Movimento circular Atividade 1 IFSP Guarulhos Corrigido

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MOVIMENTO CIRCULAR 
ATIVIDADE 1 
Professores: Claudemir C. Alves / Luiz C. R. Montes 
 
1- Velocidade Angular (ω) 
Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma variação 
angular (∆φ) em um determinado intervalo de tempo (∆t). 
 
A relação entre a variação angular (∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do 
movimento. 
 
 
Em que: 
ω = velocidade angular [rad/s] 
∆φ = variação angular [rad] 
∆t = variação de tempo [s] 
 
2 – Período (T) 
É o tempo necessário para que um ponto material “P”, movimento-se em uma trajetória de raio “r”, 
complete um ciclo, ou uma volta. 
 
Em que: 
T = período [s] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
π = constante trigonométrica 3,1415... 
 
3 – Freqüência (f ) 
É o número de ciclos ou volta que o ponto material “P” descreve em um segundo, movimentando-se 
em trajetória circular de raio “r”. 
 
A freqüência (f) é o inverso do período “T”. 
 
Em que: 
f = freqüência [Hz] 
T = período [s] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
π = constante trigonométrica 3,1415... 
 
 
4 – Radiano 
É o arco de circunferência cuja medida é o raio. 
 
 
 
 
5 – Rotação (n) 
É o número de ciclos ou voltas que um ponto material “P”, movimentando-se em uma trajetória 
circular de raio “r”, descreve em um minuto. 
 
Desta forma, podemos escrever que: 
 
Como f = ω / 2 x π , tem-se: 
n = 60 x ω / 2 x π , portanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = rotação [rpm] 
f = freqüência [Hz] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
π = constante trigonométrica 3,1415... 
 
 
 
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 Em que: 
6 – Velocidade Periférica ou Tangencial (v) 
A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada 
instante, porém o seu módulo permanece constante. 
 
 
 
A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade 
angular (ω) é definida pelo raio da peça. 
 
 v / ω = r , portanto v = ω x r 
 
mas, isolando-se ω na expressão da rotação, obtém-se: 
 
 
substituindo-se ω na expressão anterior, obtém-se: 
 
 
Em que: 
v = velocidade periférica [m/s] 
π = constante trigonométrica 3,1415... 
n = rotação [rpm] 
r = raio [m] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
 
Exercícios 
1 – A roda da figura possui d = 300 mm, gira com velocidade angular ω = 10 π rad/s. 
Determinar para o movimento da roda: 
 
a) Período (T) 
b) Freqüência (f) 
c) Rotação (n) 
d) Velocidade periférica (vp) 
 
 
2 – O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n = 1740 rpm. 
Determine as seguintes caracter´sticas de desempenho do motor: 
 
a) Velocidade angular (ω) 
b) Período (T) 
c) Freqüência (f) 
 
 
3 – O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d = 660 mm), viajando com um movimento que 
faz com que as rodas girem com n = 240 rpm. Qual a velocidade do ciclista? V [Km/h] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MOVIMENTO CIRCULAR 
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO (i) – ATIVIDADE 2 
Professor Claudemir Claudino Alves 
 
7 – Relação de Transmissão (i) 
Transmissão por Correias 
 
Transmissão redutora de velocidade Transmissão ampliadora de velocidade 
 
 
 
 
 
 
 
Em que: 
i = relação de transmissão [adimensional] 
d1 = diâmetro da polia 1 (menor) [m,...] 
d2 = diâmetro da polia 1 (maior) [m,...] 
ω1 = velocidade angular 1 [rad/s] 
ω2 = velocidade angular 2 [rad/s] 
f1 = freqüência 1 [Hz] 
f2 = freqüência 2 [Hz] 
n1 = rotação 1 [rpm] 
n2 = rotação 2 [rpm] 
MT1 = torque 1 [Nm] 
MT2 = torque 2 [Nm] 
 
Exercícios 
4 – A transmissão por correias , representada na figura, é composta por duas polias com os 
seguintes diâmetros respectivamente: 
Polia 1 motora d1 = 100 mm 
Polia 2 movida d2 = 180 mm 
 
A polia 1 (motora) atua com 
velocidade angular ω = 39 π rad/s. 
 
Determinar para a transmissão: 
 
 
a) Período da polia 1 (T1) 
b) Freqüência da polia 1 (f1) 
c) Rotação da polia 1 (n1) 
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) 
e) Freqüência da polia 2 (f2) 
 
 
f) Período da polia 2 (T2) 
g) Rotação da polia 2 (n2) 
h) Velocidade periférica da transmissão (vp) 
i) Relação de transmissão (i) 
 
 
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MOVIMENTO CIRCULAR 
TORÇÃO SIMPLES – ATIVIDADE 3 
Professor Claudemir Claudino Alves 
 
Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção, quando sofre a ação de um torque (MT) em 
uma das extremidades e um contratorque (M’T) na extremidade oposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – Momento Torçor ou torque (MT) 
É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de 
aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior). 
 
 
MT = torque (Nm) 
F = carga aplicada (N) 
S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m) 
 
Exemplo 1: 
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga 
aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200 mm. 
 
MT = 2 x F x s 
 
MT = 2 x 80 Nm x 100 mm 
 
MT = 16000 N mm 
 
MT = 16 Nm 
 
 
9 – Torque nas Transmissões 
Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força 
tangencial (FT) e o raio da peça. 
 
 
 
 
 
Em que: 
MT = Torque [Nm] 
FT = Força tangencial [N] 
r = raio da peça [m] 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1 
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora 1 que possui 
diâmetro d1 = 100 mm e a polia movida 2 que possui diâmetro d2 = 240 mm. A transmissão é 
acionada por uma força tangencial FT = 600 N. 
 
Determinar para a transmissão: 
a) Torque na polia 1 
b) Torque na polia 2 
 
 
Resolução; 
 
a) Torque na polia 1 
 
a1 – raio da polia 1 
 
 
r1 = d1 / 2 = 100 mm / 2  
 
 
 r1 = 50 mm  r1 = 0,05 mm 
 
 
 
a2 – Torque na polia 2 
 
MT1 = FT x r1  MT1 = 600 N x 0,05 m  
 
 MT1 = 30 Nm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Torque na polia 2 
 
b1 - raio da polia 2 
 
r2 = d2 / 2 = 240 mm / 2  
 
 
 r1 = 120mm  r1 = 0,12 mm 
 
 
 
b2 – Torque na polia 2 
 
MT2 = FT x r2  MT2 = 600 N x 0,12 m  
 
 MT2 = 72 Nm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 – Potência (P) 
Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo. 
 
Tem-se então: 
 
 
Como τ = F x s , conclui-se que : 
 
Mas, vp = S / t , portanto P = F x vp 
 
Unidade de [P] [ Nm / s = J / s = W ] Unidade de potência (P) no SI. 
 
Em que: 
P = potência [W] W = Watt 
FT = força tangencial [N] 
vp = velocidade periférica [m/s] 
 
No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês 
quantos cavalos equivalia a sua máquina. 
 
Para isso, efetuou a seguinte experiência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
F = Qmáx = 76 kgf 
 
Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1 m/s. 
 
Resultando em: 
 
P = F x v  P 76 kgf x 1 m/s  P = 76 kgf x m/s 
 
Como: 
Kgf = 9,80665 N 
P = 76 x 9,80665 N x 1 m/s 
P = 745,... Nm/s, a unidade Nm/s = 1 W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa a experiência o HP 
(horse power). 
hP = 745,....W – cuja utilização é vedada no SI. 
Após algum tempo a experiência foi repetida na França constatando-se que Q = 75 kgf. 
Resultou daí o cv (cavalo vapor) 
 
P = F x v  P 75 kgf x 1 m/s  P = 75 kgf x m/s 
 
Conclui-se então que: 
P = 75 x 9,80665 N m/s 
P = 735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI. 
 
 
 
 
 
 
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Relações Importantes 
hp = 745,... W (horse Power) – vedada a utilização no SI. ( unidade de potência ultrapassada)cv = 735,5 W (cavalo vapor) permitida temporariamente a utilização no SI. 
 
 
11 – Torque x Potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo-se as equações II e III em I, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Em que: 
P = potência [W] 
MT = torque [Nm] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
n = rotação [rpm] 
 
Como: 
 
 
 
tem-se 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
12 – Força Tangencial (FT) 
 
 
 
 
 
 
Em que: 
FT = força tangencial [N] 
MT = torque [Nm] 
r = raio da peça [m] 
P = potência [W] 
vp = velocidade periférica [m/s] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
5 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com 
potência P = 5.5 Kw com rotação n = 1720 rpm chavetando a polia 1 do sistema. 
 
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: 
 
Polia 1 motora d1 = 120 mm 
Polia 2 movida d2 = 300 mm 
 
Desprezar as perdas. 
 
 
 
 
 
 
 Determinar para a transmissão: 
a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1) 
b) Freqüência da polia 1 (f1) 
c) Torque da polia 1 (MT 1) 
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) 
e) Freqüência da polia 2 (f2) 
f) Rotação da polia 2 (n2) 
g) Torque da polia 2 (MT 2) 
h) Relação de transmissão (i) 
i) Velocidade periférica da transmissão (vp) 
j) Força tangencial da transmissão (FT) 
 
 
 
 
6 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor 
elétrico com potência P = 7,5 kW (P = 10 cv) e rotação n = 1140 rpm. As polias possuem 
respectivamente os seguintes diâmetros: 
 
Polia 1 motora d1 = 120 mm 
Polia 2 movida d2 = 220 mm 
 
Determinar para a transmissão: 
 
a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1) 
 b) Freqüência da polia 1 (f1) 
 c) Torque da polia 1 (MT 1) 
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) 
e) Freqüência da polia 2 (f2) 
 f) Rotação da polia 2 (n2) 
g) Torque da polia 2 (MT 2) 
h) Velocidade periférica da transmissão (vp) 
 i) Força tangencial da transmissão (FT) 
 j) Relação de transmissão (i)