aula04_mec_01_11

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MECAˆNICA -
MAC010 04
Profa
Miche`le Farage
MAC - UFJF
Princ´ıpios Gerais
Forc¸as, vetores e
operac¸o˜es
vetoriais
Sistema de forc¸as
coplanares
Sistema de forc¸as
tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
MECAˆNICA - MAC010 04
Profa Miche`le Farage
MAC - UFJF
14 de marc¸o de 2011
MECAˆNICA -
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Forc¸as, vetores e
operac¸o˜es
vetoriais
Sistema de forc¸as
coplanares
Sistema de forc¸as
tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
1 Princ´ıpios Gerais
2 Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais
Sistema de forc¸as coplanares
Sistema de forc¸as tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
3 Equil´ıbrio de um ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as coplanares
Diagrama de corpo livre
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em 2D
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coplanares
Sistema de forc¸as
tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
1 Princ´ıpios Gerais
2 Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais
Sistema de forc¸as coplanares
Sistema de forc¸as tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
3 Equil´ıbrio de um ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as coplanares
Diagrama de corpo livre
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em 2D
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Aplicac¸a˜o
Como determinar as forc¸as que agem nos cabos AB e
AC?
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Aplicac¸a˜o
Qual e´ o peso que os cabos podem suportar?
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tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Aplicac¸a˜o
Dados os pesos dos sema´foros, qual deve ser a sec¸a˜o
transversal dos cabos?
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Conceito de equil´ıbrio de um
ponto material
Um ponto material se encontra em equil´ıbrio se a
resultante de forc¸as que agem sobre ele for nula.
∑
F = 0
Segunda lei de Newton: F = ma∑
F =
∑
ma = 0 
∑
F = 0
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Conceito de equil´ıbrio de um
ponto material
Um ponto material se encontra em equil´ıbrio se a
resultante de forc¸as que agem sobre ele for nula.∑
F = 0
Segunda lei de Newton: F = ma∑
F =
∑
ma = 0 
∑
F = 0
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Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Conceito de equil´ıbrio de um
ponto material
Um ponto material se encontra em equil´ıbrio se a
resultante de forc¸as que agem sobre ele for nula.∑
F = 0
Segunda lei de Newton: F = ma∑
F =
∑
ma = 0 
∑
F = 0
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Sistemas de forc¸as
coplanares
Se o conjunto estiver em equil´ıbrio, enta˜o a part´ıcula A
tambe´m esta´ em equil´ıbrio.
Para determinar as forc¸as que
agem nos cabos para um determinado peso, e´ necessa´rio
desenhar um diagrama de corpo livre e aplicar as equac¸o˜es de
equil´ıbrio.
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Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Sistemas de forc¸as
coplanares
Se o conjunto estiver em equil´ıbrio, enta˜o a part´ıcula A
tambe´m esta´ em equil´ıbrio. Para determinar as forc¸as que
agem nos cabos para um determinado peso, e´ necessa´rio
desenhar um diagrama de corpo livre e aplicar as equac¸o˜es de
equil´ıbrio.
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Diagrama de corpo livre
• E´ um desenho que representa todas as forc¸as
externas que agem sobre um ponto material.
• Auxilia a montagem das equac¸o˜es de equil´ıbrio
usadas para determinac¸a˜o das inco´gnitas de um
problema - em geral, forc¸as e aˆngulos.
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Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Diagrama de corpo livre
• E´ um desenho que representa todas as forc¸as
externas que agem sobre um ponto material.• Auxilia a montagem das equac¸o˜es de equil´ıbrio
usadas para determinac¸a˜o das inco´gnitas de um
problema - em geral, forc¸as e aˆngulos.
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Vetor-posic¸a˜o
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Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Como trac¸ar um Diagrama
de corpo livre
1 Isolar o ponto
2 Representar as forc¸as que agem sobre o ponto (ativas e
reativas)
3 Identificar todas as forc¸as conhecidas e as inco´gnitas do
problema.
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livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Como trac¸ar um Diagrama
de corpo livre
1 Isolar o ponto
2 Representar as forc¸as que agem sobre o ponto (ativas e
reativas)
3 Identificar todas as forc¸as conhecidas e as inco´gnitas do
problema.
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ponto material
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Como trac¸ar um Diagrama
de corpo livre
1 Isolar o ponto
2 Representar as forc¸as que agem sobre o ponto (ativas e
reativas)
3 Identificar todas as forc¸as conhecidas e as inco´gnitas do
problema.
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Equil´ıbrio de um
ponto material
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Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em 2D
• Se a part´ıcula A esta´ em equil´ıbrio, enta˜o a forc¸a
resultante em A e´ nula: FAB + FAC + FAD = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio: ∑F = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma vetorial:∑
Fx i +
∑
Fy j = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma escalar: ∑Fx = 0 e∑
Fy = 0
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de
equil´ıbrio
em 2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em 2D
• Se a part´ıcula A esta´ em equil´ıbrio, enta˜o a forc¸a
resultante em A e´ nula: FAB + FAC + FAD = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio: ∑F = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma vetorial:∑
Fx i +
∑
Fy j = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma escalar: ∑Fx = 0 e∑
Fy = 0
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Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em 2D
• Se a part´ıcula A esta´ em equil´ıbrio, enta˜o a forc¸a
resultante em A e´ nula: FAB + FAC + FAD = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio: ∑F = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma vetorial:∑
Fx i +
∑
Fy j = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma escalar: ∑Fx = 0 e∑
Fy = 0
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Equil´ıbrio de um
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em 2D
• Se a part´ıcula A esta´ em equil´ıbrio, enta˜o a forc¸a
resultante em A e´ nula: FAB + FAC + FAD = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio: ∑F = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma vetorial:∑
Fx i +
∑
Fy j = 0
• Equac¸a˜o de equil´ıbrio na forma escalar: ∑Fx = 0 e∑
Fy = 0
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Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em
2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio de um ponto material em 2D:∑
Fx = 0
∑
Fy = 0
E´ poss´ıvel determinar problemas com 2 inco´gnitas.
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Equil´ıbrio de um
ponto material
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livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio em
2D
Equac¸o˜es de equil´ıbrio de um ponto material em 2D:∑
Fx = 0
∑
Fy = 0
E´ poss´ıvel determinar problemas com 2 inco´gnitas.
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Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
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Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo
A massa do motor e´ m=250kg
P=250kg . 9,81m/s2 = 2452,5 N = 2,452 kN
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Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo
A massa do motor e´ m=250kg
P=250kg . 9,81m/s2 = 2452,5 N = 2,452 kN
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livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 1
A massa do motor e´ m=250kg
P=250kg . 9,81m/s2 = 2452,5 N = 2,452 kN
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Equac¸o˜esde
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 1
Sistema de equac¸o˜es:
→ +
∑
Fx = 0⇒ TB cos 30o − TD = 0
↑ +
∑
Fy = 0⇒ TB sin 30o − 2, 452 = 0
Soluc¸a˜o:
TB = 4, 90kN
TD = 4, 25kN
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
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coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 1
Sistema de equac¸o˜es:
→ +
∑
Fx = 0⇒ TB cos 30o − TD = 0
↑ +
∑
Fy = 0⇒ TB sin 30o − 2, 452 = 0
Soluc¸a˜o:
TB = 4, 90kN
TD = 4, 25kN
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tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 1
Sistema de equac¸o˜es:
→ +
∑
Fx = 0⇒ TB cos 30o − TD = 0
↑ +
∑
Fy = 0⇒ TB sin 30o − 2, 452 = 0
Soluc¸a˜o:
TB = 4, 90kN
TD = 4, 25kN
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Equil´ıbrio de um
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livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 1
Sistema de equac¸o˜es:
→ +
∑
Fx = 0⇒ TB cos 30o − TD = 0
↑ +
∑
Fy = 0⇒ TB sin 30o − 2, 452 = 0
Soluc¸a˜o:
TB = 4, 90kN
TD = 4, 25kN
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Molas
Em sistemas mecaˆnicos, e´ comum o emprego de molas como
elementos de conexa˜o ou apoio.
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Miche`le Farage
MAC - UFJF
Princ´ıpios Gerais
Forc¸as, vetores e
operac¸o˜es
vetoriais
Sistema de forc¸as
coplanares
Sistema de forc¸as
tridimensional
Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
Aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o
Sistema de forc¸as
coplanares
Diagrama de corpo
livre
Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Molas
Mola ela´stica linear
• Comportamento linear: a variac¸a˜o de comprimento
da mola e´ diretamente proporcional a` intensidade da
carga aplicada.
• Comportamento ela´stico: retirando-se o
carregamento, a mola retorna ao comprimento
original.
O comportamento mecaˆnico da mola ela´stica linear e´
descrito por:
F = ks
onde F e´ a forc¸a aplicada na mola, s e´ a variac¸a˜o de
comprimento da mola e k e´ a constante ou rigidez da
mola.
MECAˆNICA -
MAC010 04
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Vetor-posic¸a˜o
Produto-escalar
Equil´ıbrio de um
ponto material
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Definic¸a˜o
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Molas
Mola ela´stica linear
• Comportamento linear: a variac¸a˜o de comprimento
da mola e´ diretamente proporcional a` intensidade da
carga aplicada.
• Comportamento ela´stico: retirando-se o
carregamento, a mola retorna ao comprimento
original.
O comportamento mecaˆnico da mola ela´stica linear e´
descrito por:
F = ks
onde F e´ a forc¸a aplicada na mola, s e´ a variac¸a˜o de
comprimento da mola e k e´ a constante ou rigidez da
mola.
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Mola ela´stica linear
• Comportamento linear: a variac¸a˜o de comprimento
da mola e´ diretamente proporcional a` intensidade da
carga aplicada.
• Comportamento ela´stico: retirando-se o
carregamento, a mola retorna ao comprimento
original.
O comportamento mecaˆnico da mola ela´stica linear e´
descrito por:
F = ks
onde F e´ a forc¸a aplicada na mola, s e´ a variac¸a˜o de
comprimento da mola e k e´ a constante ou rigidez da
mola.
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Molas
Mola ela´stica linear
• Comportamento linear: a variac¸a˜o de comprimento
da mola e´ diretamente proporcional a` intensidade da
carga aplicada.
• Comportamento ela´stico: retirando-se o
carregamento, a mola retorna ao comprimento
original.
O comportamento mecaˆnico da mola ela´stica linear e´
descrito por:
F = ks
onde F e´ a forc¸a aplicada na mola, s e´ a variac¸a˜o de
comprimento da mola e k e´ a constante ou rigidez da
mola.
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ponto material
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Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Cabos e polias
• Considera-se que os cabos teˆm peso desprez´ıvel e
sejam indeforma´veis.
• Despreza-se o atrito nas polias.
• Os cabos suportam apenas forc¸as de trac¸a˜o.
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de
equil´ıbrio
em 2D
Cabos e polias
• Considera-se que os cabos teˆm peso desprez´ıvel e
sejam indeforma´veis.
• Despreza-se o atrito nas polias.
• Os cabos suportam apenas forc¸as de trac¸a˜o.
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de
equil´ıbrio
em 2D
Cabose polias
• Considera-se que os cabos teˆm peso desprez´ıvel e
sejam indeforma´veis.
• Despreza-se o atrito nas polias.
• Os cabos suportam apenas forc¸as de trac¸a˜o.
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equil´ıbrio
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Cabos e polias
• Considera-se que os cabos teˆm peso desprez´ıvel e
sejam indeforma´veis.
• Despreza-se o atrito nas polias.
• Os cabos suportam apenas forc¸as de trac¸a˜o.
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Equac¸o˜es
de
equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 2
Sabendo que as cargas ma´ximas
suportadas pelas correntes AB e AC sa˜o, respectivamente,
2,00 kN e 2,14 kN, calcular o peso ma´ximo do motor.
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equil´ıbrio
em 2D
Exemplo 3
Dado o sistema em equil´ıbrio
representado na figura, determinar o peso do saco B sabendo
que o saco A pesa 200N.
	Princípios Gerais
	Forças, vetores e operações vetoriais
	Sistema de forças coplanares
	Sistema de forças tridimensional
	Vetor-posição
	Produto-escalar
	Equilíbrio de um ponto material
	Aplicação
	Definição
	Sistema de forças coplanares