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1 MODELOS TEÓRICOS DISCRETOS 8 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Experimento binomial é o experimento que consiste em : O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n); As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e fracasso. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q = 1 – p do fracasso serão constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem x sucessos em n tentativas. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL xnxqp x n xXP onde x=0,1,2,...,n sendo: !! ! xnx n x n qpnXDP qpnXVAR npXE .. .. P(X= x) a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas; p a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso; q a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova – fracasso; com: Medidas descritivas EXEMPLOS 1. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas? 2. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar: a. 4 jogos; b. ganhar dois ou três jogos; c. ganhar pelo menos um jogo. 2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Depois da binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a muitos casos práticos nos quais interessa o número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou num determinado ambiente físico, denominados área de oportunidade (comprimento, tempo, superfície, etc.), por exemplo: O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em um mês; Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos Defeitos por unidade (cm, m, etc.) por peça fabricada Erros tipográficos por página, em um material impresso Usuários de computador ligados à Internet DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Nos exemplos, não há como determinar‐se a probabilidade de ocorrência de um sucesso, mas sim a frequência média de sua ocorrência, como, por exemplo, dois suicídios por ano. Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo. Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, volume ou alguma unidade similar. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON !x e xXP x Onde: X é o número de ocorrências e é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828) é a taxa média por unidade XVAR XE Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: Medidas descritivas EXEMPLOS 1. O número de mulheres que entram diariamente em uma clínica de estética para bronzeamento artificial apresenta distribuicão de Poisson, com média de 5 mulheres por dia. Qual a probabilidade de que em um dia particular, o número de mulheres que entram nesta clínica de estética para bronzeamento artificial, seja: a) Igual a 2? b) Inferior ou igual a 2? 3 EXEMPLOS 2. Suponhamos que os navios cheguem a um porto a razão de 2 navios /hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo por um período de meia hora, determine a probabilidade de: a) não chegar nenhum navio; b) chegarem 3 navios. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial nestes aspectos fundamentais: A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, enquanto que a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média ; Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são 0; 1; 2; ...; n, mas a distribuição de Poisson tem os valores de x de 0; 1; 2; ..., sem qualquer limite superior. Obs: O parâmetro λ é usualmente referido como taxa de ocorrência.
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