Fundamentos Analise Matematica_material

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Introdução
Olá, prezado(a) estudante!
Durante seu caminho acadêmico, você teve contato com algumas demonstrações matemáticas e
com os conjuntos numéricos . Nesta unidade, nós vamos reforçar esses conceitos.
Para isso, iniciaremos nossa unidade estudando alguns métodos de demonstração . Em seguida,
apresentaremos a construção dos números naturais por meio dos axiomas de Peano e veremos
que, como consequência de um destes axiomas, surge o princípio da indução .
FUNDAMENTOS DE ANÁLISEFUNDAMENTOS DE ANÁLISE
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
NÚMEROS REAISNÚMEROS REAIS
Au to r ( a ) : M a . E l a i n e C r i s t i n a S t u r i o n
R ev i s o r ( a ) : G i s l a i n e D o n i ze t i Fa g n a n i d a C o s t a
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Também estudaremos a representação decimal dos números racionais . Veremos que os números
racionais possuem representação decimal �nita ou periódica, e os números decimais que não
possuem esses tipos de representação são chamados de números irracionais . Finalizaremos esta
unidade apresentando alguns números irracionais mais conhecidos e de�nindo o conjunto dos
números reais .
Aproveite a leitura!
Caro(a) estudante, a disciplina de Fundamentos de Análise Matemática tem como objetivo
apresentar o Cálculo Diferencial com um maior rigor matemático. Para isso, precisamos estar
familiarizados com o tratamento de de�nições, teoremas e demonstrações. Sendo assim, iremos
nos dedicar neste primeiro momento à revisão destes conceitos. Mais detalhes sobre os temas
trabalhados podem ser obtidos na obra de Ávila (2006) e Panonceli (2017).
Conceitos Básicos
Para que possamos compreender melhor os assuntos a serem tratados neste material, vamos
de�nir conceitos que você, provavelmente, já está habituado a encontrar nos mais diversos livros de
matemática. 
 Proposição : é qualquer a�rmação que pode ser classi�cada como verdadeira ou falsa.
São exemplos de proposições:
Repare que a proposição é verdadeira, pois todo número par pode ser expresso na forma , em
que é um número natural qualquer. Já a proposição é falsa, basta considerar o número , este
número é ímpar, mas não é primo.
Uma proposição deve levar em consideração o princípio da não contradição e o princípio do terceiro
excluído . Conforme Gerônimo e Franco (2008, p. 16):
Proposições e Teoremas
A : Todo n mero par   m ltiplo de 2ú é ú
B : Todo n mero  mpar   primoú í é
A 2n
n B 9
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1. Princípio da não contradição
2. Princípio do terceiro excluído
As proposições verdadeiras podem ser nomeadas como teorema, o lema e o corolário. Elas são
nomeadas distintamente devido à hierarquia de importância que seus resultados apresentam.
1. Teorema
2. Lema
3. Corolário
Para mostrar que uma proposição é verdadeira, ou não, usamos uma série de argumentos para essa
�nalidade. No entanto, existem algumas formas de apresentar esses argumentos e con�rmar a
validade ou não da proposição. Vejamos como utilizar os diferentes métodos de demonstração para
provar uma proposição.
Métodos de Demonstração
Caro(a) estudante, no decorrer do seu caminho acadêmico, com certeza, você já teve que
demonstrar alguns resultados e, para isso, fez o uso de algum método de demonstração. Nesta
seção, nós vamos relembrar alguns dos métodos de demonstração que podemos utilizar para
provar uma proposição.
Método da prova direta : considere uma proposição do tipo (lê-se: “ implica ”).
Chamamos de hipótese e de tese. Para mostrar a validade de uma proposição desse tipo, nós
supomos que a hipótese é verdadeira e chegamos à conclusão de que a tese também é. Dessa
forma, a proposição é verdadeira.
Para saber quando uma proposição do tipo “ implica ” é verdadeira, você pode se recordar da
tabela-verdade da operação condicional . A tabela desta operação, e de outras mais, pode ser
encontrada na obra de Panonceli (2017, p.15).
Vamos usar o método da prova direta para demonstrar a seguinte proposição.
Exemplo 1 : se é ímpar, então, também será ímpar.
Solução: vamos demonstrar a validade da proposição , em que a hipótese é 
, e a tese é .
Sabemos que um número ímpar é todo número que pode ser escrito da forma , em que 
 é um número natural qualquer. Então, tomando o quadrado deste número, obtemos:
Fazendo (repare que , da forma como foi de�nido, é um número natural),
podemos escrever:
P ⇒ Q P Q
P Q
P Q
P Q
a a2
P ⇒ Q
P :  a    mparé í Q :       mpara2 é í
a = 2n + 1
n
a = 2n + 1    ⇒     =     ⇒     = 4 + 4n + 1    ⇒     = 2 (2 + 2n) + 1a2 (2n + 1)2 a2 n2 a2 n2
m = 2 + 2nn2 m
= 2 (2 + 2n) + 1    ⇒     = 2m + 1a2 n2 a2
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Observe que caracteriza um número ímpar. Assim o número é ímpar. Portanto, a
proposição é verdadeira.
Método da contraposição : neste método de demonstração, dada a proposição ,
mostramos sua validade por meio da proposição . Ou seja, quando negamos a tese 
 e obtemos a negação da hipótese , concluímos que a proposição é
verdadeira. Para veri�car a validade desse método, você pode construir a tabela-verdade para a
proposição . Você também pode consultar a obra de Panonceli (2017,
p. 17) para mais detalhes.
Vamos usar o método de contraposição para demonstrar a seguinte proposição.
Exemplo 2 : se é par, então, também será par.
Solução: queremos veri�car a validade da proposição , em que a hipótese é ,
e a tese é . Usando o método da contraposição, vamos mostrar a seguinte proposição 
, em que a hipótese é , e a tese é . Ou seja,
vamos demonstrar a proposição
No Exemplo 1, já demonstramos que a proposição é verdadeira. Logo a proposição 
 também é verdadeira.
Método da contradição ou absurdo : para usar o método de contradição ou do absurdo para provar
uma proposição , nós vamos supor que a hipótese é verdadeira, e a tese é falsa,
obtendo uma contradição ou um absurdo. Portanto, em vez de mostrar que , nós
mostramos que , em que indica a contradição ou o absurdo.
A validade desse método pode ser consultada via tabela-verdade em Panonceli (2017, p. 18).
Vamos usar o método de contradição para demonstrar a seguinte proposição.
Exemplo 3 : a equação não admite solução nos números racionais.
Solução: dada a proposição ,temos que a hipótese é ,e a tese é  
.Vamos usar a demonstração por absurdo para mostrar a
validade dessa proposição.
Por absurdo, vamos mostrar que ,ou seja, se e 
, então, temos uma contradição .
Supondo que é um número racional, podemos escrevê-lo como uma fração irredutível 
.Então,
Da última igualdade acima, temos que é par, então é par.
Se é par, podemos escrevê-lo como ,em que é um número natural. Assim temos que
 .
2m + 1 a2
P ⇒ Q
∼ Q ⇒   ∼ P
(∼ Q) (∼ P ) P ⇒ Q
∼ Q ⇒   ∼ P   ⇔  P ⇒ Q
a2 a
P ⇒ Q P :    para2  é
Q :  a   paré
∼ Q ⇒   ∼ P ∼ Q :  a    mparé í ∼ P :       mpara2 é í
∼ Q ⇒   ∼ P :  se a    mpar,  ent o      mparé í a~ a2 é í
∼ Q ⇒   ∼ P
P ⇒ Q
P ⇒ Q P Q
P ⇒ Q
P ∧   ∼ Q ⇒ C C
= 2x2
P ⇒ Q P :   = 2x2
Q :  x n o   um n mero racionala~ é ú
P ∧   ∼ Q ⇒ C P :   = 2x2
∼ Q :  x   um n mero racionalé ú C
x
x = a
b
= 2    ⇒     = 2    ⇒     = 2    ⇒     = 2x2 ( )a
b
2 a2
b2
a2 b2
a2 a
a a = 2n n
= 2a2 b2 a = 2n ⇒ = 2     ⇒    4 = 2     ⇒    2 =(2n)2 b2 n2 b2 n2 b2
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A última igualdade acima nos leva a concluir que é par e, portanto, é par.
Sendoe pares, a fração é redutível, o que nos leva a uma contradição. A contradição é
proveniente do fato de negarmos a tese. Portanto a proposição é verdadeira.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
No �nal do século e início do século , surgiram três correntes �losó�cas com a
�nalidade de estudar e estruturar os fundamentos da matemática: o logicismo, o intuicionismo e o
formalismo. Para o logicismo, os conceitos matemáticos podiam ser reduzidos a conceitos lógicos.
Os métodos de demonstração estudados nesta unidade fazem parte desta escola �losó�ca.
Considere uma proposição da forma , em que é a hipótese, e é a tese. Com relação
aos métodos de demonstração estudados, assinale a alternativa correta.
a) Na demonstração por prova direta, buscamos provar proposições do tipo .
b) No método da contradição, buscamos provar proposições da forma .
c) No método da contraposição, buscamos provar proposições da forma 
.
d) Na demonstração por contradição, provamos proposições da forma .
e) Na demonstração por absurdo, provamos proposições da forma .
Dando sequência ao nosso estudo, nesta seção, vamos dedicar nossa atenção ao método de
demonstração por indução. Mas antes de enunciar esse método, quero fazer uma pergunta, caro(a)
b2 b
a b a
b
P ⇒ Q
XIX XX
P ⇒ Q P Q
P ⇒   ∼ Q
∼ Q ⇒   ∼ P
P ∧   ∼ Q ⇒  C
P ∧   ∼ Q ⇒ C
P ⇒   ∼ Q
Indução Matemática
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estudante: você sabe como caracterizar o conjunto dos números naturais?
Trabalhar com os números é algo natural para qualquer ser humano, pois nós
utilizamos esses números para efetuar contagens. De tão natural, este conjunto numérico é
denominado conjunto dos números naturais .
Atualmente, o conjunto dos números naturais é caracterizado pelos axiomas de Peano .
Uma consequência do quinto axioma de Peano é o princípio da indução matemática . Esse princípio
é uma propriedade fundamental dos números naturais e iremos enunciá-lo mais adiante.
Podemos de�nir, no conjunto dos números naturais, duas operações: a adição e a multiplicação .
1,  2,  3,  . . .
N = {1, 2, 3, . . . }
S A I B A M A I S
Caro(a) estudante, a construção dos números naturais é toda fundamentada nos axiomas de Peano. Em
seu trabalho “Arithmetices principia nova methodo exposita”, Peano (1889) inicia a construção dos
números naturais pelo número . No entanto, no livro “História da Matemática”, de Boyer e Merzbach
(2012), é possível encontrar os axiomas de Peano considerando o número zero como um número natural e
de�nindo este como o primeiro número natural.
A questão sobre o número zero ser, ou não, um número natural é algo que causa muitas dúvidas. Sendo
assim, para esclarecer esta questão, irei deixar como recomendação de leitura um artigo publicado na
Revista do Professor de Matemática, escrito pelo professor Elon Lages Lima (1982), uma das grandes
referências no ensino de Matemática no Brasil. Em seu artigo, o professor Elon esclarece essa e outras
questões. Boa leitura!
Link: < https://rpm.org.br/cdrpm/1/2.htm >
Fonte: Lima (1982).
1
Primeiro axioma : o número é um número natural.1
Segundo axioma : todo número natural possui um sucessor natural.
Terceiro axioma : se dois números naturais são iguais, então, seus sucessores são
números naturais iguais.
Quarto axioma : o número não é sucessor de nenhum número natural.1
Quinto axioma : se um subconjunto de números naturais contém o número e
também o sucessor de todo número de , então é o conjunto dos números naturais,
isto é, .
A 1
A A
A = N
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Considere e números naturais e o sucessor do número , as operações com números
naturais são caracterizadas por:
I. Adição :
A. , isto é, 
II. Multiplicação :
A. 
Para as operações de adição e multiplicação, são válidas as seguintes propriedades, considere os
números naturais e .
● Associativa
Adição: 
Multiplicação: 
● Comutativa
Adição: 
Multiplicação: 
● Distributiva : 
● Lei do corte
Adição: 
Multiplicação: 
Temos, ainda, que o conjunto dos números naturais é um conjunto que possui uma relação de
ordem: dados e naturais, dizemos que é menor do que e escrevemos quando
existe , tal que .
São válidas as seguintes propriedades para a relação de ordem:
I. Transitividade : se e , então, .
II. Tricotomia : dados é válida uma e somente uma das três alternativas: ou 
 ou .
III. Monotonicidade da adição : se , então para todo , tem-se .
Conhecidas as operações e as propriedades que podem ser aplicadas aos números naturais,
podemos mostrar que não existe nenhum número natural entre dois números naturais
consecutivos.
Exemplo 4 : mostre que, para qualquer , não existe , tal que .
n m s (n) n
n + 1 = s (n)
n + s (m) = s (n + m) n + (m + 1) = (n + m) + 1
n ⋅ 1 = n
n ⋅ (m + 1) = n ⋅ m + n
n,  m p
(n + m) + p = n + (m + p)
(n ⋅ m) ⋅ p = n ⋅ (m ⋅ p)
n + m = m + n
n ⋅ m = m ⋅ n
n ⋅ (m + p) = n ⋅ m + n ⋅ p
n + p = m + p    ⇒    n = m
n ⋅ p = m ⋅ p    ⇒    n = m
n m n m n < m
p ∈ N m = n + p
n < m m < p n < p
n,m ∈ N n = m
n < m m < n
n < m p ∈ N n + p < m + p
n ∈ N p ∈ N n < p < n + 1
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Solução: vamos demonstrar por absurdo.
Suponha que exista , tal que . Pela relação de ordem, temos que
 implica em , em que , e
 implica em , em que .
Podemos escrever, então,
Aplicando a lei do corte para a adição, na última igualdade, obtemos . Esse resultado
implica que o número é sucessor de algum número natural, o que é um absurdo. Logo, não existe 
 tal que .
Vamos enunciar o princípio da indução matemática, conforme Ávila (2006).
Princípio da indução matemática : seja um número natural e uma propriedade referente ao
número natural . Suponhamos que:
I. é verdadeira;
II. para todo número natural .
 é, então, verdadeira, qualquer que seja .
Vamos usar o princípio da indução matemática para demonstrar proposições que envolvam
igualdades e desigualdades.
De um modo simples, para usar o princípio de indução em proposições que relacionam igualdades,
“basta acrescentar o novo termo do somatório a cada membro da igualdade e manipular o lado
direito de modo que ele adquira a forma necessária para veri�car a veracidade de ”
(MORGADO; CARVALHO, 2015, p. 15).
Exemplo 5 : para todo número natural , temos que .
Solução: para usar o princípio da indução matemática, devemos provar separadamente duas
proposições: e , qualquer que seja .
Nossa proposição pode ser escrita como   , em que .
(i) Para , temos:
Logo, é verdadeira.
(ii) Para , vamos supor que é verdadeira, ou seja,
p ∈ N n < p < n + 1
n < p p = n + m m ∈ N
p < n + 1 n + 1 = p + q q ∈ N
n + 1 = p + q     ⇒    n + 1 = (n + m) + q     ⇒    n + 1 = n + (m + q)
1 = m + q
1
p ∈ N, n < p < n + 1
a P (n)
n ≥ a
P (a)
P (k) ⇒ P (k + 1) k ≥ a
P (n) n ≥ a
P (n + 1)
n 1 + 2 + ⋯ + n =
n(n+1)
2
P (a) P (k) ⇒ P (k + 1) k ≥ a
P (n) :  1 + 2 + ⋯ + n =
n(n+1)
2 n ≥ 1
n = 1
P (1) :  1 =
1 (1 + 1)
2
P (1) :  1 = 1
P (1)
n = k P (k)
P (k) :  1 + 2 + ⋯ + k =
k (k + 1)
2
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Utilizando esse fato, vamos mostrar que , em que
Para isso, vamos somar, em ambos os lados da igualdade da proposição , o próximo termo do
lado esquerdo, no caso, . Então,
Agora, vamos manipular o lado direito da última igualdade acima, de modo a torná-la igual a 
.
Realizando o trabalho algébrico, temos que
Portanto,
A igualdade acima corresponde a . Logo, é verdadeira a proposição 
.
Como as duas condições do princípio da indução matemáticasão válidas, a proposição dada é
verdadeira.
Quando queremos demonstrar uma desigualdade por indução, a inclusão do termo adicional a cada
membro não é su�ciente para obter o resultado desejado. Geralmente, é preciso demonstrar uma
outra desigualdade para completar a demonstração.
Exemplo 6 : mostre que a desigualdade de Bernoulli é válida para todo 
natural e todo .
Solução: seja , em que .
(i) Para , temos
Logo, é verdadeira.
(ii) Para , vamos supor que é verdadeira, ou seja,
Utilizando esse fato, vamos mostrar que , em que
.
P (k) ⇒ P (k + 1)
P (k + 1) :  1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
(k + 1) (k + 2)
2
P (k)
k + 1
$1 + 2 + ⋯ + k =    ⇒    1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) = + (k + 1)
k (k + 1)
2
k (k + 1)
2
(k+1)(k+2)
2
frack (k + 1)2 + (k + 1) = + =
k (k + 1)
2
2 (k + 1)
2
(k + 1) (k + 2)
2
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
(k + 1) (k + 2)
2
P (k + 1)
P (k) ⇒ P (k + 1)
≥ 1 + nx(1 + x)n n
x >   − 1
P (n) :   ≥ 1 + nx(1 + x)n n ≥ 1
n = 1
P (1) :   ≥ 1 + 1 ⋅ x(1 + x)1
P (1) :  1 + x ≥ 1 + x
P (1)
n = k P (k)
P (k) :   ≥ 1 + kx(1 + x)k
P (k) ⇒ P (k + 1)
P (k + 1) :   ≥ 1 + (k + 1) x(1 + x)k+1
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Para isso, vamos multiplicar, em ambos os membros da desigualdade em , o termo .
Então,
Repare que o lado esquerdo da desigualdade está na forma esperada em , enquanto que
o lado direito não está como gostaríamos. Mas não é preciso que ele assuma a forma esperada 
. Basta mostrarmos que e, utilizando a
propriedade transitiva, concluímos o desejado.
Repare que , esse fato mostra que é válida a desigualdade 
. Então,
A desigualdade acima corresponde a . Logo, é verdadeira a proposição 
.
Como as duas condições do princípio da indução matemática são válidas, a proposição dada é
verdadeira.
vamos praticar
Vamos Praticar
O princípio da indução matemática requer a prova separadamente de duas proposições: (i) 
e (ii) . Esse princípio pode ser aplicado a problemas de aritmética, como
problemas que envolvam a divisibilidade entre dois números. Dizemos que um número é
divisível por um número se existir um número , tal que . Use o princípio da indução
para mostrar que para todo , é divisível por .
P (k) (1 + x)
≥ 1 + kx    ⇒     (1 + x) ≥ (1 + kx) (1 + x)(1 + x)k (1 + x)k
      ⇒     ≥ 1 + (k + 1) x + k(1 + x)k+1 x2
P (k + 1)
1 + (k + 1) x 1 + (k + 1) x + k ≥ 1 + (k + 1) xx2
k ≥ 0x2
1 + (k + 1) x + k ≥ 1 + (k + 1) xx2
        ≥ 1 + (k + 1) x + k ≥ 1 + (k + 1) x(1 + x)k+1 x2
⇒     ≥ 1 + (k + 1) x(1 + x)k+1
P (k + 1)
P (k) ⇒ P (k + 1)
P (a)
P (n)   ⇒ P (n + 1)
a
b d a = b ⋅ d
n ∈ N + 6n − 14n 9
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Na seção anterior, construímos o conjunto dos números naturais . Quando
acrescentamos ao conjunto os números negativos e o zero, temos o conjunto dos números
inteiros . Nesta seção, faremos um breve estudo sobre o
conjunto dos números racionais, denotado por .
Caro(a) estudante, você já tem conhecimento de que os números racionais costumam ser
representados por frações. Geralmente, escrevemos que o conjunto dos números racionais é o
conjunto . Você também já deve saber que toda fração irredutível 
pode ser representada na forma decimal. Vejamos algumas considerações em relação à
representação decimal dos números racionais.
Quando a fração é irredutível e o seu denominador possui fatores primos apenas com e , a
fração tem como resultado uma representação decimal �nita , pois nesses casos, é sempre
possível obter uma fração equivalente cujo denominador seja potência de .
Exemplo 7 : algumas frações com representação decimal �nita.
(a) , pois 
(b) , pois 
(c) , pois 
Caso o denominador da fração possua algum fator primo diferente de e , a representação
decimal da fração será exibida de uma forma periódica . Por exemplo, considere a fração , ao
efetuar a divisão, obtemos a seguinte representação decimal:
Quando efetuamos a divisão de por , obtemos resto . Como a divisão não é exata, isto é, não
possui resto zero, podemos prosseguir com o algoritmo da divisão. No entanto, ao continuar o
processo, vamos identi�cando a seguinte sequência de restos: . Nessa
Números Racionais e
Representação Decimal
N = {1,  2,  3,  . . . }
N
Z = {. . . ,   − 2,   − 1,  0,  1,  2,  . . . }
Q
Q = { | p ∈ Z e q ∈ N}p
q
p
q
2 5
10
1
5 = = = 0, 2
1
5
1⋅2
5⋅2
2
10
17
40
= = = = 0, 42517
40
17
⋅523
17⋅52
⋅23 53
425
1000
73
50 = = = = 1, 46
73
50
73
2⋅52
73⋅2
⋅22  52
146
100
2 5
4
7
4 7 5
5,  1,  3, 2,  6,  4,  5,  . . .
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sequência, podemos observar que, quando o resto é igual a os algarismos começam a se repetir.
Essa repetição é observada tanto nos algarismos do resto como nos algarismos do quociente. A
repetição no quociente resulta no período . De certa forma, é esperado que haja tal
repetição, pois os possíveis restos na divisão por são e . Outra observação
que podemos fazer é que o período terá, no máximo, seis algarismos.
Como a fração é periódica, sua representação decimal será dada como . O traço
acima dos números indica que estes serão repetidos sempre nesta ordem.
Com esses exemplos, podemos concluir que:
Fonte: arcady31 / 123RF.
Exemplo 8 : algumas frações com representação decimal periódica.
(a) , pois 
(b) , pois 
(c) , pois 
Observe que, no Exemplo 8, letra (b), a fração possui em seu denominador o fator primo , porém
essa fração não é �nita, pois também aparece em seu denominador o fator primo . Frações com
representação decimal �nita devem possuir em seu denominador apenas fatores primos de e .
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Os números que podem ser escritos na forma de uma fração , em que é um número inteiro e 
 é um número natural, são denominados de números racionais. No entanto, um número racional
também pode ser representado por números decimais. Quando efetuamos a divisão , obtemos
4,
571428
7 0,  1,  2,  3,  4,  5 6
4
7
= 0,4
7
571428− −−−−−
571428
2
3
= 0,2
3 6−
7
6 = = 1, 1
7
6
7
2⋅3 6−
50
11 = 4,
50
11 54−−
7
6 2
3
2 5
p
q
p
q
p
q
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um número decimal. Esse número pode ser um decimal �nito ou um decimal periódico. Com
relação à forma �nita ou periódica de números racionais, assinale a alternativa correta.
a) Toda fração que possui em seu denominador fatores primos de ou possui
representação decimal �nita.
b) A fração possui representação decimal periódica.
c) A fração possui representação decimal periódica, pois pode ser escrita de modo
equivalente cujo denominador é uma potência de .
d) A fração possui representação decimal periódica.
e) A fração possui representação decimal �nita.
Prezado(a) estudante, como estudamos na seção anterior, um número decimal �nito ou periódico
pode ser representado como uma fração e, portanto, é um número racional. No entanto, existem
números decimais que não são periódicos e nem �nitos, neste caso, não há como expressá-los
como frações. Esses números que não possuem representação fracionária compõem um outro
conjunto numérico, o conjunto dos números irracionais ( ).
Números Irracionais
Nesta seção, não estudaremos a formalização do conjunto dos números irracionais. Nosso foco
será estudar alguns fatos interessantes relativos a esses números.
Produzir números irracionais é fácil, basta considerar uma regra de formação em que não aparecem
períodos. Por exemplo, dados os números e , podemos começar com o nosso número seguido
de um número ; em seguida, exibimos o número seguido de dois números ; depois, o número 
será seguido por trêsnúmeros e assim sucessivamente. Dessa forma, temos o número irracional
As reticências indicam que o padrão identi�cado segue de modo in�nito.
Existem outros tipos de padrões que podemos utilizar para formar números irracionais, veja Ávila
(2006, p. 25). Tente elaborar um número irracional.
2 5
18
40
5
9
10
3
11
16
15
Números Irracionais
I
1 2 1
2 1 2 1
2;
0, 12 122 1222 . . .
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Podemos demonstrar que os números , e são irracionais. Uma prova da irracionalidade dos
números e pode ser encontrada no livro de Figueiredo (2002), já a prova da irracionalidade do
número é obtida mostrando que não existe número racional cujo quadrado seja igual a , como
foi demonstrado no Exemplo 3.
- Alguns números irracionais "notáveis"-
#PraCegoVer : o infográ�co tem o título “Alguns números irracionais ‘notáveis’” apresentado emuma barra
horizontal azul. Abaixo do título, há uma linha azul intercalada com três botõestambém na horizontal. Ao
clicar no primeiro botão, ele �ca vermelho e, abaixo, aparece osubtítulo “Número π”. Abaixo do subtítulo,
aparece o texto “O número π geralmente é descritocomo a razão entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro. No entanto, todonúmero que pode ser expresso como a razão de dois
números inteiros quaisquer é um númeroracional. Apesar dessa descrição, é sabido que o número π=
3,14159265358979323846... éum número irracional, e esse fato pode ser demonstrado para que não haja
dúvidas”. Ao ladodireito do texto, há uma ilustração azul do número π. Ao clicar no segundo botão, ele
�cavermelho e, abaixo, aparece o subtítulo “Número e”. Abaixo do subtítulo, aparece o texto “Emproblemas
que envolvam variação de grandezas como a questão dos juros, crescimentopopulacional, desintegração
radioativa entre outros, o número ‘e’ aparece de modo natural einsubstituível. Esse número, cujo valor é e=
2,71828182845904523536…, também édenominado de número de Euler”. Ao lado direito do texto, há uma
ilustração azul do número“e”. Ao clicar no terceiro botão, ele também �ca vermelho e, abaixo, aparece o
subtítulo “Raizquadrada de 2”. Abaixo do subtítulo, há o texto “Aparentemente, o número
√2=1,41421356237309504880... foi o primeiro número irracional a ser descoberto. Ele aparecedevido à
aplicação do Teorema de Pitágoras a um quadrado de lado 1 e é equivalente ao valordo comprimento da
diagonal desse quadrado”. Ao lado direito do texto, há uma ilustração azulda raiz quadrada de 2.
Número π
O número π geralmente é descrito como a razão
entre o comprimento de uma circunferência e seu
diâmetro. No entanto, todo número que pode ser
expresso como a razão de dois números inteiros
quaisquer é um número racional. Apesar dessa
descrição, é sabido que o número
π=3,14159265358979323846... é um número
irracional, e este fato pode ser demonstrado para
que não haja dúvidas.
Fonte: Elaborada pela autora
π e 2
–√
π e
2
–√ 2
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Números Reais
Os números naturais, inteiros, racionais e irracionais podem ser representados geometricamente
como pontos de uma reta.
Considere uma reta orientada. Nessa reta, vamos marcar um ponto qualquer para de�nir como
ponto de partida, ou seja, vamos localizar o número zero. À esquerda do zero, temos os números
negativos; à direita do zero, temos os números positivos.
Se fossemos localizar nesta reta os números inteiros, perceberemos que esses números estão
dispostos na reta com uma mesma distância entre eles.
Ou seja, existem espaços da reta que não são preenchidos pelos números inteiros. Se
acrescentarmos a essa reta os números racionais, esses “buracos” ainda permanecerão.
Figura 1.2 - Representação geométrica dos números racionais. 
Fonte: Elaborado pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta uma reta orientada para a direita. Sobre a reta estão localizados
alguns grupos de pontos, com um pequeno espaçamento entre eles.
Somente quando acrescentamos à reta os números racionais e irracionais, essa reta passará a ser
contínua, ou seja, será totalmente coberta com os pontos.
Figura 1.1 - Representação geométrica dos números inteiros 
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta uma reta orientada para a direita. Sobre a reta estão localizados
pontos que estão igualmente espaçados, sendo que esses pontos estão associados aos números 
 e .−3,   − 2,   − 1,  0,  1,  2 3
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Figura 1.3 - Representação geométrica dos números racionais e irracionais. 
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta uma reta orientada para a direita. Sobre a reta estão localizados
pontos, de modo que toda a reta é coberta por pontos.
Portanto, o conjunto que possui números racionais e irracionais ao mesmo tempo é chamado de
conjunto dos números reais ( ) e sua representação geométrica é feita por meio de uma reta
numérica contínua.
Uma construção formal do conceito de números irracionais e, consequentemente, do conjunto dos
números reais, pode ser feita por meio dos cortes de Dedekind. No entanto, este é um assunto para
a próxima unidade.
vamos praticar
Vamos Praticar
R
REFLITA
Caro(a) estudante, como você acabou de ver, podemos associar os
números reais a pontos de uma reta orientada. Atualmente, esse
tipo de associação é muito comum e até natural para nós, pois nos
permite visualizar os números de uma forma geométrica. A
representação geométrica dos números foi fundamental para a
aceitação de alguns conjuntos numéricos, como os números
inteiros negativos e os números complexos. Mas por que
representar os números geometricamente? Qual é a importância
dessa representação?
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O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números decimais que não possuem
uma representação decimal �nita ou periódica. Um exemplo de número irracional é a raiz
quadrada de um número que não é um quadrado perfeito. O número não é um quadrado
perfeito, pois não pode ser escrito na forma com . Dessa forma, mostre que é
irracional.
3
3 = n2 n ∈ N 3
–√
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Material
Complementar
F I L M E
Pi
Ano : 1998
Comentário : o �lme conta a história de um jovem gênio da matemática:
Max. Ele acredita que tudo ao nosso redor pode ser representado e
compreendido por números. Max busca padrões e deduz que todas as
respostas podem estar concentradas no número . No �lme, Max constrói
um supercomputador com a �nalidade de descobrir o número π por
completo, será que ele consegue?
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer disponível em:
TRA I LER
π
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L I V R O
Introdução à história da matemática
Editora : Unicamp
Autor : Howard Eves
ISBN : 85-268-0657-2
Comentário : conhecer a história dos fatos matemáticos pode nos ajudar na
compreensão de seus conceitos e também no modo de explicá-los aos
outros. No livro “Introdução à história da matemática” é possível ler mais a
respeito da escola pitagórica, a qual deu início aos estudos de
demonstrações matemáticas e a descoberta das grandezas irracionais.
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Conclusão
Caro(a) estudante, é fundamental conhecer e dominar os métodos de demonstração, poisé por meio
desses métodos que somos capazes de provar que os resultados matemáticos são válidos. Uma vez
mostrada sua validade, não há o que se discutir, pois as demonstrações são construídas de modo lógico
para que não haja dúvidas.
Saber como caracterizar os conjuntos numéricos também é de suma importância, pois a todo o momento
estamos operando com números e precisamos conhecer suas propriedades para manipulá-los de modo
adequado. Sendo assim, esperamos que, ao chegar aqui, você tenha reforçado os conceitos por trás de
cada método de demonstração bem como a conceituação dos conjuntos numéricos.
Referências
ÁVILA, G. S. S. Análise Matemática para Licenciatura . São
Paulo: Blucher, 2006.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática . São
Paulo: Blucher, 2012.
EVES, H. Introdução à história da Matemática . São Paulo: Editora da Unicamp, 2011.
FIGUEIREDO, D. G. Números Irracionais e Transcendentes . 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.
GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Fundamentos de Matemática: uma introdução à lógica matemática,
teoria dos conjuntos, relações e funções . 2. ed. Maringá: Eduem, 2008.
LIMA, E. L. Conceitos e Controvérsias. Revista do Professor de Matemática , São Paulo, 1982. Disponível
em: https://rpm.org.br/cdrpm/1/2.htm . Acesso em: 15 abr. 2021.
MORGADO, A. C.; CARVALHO, P. C. P. Matemática Discreta . Rio de Janeiro: SBM, 2015.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática . Curitiba: Intersaberes, 2017.
PEANO, G. Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita . Roma/Florença: Fratres Bocca, 1889.
PI (1998) O�cial Trailer #1 - Darren Aronofsky Movie HD. [ S. l.: s. n. ], 2013. 1 vídeo (1 m 43 s). Publicado
pelo canal Movieclips Classic Trailers. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=r0SC582sJvE .
Acesso em: 28 abr. 2021.
https://rpm.org.br/cdrpm/1/2.htm
https://www.youtube.com/watch?v=r0SC582sJvE
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FUNDAMENTOS DAFUNDAMENTOS DA
ANÁLISE MATEMÁTICAANÁLISE MATEMÁTICA
NOÇÕES SOBRE CONJUNTOSNOÇÕES SOBRE CONJUNTOS
Au to r ( a ) : M a . E l a i n e C r i s t i n a S t u r i o n
R ev i s o r : G i s l a i n e D o n i ze t i Fa g n a n i d a C o s t a
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 5 minutos.
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Introdução
Olá, caro(a) estudante! Você certamente deve se recordar de que, quando
estudamos conjuntos e subconjuntos próprios, a quantidade de elementos de
um subconjunto próprio é menor que a quantidade de elementos do conjunto.
No entanto, essa a�rmação é válida quando estudamos conjuntos �nitos, e
não se aplica aos conjuntos in�nitos – conjuntos in�nitos desa�am a nossa
intuição.
Sendo assim, iniciaremos este material estudando os conjuntos in�nitos e
sua enumerabilidade. Em seguida, estudaremos as grandezas
incomensuráveis e veremos que, como consequência delas, surgiu a
necessidade de criação de um novo conjunto numérico, que foi estabelecido
por meio dos cortes de Dedekind. Estudaremos, ainda, as noções de supremo
e ín�mo de um conjunto e �nalizaremos o estudo com a desigualdade
triangular e sua demonstração. Vamos lá? Bons estudos!
Conjuntos Finitos e
Infinitos
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Caro(a) estudante, iniciaremos este material com o estudo dos conjuntos e
podemos de�nir conjunto como uma coleção de elementos que
compartilham de uma mesma propriedade. Ainda que algumas noções sobre
conjuntos, por exemplo, suas notações e operações, já sejam de seu
conhecimento, se for necessária uma revisão, você pode consultar a obra de
Panonceli (2017).
De acordo com a quantidade de elementos que um conjunto possui, podemos
classi�cá-lo como um conjunto �nito ou um conjunto in�nito e, para isso,
precisamos de�nir conjuntos equivalentes . Dois conjuntos são equivalentes
“quando é possível estabelecer uma correspondência que leve elementos
distintos de um conjunto em elementos distintos do outro, todos os
elementos de um e do outro conjunto sendo objeto dessa correspondência”
(ÁVILA, 2006, p. 33). Então, se considerarmos o conjunto dos n primeiros
números naturais, In = {1, 2, 3, . . . , n}, dizemos que um conjunto A é �nito
quando os conjuntos A e In forem equivalentes para um certo número n, e
in�nito quando não houver essa equivalência.
O fato de dois conjuntos serem equivalentes implica que a quantidade de
elementos desses conjuntos é a mesma. Usaremos o termo cardinalidade
para expressar a quantidade de elementos de um conjunto, o qual nos
ajudará a compreender melhor a equivalência de conjuntos in�nitos.
Conjuntos enumeráveis
O conjunto dos números naturais N é o primeiro conjunto numérico com o
qual temos contato, pois ele surgiu naturalmente de nossa necessidade de
contar. Trata-se de um conjunto in�nito, pois, dado um número n, sempre
podemos obter seu sucessor, o número n + 1. No entanto, apesar de ser
in�nito, o conjunto dos números naturais é enumerável : de certa forma,
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podemos contabilizar a quantidade de elementos do conjunto N. Portanto,
dizemos que A é um conjunto enumerável se A é um conjunto �nito ou se A é
um conjunto equivalente ao conjunto N; dito de outra forma: se existe uma
bijeção f : N → A, o conjunto A é enumerável. Com esse fato, podemos dizer,
ainda, que a cardinalidade de N é igual à de A, escrevemos #N = #A.
Exemplo 1 : o conjunto P dos números pares é enumerável.
Solução : todo número par p é escrito da forma p = 2n, onde n ∈ N. Se
considerarmos a função f : N → P de�nida por f(n) = 2n, temos que ela é uma
bijeção (veri�que). Concluímos que o conjunto P dos números pares é
enumerável e possui a mesma cardinalidade que o conjunto dos números
naturais N.
Com esse exemplo você pode estar um pouco confuso, a�nal, como é
possível que o conjunto dos números pares P possua a mesma cardinalidade
(quantidade de elementos) que a do conjunto dos números naturais N, uma
vez que o conjunto dos números pares é subconjunto dos números naturais,
isto é, P ⊂ N? Talvez o próximo teorema lhe ajude a entender melhor esse
fato.
Antes de enunciar o teorema, tomaremos ciência dos seguintes resultados:
De�nição 1 : um subconjunto X ⊂ N é limitado quando existe y ∈ N, tal que 
x ≤ y para todo x ∈ X.
Lema 1 : um subconjunto X ⊂ N é �nito se, e somente se, é limitado.
Agora, sim, podemos enunciar e demonstrar o seguinte teorema:
Teorema 1 : todo subconjunto A do conjunto números naturais N é
enumerável.
Demonstração. Consideremos dois casos: (i) A é �nito, (ii) A é in�nito.
(i) A é �nito: não há o que provar, pois todo conjunto �nito é enumerável.
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(ii) A é in�nito: o conjunto A será enumerável se existir uma função bijetiva 
f : N → A. Mostraremos que existe tal função.
Como o conjunto dos números naturais possui um menor elemento, a saber,
o número 1, o conjunto A ⊂ N também possui um menor elemento. Então,
de�niremos a função f : N → A da seguinte forma:
f(1) = a1, onde a1 é o menor elemento do conjunto A.
f(2) = a2, onde a2 é o menor elemento do conjunto A −{a1}.
f(3) = a3, onde a3 é o menor elemento do conjunto A −{a1, a2}.
⋮
f(n + 1) = an+ 1, onde an+ 1 é o menor elemento do conjunto 
A−{a1, a2, . . . , an}.
A função f é injetiva, pois, para m ≠ n com m < n, temos que f(m) < f(n) e 
f(m) ∈ {f(1), f(2), . . . , f(m), . . . , f(n − 1)}; enquanto 
f(n) ∈ A − {f(1), f(2), . . . , f(m), . . . , f(n − 1)}. Logo: f(m) ≠ f(n); e f é injetiva.
Para mostrar a sobrejetividade da função f, suponha, por absurdo, que exista
algum a ∈ A diferente de todos os f(n), n ∈ N. Então, o número natural a é
maior que todos os elementos do conjunto in�nito 
B = {f(1), f(2), . . . , f(n), . . . }. Dessa forma, o conjunto B seria limitado e, por
consequência, �nito. Esse absurdo provém do fato de considerarmos que f
não é sobrejetiva.
Portanto, f : N → A é uma bijeção, ou seja, A é enumerável.
Como o conjunto P dos números pares é um subconjunto dos números
naturais N, pelo Teorema 1 é assegurado que o conjunto P é enumerável.
Como consequência do Teorema 1 temos o seguinte resultado:
16/08/2022 20:09 E-book
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Corolário 1 : todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
A enumerabilidade do conjunto Q
Intuitivamente, com relação à cardinalidade dos conjuntos natural N, inteiro Z
e racional Q podemos pensar que:
Fonte: Elaborada pela autora.
Cardinalidade de N e Z : o conjunto dos
números inteiros Z é maior que o conjunto dos
números naturais N, uma vez que N ⊂ Z. Logo,
os conjuntos possuem cardinalidades
diferentes, sendo a cardinalidade de Z maior que
a de N. 
Cardinalidade de N e Q : o mesmo podemos
pensar com relação à cardinalidade dos
conjuntos dos números racionais Q e naturais N,
pois temos que N ⊂ Q. 
Fonte: Elaborada pela autora.
16/08/2022 20:09 E-book
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No entanto, tratando-se de conjuntos in�nitos, vimos que nossa intuição nos
enganou com esse mesmo pensamento com relação à cardinalidade do
conjunto N e seus subconjuntos. No caso relativo aos conjuntos Z e Q
mostraremos que estes são enumeráveis, ou seja, possuem a mesma
cardinalidade do conjunto N
Exemplo 2 : o conjunto Z dos números inteiros é enumerável.
Solução . O conjunto Z é enumerável se existir uma bijeção f : N → Z
Mostraremos a existência de tal função.
Considere a função f : N → Z de�nida por partes como:
f(n) = 
n− 1
2 se n é ímpar; ou
f(n) = −
n
2 se n é par.
Repare que, quando n é ímpar, a função nos fornece os números inteiros
positivos e o zero; já para n par, a função fornece os números inteiros
negativos. A função f de�nida anteriormente é uma bijeção. Logo, o conjunto 
Z é enumerável.
Para demonstrar que o conjunto dos números racionais Q é enumerável,
faremos uso dos resultados apresentados a seguir, cujas demonstrações
podem ser obtidas em Lima (2014, p. 50).
Teorema 2 : seja X um conjunto enumerável, se f :X → Y é sobrejetiva, Y é
enumerável.
Teorema 3 : o produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um
conjunto enumerável.
Teorema 4 : o conjunto dos números racionais Q é enumerável.
Demonstração . O conjunto dos números racionais Q é enumerável se existir
uma sobrejeção f : N → Q Mostraremos a existência de tal função.
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A de�nição de número racional nos permite escrever a função sobrejetiva 
g : Z × N → Q dada por g(p, q) =
p
q Pelo Teorema 3, o conjunto Z × N é
enumerável, logo, existe uma sobrejeção h : N → Z × N A função composta 
g ∘ h : N → Q é sobrejetiva, pois é uma composição de funções sobrejetivas.
Portanto, do Teorema 2, concluímos que o conjunto Q é enumerável.
A não enumerabilidade do conjunto R
Até o momento, temos provado que os conjuntos dos números naturais,
inteiros e racionais são enumeráveis. Será que são enumeráveis os conjuntos
dos números irracionais e reais? Para responder a essa pergunta,
estudaremos a enumerabilidade de um intervalo da reta real.
Considere o intervalo (0, 1) da reta real. Todo número x ∈ (0, 1) é um número
decimal escrito na forma:
x = 0, a1a2a3…
Onde ai é um dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Suponhamos que o intervalo (0, 1) seja enumerável. Descreveremos todos os
elementos desse intervalo da seguinte forma:
x1 = 0, a11a12a13…
x2 = 0, a21a22a23…
x3 = 0, a31a32a33…
⋮
xn = 0, an1an2an3…
Consideremos, agora, o seguinte número decimal: b = 0, b1b2b3… onde cada 
bi ≠ aii para todo i ∈ N Repare que o número b é diferente de cada número xi ,
pois diverge pelo valor do algarismo aii E, ainda, o número b ∈ (0, 1) não está
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listado entre os números xi o que é um absurdo; o absurdo provém do fato de
julgarmos que o intervalo (0, 1) seja enumerável. Portanto, podemos enunciar
o seguinte resultado:
Teorema 5 : o intervalo (0, 1) dos números reais é não enumerável.
Como consequência do Teorema 5 temos:
Corolário 2 : o conjunto R dos números reais é não enumerável.
Demonstração . Suponhamos que o conjunto R seja enumerável. Pelo
Corolário 1, todo subconjunto X ⊂ R é enumerável; porém, pelo Teorema 5, o
intervalo (0, 1) é não enumerável, uma contradição. Portanto, o conjunto R é
não enumerável.
Como o conjunto dos números reais é constituído pela união dos números
racionais e irracionais, isto é, R = Q ∪ I deixaremos como exercício a
demonstração do seguinte teorema:
Teorema 6 : o conjunto I dos números irracionais é não enumerável.
Cantor e os conjuntos infinitos
De acordo com Ávila (2006, p. 32), “o estudo sistemático dos conjuntos, que
acabou levando a uma teoria axiomática desse campo de estudos, começou
com Georg Cantor, por volta de 1872”. Cantor fez importantes contribuições
para o desenvolvimento e a compreensão da teoria dos conjuntos; e
podemos citar alguns exemplos dessas contribuições relativas às noções de
enumerabilidade de conjuntos in�nitos.
Como você pôde perceber pela leitura das seções anteriores, é possível
quanti�car os elementos de um conjunto in�nito. A de�nição de
enumerabilidade nos permite a�rmar que o conjunto dos números pares,
inteiros e racionais possuem a mesma cardinalidade (quantidade de
elementos) que a do conjunto dos números naturais, contrariando nossa
intuição. Esse resultado foi obtido por Cantor.
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Outro resultado importante atribuído a Cantor é o método utilizado para
demonstrar a não enumerabilidade do intervalo (0, 1) dos números reais. Esse
método é conhecido como o método da diagonal de Cantor .
Atualmente, aceitamos os resultados de Cantor com facilidade; mas, na
época em que ele desenvolveu seus estudos, houve resistência em sua
aceitação. Porém, seus esforços foram compensados, uma vez que “os
incríveis resultados de Cantor o levaram a estabelecer a teoria dos conjuntos
como uma disciplina matemática completamente desenvolvida” (BOYER;
MERZBACH, 2012, p. 398).
S A I B A M A I S
Os números trans�nitos foram estabelecidos por Cantor para denotar a
cardinalidade ou potência de um conjunto in�nito . Com o auxílio desses números
podemos ordenar os conjuntos in�nitos segundo a sua potência. Assim, 
#N = #Q < #R, isto é, a potência do conjunto dos números naturais é igual à do
conjunto dos números racionais, e ambas são menores que a potência do
conjunto dos números reais.
Para saber mais sobre esse assunto, deixamos como recomendação a leitura do
artigo “Cantor e os números trans�nitos”.
Link : https://rpm.org.br/cdrpm/88/2.html .
https://rpm.org.br/cdrpm/88/2.html
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos(Atividade não pontuada) 
O fato de um conjunto ser enumerável implica que podemos contar a
quantidade de seus elementos. Para o caso de conjuntos in�nitos, a
enumerabilidade nos possibilita entender que é possível contabilizar a
quantidade de elementos do conjunto, porém, não é possível exibir o valor
numérico para ela. A noção de enumerabilidade de conjuntos in�nitos está
ligada ao fato de existir uma bijeção entre o conjunto dos números naturais
e o conjunto in�nito considerado.
Com relação à enumerabilidade de conjuntos in�nitos, assinale a alternativa
correta:
a) O conjunto dos números ímpares não é enumerável.
b) O conjunto dos números irracionais é enumerável.
c) O conjunto dos números racionais não é enumerável.
d) O conjunto N × N é enumerável.
e) O conjunto dos números primos não é enumerável.
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A descoberta das grandezas incomensuráreis marca uma “crise” na
matemática grega, pois, segundo a escola pitagórica, tudo poderia ser
descrito por números . No caso, estes números do lema pitagórico se
referiam apenas aos números naturais e, indiretamente, aos números
racionais positivos.
Outras civilizações, como os egípcios e os babilônios, também tiveram
contato com os números irracionais, porém, não há registros de que sabiam
que estavam diante de outro conjunto numérico.
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Fonte: dezay / 123RF.
Grandezas
Incomensuráveis
Egípcios, babilônios e os números irracionais
A matemática egípcia chegou ao nosso conhecimento por meio de papiros que resistiram
ao tempo. Dentre estes, podemos destacar o papiro de Rhind...
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As grandezas incomensuráveis mostram a necessidade de criação de um
novo conjunto numérico: o conjunto dos números irracionais. Nesta seção,
faremos uma breve descrição sobre a medição de segmentos e sobre o
retângulo áureo, sendo as informações aqui apresentadas baseadas na obra
de Ávila (2006).
A medição de segmentos
A matemática se desenvolveu com forte in�uência geométrica, um exemplo é
o uso dos números racionais como comparação de segmentos. Por exemplo,
dados dois segmentos retilíneos AB e CD, a razão AB /CD corresponde ao
número racional 
p
q e pode ser representada por um terceiro segmento, EF, tal
que AB seja p vezes EF e CD seja q vezes esse mesmo segmento EF.
V E R M A I S
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Figura 2.1 – Segmentos comensuráveis 
Fonte: Ávila (2006, p. 47).
#PraCegoVer : a imagem apresenta três segmentos. Na parte superior, temos o
maior dos segmentos, designado por AB e apresentando oito graduações. Na
parte inferior, à esquerda, está o segmento CD com cinco graduações, e, à direita,
está o segmento EF com uma graduação.
De acordo com Ávila (2006, p. 47), “no tempo de Pitágoras (séc. VI a.C.),
pensava-se que dados dois segmentos quaisquer, AB e CD, seria sempre
possível encontrar um terceiro segmento EF contido um número inteiro de
vezes em AB e outro número inteiro de vezes em CD”. Intuitivamente, essas
considerações são razoáveis e implicam que o segmento EF é uma medida
que permite medir aos outros dois segmentos simultaneamente; assim
sendo, dizemos que os segmentos AB e CD são comensuráveis .
Atribui-se aos pitagóricos a descoberta dos números irracionais, qual se deu
com a comparação entre o lado de um quadrado e sua diagonal. Se o lado do
quadrado é designado pelo segmento AB, e sua diagonal, pelo segmento AC,
não existe um segmento EF, por menor que seja, capaz de medir os dois
segmentos simultaneamente. Nesse caso, conforme a Figura 2.2, os
segmentos AB e AC são ditos incomensuráveis .
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Com base na Figura 2.2, podemos mostrar a incomensurabilidade do lado e
da diagonal do quadrado ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC.
Considerando AB = l, BC = l e AC = d, temos que:
AC2 = AB2 + BC2 ⇒ d2 = l2 + l2
⇒ d2 = 2l2
⇒
d2
l2
= 2
⇒(dl)2 = 2
O resultado apresentado implica a existência de um número racional cujo
quadrado é igual a 2. Como você deve se recordar, tal número racional não
Figura 2.2 – Quadrado ABCD 
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta um quadrado com os vértices superiores
designados por A e D e os vértices inferiores designados por B e C. Também
apresenta a diagonal do quadrado, formada pelo segmento AC.
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existe, pois a equação x2 = 2 não admite solução nos números racionais.
O retângulo áureo
Outra �gura geométrica que fornece segmentos incomensuráveis é o
chamado retângulo áureo . Podemos de�nir um retângulo áureo como o
retângulo ABCD que possui esta propriedade: “se dele suprimirmos um
quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao
retângulo original” (ÁVILA, 2006, p. 49).
Matematicamente, podemos de�nir o retângulo áureo pela seguinte relação: 
a+b
a =
a
b, onde a + b e a são os comprimentos dos lados do retângulo original.
Figura 2.3 – Retângulo áureo 
Fonte: Ávila (2006, p. 50).
#PraCegoVer : a imagem apresenta um retângulo de vértices superiores
designados por B e C e vértices inferiores designados por A e D. Dentro do
retângulo, à esquerda, há um quadrado de lado AB cujos vértices superiores são
designados por B e F, e os vértices inferiores são designados por A e E. À direita,
no interior do retângulo, há um retângulo de altura AB cujos vértices superiores
são designados por F e C, e vértices inferiores são designados por E e D.
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A razão ϕ =
a
b é chamada de razão áurea, e seu inverso φ =
1
ϕ é chamado de
número áureo.
Outra forma de determinar a razão áurea é resolver a seguinte equação do
segundo grau:
a + b
a =
a
b ⇒
(a + b) /b
a /b =
a
b
⇒
a + b
b
⋅
b
a
=
a
b
⇒(ab + 1) ⋅ ba = ab
REFLITA
Caro(a) estudante, como vimos, o retângulo de
lados a + b e a é áureo, pois vale a seguinte
relação: 
a+ b
a =
a
b. Considerando as propriedades
das proporções, um retângulo de lados a e b
também pode ser um retângulo áureo? Se sim,
como poderíamos de�nir a expressão da razão
áurea para esse retângulo?
Fonte: Adaptado de Ávila (2006).
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⇒ (ϕ + 1) ⋅
1
ϕ
= ϕ
⇒ 1 +
1
ϕ = ϕ
⇒ ϕ2 − ϕ − 1 = 0
Considerando apenas a raiz positiva da equação apresentada, temos que o
valor da razão áurea é ϕ =
√5 + 1
2 ; e, consequentemente, o número áureo é 
φ =
√5 − 1
2 . Ambos são números irracionais.
atividade
Atividade
Da Figura 2.3 podemos expressar, como visto adiante, a relação áurea por
meio da razão dos segmentos.
a + b
a =
a
b ⇔ 
AD
AE =
AE
ED
Além do retângulo áureo e do quadrado, outra �gura geométrica que
apresenta a razão áurea é o pentágono regular. Os pitagóricos adotaram
essa �gura como símbolo de sua escola, e supõe-se que por meio dela
tiveram contato inicial com os números irracionais.
Com base na �gura a seguir, mostre que o ponto F, de interseção entre
duas diagonais do pentágono, divide cada uma delas na razão áurea –
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considere os ângulos ED̂A e CÊD serem congruentes.Figura 2.4 – Pentágono regular 
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta um pentágono regular de lados 
ABCDE. Estão destacadas as diagonais AD e CE, e está marcado como F
a interseção entre elas.
Dedekind e os
Números Reais
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Caro(a) estudante, a descoberta das grandezas incomensuráveis na Antiga
Grécia sinalizava a existência de um novo conjunto numérico; no entanto,
após sua descoberta, a construção e a formalização de tal conjunto levaram
vinte séculos para serem estabelecidas. Nesta seção, veremos como o
matemático Richard Dedekind (1831-1916) contribuiu para a formalização do
conjunto dos números reais e, consequentemente, dos números irracionais.
Os cortes de Dedekind
O fato de existir um segmento incomensurável levou à necessidade de
criação de um novo conjunto numérico, pois o comprimento de segmentos
desse tipo não podia ser expresso numericamente apenas em números
naturais e racionais. Baseado na teoria das proporções de Eudoxo, Richard
Dedekind de�niu o conceito de corte. Primeiramente, ele de�niu o que seria
um corte no conjunto dos números racionais e que todo corte possui
elemento de separação. Assim, dado um número racional r, este divide a reta
em dois conjuntos, o conjunto A, no qual, para todo a ∈ A, tem-se a < r, e o
conjunto B, onde, para todo b ∈ B, tem-se b > r. O número r pode ser
incorporado ao conjunto A como seu maior elemento ou pode ser
incorporado ao conjunto B como seu menor elemento.
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Figura 2.5 – Corte de�nido pelo número r 
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta uma reta numérica. Nela estão localizados
os pontos a, r, b, sendo que a está à esquerda de r, e b está à direita de r. O
pedaço de reta à esquerda do ponto r é designado de A, e o pedaço de reta à
direita é designado de B.
No entanto, Dedekind observou que alguns cortes de números racionais não
possuíam elemento de separação, fato que o levou a de�nir que “os cortes
que não são determinados por números racionais darão origem aos números
irracionais” (ÁVILA, 2006, p. 58). Formalmente, chama-se corte de Dedekind ,
ou, simplesmente, corte, todo par (A, B) de conjuntos não vazios de números
racionais que satisfaz as seguintes condições:
(i) A ∪ B = Q.
(ii) ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B, tem-se que a < b.
(iii) O conjunto A não possui elemento máximo.
Com esse conceito de corte, Dedekind conseguiu preencher os “buracos”
deixados na reta pelos números racionais. Assim, podemos caracterizar o
número irracional √2 como um corte, de modo que √2 = (A, B), onde A é o
conjunto das raízes quadradas aproximadas por falta, e B é o conjunto das
raízes quadradas aproximadas por excesso.
Para mais detalhes sobre os cortes de Dedekind, consulte a obra de
Panonceli (2017).
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Supremo e ínfimo de um conjunto
Como vimos, os cortes de Dedekind caracterizam os números reais por
completo. Dado o corte r = (A, B), o elemento de separação r pode ser
incluído no conjunto A, tornando-se o maior de seus elementos, ou incluído
no conjunto B, tornando-se o menor dos elementos do conjunto. Elementos
com tais características recebem nomenclatura especí�ca.
Conforme Guidorizzi (2019), dado um conjunto A de números reais, temos as
de�nições apresentadas a seguir.
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#PraCegoVer : o infográ�co apresenta um quadro na cor preta com as bordas
marrons. Dentro desse quadro, é apresentado o texto “Máximo, Mínimo e Cotas
Superior e Inferior de um Conjunto”. Logo abaixo, é apresentada, em linguagem
matemática, a de�nição de elemento máximo x ∈ A e x > a, ∀a ∈ A (lê-se: x
pertence ao conjunto A e x é maior do que a para todo elemento a pertencente ao
conjunto A) e, em seguida, há a de�nição, em língua portuguesa, como elemento
máximo : o maior elemento de A, quando existe, é chamado de máximo de A e é
indicado por max A. No segundo item, é apresentada, em linguagem matemática,
a de�nição de elemento mínimo x ∈ A e x < a, ∀a ∈ A (lê-se: x pertence ao
conjunto A e x é menor do que a para todo elemento a pertencente ao conjunto A)
e, em seguida, sua de�nição, em língua portuguesa, como elemento mínimo : o
menor elemento de A, quando existe, é chamado de mínimo de A e é indicado por 
min A. No terceiro item, é apresentada, em linguagem matemática, a de�nição de
cota superior S = max A ou S > a, ∀a ∈ A (lê-se: S é o elemento máximo do
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Podemos dizer que o conjunto A é limitado superiormente se possuir uma
cota superior ou é limitado inferiormente se possuir uma cota inferior. No
caso mais geral, o conjunto A é limitado quando admite uma cota superior e
uma cota inferior.
Exemplo 3 : dado o conjunto A = {4, 5, 6}, temos que:
(a) O máximo de A é 6, isto é, max A = 6.
(b) O mínimo de A é 4, isto é, min A = 4.
(c) São exemplos de cotas superiores de A os números 6, 
50
6 , 10. Portanto,
todo número S ≥ 6 é cota superior de A.
(d) São exemplos de cotas inferiores de A os números 4, 0, − 1. Portanto,
todo número s ≤ 4 é cota inferior de A.
(e) O conjunto A é limitado, pois possui cotas superiores e inferiores.
Repare que o elemento máximo ou mínimo deve necessariamente pertencer
ao conjunto, já as cotas superiores e inferiores não precisam ser elementos
do conjunto.
Quando existem, podemos exibir in�nitas cotas superiores e inferiores; assim
sendo, para caracterizar o supremo e o ín�mo de um conjunto, podemos
conjunto A ou S é maior do que a para todo elemento a pertencente ao conjunto A
) e, em seguida, sua de�nição, em língua portuguesa, como cota superior : o
número S é uma cota superior de A, se S for o elemento máximo de A, ou se S for
estritamente maior do que todo elemento de A. No quarto e último item, é
apresentada, em linguagem matemática, a de�nição de cota inferior s = min A ou 
s < a, ∀a ∈ A (lê-se: s é o elemento mínimo do conjunto A ou s é menor do que a
para todo elemento a pertencente ao conjunto A) e, em seguida, sua de�nição, em
língua portuguesa, como cota inferior : o número s é uma cota inferior de A, se s
for o elemento mínimo de A, ou se s for estritamente menor do que todo elemento
de A.
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de�ni-los da seguinte forma (GUIDORIZZI, 2019):
(i) A menor cota superior de um conjunto A, quando existe, denomina-se
supremo de A e é indicada por sup A. 
 
(ii) A maior cota inferior de um conjunto A, quando existe, denomina-se ín�mo
de A e é indicada por inf A.
Exemplo 4 : o conjunto dos números naturais, dado por N = {1, 2, 3, …},
possui elemento mínimo, a saber, min N = 1. Como o número 1 é a maior das
cotas inferiores, concluímos que inf N = 1. Por outro lado, o conjunto N não
possui elemento máximo e nem cota superior, logo, não possui supremo.
Os conceitos de supremo e ín�mo devem estar claros para você, estudante,
pois serão necessários em temas futuros no estudo da Análise Matemática.
Além disso, espero que você tenha reparado que um conjunto in�nito só
apresentará um desses elementos, pois um conjunto in�nito é um conjunto
limitado apenas inferiormente ou apenas superiormente.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Dado um conjunto A de números reais pelas de�nições de supremo e
ín�mo, podemos perceber que se o conjunto A possui elementomáximo ele
será o seu supremo; e se o conjunto A possui elemento mínimo ele será o
seu ín�mo. Por outro lado, a existência de supremo e ín�mo do conjunto A
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não garante a existência de elemento máximo e mínimo, respectivamente.
Eles só existirão se o supremo e o ín�mo pertencerem ao conjunto A.
Com relação aos conceitos envolvidos na de�nição de supremo e ín�mo e
considerando o conjunto A = {x ∈ Q | 3 ≤ x < 5}, assinale a alternativa
correta:
a) min A = 3 e max A = 5.
b) O conjunto A não possui ín�mo.
c) sup A = max A.
d) inf A = mín A.
e) O conjunto A não possui elemento máximo, o que implica ele não
possuir supremo.
A desigualdade triangular surge do fato de, em qualquer triângulo, um lado
não poder ser maior que a soma dos outros dois. Assim, dado qualquer
Desigualdade do
Triângulo
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triângulo ABC, de lados AB, BC e AC, temos que valem as seguintes
desigualdades:
AB < BC + AC; BC < AB + AC; AC < AB + BC.
Portanto, a desigualdade triangular pode ser especi�cada da seguinte forma:
Figura 2.6 – Triângulo ABC 
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer : a imagem apresenta um triângulo de vértices A, B, C e lados a, b e 
a + b.
Seja Seja aa,, bb ∈∈ RR, então,, então, 
||aa ++ bb|| << ||aa|| ++ ||bb||..
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Para demonstrar a validade dessa desigualdade, podemos proceder da
seguinte maneira:
|a + b| ⇒ | a + b | 2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = |a | 2 + 2ab + |b | 2
⇒ |a | 2 + 2ab + |b | 2 ≤ |a | 2 + 2|a| |b| + |b | 2 = (|a| + |b|)2
⇒ | a + b | 2 ≤ (|a| + |b|)2
⇒ |a + b| ≤ |a| + |b|
Algumas aplicações da desigualdade triangular podem ser conferidas em
Lourêdo (2014).
atividade
Atividade
Quando tomamos três números reais, por exemplo a, b, c ∈ R, a
desigualdade triangular passa a ser escrita como |a + b + c| < |a| + |b| + |c| – e
podemos provar que essa desigualdade vale. Se a desigualdade triangular
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vale para um conjunto de três números, será ela válida para um conjunto
com n números onde n ∈ N? Para fazer essa veri�cação, utilizaremos o
princípio da indução.
Prove por indução que |a1 + a2 + . . . + an| ≤ |a1| + |a2|+ . . . + |an|, quaisquer
que sejam os números a1, a2, . . . , an.
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Material
Complementar
F I L M E
O homem que viu o infinito
Ano: 2015
 Comentário: o �lme é uma cinebiogra�a do matemático
indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920). As
contribuições de Ramanujan para a matemática eram
obtidas por meio da “inspiração divina”, como ele próprio
dizia, pois era muito religioso; no entanto, a inspiração não
demonstrava resultados. No �lme é possível conhecer
como ele foi estudar na Inglaterra e as di�culdades que
encontrou para isso. Com o apoio do matemático inglês
Godfrey H. Hardy, Ramanujan frequentou aulas de
Matemática para que pudesse apresentar seus resultados
com maior rigor.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer
disponível em:
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TRA I LER
L I V R O
Análise matemática para licenciatura
Geraldo Severo de Souza Ávila
Ano: 2006
Editora: Blucher
ISBN: 978-85-212-0395-7
Comentário: o livro, como se observa em seu título, tem
como foco os alunos de licenciatura; e seu autor busca
relações entre o conteúdo ensinado e como este pode ser
aplicado por professores da Educação Básica. Além do
conteúdo formal e especí�co que se espera para o curso
de Análise, o leitor pode contar com notas históricas sobre
os assuntos tratados.
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Conclusão
Caro(a) estudante, chegamos ao �nal deste estudo. Podemos compreender o
conceito de enumerabilidade de conjuntos in�nitos, que basicamente nos fornece
uma forma de quanti�car os elementos de tal conjunto e nos permite entender que
conjuntos in�nitos e seus subconjuntos próprios podem possuir a mesma
quantidade de elementos .
Também estudamos as grandezas incomensuráveis a partir de razões entre
segmentos de �guras geométricas, como o quadrado e o retângulo áureo. Por �m,
vimos que essas grandezas foram responsáveis pela noção de número irracional,
que só foi formalizado por meio da construção dos números reais via cortes de
Dedekind.
Espero que os conceitos tenham �cado claros, pois serão úteis para a
compreensão de resultados futuros.
Referências
ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para
licenciatura . São Paulo: Blucher, 2006.
16/08/2022 20:09 E-book
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BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História
da matemática . São Paulo: Blucher,
2012.
GARBI, G. Cantor e os números
trans�nitos. Revista do Professor de
Matemática , [s. l. ], v. 88, 2015.
Disponível em:
https://rpm.org.br/cdrpm/88/2.html .
Acesso em: 27 abr. 2021.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo . 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019. v. 1.
LIMA, E. L. Curso de análise . Rio de Janeiro: IMPA, 2014. v. 1.
LOURÊDO, A. T. Algumas belas aplicações da desigualdade triangular. Revista do
Professor de Matemática , [ s. l .], v. 84, 2014. Disponível em:
https://www.rpm.org.br/cdrpm/84/9.html. Acesso em: 27 abr. 2021.
O HOMEM que viu o in�nito - trailer o�cial legendado. [ S. l.: s. n. ], 2016. 1 vídeo
(2m31s). Publicado pelo canal Diamond Films Brasil. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=mfyAyfGrA4A . Acesso em: 27 abr. 2021.
PANONCELI, D. M. Análise matemática . Curitiba: InterSaberes, 2017.
https://rpm.org.br/cdrpm/88/2.html
https://www.youtube.com/watch?v=mfyAyfGrA4A
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Introdução
Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a)!
FUNDAMENTOS DE ANÁLISEFUNDAMENTOS DE ANÁLISE
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
SEQUÊNCIAS E SÉRIESSEQUÊNCIAS E SÉRIES
Au to r ( a ) : M e . E l a i n e C r i s t i n a S t u r i o n
R ev i s o r : G i s l a i n e D o n i ze t i Fa g n a n i d a C o s t a
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 5 minutos.
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Neste material, vamos tratar do estudo das sequências e séries. O estudo de sequência nos
fornecerá uma introdução a alguns conceitos de limites que poderemos estender para funções.
Na primeira parte do conteúdo, estudaremos as sequências in�nitas . De�niremos sequências
limitadas, monótonas e subsequências. Além disso, estudaremos os limites de sequências
apresentando as operações com limites e limites no in�nito.
Na segunda parte, trataremos das séries in�nitas . Estudaremos algumas séries particulares,
como a série harmônica e a série geométrica. Veremos que, em alguns casos, conseguimos
determinar a soma das séries e, em outros, apenas estudar a sua convergência. Neste caso,
apresentaremos alguns testes para o estudo da convergência de séries.
Durante a leitura você encontrarávários resultados e exemplos ilustrativos. Faça uma boa leitura!
Caro(a) estudante, vamos iniciar nossa unidade com as sequências in�nitas. De forma simples,
uma sequência numérica é de�nida como uma função
em que ;. o número é chamado de índice da sequência e o elemento é chamado
de termo geral da sequência .
Para indicar a sequência , escreveremos ou , ou simplesmente 
.
De acordo com Panonceli (2017, p. 59), “uma sequência converge para o limite quando,
para todo , existe tal que, para todo , ocorre ”. Podemos usar
as seguintes notações para indicar que a sequência é convergente:
Sequências Infinitas
f : N → R
n → f (n)
f (n) = an n an
a ( , , . . . , , . . . )a1 a2 an ( )an  n ∈ N
( )an
( )an L
ε > 0 N > 0 n > N | − L| < ε.an
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 ou 
Portanto, chamamos de sequência convergente a sequência que converge para um limite e de
sequência divergente a sequência que não é convergente.
Teorema 1 (Unicidade do limite) : uma sequência só pode convergir para um único limite.
Demonstração . Seja uma sequência e , tais que e . Vamos
mostrar que .
Suponha, por absurdo, que . Tome . Como , temos que existe 
, tal que implica em .
Por outro lado, temos , ou seja, existe , tal que implica em 
.
Seja . Então, implica em:
A desigualdade acima é um absurdo, logo, concluímos que e o limite de uma sequência,
quando existir, é único.
Nesta seção, vamos estudar as sequências limitadas e as operações com limites de sequências.
Sequências Limitadas
Uma sequência é limitada quando seu conjunto de termos é limitado, ou seja, existe um
número real tal que , para todo . Se este número não existe, a sequência é
dita ilimitada.
Exemplo 1 : A sequência é uma sequência limitada. Observe que 
, logo, .
Exemplo 2 : A sequência é uma sequência limitada. De fato, pela desigualdade
triangular, temos:
( ) → Lan = Llim
n→ +∞
an
( )an L,M ∈ R → Lan → Man
L = M
L ≠ M ε = > 0|L−M|2 → Lan
> 0N1 n ≥ N1 | − L| < εan
→ Man > 0N2 n ≥ N2
| − M | < εan
N = max { , }N1 N2 n ≥ N
        |L − M | = |L − M + − |=| − ( − L) + ( − M) |≤| − L |+| − M |an an an an an an
⇒     | − L |+| − M | < ε + ε = 2ε = 2 = |L − M |an an
|L − M |
2
⇒     |L − M | < |L − M |
L = M
( )an
M | | ≤ Man n ∈ N M
( ) = ( )an (−1)
n 
( ) = (−1, 1, −1, 1, . . . )an | | ≤ 1an
( ) = (1 − )an 1n
        1 − < |1| + < 1 + 1 = 2
∣
∣
∣
1
n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
n
∣
∣
∣
⇒     1 − < 2
∣
∣
∣
1
n
∣
∣
∣
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O teorema a seguir nos fornece um importante resultado para veri�car se uma sequência é
limitada .
Teorema 2 : Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração . Pela de�nição de convergência, dado qualquer , existe tal que 
implica em . Vamos mostrar que a sequência é limitada, ou seja, existe 
 tal que .
Pela desigualdade , temos que:
Logo, a partir do índice , temos que . Para englobar a sequência
inteira, basta considerar o conjunto . Seja o maior
elemento de e o menor elemento de . Então, para todo , ou seja, é
limitada.
A recíproca do teorema 2 não é válida, isto é, uma sequência pode ser limitada sem ser
convergente . Por exemplo, considere a sequência do Exemplo 1 , .
Provamos que ela é limitada, no entanto, essa sequência não é convergente, veja o Exemplo 5
mais adiante.
Operações com Limites
A de�nição rigorosa de limite, conforme apresentada na de�nição de sequência convergente,
“permite desenvolver toda uma teoria do limite , que fundamenta todas as teorias da Análise
Matemática” (ÁVILA, 2006, p. 80). Assim, a partir desta de�nição, podemos provar que os
resultados apresentados nos teoremas 3 e 4 são válidos.
Vamos enunciar o teorema 3, conforme Ávila (2006, p. 80).
ε > 0 N n > N
| − L| < εan ( )an
M ∈ R | | ≤ Man
| − L| < εan
| − L| < ε     ⇒     − ε < − L < ε   an an
⇒    L − ε < < L + εan
n = N + 1 ∈ (L − ε,L + ε)an
A = {L − ε,  L + ε, , , … , }a1 a2 aN M
A m A m ≤ ≤ Man n ∈ N an
( ) = (−1, 1, −1, 1, ⋯)an
17/08/2022 20:09 E-book
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Fonte: okolaa / 123RF.
Estudante, a demonstração do teorema 3 será deixada como exercício.
Teorema 4 : sejam e duas sequências convergentes, com limites e ,
respectivamente. Se , então   .
Demonstração . Temos que , então, para demonstrar que , vamos
mostrar que e usar o Teorema 3-II para completar a demonstração.
Pela de�nição de limite, dado , existe , tal que implica em
Além disso, existe , tal que implica em
Seja . Para todo , temos
Portanto, . Segue do teorema 3-III que .
Teorema 3
Sejam e duas sequências convergentes, com limites e , respectivamente. Então, , e ,
em que é uma constante qualquer, são sequências convergentes, além do que, 
I.    
II.    
III.   
( )an ( )bn A B ( + )an bn ( )anbn (k )an
k
( + ) = + = A + Blim an bn lim an lim bn
( ) = ( ) ⋅ ( ) = ABlim anbn lim an lim bn
(k ) = k ⋅ = kAlim an lim an
( )an ( )bn A B
B ≠ 0 ( ) = =lim an
bn
lim an
lim bn
A
B
= ⋅an
bn
an 
1
bn
( ) =lim an
bn
A
B
( ) =lim 1
bn
1
B
ε > 0 > 0N1 n ≥ N1
| | >bn
|B|
2
> 0N2 n ≥ N2
|B − | <bn
εB2
2
N = max { , }N1 N2 n ≥ N
        − = = ≤ = |B − | < = ε∣
∣
∣
1
bn
1
B
∣
∣
∣
∣
∣
∣
B − bn
Bbn
∣
∣
∣
|B − |bn
| | |B|bn
|B − |bn
(|B| /2) |B|
2
B2
bn
2
B2
εB2
2
⇒     − < ε
∣
∣
∣
1
bn
1
B
∣
∣
∣
( ) =lim 1
bn
1
B
( ) =lim an
bn
A
B
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As operações de limites de sequências descritas nos teoremas anteriores também são válidas
para o cálculo do limite de uma função, pois uma sequência nada mais é do que uma função.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
De acordo com Lima (2014, p. 100), “uma sequência de números reais é uma função ,
de�nida no conjunto dos números naturais e tomando valores no conjunto 
 dos números reais”. A sequência é dita convergente quando tem um limite e divergente
quando não o tem. Além disso, se para todo , a sequência é dita limitada.
LIMA, E. L. Curso de análise : volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
Com base nos conceitos de sequência convergente e limitada e considerando a sequência 
, assinale a alternativa correta.
a) A sequência não é limitada.
b) A sequência não é convergente.
c) A sequência converge para .
d) A sequência converge para .
e) A sequência é limitada e, portanto, convergente.
x : N → R
N = {1, 2, 3, . . . }
R ( )xn
| | ≤ Mxn n ∈ N
( ) = ( )an 1n
( )an
( )an
( )an 1
( )an 0
( )an
Sequências Monótonas
17/08/2022 20:09 E-book
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Dando continuidade aos estudos, nesta seção, vamos dedicar nossa atenção para as sequências
monótonas.
Podemos classi�car uma sequência de acordo com a organização de seus elementos. Por
exemplo, uma sequência pode apresentar seus elementos de forma crescente ou decrescente.
Sequências que apresentam esse tipo de comportamento são denominadas monótonas. Assim,
uma sequência é dita sequência monótona quando seus termos satisfazem às seguintes
condições:
1. Sequência crescente : quando , isto é, quando 
para todo .
2. Sequência não decrescente : quando , isto é, quando 
 para todo .
3. Sequência decrescente : quando , isto é, quando 
para todo .
4. Sequência não crescente : quando , isto é, quando 
para todo .
Teorema 5 : toda sequência monótona e limitada é convergente.
Demonstração. Considere uma sequência não decrescente, ou seja, . Seja 
 o conjunto de todos os elementos de . Como a sequência é
limitada, por hipótese, o conjunto tem um supremo, digamos que . Vamos mostrar
que .