Sistemas de Numeração

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Disciplina: Informática industrial 
Prof. Alecir Pedro da Cunha 
alecir@univali.br 
"Nós somos o que fazemos 
repetidamente, a excelência não 
é um feito, e sim, um hábito.“ 
Aristóteles 
Sistemas de Numeração 
Sistema de Numeração (SN) 
Conceito 
 Sistema numérico - visa definir símbolos e 
convenções para representar quantidades 
abstratas, de modo a registrar e processar 
dados quantitativos. 
 Você representa quantidades com o que 
chamamos de NÚMEROS 
Sistema de Numeração (SN) 
Conceito 
 SN - define regras para representar números 
Sistema de Numeração (SN) 
Representação física – cinco estrelas 
 Em diferentes tipos de 
numerais 
 Homem das 
cavernas: IIIII 
 Pastores: 
 Romano: V 
 Arábico: 5 
 Em bases diferentes 
 510 
 1012 
 123 
 
 Os sistemas numéricos empregados 
podem ser: 
 sistema numérico não-posicional 
 sistema numérico posicional 
Sistema de Numeração 
Sistema de numeração 
 Nos sistemas de numeração egípcia e romana, para se 
escrever números muito grandes seria preciso criar novos 
símbolos: um para o dez mil, outro para o dez milhões, 
outro para o cem milhões etc. 
Sistema de Numeração 
Sistemas de numeração não-posicional 
 Numerais Egípcios 
 O sistema egípcio não é posicional 
Sistema de Numeração 
Sistemas de numeração não-posicional 
 Numerais Egípcios 
Sistema de Numeração 
Sistemas de numeração não-posicional 
 Numerais Egípcios - uso da base 10 NÃO posicional 
Sistema de Numeração 
Sistemas de numeração não-posicional 
 Sistema numérico não-posicional. A posição é importante 
mas em outro sentido (princípio subtrativo) 
 Derivados dos numerais etruscos (antigo povo que 
habitava a Itália), são usados até hoje! 
 Utiliza base 10. 
Sistema de Numeração 
Sistema de numeração romano 
 Sistema numérico não-posicional 
 
 O valor intrínseco de cada símbolo independe da 
posição que ocupa na representação 
 
 
 
 CCLVI = 100 + 100 + 50 + 5 + 1 = 
Sistema de Numeração 
Sistema de numeração romano 
I vale 1 
V vale 5 
X vale 10 
L vale 50 
C vale 100 
D vale 500 
M vale 1000 
 Sistema de numeração romano 
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 
 
 MCDV = 
 1000 – 100 + 500 + 5 = 
Sistema de Numeração 
Sistema de numeração romano 
100 < 500 
 Sistema de numeração romano 
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 
 MCCXCIV = 1000 + 100 + 100 – 10 + 100 – 1 + 5= 
 = 1294 
E O ZERO? 
Sistema de Numeração 
Sistema de numeração romano 
10 < 100 1 < 5 
 Os babilônios usavam base 
sexagesimal (base 60, 
como nos minutos e 
segundos) 
 Tinham valor posicional, 
pois sua escrita em tabletas 
de barro era muito 
complexa. 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
 Nos sistemas de numeração antigos era muito 
trabalhoso calcular usando esses números. 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
 O sistema de numeração atual criado pelos hindus 
superou estas dificuldades. 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
 O sistema de numeração hindu reuniu três 
características que já apareciam em outros sistemas 
numéricos da Antiguidade: 
 é decimal (o egípcio, o romano e o chinês também o 
eram); 
 é posicional (o babilônio também era); 
 tem o zero, isto é, um símbolo para o nada. 
 Estas três características, reunidas, tornaram o sistema de 
numeração hindu o mais prático de todos. Por isso, ele é 
usado praticamente no mundo todo 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
 O sistema numérico atual é posicional 
 51 é diferente de 15 
 O romano é posicional, mas não no mesmo sentido 
do nosso sistema. 
 É diferente escrever VI ou IV. 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
 Valor representado pelo algarismo depende 
de sua posição no número 
 Baseado na notação posicional 
 
 
 O sistema posicional é uma forma simples para 
escrever números, permitindo representar qualquer 
número com um alfabeto (coleção de símbolos) 
restrito de dígitos 
 
A POSIÇÃO DO ALGARISMO NO 
NÚMERO ALTERA SEU VALOR! 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais (moderno) 
 Nos sistemas de numeração posicional, o valor do 
dígito em um número depende da posição que ele 
ocupa neste mesmo número. 
 4123 = 4000 + 100 + 20 + 3 
 4123 = 4x103 + 1x102 + 2x101 + 3x100 
 4123 = (((4 x 10) + 1) x 10 + 2) x 10 + 3 
 Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. 
Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e 
decrescem para a direita na parte fracionária 
 1989,43 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1+3x10-2 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais (moderno) 
 Base de um Sistema de Numeração 
 A BASE de um sistema é a quantidade 
de símbolos disponíveis (alfabeto) para 
representar um número (incluindo o zero) 
 Notação: 
 X(B) = N
o X na base B 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
Exemplos: 1010; A16; 112; 708 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais 
Base 
Peso 
 Um número inteiro, na base B, pode ser escrito 
na forma: 
 
 
 aj .B 
j + aj-1 .B 
j-1+...+ a1 .B 
1 + a0 .B 
0 
 
 
 
 
onde ak , 0 ≤ k ≤ j, são os dígitos que compõem o número 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais (moderno) 
0)1)1)012(2(2(2
0)1)1)2021(2(2(2
0)1)212021(2(2
0)21212021(2
2021212021)10110(
01
012
0123
01234
2





Base 2: Sistema Binário (baseado na potência 
de 2) - alfabeto com 2 símbolos/algarismos: 0 e 1 
Base 8: Sistema Octal (baseado na potência de 
8) - 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
Sistema de Numeração 
Bases mais comuns de SN posicionais 
Base 16: Sistema Hexadecimal - 10 algarismos, 
6 letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
Base 10: Sistema Decimal - 10 algarismos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
Exemplos: 1010 = A16; 1110 = B16 
 
Sistemas de Numeração posicionais 
Geração de números inteiros 
 Algoritmo de geração de inteiros: 
a. O primeiro inteiro é o zero 
b. Se houver o dígito seguinte na lista desta base 
a. Então o próximo inteiro é obtido a partir do atual 
na lista avançando-se seu dígito mais à direita 
b. Senão passar este dígito para zero, avançando-se 
também o dígito adjacente à esquerda, seguindo a 
mesma regra 
Sistemas de Numeração posicionais 
Geração de números inteiros – Exercícios 
a. Gere os números inteiros de 0 a 20 em binário 
b. Gere os números inteiros de 0 a 20 em octal 
c. Gere os números inteiros de 0 a 20 em 
hexadecimal 
 Primeiros computadores projetados eram 
decimais - Mark I e ENIAC 
 John von Neumann propôs processamento com 
dados binários (1945) 
 Simplificava o projeto de computadores 
 Usado tanto por instruções como por dados 
 Relação natural entre comutadores on/off e 
cálculos com lógica Booleana 
Sistema de Numeração 
Informática 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
 Um número inteiro, na base decimal, pode ser 
escrito na forma: 
 aj .10 
j + aj-1 .10 
j-1+...+ a1 .10 
1 + a0 .10 
0 
 
 onde 
 ak , 0 ≤ k ≤ j, são os dígitos que 
 o compõem 
Decimal ou sistema de base 10 
Origem: contando nos dedos 
“Dígito” vem do Latim digitus,ou seja, “dedo” 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
0 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
3 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
4 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
5 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
6 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
7 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
8 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
9 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
 O sistema decimal é definido por meio de: 
a. Sua base = 10 
b. Um alfabeto ordenado com 10 dígitos, ou seja, 
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 Qualquer número pode ser representado empregando 
os dígitos definidos pelo seu alfabeto e a regra de 
formação de números do sistema numérico posicional 
Sistemas de Numeração posicionais 
Geração de números inteiros 
Sistema Decimal 
 1 
+1 
 
 1 
+1 
 2 
 2 
+1 
 
 2 
+1 
 3 
 3 
+1 
 
 3 
+1 
 4 
 4 
+1 
 
 4 
+1 
 5 
 5 
+1 
 
 5 
+1 
 6 
 6 
+1 
 
 6 
+1 
 7 
 7 
+1 
 
 7 
+1 
 8 
 8 
+1 
 
 8 
+1 
 9 
 9 
+1 
 
 9 
+1 
 0 
19 
+1 
 0 
 9 
+1 
10 
 0 
+1 
 
 0 
+1 
 1 
 0 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 
Sistemas de Numeração posicionais 
Geração de números inteiros 
Sistema Decimal 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
19 
+1 
20 
29 
+1 
30 
 
 99 
 +1 
 
 99 
 +1 
100 ... 
1 Quantas UNIDADES ? 
 
 
NÚMERO = 1354 - BASE 10 
1 2 3 4 
UNIDADES 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
NÚMERO = 1354 BASE 10 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Quantas DEZENAS ? 
5 
Dezenas 
NÚMERO = 1354 BASE 10 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Quantas CENTENAS ? 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
NÚMERO = 1354 BASE 10 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Quantas CENTENAS ? 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
NÚMERO 
= 1354 
BASE 10 
 
Milhar 
 Exemplo: 1354 
Sistema de Numeração 
Sistemas numéricos posicionais - Base 10 
Símbolo Valor Absoluto Valor Relativo (Peso) 
1 Um 1 x 103 = 1 x 1000 = 1000 
2 Três 3 x 102 = 3 x 100 = 300 
5 Cinco 5 x 101 = 5 x 10 = 50 
4 Quatro 4 x 100 = 4 x 1 = 4 
1354 = 1000 + 300 + 50 + 4 ou 
4 + 10(5 +10(3 + 10(1))) 
Base 10 Base 1 
0 
1 1 
2 11 
3 111 
4 1111 
5 11111 
6 111111 
7 1111111 
8 11111111 
9 111111111 
10 1111111111 
11 11111111111 
12 111111111111 
13 1111111111111 
14 11111111111111 
15 111111111111111 
16 1111111111111111 
17 11111111111111111 
50 
Base 10 Base 2 Base 8 Base 16 
0 0 0 0 
1 1 1 1 
2 10 2 2 
3 11 3 3 
4 100 4 4 
5 101 5 5 
6 110 6 6 
7 111 7 7 
8 1000 10 8 
9 1001 11 9 
10 1010 12 A 
11 1011 13 B 
12 1100 14 C 
13 1101 15 D 
14 1110 16 E 
15 1111 17 F 
16 10000 20 10 
17 10001 21 11 
 O sistema binário é definido por meio de: 
a. Sua base = 2 
b. Um alfabeto ordenado 
com 2 dígitos {0, 1} 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Sistema binário 
On Off 
Verdadeiro Falso 
Sim Não 
1 0 
0 1 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Sistema binário 
 Qualquer número pode ser representado por meio 
dos dígitos definidos pelo seu alfabeto {0, 1} e a 
regra de formação de números do sistema 
numérico posicional 
 Um número inteiro na base binária pode ser 
escrito como 
 
 aj . 2 
j + aj-1 . 2 
j-1 + ...+ a1 . 2 
1 + a0 . 2 
0 
 
 onde ak , 0 ≤ k ≤ j, são os dígitos que compõem número 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Sistema binário 
1 
x 
27 
0 
x 
26 
0 
x 
25 
1 
x 
24 
0 
x 
23 
1 
x 
22 
1 
x 
21 
0 
x 
20 
 1x27+0x26+0x25+1x24+0x23+1x22+1x21+0x20= 
 128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 
 150 Base10 Ou 
 0 + 2(1 + 2(1 + 2(0 + 2(1 + 2(0 + 2(0 + 2(1))))))) 
 Bit - dígito binário (Binary digIT) 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Soma – Regras Básicas 
 0 + 0 = 0 
 1 + 0 = 1 
 0 + 1 = 1 
 1 + 1 = 10 
 Grupos: 
 8 bits = 1 byte 
 16 bits = 1 word 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Soma – Regras Básicas 
 0 
+1 
 1 
 1 
+1 
10 
10 
+1 
11 
 11 
 +1 
100 
... 
 111 
 +1 
1000 
Sistema Binário – 0 1 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Soma - some os bits individualmente, a partir 
do menos significativo, propagando as sobras: 
 0 + 0 = 0 
 0 + 1 = 1 
 1 + 1 = 10 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1) 
 1 + 1 + 1 = 11 (1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1) 
 
 1 1 0 0 1 0 1 1 
 1 1 0 1 1 0 1 0 
+ 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Soma 
 
 1 1 0 0 1 0 1 1 
 1 1 0 1 1 0 1 0 
1 1 0 1 0 0 1 0 1 
 
+ 
1 1 1 1 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Soma 
 
 1 1 1 1 0 0 0 1 
 1 1 0 1 1 0 1 1 
 
+ 
 Subtração 
 
 
 
 1 1 0 0 1 0 1 0 
 0 1 0 1 1 0 1 1 
- 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Subtração 
 
 
 
 1 1 0 0 1 0 1 0 
 0 1 0 1 1 0 1 1 
 0 1 1 0 1 1 1 1 
- 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
10 10 0 
10 10 10 
10 0 
0 
10 0 
1 
1 1 
 Subtração 
 
 
 
 1 1 1 1 1 0 0 1 
 1 1 1 0 1 0 1 1 
- 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Complemento um 
1. Completar com zeros à esquerda do subtraendo 
se ele tiver menos algarismos que o minuendo 
2. Trocar os 0 por 1 e os 1 por 0 
 Complemento 1: O complemento 1 de um número 
binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-
versa. A notação C1 (...) é usada para designar o 
complemento um do número entre parêntesis. 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Subtração com complemento dois (a-b = a+(-b)) 
1. Completar com zeros à esquerda do subtraendo 
se ele tiver menos algarismos que o minuendo. 
2. Fazer o complemento 2 do subtraendo 
a. Trocar todos os 0 por 1 e os 1 por 0. 
b. Somar 1 ao númeroobtido 
3. Somar o minuendo com o número obtido 
4. Eliminar o número que estourar as posições, 
pois sempre há estouro nesse método 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Subtração de 11001010 - 1011011 
0 1 0 1 1 0 1 1 
Trocar 0 e 1 
 1 0 1 0 0 1 0 0 
Somar 1 + 1 
 1 0 1 0 0 1 0 1 
 1 1 0 0 1 0 1 0 
+ 1 0 1 0 0 1 0 1 
1 0 1 1 0 1 1 1 1 
Somar os dois números 
x 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Subtração de 1110 – 101 
a. Completando o número de dígitos do minuendo: 
0101 
b. Realizando o complemento de dois do subtraendo: 
1010+1=1011 
c. Somando os dois operandos 1110 +1011 = 11001 
d. Desprezando o transporte final: 1001 
 Subtração 
 
 
 
 1 1 1 1 1 0 0 1 
 1 1 1 0 1 0 1 1 
- 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Multiplicação – 1ª alternativa 
 Por adições sucessivas 
 para calcular A*B some A a si própria B vezes 
 Exemplo: (101)2*(100)2 = 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Multiplicação – 2ª alternativa 
 Similar ao processo de multiplicação decimal 
 Regras Básicas 
 0 x 0 = 0 
 1 x 0 = 0 
 0 x 1 = 0 
 1 x 1 = 1 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Multiplicação 1 1 1 0 
 x 1 0 1 1 
 1 1 1 0 
 1 1 1 0 
 0 0 0 0 
 1 1 1 0 
1 0 0 1 1 0 1 0 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Multiplicação 1 0 1 0 1 
 x 1 0 0 1 1 
 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Divisão – 1ª alternativa 
 Por subtrações sucessivas até obter uma 
diferença menor que o divisor (resto) 
 Exemplo: (10000)2 / (100)2 = 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Divisão 
1 1 1 0 1 0 1 1 0 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Divisão – 2ª alternativa 
 Similar ao processo de divisão decimal 
 
1 1 1 0 1 0 1 1 0 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Divisão 
1 1 1 0 1 0 1 1 0 
1 1 0 1 0 0 1 
0 0 1 0 1 0 
 0 1 1 0 
 0 1 0 0 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Divisão 
1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 
 
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 
Sistema de Numeração 
Sistema numérico de base 2 - Operações 
 Calcule 
a. 1001101 + 1011011 
b. 1101000 – 1011101 
c. 1011101 + 1011010 
d. 1011100 – 1011011 
e. 1011100 / 1011011 
f. 1001101 x 1011011 
g. 1001101 / 1011 
Sistema de Numeração 
Conversão entre bases 
 Para as bases mais comuns temos 
Hexadecimal 
Decimal Octal 
Binário 
(25)10 = 110012 = 318 = 1916 
Base 
95 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros 
Sistema 
Bits 
Posição Valores das posições 
Binário 1 
128 64 32 16 8 4 2 1 
27 26 25 24 23 22 21 20 
Octal 3 
32.768 4.096 512 64 8 1 
85 84 83 82 81 80 
Decimal -- 
100.000 10.000 1.000 100 10 1 
105 104 103 102 101 100 
Hexa-
decimal 
4 
65536 4096 256 16 1 
164 163 162 161 160 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema binário para base XX = 2n 
a. Forme grupos, a partir da direita do número binário, 
contendo uma quantidade de dígitos igual ao 
número “n” 
b. Represente cada grupo de “n” dígitos para o dígito 
correspondente do sistema para o qual se quer a 
transformação 
c. Coloque os números na mesma ordem dos grupos 
para obter o número na nova base 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 8 
0 000 0 
1 001 1 
2 010 2 
3 011 3 
4 100 4 
5 101 5 
6 110 6 
7 111 7 
 (10111110)2 
 (10111110)2 
 110 = 6 
 111 = 7 
 010 = 2 
 
 10111110 = 276 
 
 Exemplo: Sistema binário para octal 
a. Divida os bits em grupos de três, começando à direita 
b. Converta para dígitos octais 
c. Substitua os valores correspondentes 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 8 
0 000 0 
1 001 1 
2 010 2 
3 011 3 
4 100 4 
5 101 5 
6 110 6 
7 111 7 
a. (10101010)2 
b. (11110011)2 
c. (1110)2 
d. (1111)2 
e. (111010)2 
f. (110011)2 
g. (10111)2 
h. (10111100111)2 
 Exercícios: Sistema binário para octal 
 Exemplo: Sistema 
binário para 
hexadecimal 
a. separe os bits em grupos de 
quatro, começando à direita 
b. Converta para dígitos 
hexadecimais os grupos obtidos 
c. Coloque os dígitos 
hexadecimais na mesma 
sequência dos grupos 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
 Sistema binário para 
hexadecimal 
=> (1011110110)2 
 ([0010][1111][0110])2 
 2 F 6 
 
 (1011110010)2 = (2F6)16 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
 Sistema binário para 
hexadecimal 
a. (10101010)2 
b. (11110011)2 
c. (1110)2 
d. (1111)2 
e. (111010)2 
f. (110011)2 
g. (10111)2 
h. (10111100111)2 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema octal para binário - Técnica 
 Converta cada dígito octal para uma representação 
binária equivalente de 3 bits 
Base 10 Base 2 Base 8 
0 000 0 
1 001 1 
2 010 2 
3 011 3 
4 100 4 
5 101 5 
6 110 6 
7 111 7 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 8 
0 000 0 
1 001 1 
2 010 2 
3 011 3 
4 100 4 
5 101 5 
6 110 6 
7 111 7 
 5 = 101 
 7 = 111 
 4 = 100 
 
 
 574 = 101111100 
 
 Sistema octal para binário ==> 5 7 4 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Base 10 Base 2 Base 8 
0 000 0 
1 001 1 
2 010 2 
3 011 3 
4 100 4 
5 101 5 
6 110 6 
7 111 7 
 Sistema octal para binário 
a. (702)8 
b. (2431)8 
c. (2732)8 
d. (737)8 
e. (3734)8 
f. (447)8 
g. (635)8 
h. (50113)8 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema hexadecimal 
para binário 
 Converta cada dígito 
hexadecimal para uma 
representação binária 
equivalente de 4 bits. 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema hexadecimal 
para binário => BC1 
 B = 1011 
 C = 1100 
 1 = 0001 
 BC1 = 101111000001 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
Sistema hexadecimal 
para binário 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
a. (A02)16 
b. (24F1)16 
c. (2B3C)16 
d. (73E)16 
e. (ABC)16 
f. (CCD)16 
g. (1A0B)16 
h. (F0C3)16 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros 
 Sistema decimal para Base XX 
a. Decompor o no decimal em fatores na base XX 
a.1. Divida o número decimal repetidamente pelo valor 
da nova base (XX) até obter quociente zero 
a.2. Passe cada resto para o dígito correspondente 
da nova base e guarde-os 
b. Compor o número no sistema da base XX 
b.1. O primei ro resto é o algarismo menos significativo 
b.2. O segundo resto é o segundo algarismo menos 
significativo e assim sucessivamente 
 Sistema decimal para binário => 139 
139 2 
 1 69 2 
 1 34 2 
 0 17 2 
 1 8 2 
 0 4 2 
 0 2 2 
 0 1 2 
 (139)10 =(10001011)2 1 0 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases – inteiros - Exemplo 
 Sistema decimal para binário => 139 
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases – inteiros - Exercício 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases – inteiros - Exercício 
 Sistema decimal para binário 
 Considerando que o dígito mais à esquerda é sempre 
o mais significativo, a alternativa que corresponde à 
representação em BCD do número decimal 25 será: 
a. 00100101 
b. 00011001 
c. 11011010 
d. 01010010 
 
 Sistema decimal para base 5 => (341)10 
 341 5 
 1 68 5 
 3 13 5 
 3 2 5 
 2 0 
 
 
 (341)10 =(2331)5 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros 
 Sistema decimal para octal => (75)10 
(75)
10 
=> (113)
8 
 75 8 
72 8 
1 
8 
1 
3 
9 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases  Sistema decimal para 
hexadecimal => (1093)10 
1093 16 
 96 68 16 
 133 64 4 
 128 4 
 15 
 
 15= F 
 4 = 4 (44F)16 
 4 = 4 
- 
- 
- 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases  Sistema decimal para 
hexadecimal 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
a. (702)10 
b. (2431)10 
c. (9738)10 
d. (737)10 
e. (8734)10 
f. (447)10 
g. (638)10 
h. (50913)10 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema hexadecimal para 
decimal => (1AF3)16 
3 = 3 x 160 = 3 
F = 15 x 161 = 240 
A = 10 x 162 = 2560 
1 = 1 x 163 = 4096 
 
1AF3 = 3 + 240 + 2560 + 4096 
(1AF3)16=(6899)10 
Ou 
 (3 + 16(15 + 16(10 +16(1)))) 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema hexadecimal para 
decimal 
Base 10 Base 2 Base 16 
0 0000 0 
1 0001 1 
2 0010 2 
3 0011 3 
4 0100 4 
5 0101 5 
6 0110 6 
7 0111 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
16 10000 10 
17 10001 11 
a. (A02)16 
b. (24F1)16 
c. (2B3C)16 
d. (73E)16 
e. (ABC)16 
f. (CCD)16 
g. (1A0B)16 
h. (F0C3)16 
UNIVALI - Computação Básica - Prof. Alecir 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - parte fracionária 
 Sistema da base decimal para a base XX 
 Algoritmo da multiplicação repetida: 
a. Multiplique a parte fracionária pela base XX 
b. Guarde a parte inteira desse produto e multiplique a 
parte fracionária novamente pela base XX 
c. Repita o processo até obter um número com parte 
fracionária nula ou até obter a aproximação adequada 
d. As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da 
primeira para a última, formam a parte fracionária do 
número transformado 
UNIVALI - Computação Básica - Prof. Alecir 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases com Parte fracionária 
 Sistema decimal para binário 
a. Separar a parte inteira da parte fracionária 
b. Converter a parte inteira para binário 
c. Converter a parte fracionária para binário 
d. Montar o número em binário, unindo as partes 
inteira e fracionária 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - parte fracionária 
 Sistema decimal para binário 
 Exemplo: (8,375)10 = ( ? )2 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - parte fracionária 
 Sistema decimal para binário 
 Exemplo: 3,14579 
3,14579 
 ,14579 
x 2 
0,29158 
x 2 
0,58316 
x 2 
1,16632 
x 2 
0,33264 
x 2 
0,66528 
x 2 
1,33056 
etc. 11,001001... 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - parte fracionária 
2,4142 
 ,4241 
x 2 
0,8482 
x 2 
1,6964 
x 2 
1,3928 
x 2 
0,7856 
x 2 
1,5712 
x 2 
1,1424 
etc. 10,011011... 
 Sistema decimal para binário 
 Exemplo: 2,4142 
UNIVALI - Computação Básica - Prof. Alecir 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema de base XX para decimal 
a. Converta cada algarismo/dígito do número para o valor 
equivalente na base decimal 
b. Multiplique cada dígito transformado por XXposição-1. 
c. A contagem da posição inicia pelo algarismo menos 
significativo (à direita) com valor um (1) para o mais 
significativo à esquerda 
d. Some todos os resultados obtidos 
 
Resolva o número na forma polinomial 
∑ [(algarismo na base 10) . XXposição-1] 
UNIVALI - Computação Básica - Prof. Alecir 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema binário para decimal 
(1101101)2= 1 + 4 + 8 + 32 + 64 = (109)10 
 1 x 20 = 1 x 1 = 1 
 0 x 21 = 0 x 2 = 0 
 1 x 22 = 1 x 4 = 4 
 1 x 23 = 1 x 8 = 8 
 0 x 24 = 0 x 16 = 0 
 1 x 25 = 1 x 32 = 32 
 1 x 26 = 1 x 64 = 64 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
Ou 1 + 2(0 + 2(1 + 2(1 + 2(0 + 2(1 + 2(1)))))) 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema binário para decimal 
=> (1101101)2 = (109)10 
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases 
 Sistema binário para decimal 
=> (10111)2 = (23)10 
1)1)1)012(2(2(2
1)1)1)2021(2(2(2
1)1)212021(2(2
1)21212021(2
2121212021)10111(
01
012
0123
01234
2





Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros 
 Exemplos: base XX para Decimal 
 Sistema Binário  Decimal: 
 1101(2) = 1x2
3 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 =13(10) 
 Sistema Octal  Decimal: 
 132(8) = 1x8
2 + 3x81 + 2x80 
 = 1x64 + 3x8 + 2x1 = 90(10) 
 Sistema Hexadecimal  Decimal: 
 A7D(16) = A x16
2 + 7x161 + D x160 
 = 10x256 + 7x16 + 13x1 
 = 2560 + 112 + 13 = 2685(10) 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros 
 Confirme o resultado das conversões 
 Binário  Decimal: 
 101(2) = 5(10) 
 10011(2) = 19(10) 
 1110100(2) = 116(10) 
 Octal  Decimal: 
 5(8) = 5(10) 
 43(8) = 35(10) 
 2745(8) = 1509(10) 
 Hexa  Decimal: 
 B(16) = 11(10) 
 2C(16) = 44(10) 
 3F4(16) = 1012(10) 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - inteiros - respostas 
Números Valores das posições Resultado 
Binário 64 32 16 8 4 2 1 Decimal 
101(2) 1 0 1 5(10) 
10011(2) 1 0 0 1 1 19(10) 
1110100(2) 1 1 1 0 1 0 0 116(10) 
Octal 4096 512 64 8 1 Decimal 
5(8) 5 5(10) 
43(8) 4 3 35(10) 
2745(8) 2 7 4 5 1509(10) 
Hexa 4096 256 16 1 Decimal 
B(16) 11 11(10) 
2C(16) 2 12 44(10) 
3F2(16) 3 15 4 1012(10) 
130 
 Converta os valores para a base 10 
a. 01110101(2) 
b. 1010101(2) 
c. 13524(8) 
d. 23417(8) 
e. 2FFA(16) 
f. D7A3(16) 
g. 72154(8) 
 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases – inteiros - exercícios 
UNIVALI - Computação Básica - Prof. Alecir 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases com Parte fracionária 
 Sistema na base XX para a base decimal 
com fração 
a. Converta a base e cada dígito do número para o 
equivalente decimal conforme os pesos de suas 
posições relativas no número 
b. Decomponha o número de acordo com a estrutura 
posicional 
c. Realize as operações de produto e soma conforme 
a aritmética decimal utilizada normalmente 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases com Parte fracionária 
 Sistema binário para decimal 
 Multiplique cada algarismo pela sua base elevada 
à potência definida pela sua posição do algarismo 
no número, conforme o esquema: 
X X ... X X X X X , X X X ... 
 n n-1 ... 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 ... 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases com Parte fracionária 
 Sistema binário para decimal 
 Exemplo: 11,1011 
1 x 2-4 = 0,0625 
1 x 2-3 = 0,125 
0 x 2-2 = 0,0 
1 x 2-1 = 0,5 
1 x 20 = 1,0 
1 x 21 = 2,0 
 3,6875 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
134 
 Converta os valores para a base 10 
a. 10111010011,1110111(2) 
b. 110101110,010011(2) 
c. 61754,6251(8) 
d. 2747,2143(8) 
e. 2F8A41,AF1(16) 
f. B97D,190A(16) 
g. AE735E,E90C(16) 
h. 25446,3174(8) 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - exercícios 
135 
 Converta os valores para a base 10 
a. 614,621(8) 
b. 277,2143(8) 
c. 2FA,AF1(16) 
d. B97D,90A(16) 
e. E5E,90C(16) 
f. 246,314(8) 
Sistema de Numeração 
Conversão de bases - exercícios 
 Faça as seguintes operações na base 2: 
1101101 – 1010011 = 
1101101 + 1010011 = 
 
 Converta entre as bases conforme indicado: 
(1101101)2= ( )16 
(1101101)2= ( )10 
(1010011)2= ( )10 
(531)8 = ( )10 
(1345)10 = ( )2 
(1345)10 = ( )8 
 
Sistema de Numeração - Exercícios 
 
1101101 * 101 = 
1101101  101 = 
 
 
(F1A3E)16 = ( )10 
(1101101)2 = ( )8 
(301501)8 = ( )2 
(1010011)2 = ( )16 
(1A3)16 = ( )2 
(1A3)16 = ( )8 
 Complete a seguinte tabela 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexa-decimal 
33 
1110101 
703 
1AF 
 Complete a seguinte tabela (Resposta) 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexa-decimal 
33 100001 41 21 
117 1110101 165 75 
451 111000011 703 1C3 
431 110101111 657 1AF 
 Complete a seguinte tabela 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
28219 
111101101 
72143 
FA1F 
140 
 Converta os valores para a base 2 
a. 3758,21(10) 
b. 571,131(10) 
c. 73754,6251(8) 
d. 2747,2143(8) 
e. 2F8A41,AF1(16) 
f. B97D,190A(16) 
g. AE735E,E90C(16) 
h. 25446,3174(8) 
i. 99572,639(10) 
Sistema de Numeração - Exercícios 
141 
 Converta os valores para a base 2 
a. 3752(8) 
b. 11002 
c. 1101112 
d. ABCD16 
e. 10111002 
f. EBFD16 
g. F8C216 
Sistema de Numeração - Exercícios 
 Complete a seguinte tabela 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
29,8 
101,1101 
3,07 
C,82 
 Complete a seguinte tabela (Resposta) 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
29,8 11101,110011… 35,63… 1D,CC… 
5,8125 101,1101 5,64 5,D 
3,109375 11,000111 3,07 3,1C 
12,5078125 1100,10000010 14,404 C,82 
 Complete a seguinte tabela 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
37,78 
1101,111 
5,37 
F,3D 
 Complete a seguinte tabela 
Sistema de Numeração - Exercícios 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
991,83 
11101,1101 
7731,507 
FC,8E2 
 Uma caixa alienígena com o no 25 gravado na 
tampa foi entregue a um grupo de cientistas. Ao 
abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. 
Considerando que o alienígena tem um formato 
humanóide, quantos dedos ele tem nas duas 
mãos? 
 Um sistema ternário tem 3 "trits", com os valores 
0,1 ou 2. Quantos "trits" são necessários para 
representar um no de seis bits? 
Sistema de Numeração - Exercícios