Texto de apoio I Mecanica Teorica 2021

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Primeiro Texto de apoio de Mecânica Teórica 1
0. Aparato Matemático 
Traz-se esta parte nesta cadeira que parece estranha mas que é de estrema importância, uma vez que a mecânica teórica para fazer a análise objectiva do seu estudo baseia-se se fundamentalmente na análise matemática. É justo que pense porque ainda estudar a análise pois o Curso de Ensino de Física na Universidade Pedagógica oferece quatro cadeiras de analise Matemática até ao segundo ano? Não se trata de um tratamento tanto quanto geral mas direccional como forma de refrescar a memoria do estudante e direcciona-lo tendo em conta objectivo da cadeira razão pela qual apresenta-se um tratamento muito breve.
Vamos falar do Cálculo Vectorial que é indispensável no estudo da Cinemática e da Dinâmica. Falaremos também dos operadores diferencias que são tratados na dinâmica propriamente dita e, em particular, às relativas à Energia Mecânica.
De referir que não somos originais nesse procedimento, por essa razão apelamos que sempre que achar conivente procurar ler esses conteúdos nos livros de análise matemática. 
Elementos de Análise Vectorial
Noção do campo
Da análise vectorial define-se Campo como sendo a especificação de uma certa grandeza ao longo de toda uma região ou seja região do espaço que está sob acção de um fenómeno, grandeza que quantifica as acções `a distância dentro de uma certa região. 
Campos Escalares, quando a cada ponto da região do espaço corresponde um escalar.
Exemplos : Campos de Temperatura, Densidades, Potenciais, Massa, Volume,
resistividade.
Seja Φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , onde, para cada valor constante de Φ define-se uma Superfície. Se a cada ponto (x, y, z) da região do espaço corresponder um vector, diremos que temos um Campos Vectorial. 
Exemplos : Campos de Velocidade, Gravitacional, Eléctrico, Magnético.
O.2 Operadores Gradientes, Divergência e Rotacional. 
Para descrevermos estes três operadores importa primeiro falar do operador nabla, 
Operador Nabla
A expressão 
Pode ser escrita de forma simbólica, da seguinte maneira:
A expressão entre parêntesis podendo ser considerada como um operador diferencial, semelhantemente ao operador utilizado em Análise Matemática.
Hamilton teve ideia de considerar esse operador como o produto escalar de dois vectores, o primeiro dos quais é inteiramente simbólico (1), este vector simbólico é um operador diferencial de grande significado, permitindo por sua vez a conceituação de novos operadores, muito importantes na Física em especial(FONSECA, 1977: 139). Ele é chamado de nabla, nabla hamiltoniano, del ou até atled (delta ao contrário, devido ao símbolo consagrado para a sua representação). 
O operador nabla , assim definido revelou-se um “prestidigitador” de grandes recursos, capaz de transformar um escalar num vector, um vector em um escalar, ou noutro vector.
 0.2.1. Operador Gradientes
A. Gradiente de uma Função Escalar.
Se uma grandeza escalar V varia no espaço, constituindo o que se chama, de forma expressiva, um campo escalar, isto é, se (onde essa função V deve ser uma função continua de ponto e apresentar uma variação elementar dV) é possível conceber um vector derivando desse campo escalar, e cujas componentes são respectivamente, as derivadas de :
A esse vector dá-se nome de gradiente de V e se representa por gradV, ( INDIAS, 192 : 207)
. Temos portanto, por definição:
... (2)
Em virtude da definição do operador nabla , podemos definir o gradiente simbolicamente por: 
B. Operador Gradiente em outras Coordenadas 
· 
Gradiente em coordenadas Cartesianas 
· 
Gradiente em Coordenadas Cilíndricas 
· Gradiente em coordenadas no sistema esféricas
 C. Significado Físico de Operador Gradiente 
A definição, que adoptamos para o gradiente é inteiramente abstracta. Este tratamento nos parece didáctico e mais simples: é um símbolo matemático, podendo ter ou não significação físico. (FONSECA, 1977: 139):. 
· Verificamos quando estudamos as questões relativas à Energia Mecânica, que a força, nos campos conservativos, é igual e contrária ao gradiente da função de forças.
· 
O gradiente transforma uma grandeza escalar em uma grandeza vectorial, como por exemplo na electricidade relaciona-se o campo eléctrico com o potencial pela expressão: 
· O gradiente é perpendicular à superfície equipotencial (superfícies de nível). 
· O gradiente aponta na direcção de crescimento da função do campo;
· A sua direcção é aquela segundo a qual a derivada direccional no ponto dado tem valor máximo e o seu módulo é igual a este máximo:
 (3)
( o gradiente é invariante com respeito ao sistema de coordenadas). 
· O gradiente segundo a (3) indica a direcção na qual a taxa de variação do campo é maior no ponto dado..
Exemplo 1. encontrar o gradiente do campo escalar 
Solução: 
A superfície de nível deste campo serão os planos . O é normal a esta família de planos.
Exemplo 2. encontrar o mais forte incremento da superfície no ponto . 
Solução: 
 (o máximo é tomado ao variar-se a direcção ).
Exemplo 3. encontrar o gradiente da função , que dá a distância entre o ponto genérico e um ponto fixo .
Solução: temos isto é, o vector unitário de .
D. Algumas Propriedades do Operador Gradiente
Sendo funções escalares
0.2.2.Operador Divergência
A. Definição 
Chama-se divergência de um vector , a função de ponto, isto é, função de x, y e z ao produto escalar do operador nabla , pelo vector , e se representa por div. ; então por definição: ou 
Chamando de X, Y, Z as componentes do vector , e efectuando o produto escalar simbólico temos: (4)
B. Operador Divergência em outras Coordenadas 
· 
Divergência em Coordenadas Cartesianas 
· 
Divergência em Coordenadas Cilíndricas.
· Divergência em Coordenadas Esféricas
C. Significado Físico de Operador Divergência 
A definição que deu-se acima é puramente matemática, o que não quer dizer que a divergência não tenha significado físico. Encontram-se aplicações em Electricidade, em Mecânica dos fluidos e em Termodinâmica todas estas baseadas no Teorema da Divergência: “A integral da divergência de um vector, estendida ao volume é igual ao fluxo que, de fora para dentro, atravessa a superfície regular que limita o volume” (FONSECA, 1977: 140): 
.
· Operador divergência permite saber se o fluxo de um campo vectorial através de uma superfície fechada se é zero ou não.
· Divergência é um operador que tem a função de transformar campos vectoriais em campos escalares, para discutir o significado físico deste operador começa por fazer referência ao significado etimológico do vocábulo divergência que significa afastamento. 
Conforme pode-se entender a partir do significado a escolha do nome tem uma explicação física.
Pode-se ilustrar este facto a partir das seguintes figuras, que representam dois campos vectoriais, o primeiro de divergência positiva, o segundo de divergência nula. 
Figura 6 (fonte: Índias 1992: 209), dois campos vectoriais de divergência positiva e divergência nula. 
Na figura acima em M o campo é nulo, mas na sua vizinhança não o é. Quando for a figura que representa esta situação é:
Figura 7 (fonte: Índias 1992: 210), Campo vectorial de divergência negativa 
Figura 8 (fonte: Índias 1992: 210), Campo vectorial de divergência nula.
D. Algumas Propriedades do Operador Divergênte
Sendo funções escalares
0.2.3. Operador Rotacional 
A. Definição 
Chama-se rotacional, rotor ou turbilhão de um vector , função de ponto, isto é, função de x,y,z, ao produto vectorial do operador nabla , pelo vector; então, temos por definição:
 
Chamando de X,Y,Z as componentes do vector ( sendo função de x,y,z, é claro que seus componentes X,Y,Z são também, funções de x,y,z. teremos:
 
Desenvolvendo o determinante teremos:
.
Chamando l, m, n as componentes do vector , temos portanto:
B. Operador Rotacional em outrasCoordenadas 
· Rotacional em coordenadas cartesianas
.
· Rotacional em coordenadas cilíndricas
· Rotacional em coordenadas esféricas
.
C. Significado Físico de Operador Rotacional 
A definição dada, como a dos demais operadores diferenciais estudados, é puramente matemática. O rotacional encontra, no entanto, diversas aplicações físicas, não só em Mecânica dos sólidos, como em Mecânica dos fluidos e em electricidade. 
· O operador rotacional é a ferramenta apropriada para testar se a integral de linha de um campo vectorial depende ou não do caminho.
· O rotacional etimologicamente deriva de rotação razão pela qual usa-se na física no estudo dos fluidos, sempre que há movimento de rotação ou seja a formação de turbilhões e remoinhos.
Rotacional transforma campos vectoriais em campos vectoriais
D. Algumas Propriedades do Operador Rotacional 
Sendo funções escalares
1. Introdução e conceitos básicos da Mecânica Teórica:
· Breve Historial;
· Campos de Física Teórica;
· Objecto de estudo; 
· Métodos da mecânica teórica;
· Divisão da mecânica teórica;
· Propriedades do espaço e do tempo;
· Modelos físicos usados: ponto material e corpo rígido.
Breve Historial da Mecânica Teórica
 “Mecânica Teórica” faz uma abordagem sobre o historial da Mecânica Teórica. A mecânica teórica, estando intimamente ligada à actividade prática dos seres humanos, é uma das ciências mais antigas. 
No inicio, a mecânica se desenvolveu preferencialmente no campo da estática, ou seja, do estudo equilíbrio dos corpos materiais. Já no século III a.C., graças principalmente dos trabalhos do eminente cientista da Antiguidade Arquimedes (287 – 212), foram criadas as bases cientificas da estática. Arquimedes deu a solução precisa do problema referente ao equilíbrio da alavanca, criou a teoria do centro de gravidade, descobriu a conhecida lei da hidrostática que leva o seu nome e outras.
Não obstante as questões referentes ao movimento dos corpos preocuparam os cérebros dos cientistas desde a Antiguidade, a cinemática e, principalmente, a dinâmica começaram a ser edificadas nos limites dos séculos XVI e XVII. O papel principal da criação da dinâmica pertenceu a Galileu (1564-1642) e Newton (1643-1727). No final do século XIX e no início do século XX, tornou-se claro que estas leis não são aplicáveis ao movimento das micro partículas e corpos que se movimentam a velocidades próximas à velocidade da luz. No início do século XX, surgiu a Mecânica relativista que se baseia na teoria de relatividade formulada por A. Einstein (1879-1955) a teoria da relatividade ao estabelecer vínculos regulares existentes entre o espaço, o tempo, a massa e a energia, precisou os limites do emprego das leis da Mecânica Clássica. A mecânica relativista não invalida as leis da mecânica clássica, mas simplesmente, mostra os limites desta e demonstra que suas leis não são validas onde a velocidade do movimento do corpo é compatível com a velocidade da luz.
 Campos de Física Teórica
· Mecânica Teórica 
· Electrodinâmica Clássica 
· Mecânica Quântica
· Física Estatística (Mecânica Estatística)
Objecto de estudo da Mecânica Teórica
A mecânica Teórica é uma ciência que trata da forma mais simples do movimento da matéria e do equilíbrio dos corpos materiais ou das suas partes.
Movimento Mecânico: É a mudança de posição dos corpos materiais entre si com o correr do tempo. Como o estado de equilíbrio é um caso particular do movimento, também está entre as tarefas da Mecânica Teórica o estudo do equilíbrio dos corpos materiais.
Métodos da Mecânica Teórica
A Mecânica Teórica usa amplamente o método das abstracções, amplo emprego da Análise Matemática e a precisão das teses e deduções da Mecânica Teórica é provada de modo conclusivo pela experiência e, mais amplamente pela prática.
Divisão da Mecânica
O curso de Mecânica teórica comporta três partes: a Cinemática, a Dinâmica e a Estática.
A Cinemática é a parte da Mecânica Teórica onde o movimento mecânico é estudado somente segundo seu aspecto geométrico, sendo menosprezadas as interacções que determinam este movimento. 
A Dinâmica estuda os movimentos dos corpos materiais em função das forças que actuam sobre estes.
A Estática é o estudo do equilíbrio dos corpos materiais e da redução do sistema de forças.
Propriedades do espaço e do tempo
Espaço e Tempo: a causa do movimento mecânico está na variação permanente da variedade do mundo material. Todos os movimentos mecânicos que observamos transcorrem no espaço e no tempo; o espaço e o tempo são inseparáveis do movimento dos corpos materiais, eles são uma forma de existência do mundo material.
Na Mecânica Teórica trataremos do espaço tridimensional que possui as propriedades de Homogeneidade, Isotropia e de continuidade.
O tempo é considerado universal para todos os pontos do espaço e independente do movimento do corpo material.
Modelos físicos usados na Mecânica Teórica
Ponto Material
Na Mecânica Teórica e, por consequência, na cinemática como parte sua, o corpo mais simples é o ponto material, isto é, corpo de dimensões extremamente pequenas, quando comparadas aos parâmetros do seu movimento no espaço. Isto é, entende-se por ponto material o corpo cujas dimensões e formas geométricas são desprezíveis e cujas propriedades físicas do corpo a que representa se mantém.
Ex: A terra é considerada ponto material no seu movimento de translação mas já não o é no seu movimento de rotação.
Corpo Rígido 
Corpo rígido é um sistema de pontos materiais cujas distâncias entre eles se mantém inalteráveis em quaisquer condições, isto é, não se deforma sejam quais forem as condições sobre ele impostas.
Ex: a terra no seu movimento de rotação em torno do seu eixo de rotação. Considera-se que a terra é constituída por um sistema de partículas cujas distâncias se mantém inalteradas. 
Mas a terra é deformável: aparecimento de vulcões, erosão, terramotos, etc. portanto ponto material e corpo rígido são modelos para a simplificação do estudo da realidade.
2. Movimento do Ponto Material
Sistemas de Referência
Coordenadas cartesianas e Coordenadas polares
Para estudar o movimento do corpo material desde o ponto de vista geométrico, devemos conhecer a posição que ele ocupa no espaço com o correr do tempo. É impossível fazer isto quando não dispomos de alguns corpos (sistema de referência) com respeito aos quais seja possível determinar a posição do corpo em movimento ou de um ponto nesse mesmo corpo. Se o espaço onde se verifica o movimento de um ponto material fosse vazio, ou seja, sem corpos materiais excepto o ponto material estudado, seria impossível determinar a sua posição.
Sistema de Coordenadas cartesianas
A posição do ponto no espaço tridimensional com respeito a um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos das coordenadas Y e Z. Quando estas coordenadas são conhecidas ou determinadas em cada instante de tempo estudado, ou seja, quando são conhecidas 
a posição do ponto no espaço em cada instante também é conhecida 
Neste caso, para os movimentos que estudamos, são funções unívocas, finitas e contínuas, como também o são as suas derivadas, pelo menos até a segunda, inclusive.
As equações chamam-se equações do movimento do ponto, e o método descrito de determinação do movimento, recebe o nome de método das coordenadas.
Sob o aspecto matemático, estas equações são designadas equações paramétricas da linha descrita pelo ponto no espaço (trajectória do ponto em movimento). Excluindo o parâmetro t, obtemos duas equações que ligam do ponto em movimento: as equações da trajectória; as equações da trajectória que não contêm o tempo t.
Movimento Plano
As equações apresentadas simplificam-se quando, durante todo o tempo do movimento, o ponto se mantém em um ponto fixo. Vejamos quando adoptamos o plano:
OXY: 
OXZ: 
OYZ: 
Vamos ter estas equações somente quando examinarmos o movimento descrito como um caso particular do caso geral do movimento do ponto no espaço. 
Já nocaso de do tratamento do movimento no plano, as equações do movimento tem o seguinte aspecto:
OXY: 
OXZ: 
OYZ: 
Movimento Unidimensional
E para o caso particular do movimento numa linha, as equações do movimento tomam o seguinte aspecto:
OX: 
OY: 
OZ: 
Determinação do movimento plano em coordenadas polares através do método das coordenadas
A posição do ponto no plano também pode ser determinada através de coordenadas polares. 
Sejam dados no plano o pólo O e o eixo polar OP. O comprimento do raio polar OM e o ângulo polar , contado a partir do eixo polar e até ao raio polar, em sentido anti horário, são determinados para qualquer ponto M diferente do pólo O. 
Quando adoptamos o eixo ox do sistema cartesiano de coordenadas no plano por eixo polar, as fórmulas para a passagem das coordenadas polares às coordenadas cartesianas são obtidas a partir da seguinte figura:
 
N.B. 
As fórmulas da passagem inversa são:
A posição do ponto que se movimenta num plano pode ser dada através da determinação das funções:
 para o intervalo de tempo estudado.
Estas equações são chamadas de equações do movimento plano em coordenadas polares, enquanto o método em si recebe o nome de determinação do movimento em coordenadas polares.
Deste modo, 
 Considerando que e que visto que
, Vem
 São coordenadas polares e
 São bases polares
Coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas;
Métodos de determinação do movimento do ponto: Método de coordenadas, método vectorial, método natural;
Já vimos que a posição do ponto no espaço tridimensional com respeito a um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos das coordenadas Y e Z. 
Através das equações:
denominadas equações do movimento do ponto.
	
Coordenadas cilíndricas 
No sistema de coordenadas cilíndricas a posição do ponto P é dada pelas posições escalares , e 
 - Raio da base do cilindro
 Ângulo entre posição e o eixo 0X. 
- Vector unitário dirigido para fora do cilindro perpendicularmente a OZ
- Vector unitário tangente a superfície do cilindro orientado no sentido positivo
- Vector unitário correspondente ao eixo OZ
Assim, são coordenadas cilíndricas e são bases cilíndricas (ortogonais)
Equações de transição de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas:
como então 
 
 
; como , vem que
Esta equação representa o raio vector em coordenadas cilíndricas ou a equação do movimento em coordenadas cilíndricas. 
· 
Recordemos que , e acrescentemos que visto que não varia de direcção 
 de acordo com a figura.
Assim para o módulo de tem-se 
 
Coordenadas esféricas
 
O movimento do ponto M em coordenadas esféricas pode ser definido pelas seguintes equações:
 .
Equações de Transição
Com ajuda das duas figuras podem ser escritas as seguintes equações de transição de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas:
 
 Substituindo o nas duas primeiras equações teremos:
As relações entre as bases cartesianas e as bases esféricas são dadas pelas equações:
 
 pois está no plano oxy
 São coordenadas esféricas e
 São bases ortonormadas
Métodos de Determinação do Movimento do Ponto Material
Método das coordenadas
A posição do ponto no espaço tridimensional com respeito a um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos das coordenadas Y e Z. Quando estas coordenadas são conhecidas ou determinadas em cada instante de tempo estudado, ou seja, quando são conhecidas 
a posição do ponto no espaço em cada instante também é conhecida 
Neste caso, para os movimentos que estudamos, são funções unívocas, finitas e contínuas, como também o são as suas derivadas, pelo menos até a segunda, inclusive.
As equações chamam-se equações do movimento do ponto, e o método descrito de determinação do movimento, recebe o nome de método das coordenadas.
Sob o aspecto matemático, estas equações são designadas equações paramétricas da linha descrita pelo ponto no espaço (trajectória do ponto em movimento). Excluindo o parâmetro t, obtemos duas equações que ligam do ponto em movimento: as equações da trajectória; as equações da trajectória que não contêm o tempo t.
Método Natural
De modo geral, as equações da trajectória podem ser apresentadas como:
 
Cada uma destas equações determina uma superfície no espaço e que o conjunto das duas equações determina uma curva formada pelo cruzamento destas superfícies. As equações podem ser obtidas a partir das equações , elas, por si mesmas já não determinam o movimento, pois o ponto pode se movimentar de diferentes maneiras ao longo da trajectória dada, isto é, a coordenada em forma de arco s do ponto M, contada com o sinal correspondente a partir da posição inicial do ponto, ao longo da trajectória dada, pode modificar-se de formas diferentes com o decorrer do tempo.
Quando além das coordenadas da trajectória sob forma puramente geométrica (ou seja aquelas que não contém o tempo), a variação da coordenada em forma de arco s com o correr do tempo, a qual é chamada lei do movimento, também é dada, o movimento é totalmente determinado.
O método de determinação do movimento do ponto sob a forma:
 
Chama-se método natural. O gráfico da função recebe o nome de gráfico do movimento.
Método Vectorial
 O método vectorial, é apenas um modo diferente de escrever o método das coordenadas. Ao tratar x, y e z como coordenadas do raio vector , que parte da origem das coordenadas O, podemos escrever o raio vector sob a forma de onde: são coordenadas cartesianas são bases (ortogonais) cartesianas. Como as coordenadas do ponto em movimento variam com o correr do tempo, o raio vector do ponto também varia em função do tempo.
 
Este método de determinação do movimento, permitirá mais a diante, definir mais claramente a velocidade do ponto em movimento como vector.
Grandezas Cinemáticas: Vector deslocamento, vector velocidade média e instantânea, vector aceleração;
Velocidade do ponto no Movimento Curvilíneo.
MRU e MRUV como casos particulares.
Velocidade do ponto como vector
Suponhamos que um ponto em movimento ocupe a posição M(x,y,z) no instante e que no instante este ponto esteja na posição , 
O raio vector corresponde à primeira posição e o corresponde a segunda. O vector do deslocamento do ponto M durante o tempo é . A razão entre ele e o acréscimo do tempo denomina-se vector velocidade média para o intervalo de tempo :
Como as projecções do vector do deslocamento são, na prática, , temos
O limite do vector de velocidade média, quando o intervalo de tempo tende para zero, Chama-se vector velocidade instantânea (velocidade do ponto M no instante t):
 ou 
 ou ainda 
A velocidade instantânea é igual a derivada do raio vector segundo o tempo no instante estudado. É importante notar que a extremidade deste vector descreve uma trajectória denominada hodógrafo da velocidade. O hodógrafo da velocidade é útil quando diferenciamos o vector velocidade.
Vector velocidade em coordenadas cartesianas
Determinemos agora a direcção e o módulo do vector velocidade. Como o vector do deslocamento se orienta segundo a corda da trajectória, enquanto a posição limite da corda é uma tangente à trajectória, o vector da velocidade é orientado segundo uma tangente à trajectória concordando com o sentido do movimento.
O módulo da velocidade é 
 
ou quando indicamos o comprimento do arco por temos
 
Nós consideramos que, no sistema de referência adoptado, quando ; no caso geral, vamos escrever
para o módulo da velocidade. Esta fórmula permite determinar imediatamente o módulo da velocidade somente quando o movimento é dado através do método natural.
No caso de o movimento ter sido dado pelo método das coordenadas, dispomos das projecções da velocidade sobre os eixos das coordenadas
.
Daí obtemosa fórmula do módulo do vector velocidade sob a forma de
Unidade de v no S.I.
A unidade me medição da velocidade no sistema internacional de unidades S.I. é o metro por segundo (m/s)
Comparando as expressões e para o módulo da velocidade v e transformando a raiz, vamos ter 
Que corresponde à expressão da diferencial do comprimento do arco
A orientação do vector velocidade e, por conseguinte, a direcção da tangente à trajectória também, são determinadas através dos co-senos directores:
; e Onde , e são os ângulos formados pelo vector velocidade com o sentido positivo dos eixos ox, oy e oz, respectivamente.
Comprimento do percurso (do arco)
Lembremos que indicamos através de s a coordenada em forma de arco, ou seja o comprimento do arco da trajectória, contado(com o sinal correspondente) a partir do ponto fixo M da trajectória. A adopção do sinal para a contagem do arco corresponde à determinação do sentido positivo da tangente à curva. Deste modo é adoptado por sentido positivo da tangente o sentido correspondente ao crescimento da coordenada em forma de arco do ponto em movimento.
Quando conhecemos o módulo da velocidade do ponto como função do tempo:, podemos determinar, o percurso s que o ponto percorre em cada intervalo de tempo. Vejamos:
Multiplicando ambos os membros da expressão por , obtemos
Integrando por tempo no intervalo que vai de 0 a t e por percurso percorrido no intervalo que vai de 0 a s (consideramos que no instante inicial ), obtemos 
 
e finalmente o percurso do arco será:
Exemplo:
Que as equações do movimento do ponto M sejam dadas na forma de:
a) Escreva a expressão do raio vector do ponto M (em coordenadas cartesianas);
b) Encontre as projecções da velocidade;
c) Escreva a expressão do vector velocidade do ponto M;
d) Determine o módulo da velocidade do ponto M;
e) Determina os co-senos directores do ponto;
f) Determina o caminho percorrido pelo ponto M.
a) A expressão do raio vector é escrita da seguinte forma:
Substituindo x, y e z temos:
ou ainda 
b) As projecções da velocidade são dadas por:
 , e 
c) a expressão do vector velocidade será 
d) e o módulo da velocidade do ponto é igual a:
e) Os co-senos directores são determinados da seguinte forma:
 e ; Onde 
Como a tangente em cada um dos pontos da curva forma um ângulo constante com o eixo Z:
f) O caminho percorrido pelo ponto M.
Como o modulo da velocidade é constante durante todo tempo do movimento, o movimento do ponto é uniforme e o caminho percorrido pelo ponto é dado pela expressão:
sendo teremos:
 
 e para um período o percurso descrito será
Hodógrafo da velocidade
Levemos o vector à origem O do sistema fixo de coordenadas oxyz, ou seja construamos, no ponto O, o vector , geometricamente igual ao vector e designemos a sua extremidade com ajuda da letra G.
Como o vector varia com o tempo, o ponto G desloca-se no espaço. A trajectória do ponto G é chamada hodógrafo da velocidade. 
Como as projecções do vector velocidade sobre os eixos de oxyz são , as coordenadas do ponto que avança pelo hodógrafo são iguais a :
. 
Estas são as equações do hodógrafo da velocidade na forma paramétrica
Aceleração do Ponto no Movimento Curvilíneo
Aceleração do ponto como vector
Suponhamos que um ponto M em movimento possuía o vector velocidade no instante t e que no instante , quando o ponto ocupa a posição , o vector velocidade era 
A razão entre, incremento do vector velocidade, e , incremento do tempo, é denominada vector aceleração média no intervalo de tempo :
.
Denomina-se vector aceleração instantânea do ponto M no instante t , o limite do vector aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero.
Portanto, a aceleração do ponto M é um vector aplicado ao ponto em movimento e igual à derivada do vector da velocidade segundo o tempo no instante dado.
 ou ainda 
O vector aceleração do ponto é igual à segunda derivada do raio vector do ponto em movimento segundo o tempo. 
Vector Aceleração em Coordenadas cartesianas
Como o raio vector pode ser apresentado sob aspecto de: 
a aceleração irá tomar o seguinte aspecto:
E para as projecções do vector aceleração do ponto sobre os eixos do sistema de coordenadas cartesianas temos:
O módulo da aceleração é encontrado através da expressão:
Enquanto as seguintes fórmulas são válidas para os co-senos directores da aceleração
; e Onde , e são os ângulos formados pelo vector aceleracão com o sentido positivo dos eixos ox, oy e oz, respectivamente.
Unidade da aceleração no S.I.
A unidade da aceleração no sistema internacional de unidades S.I. é o m/s2.
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