Fisica Termica II

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1 Dinâmica dos Fluidos
A Dinâmica dos ‡uidos estuda as leis dos ‡uídos em movimento. Estudamos
inicialmente o escoamento dos ‡uidos perfeitos ou ideais . Um ‡uido é con-
siderado perfeito quando sua densidade é constante (‡uido incompressível),
e o atrito interno (viscosidade) pode ser desprezado.
1.1 Equação da Continuidade
Um escoamento é estacionário quando o campo de velocidade em um sistema
de referência permanece inalterado ao longo do tempo.
No escoamento estacionário a massa de ‡uido que atravessa a seção 1 no
intervalo de tempo �t é igual a que atravessa a seção 2 no mesmo intervalo de
tempo. Temos então
�m1
�t
=
�m2
�t
mas �m1 = ��V1 = �A1�x1, e �m2 = ��V2 = �A2�x2 (‡uido incom-
pressível). Então
�A1�x1
�t
=
�A2�x2
�t
de onde obtemos a importante relação
A1v1 = A2v2 = const.
denominada equação da continuidade.
1
A grandeza Q = Av de…ne a vazão. Assim, em escoamentos estacionários de
um ‡uido incompressível a vazão é constante em todos os pontos, e portanto a
velocidade varia na razão inversa das áreas:
v2
v1
=
A1
A2
1.2 Equação de Bernoulli
Vamos determinar o trabalho total realizado pelo meio externo sobre uma porção
do ‡uido ideal de volume dV . Ele é dado por
dW = p1A1ds1 � p2A2ds2 = (p1 � p2) dV
As formas de energia envolvidas são a energia cinética ( 12mv
2) e a energia
potencial gravitacional (mgy).
Ao ir do ponto 1 ao ponto 2, a porção do ‡uido sofre a variação da energia
cinética
dK =
1
2
dmv22 �
1
2
dmv21
que pode ser escrita como
dK =
1
2
�dV v22 �
1
2
�dV v21
A variação da energia potencial gravitacional é
dU = dmgy2 � dmgy1
ou
dU = �dV gy2 � �dV gy1
2
Pelo princípio da conservação da energia mecânica, devemos ter
dW � dU = dK
(p1 � p2) dV � �dV gy2 + �dV gy1 = 1
2
�dV v22 �
1
2
�dV v21
ou seja,
p1 + �gy1 +
1
2
�v21 = p2 + �gy2 +
1
2
�v22
Essa é equação de Bernoulli, válida para o escoamento estacionário de um
‡uido incompressível. Pode ser escrita na forma
p+ �gy +
1
2
�v2 = constante
O primeiro termo representa a energia interna do ‡uido por unidade de
volume, o segundo termo é a energia potencial gravitacional por unidade de
volume, e o terceiro representa a energia cinética por unidade de volume.
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Como exemlo, consideremos o escoamento através de um tubo de seção var-
iável, como mostra a …gura. Como A1 > A2, temos que v1 < v2 (vazão con-
stante). Da equação de Bernoulli
p1 +
1
2
�v21 = p2 +
1
2
�v22
conclui-se que p1 > p2. Analogamente, veri…ca-se que v1 > v3 < v2 e p1 < p3 >
p2. Este resultado, consequência da equação de Bernoulli, é denominado efeito
Venturi.
1.3 Tubo de Venturi
O medidor de Venturi é um tubo com uma entrada cônica curta e uma garganta
reta comprida. O ‡uido entra no tubo através da seção 1 com velocidade v1.
Quando passa através da garganta sua velocidade aumenta (v2), causando uma
queda de pressão (p2) naquele ponto. O tubo de Venturi pode ser usado para
medir a velocidade de um ‡uido. Supondo não existirem perdas de energia do
‡uido ao passar pelo tubo, e que ele seja ideal, podemos aplicar a equação de
Bernoulli às seções 1 e 2:
p1 +
1
2
�v21 = p2 +
1
2
�v22
Pela equação da continuidade, temos que
A1v1 = A2v2
com A1 e A2 as áreas das seções. Da lei de Stevin, temos também que p1�p2 =
�gh. Substituindo na equação de Bernoulli acima, obtemos
v21 + 2gh = (A1=A2)
2
v21h
(A1=A2)
2 � 1
i
v21 = 2gh
e portanto
4
v1 =
s
2gh
(A1=A2)
2 � 1
1.4 Força de Sustentação Aerodinâmica
Considerando dois pontos situados ao mesmo nível, a equação de Bernoulli nos
fornece a relação
p1 � p2 = 1
2
�
�
v22 � v21
�
Esta última equação mostra que a diferença de pressão estática entre dois
pontos de um ‡uido situados ao mesmo nível é o simétrico da diferença de
pressão dinâmica (que é uma medida da energia cinética) entre eles. Vemos que
se p2 < p1 então v2 > v1.
Devido a causas aerodinâmicas, a pressão do ar acima da asa de um avião
é menor que a pressão abaixo. Pela relação obtida acima, isso signi…ca que
a velocidade do escoamento do ar acima da asa é maior que a velocidade na
parte inferior. Como ilustra a …gura, essa diferença de pressão produz uma
força resultante para cima sobre a asa, denominada força de sustentação.
As linhas de corrente acima da asa mais próximas entre si indicam uma maior
velocidade do escoamento do ar.
1.5 Efeito Magnus
Após ser chutada, a trajetória do centro de massa de uma bola de futebol é tridi-
mensional e o movimento da bola pode ser decomposto em quatro movimentos
simultâneos: dois movimentos de translação do centro de massa na horizontal,
um movimento de translação do centro de massa na vertical, e um movimento
de rotação da bola ao redor do seu centro de massa.
Vamos considerar aqui apenas um dos movimentos de translação do centro
de massa da bola na horizontal e o movimento de rotação da bola como um todo
ao redor de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa (veja …gura).
Então, num referencial …xo no campo de futebol, a atmosfera está em re-
pouso, o centro de massa da bola se desloca com velocidade horizontal de módulo
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v e os pontos da superfície da bola, no seu movimento de rotação ao redor do
eixo vertical que passa pelo centro de massa da bola, se deslocam com velocidade
linear de módulo vR.
Num referencial …xo no centro de massa da bola, as velocidades com que
os elementos de volume de ar passam pelos pontos A e B, localizados à mesma
altura, são dadas, respectivamente, por:
vA = v + vR
e
vB = v � vR
Para elementos de volume no entorno desses pontos, a equação de Bernoulli
fornece:
pA +
1
2
�v2A = pB +
1
2
�v2B
e
pB � pA = 1
2
�
�
v2A � v2B
�
Como vA > vB , esta última expressão mostra que pB > pA. Assim, existe
uma força resultante horizontal atuando na bola, perpendicular à direção da
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velocidade de translação do seu centro de massa, cujo sentido vai de B para A.
Por isso, em vez de se mover num plano vertical a bola se move numa trajetória
que se desvia lateralmente desse plano. Essa força causada pela rotação de um
objeto altera sua trajetória em um ‡uido.
Esse efeito é denominado efeito Magnus, que se manifesta quando ocorre
rotação da bola. Tal fato se deve à diferença de pressão entre as superfícies
opostas da bola provocada pela maior velocidade relativa do ar em relação à
bola em uma das extremidades. De acordo com a equação de Bernoulli, o
aumento da velocidade do ‡uido corresponde a uma redução na pressão. A
diferença de pressão faz surgir a força Magnus (…gura). Veja na …gura o gol de
falta Roberto Carlos contra a Françca em 1997.
1.6 Pulverisador
Um vaporizador de perfume é composto de um recipiente que contém o perfume
(líquido), dois tubos conectados em forma de T e uma bexiga de borracha.
Pressinando-se a bexiga, o ar no seu interior é projetado para fora, passando
pela região ao redor do ponto B com uma velocidade vB , diminuindo a pressão
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na região B. Inicialmente a mistura de ar com vapor de perfume no ponto A
próximo à superfície livre do perfume está repouso (vA = 0).
Desprezando a diferença de altura entre os pontos A e B, a equação de
Bernoulli fornece a relação
pA � pB = 1
2
�v2B
sendo � a densidade do ar. Ora, como pA > pB , resulta que o perfume sobe pelo
tubo e ao encontrar-se com a corrente de ar que vem da bexiga pulveriza-se em
minúsculas gotas.
1.7 Exemplos
1. Um tanque de água aberto, de formato cilindrico, possui um furo a uma
distância h abaixo da superfície da água. Qual é a velocidade da água ao sair
pelo furo?
Solução. A vazão do escoamento é constante:
av = Av0
v =
A
a
v0
Se a� A, vemos que v0 � v. Pela equação de Bernoulli, temos
p0 +
1
2
�v20 + �gh = p+
1
2
�v2
Notando quea pressão no topo do tanque e no furo são iguais (isto é, p = p0),
e desprezando v0 em elação a v, obtemos
v =
p
2gh
2. Uma mangueira é conectada à base de um tanque com água a 12 m acima
do solo. A outra extremidade da mangueira, por onde a água sai, está a uma
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distância de 2 m do chão. (a) Qual a velocidade da água ao sair pela mangueira?
(b) Que altura atinge o esquicho?
Solução.
p0 +
1
2
�v20 + �gy = p0 +
1
2
�v2 + �gh
v2 = v20 + 2g (y � h)
Desprezando v0 frente a v, encontramos
v =
p
2g (y � h)
v = 14 m=s
(b) Equação de Bernoulli:
p0 + �gy1 +
1
2
�v21 = p0 + �gy2 +
1
2
�v22
�gy1 +
1
2
�v21 = �gy2 +
1
2
�:0
y2 = y1 +
v21
2g
y2 = 2 +
142
2� 9:8
y2 = 12 m
Este resultado é esperado, pois sendo o ‡uido ideal não há dissipação de
energia mecânica durante o ‡uxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial
que é convertida em energia cinética no item (a) é reconvertida em potencial no
item (b).
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3. Em um furacão, o ar (densidade 1; 2 kg=m3) sopra sobre o telhado de uma
casa a 110 km=h. (a) Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior
da casa que tende a arrancar o teto? (b) Qual o módulo da força devida a esta
diferença de pressão sobre um teto de 93 m2?
Solução.
(a) No interior da casa v = 0. Da equação de Bernoulli, temos
p0 = p+
1
2
�v2
�p =
1
2
�v2
�p = 560 N=m2
(b)
F = �pA
F = 52:000 N
4. A água represada por um dique tem 15,2 m de profundidade. Um cano
horizontal de 4,30 cm de diâmetro passa através do dique 6,15 m abaixo da
superfície da água, como mostra a …gura. A extremidade do cano no lado seco
do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito entre a parede do cano e a
tampa. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa peno cano
em 3 horas?
Solução.
(a)
Lei de Stevin:
p = p0 + �gh
p = 1; 6� 105
A = �
�
d
2
�2
A = 3:1415� (0:043=2:)2 = 1; 45� 10�3
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Força exercida sobre o cano:
F = pA
F = 1:6� 105 � 1:45� 10�3
F = 232 N
Além da força de atrito e da força hidrostática exercida pela água, devemos
considerar também a força exercida pela atmosfera sobre a tampa. Então, dada
por
F0 = p0A = 10
5 � 1:4522� 10�3
F0 = 145 N
Portanto
fat = F � F0
ou
fat = 87 N
(b) Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 3, obtemos
p0 +
1
2
�v20 + �gy1 = p3 +
1
2
�v23 + �gy3
p0 +
1
2
�:0 + �gy1 = p0 +
1
2
�v23 + �gy3
o que fornece
v3 =
p
2g (y1 � y3) =
p
2gh
A vazão é
Q = Av3
Q3 = �
�
d
2
�2p
2gh
Q3 = 1:4522� 10�3
p
2:� 9:8� 6:15 = 1:6� 10�2 m3=s
Ignorando a variação da altura da água do dique, obtemos
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�V = Q3�t
�V = 172 m3
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