∪G2)
[0, 1] \
“ S
n>1
Gn
”
7
9
2
9
1
9
8
9
Figura 1: construc¸a˜o do conjunto de Cantor.
Observamos que na no n-e`simo passo desta construc¸a˜o Cn consiste de 2
n conjuntos
fechados disjuntos cada um de cumprimento 3−n. O cumprimento total de Cn e´ portanto
(2/3)n. Para verificarmos que C e´ nulo, dado ε > 0, escolhemos n o suficentemente
grande de tal forma que (2/3)n < ε. Sendo que Cn esta constituido por uma sequ¨eˆncia
finita de intervalos cada um de cumprimento menor a ε, da definic¸a˜o de conjunto nulo
temos que Cn e´ nulo. Portanto C ⊆ Cn e´ nulo.
Ainda fica por ser demonstrado que C e´ um conjunto na˜o enumera´vel.
Proposic¸a˜o 2. C e´ na˜o enumera´vel.
5
Demonstrac¸a˜o. A prova disto segue de perto a demonstrac¸a˜o do Teorema 2, mas agora
e´ considerada a expansa˜o terna´ria do nu´mero x ∈ C, isto e´,
x = 0 +
∞∑
k=1
ak
3k
= 0, a1a2 . . . ,
onde ak = 0, 1 ou 2. Analogamente a demostracao do Teorema 2, por racoes de consisten-
cia escolhemos 0, 2000 . . . como a representacao de 2/3, descartando a outra alternativa
0, 1222 . . .. Observamos que os nu´meros com expansa˜o terna´ria com a1 = 1 formam o
intervalo aberto (1/3, 2/3), dado que 1/3 = 0.0222 . . . e 2/3 = 0.2000 . . .. Isto e´, o con-
junto C1 esta formado pelos pontos em [0, 1] que apresentam expansa˜o terna´ria a1 = 0
ou a1 = 2. O mesmo racioc´ınio pode ser utlizado sobre os intervalos [0, 1/3], [2/3, 1]
mostrando que C2 esta formado pelos pontos de [0, 1] que apresentam expansa˜o terna´ria
com a1 e a2 iguais a 0 ou 2. Conclu´ımos por induc¸a˜o que o conjunto de Cantor, C, esta
formado pelos nu´meros de [0, 1] com expansa˜o terna´ria 0, a1a2a3 . . . sendo an = 0 ou 2
para todo n.
Suponha agora que s1, s2, s3, . . . e´ uma sequ¨eˆncia dos nu´meros em C. Enta˜o em
notacao terna´ria
s1 = 0, a11a12a13 . . .
s2 = 0, a21a22a23 . . .
s3 = 0, a31a32a33 . . .
onde cada aij e´ 0 ou 2. Se ann = 0 enta˜o bn = 2 e se ann = 2 enta˜o bn = 0. Desta forma
a expansa˜o terna´ria converge a um elemento b ∈ C
0, b1b2b3 . . . ,
mas b e´ diferente de qualquer sn dado que a sua expansa˜o difere da expansa˜o de sn na
n-e´sima posic¸a˜o.
4 A func¸a˜o de Cantor
O conjunto de Cantor pode ser utilizado para definir uma func¸a˜o com propriedades
interessantes. Esta func¸a˜o pode ser definida como
C(x) =


1/2 se x ∈ [1
3
, 2
3
]
1/4 se x ∈ [1
9
, 2
9
]
3/4 se x ∈ [7
9
, 8
9
]
...
...
Em cada intervalo descartado na construc¸a˜o do conjunto C, a func¸a˜o C(x) e´ constante.
Logo C(x) e´ diferencia´vel com derivada 0 nos pontos [0, 1] \ C, e dado que C e´ um
conjunto nulo, temos que C ′(x) = 0 em quase todas partes3
A func¸a˜o de Cantor e´ apresentada na figura 2 para n = 2, 3, 4, e 50.
3formalmente C ′(x) = 0, λ-q.t.p.
6
Figura 2: func¸o˜es de cantor para n = 2, 3, 4 e 50.
7