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Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia El � etrica EEL ���� � Sistemas Digitais Prof� Carlos Maziero Departamento de Automa�c�ao e Sistemas Vers�ao ��� Florian�opolis� agosto de ���� � Indice � Sistemas de numera�c�ao e codi�ca�c�ao � ��� Sistemas de numera�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� O sistema decimal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� O sistema bin�ario � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Os sistemas octal e hexadecimal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Convers�ao entre bases � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� N�umeros inteiros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� N�umeros fracion�arios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Representa�c�ao de n�umeros com sinal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Usando sinal e grandeza � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Usando n�umeros complementares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Complemento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Complemento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Opera�c�oes aritm�eticas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Aritm�etica bin�aria � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Aritm�etica hexadecimal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Aritm�etica em BCD � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Outros c�odigos importantes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� Decimal Codi�cado em Bin�ario �BCD� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� C�odigo Gray � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� C�odigo � segmentos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� C�odigo ASCII � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � Algebra de Boole �� ��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Fun�c�oes L�ogicas e Tabelas�Verdade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Interpola�c�ao de Lagrange � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Formas�padr�ao para express�oes l�ogicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Produto�padr�ao de somas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Soma�padr�ao de produtos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Expans�ao �as formas�padr�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� Especi�ca�c�ao de fun�c�oes por maxitermos e minitermos � � � � � � � � � � � �� �� Mapas de Karnaugh � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Simpli�ca�c�ao de fun�c�oes l�ogicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Fun�c�oes incompletamente especi�cadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ii � Circuitos Combinacionais � ��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� S��ntese de circuitos combinacionais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Conversores de c�odigos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Codi�cadores e decodi�cadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Comparadores de palavras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Geradores e detectores de paridade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Multiplexadores e demultiplexadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Somadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Matrizes de fun�c�oes l�ogicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� L�ogica Seq�uencial � ��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Flip��ops � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Flip��op RS �Reset�Set� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� N��veis e transi�c�oes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Flip��op D �Data� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Flip��op T �Toggle� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Flip��op JK � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Flip��op mestre�escravo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Convers�ao entre �ip��ops � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Par�ametros operacionais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Diagramas de estado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Estrutura b�asica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Um exemplo� o somador serial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Tabelas de estados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Diagramas de estado dos �ip��ops � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� An�alise de circuitos seq�uenciais s��ncronos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Objetivo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Um exemplo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Outro exemplo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Projeto de circuitos seq�uenciais s��ncronos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Um exemplo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Outro exemplo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Principais circuitos seq�uenciais s��ncronos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� Registradores de deslocamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� Contadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Circuitos Complementares � �� Circuitos multivibradores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Circuitos mono�est�aveis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Circuitos ast�aveis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Schmitt�Trigger � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Mem�orias � �� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Estrutura do computador � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Mem�orias ROM � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Estrutura b�asica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Tecnologias� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Aplica�c�oes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Mem�orias RAM � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Estrutura b�asica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Tecnologias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Bancos de mem�oria � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Fam��lias L�ogicas �� ��� Introdu�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Tecnologias de Fabrica�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Par�ametros de Circuitos Integrados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Estrutura das sa��das � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� A Fam��lia TTL � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� A Fam��lia ECL � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� A Fam��lia CMOS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� Compatibilidade entre TTL e CMOS � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� Exerc��cios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Introdu�c�ao A palavra �digital� vem do grego digitus� que signi�ca n�umero� Um sistema digital �e portanto um sistema no qual a informa�c�ao est�a codi�cada e circula sob a forma de n�umeros �ou seja� de valores discretos�� No lado oposto� nos sistemas ditos anal�ogicos a informa�c�ao varia de modo cont��nuo� Exemplos comuns de sistemas digitais e anal�ogicos s�ao� � Sistemas digitais� computador� comutador telef�onico� sem�aforos� etc� � Sistemas anal�ogicos� ampli�cadores de som� TV tradicional� etc� As vantagens de usar um sistema no qual a informa�c�ao �e tratada e armazenada sob uma forma digital s�ao sobretudo a maior precis�ao no tratamento da informa�c�ao e a maior imunidade a ru��dos externos� No mundo real a maioria das grandezas s�ao anal�ogicas �ou seja� variam de forma cont��nua�� Para compatibiliz�a�las com o mundo digital �e necess�ario converter os sinais anal�ogicos em digitais e vice�versa� Isso �e feito atrav�es de circuitos de amostragem �ltros e conversores especiais chamados conversores anal�ogico�digitais� como mostra a �gura abaixo� tratamento digital do sinal conversor anal�ogico digital conversor digital anal�ogico amostrador �ltro sinal digital sinal discreto sinal cont��nuo Um sistema digital �e chamado bin�ario quando considera somente dois valores poss��veis para a codi�ca�c�ao da informa�c�ao a ser tratada ou armazenada� Podemos considerar esses valores como um par aceso�apagado� ligado�desligado� verdadeiro�falso� etc� Veremos mais tarde que esses EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � dois valores s�ao su�cientes para armazenar qualquer informa�c�ao sob a forma digital� embora nem sempre sejam pr�aticos� A grande vantagem da representa�c�ao bin�aria est�a na facilidade de implementa�c�ao de circuitos eletr�onicos para armazenar e realizar opera�c�oes sobre informa�c�oes bin�arias� permitindo a produ�c�ao em larga escala de unidades que efetuam opera�c�oes padroniza� das e que podem ser associadas entre si para realizar opera�c�oes mais complexas� Al�em disso� podem ser obtidas implementa�c�oes bastante r�apidas� operando em velocidades que ultrapassam as centenas de MHz� A evolu�c�ao dos sistemas digitais teve seu in��cio no s�eculo � � mas estes somente mostraram�se �uteis neste s�eculo� e sua vulgariza�c�ao se deu gra�cas �a recente evolu�c�ao na microeletr�onica� Eis um breve resumo� bastante incompleto� dessa evolu�c�ao� � s�eculo ��� Pascal e Leibniz prop�oe calculadoras baseadas em engrenagens� � s�eculo ��� Charles Babbage constr�oi um computador program�avel mec�anico� � d�ecada de � � computadores baseados em rel�es s�ao usados para c�alculos de bal��stica� � �� �� construido o Eniac� com ������ v�alvulas� � �� �� inven�c�ao do transistor� � ����� primeiro computador comercial� o Univac I� � anos � � apogeu dos computadores transistorizados� � anos � circuitos integrados� inven�c�ao do micro�processador� � anos � � integra�c�ao em larga escala �VLSI�� � anos � � mais de �� � transitores em um chip� � futuro� circuitos biol�ogicos� circuitos usando luz� ��� Este curso visa apresentar as bases necess�arias �a compreens�ao� an�alise e projeto de circuitos envolvendo sinais digitais� e deve servir como base para um curso posterior sobre microproces� sadores e microcontroladores� No cap��tulo � veremos o sistema de numera�c�ao bin�ario e como representar grandezas cont��nuas sob essa forma� Tamb�em veremos outros sistemas de numera�c�ao �uteis� como o hexadecimal e o octal� O cap��tulo � ser�a dedicado ao estudo da �algebra booleana� que permite tratar valores codi�cados no sistema bin�ario� No cap��tulo � apresentaremos os circuitos ditos combinacionais� nos quais as sa��das em um dado momento s�ao fun�c�ao unica e exclusivamente das entradas naquele instante� ou seja� s�ao circu��tos sem mem�oria� Os circuitos com mem�oria� nos quais o estado das sa��das em um instante pode depender de estados ante� riores das entradas� s�ao tamb�em chamados circuitos seq�uenciais� e ser�ao estudados no cap��tulo � No cap��tulo � ser�ao apresentados alguns circuitos complementares� que n�ao se encaixam nas classi�ca�c�oes anteriores� como os ast�aveis� mono�est�aveis e o schmitt�trigger� O cap��tulo apresenta os princ��pios de funcionamento das mem�orias e seu emprego no projeto de circuitos� Finalmente o cap��tulo � apresenta as diversas fam��lias de circuitos integrados digitais existentes no mercado� com especial aten�c�ao para as fam��lias TTL e CMOS� Cap��tulo � Sistemas de numera�c�ao e codi ca�c�ao ��� Sistemas de numera�c�ao ����� O sistema decimal O sistema decimal� tamb�em chamado sistema na base ��� �e nosso sistema de numera�c�ao cor� rente� Ele opera com dez d��gitos� �� �� �� �� �� � � �� � e � e os n�umeros s�ao formados por combina�c�ao destes d��gitos� O incremento de uma unidade a um d��gito faz avan�car ao d��gito seguinte� at�e chegar ao �ultimo � �� Ao incrementar este� ele retorna ao d��gito inicial ��� e o d��gito imediatamente �a esquerda �e incrementado seguindo a mesma regra� �� � � � � � � � � �� �� � � � �� � � � ��� Assim� a posi�c�ao dos d��gitos em um n�umero tem efeito multiplicador sobre a base� Desta forma� podemos decompor um n�umero inteiro na base �� da seguinte forma� �� � � �� �� � � �� �� � � � �� � � �� �� � e da mesma forma podemos decompor um n�umero fracion�ario� ����� � � �� �� � � �� �� � � �� �� � � �� �� �� � � �� �� � �� �� �� Dos exemplos acima podemos deduzir uma regra gen�erica para a decomposi�c�ao de n�umeros na base ��� que nos servir�a mais tarde para opera�c�oes de mudan�ca de base� � � � d � d � d � �d �� d �� � � � � � � � � d � � �� � � d � � �� � � d � � �� � � d �� � �� �� � d �� � �� �� � � � � ����� O sistema bin�ario O sistema bin�ario� ou sistema na base �� tem uma estrutura an�aloga �a do sistema decimal� com a ressalva de operar somente com dois d��gitos� � e �� O incremento funciona da mesma forma que no sistema decimal� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC� Prof� Carlos Maziero � �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � ��� Podemos decompor um n�umero bin�ario da mesma forma que �zemos para um n�umero deci� mal� como uma soma de pot�encias da base� ������ � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � A nota�c�ao �� � acima indica o n�umero ���� na base � �que equivale ao n�umero � na base ��� como veremos mais tarde�� e que n�ao deve ser confundido com o n�umero �� �� � Por isso� todas as opera�c�oes alg�ebricas acima devem ser efetuadas na base �� A decomposi�c�ao tamb�em vale para os n�umeros fracion�arios� Considerando os primeiros inteiros� podemos construir uma tabela de equival�encia entre n�umeros decimais e bin�arios �mais tarde veremos como converter n�umeros entre bases quaisquer atrav�es de m�etodos num�ericos�� base � � � �� �� ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� � � � base �� � � � � � � � �� � � � Devido ao seu largo emprego em computadores� os n�umeros bin�arios possuem uma nomen� clatura pr�opria� Assim� um d��gito bin�ario �e chamado bit� enquanto um grupo de � bits �ou seja� um n�umero bin�ario inteiro positivo com � d��gitos� �e chamado byte� Em um n�umero bin�ario o bit mais signi�cativo �o que tem maior peso� �e chamado MSB �Most Signi�cant Bit�� e o bit menos signi�cativo �e chamado LSB �Least Signi�cant Bit�� ����� Os sistemas octal e hexadecimal De forma forma an�aloga ao anterior� o sistema octal usa a base � e emprega os d��gitos de � a � para a constru�c�ao de n�umeros� A decomposi�c�ao de n�umeros em pot�encias da base funciona da mesma forma que nos casos anteriores� Entretanto� como � � � � � a convers�ao entre n�umeros bin�arios e octais �e bastante facilitada� bastando agrupar os d��gitos bin�arios em grupos de � �come�cando pelo ponto decimal� tanto para a direita quanto para a esquerda� e obter os respectivos equivalentes octais� fazendo uso da seguinte tabela� base �� � � � � � � � � � � base � � � �� �� ��� ��� ��� ��� ���� � � � base � � � � � � � �� � � � Desta forma� o n�umero ������������� � teria seus d��gitos agrupados na forma � ��z� � ��� ��z� � ��� ��z� � ��� ��z� � ��� ��z� � e seu equivalente octal seria ����� � � O sistema hexadecimal usa a base � para seus n�umeros� e seus d��gitos s�ao f�� � � � � � A�B�C�D�E� Fg� Podemos construir a seguinte tabela de equival�encia entre os pri� meiros inteiros nas bases decimal� bin�aria� octal e hexadecimal� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero base �� base � base � base � � � � � � � � � � �� � � � �� � � � ��� � � ��� ��� � ��� � � � ���� �� � ���� �� �� ���� �� A �� ���� �� B �� ���� �� C �� ���� � D �� ���� � E � ���� �� F � ����� �� �� � � � � � � � � � � � � Como � � � � � a convers�ao entre bin�arios e hexadecimais pode ser obtida agrupando os d��gitos do n�umero bin�ario em grupos de �� de forma similar �a efetuada para os n�umeros octais� Assim� o n�umero ������������� � teria seus d��gitos agrupados na forma � ��z� � ���� � �z � E ���� � �z � ���� � �z � � e seu equivalente hexa seria �E � � � A representa�c�ao em octal ou hexadecimal de n�umeros bin�arios �e bastante empregada em sistemas digitais� por oferecer n�umeros mais compactos �com menos d��gitos� e mais f�aceis de visualizar� e tamb�em porque as convers�oes da forma bin�aria para hexa ou octal� e vice�versa� s�ao bastante simples e r�apidas� ��� Convers�ao entre bases Podemos realizar as opera�c�oes b�asicas de adi�c�ao� subtra�c�ao� multiplica�c�ao e divis�ao na pr�opria base em que estamos trabalhando� No entanto� como nos �e natural efetuar essas opera�c�oes na base ��� frequentemente �e mais simples converter os operandos para essa base� efetuar as opera�c�oes e reconvert�e�los novamente para a base de origem� Vamos estudar agora a convers�ao entre uma base qualquer e a base �� de n�umeros inteiros e fracion�arios� ����� N�umeros inteiros Para converter um n�umero inteiro na base �� �n �� � para uma base b qualquer �n �� � n b �� basta dividi�lo por essa base sucessivamente� usando opera�c�oes de divis�ao inteira na base ��� Os restos r das divis�oes inteiras� tomados de tr�as para frente� nos fornecer�ao os d��gitos do n�umero n b � O exemplo a seguir ilustra a convers�ao do n�umero �� �� para a base � �q� quociente da divis�ao de n por b�� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero passo � � � � � � n �� �� �� �� � � � q �� �� �� � � � � r � � � � � � � � Assim� �� �� equivale a ������� � � Essa opera�c�ao pode ser empregada para converter qualquer n�umero na base �� para outra base qualquer� A convers�ao de um n�umero inteiro em uma base qualquer para a base �� �n b � n �� � segue um processo diferente� que toma por base a decomposi�c�ao do n�umero em pot�encias da base� como vimos no in��cio deste cap��tulo� Para converter um n�umero n b de uma base qualquer b para a base �� basta exprimi�lo como uma soma de pot�encias da base� exprimir a base em seu equivalente na base �� e em seguida efetuar as opera�c�oes indicadas na base ��� O exemplo a seguir� no qual convertemos o n�umero ������� � para a base ��� ilustra esse processo� ������� � � �� �� � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� �� � � � �� � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� A maneira mais simples de efetuar a convers�ao de um n�umero de uma base a qualquer para outra base b qualquer �n a � n b � �e usar a base �� como passo intermedi�ario� efetuando n a � n �� � n b � ����� N�umeros fracion�arios Em uma mudan�ca de base� a separa�c�ao entre as partes inteira e fracion�aria de um n�umero �e mantida� Assim� a mudan�ca de base de um n�umero fracion�ario consiste da mudan�ca de base de suas partes inteira e fracion�aria� separadamente� Como j�a vimos a mudan�ca de base de n�umeros inteiros� resta agora estudar a troca de base da parte fracion�aria� Dado um n�umero fracion�ario n b � este pode ser expresso sob a forma i b �f b � onde i b e f b s�ao respectivamente as partes inteira e fracion�aria de n b � A parte f b pode ser expressa da forma f b � d �� � b �� � d �� � b �� � d �� � b �� � d �� � b �� � � � � A convers�ao de um n�umero fracion�ario de uma base b qualquer para a base �� segue o mesmo procedimento da convers�ao de n�umeros inteiros� usando a decomposi�c�ao acima� Por exemplo� a convers�ao do n�umero x � � ����������� � para a base �� efetua�se da seguinte forma� x �� � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � Para a convers�ao de um n�umero fracion�ario da base �� para outra base b qualquer �n �� � n b �� convertemos a parte inteira usando o m�etodo apresentado anteriormente �divis�ao inteira� e convertemos a parte fracion�aria usando o m�etodo apresentado a seguir� vimos que podemos representar a parte fracion�aria f de um n�umeroem uma base b por� f � d �� b �� � d �� b �� � d �� b �� � � � � onde d i � � s�ao os d��gitos que comp�oe a parte fracion�aria� Por exemplo� ����� �� � ���� �� � �� �� �� � �� �� �� � A convers�ao para uma base b qualquer consiste portanto em encontrar os valores d i na base desejada b� Multiplicando f pela base b obtemos� f � b � d �� b � � d �� b �� � d �� b �� � � � � Assim d �� pode ser retirado da parte inteira de f � b� Aplicando sucessivamente essa mul� tiplica�c�ao sobre a parte fracion�aria restante obteremos os demais d��gitos de f � Como exemplo� vamos converter o valor decimal X �� � ����� para a base �� �� Parte inteira� � �� � ��� � �� Parte fracion�aria� f � ����� itera�c�ao f i f i � b d �i � ����� ����� � � ����� �� �� � � �� �� ��� � � ��� �� �� � �� �� ����� � ����� ����� � � ����� ��� � � ��� ��� � � ��� � ����� � �� ����� ��� � � �� ��� � �� � � �� �� � ����� � �� ����� ����� � �� � � � � � � � � � E assim f �� � ����� �� � �������������� � � � � e �nalmente X �� � ����� �� � ���������������� � � � � � Observe que um n�umero com um n�umero �nito de d��gitos em uma base pode tornar�se uma d��zima peri�odica em outra base� isso ocorre com bastante freq�u�encia� ��� Representa�c�ao de n�umeros com sinal Usando n�umeros bin�arios com d bits podemos representar at�e � d valores distintos� Por exemplo� em uma posi�c�ao de mem�oria de � bits podemos representar at�e � valores distintos� Em um registrador de � bits podemos ter os valores inteiros positivos de � a � � como mostra a �gura a seguir� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � Caso desejarmos representar valores negativos� podemos empregar diversas abordagens� como veremos na seq�u�encia� ����� Usando sinal e grandeza Podemos empregar o bit mais signi�cativo �MSB� para indicar o sinal �� � � e � � �� e os demais bits para a grandeza do valor� Assim teriamos� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� A faixa de valores representados vai de �� a �� ���� d�� � ���� A grande desvantagem desta t�ecnica �e a dupla representa�c�ao do zero ��� e ���� Esta t�ecnica tamb�em �e chamada sinal�magnitude� ����� Usando n�umeros complementares Os n�umeros bin�arios manipulados por um processador tem um n�umero n �nito e normalmente constante de d��gitos ��� � � ��� � � � �� As opera�c�oes aritm�eticas entre esses n�umeros s�ao ent�ao efetuadas sempre em m�odulo M � � n � Para uma contagem usando � bits ter��amos ent�ao� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � � � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero Veremos agora que atrav�es dos n�umeros chamados complementares �e poss��vel implementar a subtra�c�ao usando as opera�c�oes de soma em m�odulo� o que permite simpli�car bastante os circuitos necess�arios �as opera�c�oes aritm�eticas� Existem dois tipos de n�umeros complementares� o complemento � �C�� e o complemento � �C��� que estudaremos a seguir� ����� Complemento � Tendo sido especi�cado o n�umero de d��gitos d� e o m�odulo M � � d � o complemento � �C�� de um n�umero n� indicado por n � � �e de�nido por� n � �M � n modM Por exemplo� sendo um n�umero de � bits n � �� � ���� � � nosso m�oduloM vale � � � ����� � e o complemento � de n �e dado por� n � � � � � mod � � ����� � � ���� � � ���� � Vejamos os complementos � dos primeiros n�umeros com � bits� n �� n � � � � n n � � ���� ����� ���� � ���� ���� ���� � ���� ���� ���� � ���� ���� ���� � ���� ���� ���� ���� ���� ���� Ao inv�es de efetuarmos opera�c�oes de subtra�c�ao em bin�ario� podemos calcular n � atrav�es de uma simples regra pr�atica� �� O complemento � n � tem o mesmo n�umero de bits d que o n�umero n� �� Percorrendo n da direita para a esquerda �MSB � LSB�� preservar todos os bits at�e o primeiro ��� �inclusive�� e complementar os demais� Vejamos alguns exemplos� d n n � � ���� ���� � ������� ������� � ��� ��� � � � � �������� �������� Vamos agora representar n�umeros negativos usando esta t�ecnica� o bit mais signi�cativo continua representando o sinal� mas os n�umeros negativos s�ao representados pelos complementos � dos n�umeros positivos correspondentes� Por exemplo� se n �� � ��� e � �� � ���� � ent�ao n � � ���� � � ����� No sentido contr�ario� caso n � � ���� ent�ao o n�umero �e negativo �MSB vale �� e j n �� j� n � � � ���� � � ���� � � �� e �nalmente n �� � ��� O uso deste m�etodo em n�umeros de � bits est�a ilustrado na �gura a seguir� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� � ����� Complemento � O complemento � �C�� de um n�umero bin�ario n com d bits� indicado por n � � �e de�nido por� n � � �� d � ��� n modM Como regra pr�atica� basta complementar todos os bits do n�umero n� como mostram os exemplos a seguir� d n n � � ���� ���� � ������� ������� � ��� ��� � � � � �������� �������� A diferen�ca entre os complementos � e � �e de uma unidade� n � � n � � � ou n � � n � � �� Usando esta t�ecnica� os n�umeros negativos podem ser representados pelos complementos � dos n�umeros positivos correspondentes� Assim temos� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Por exemplo� se n �� � �� ent�ao n � � ���� � � ���� �usando � bits temos � �� � ���� � �� De modo inverso se n � � ���� ent�ao n �� � � e n � � � ���� � � ���� � � �� � Assim temos n �� � ��� � E importante observar que� em todas as t�ecnicas apresentadas� quando MSB�n � � � � ent�ao n �� �e negativo� ��� Opera�c�oes aritm�eticas ����� Aritm�etica bin�aria As opera�c�oes aritm�eticas b�asicas em c�odigo bin�ario seguem o mesmo mecanismo que as opera�c�oes em base ��� Por exemplo� vejamos a opera�c�ao de soma entre os n�umeros �������� � e �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Em muitos casos o resultado de uma opera�c�ao deve ser mantido dentro de um determinado n�umero de bits� e para isso os bits mais signi�cativos em excesso devem ser descartados� Se quisermos manter o resultado da soma acima em � bits� o resultado a ser considerado deve ser �������� � � Deve ser tomado muito cuidado em rela�c�ao �a codi�ca�c�ao usada� Se estivermos considerando n�umeros com sinal �C�� C�� etc�� a soma de dois n�umeros positivos pode ter seu bit mais signi�cativo ativado e assim indicar um n�umero negativo� como mostra o exemplo a seguir� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � Da mesma maneira� a soma de dois n�umeros negativos pode provocar um excesso �que ser�a descartado para manter o resultado em n bits� e assim gerar um resultado positivo� A subtra�c�ao entre dois n�umeros bin�arios pode ser facilmente realizada atrav�es da soma do primeiro com o complemento �C�� C�� do segundo� O resultado deve ser considerado usando a mesma codi�ca�c�ao de complemento� Vejamos por exemplo a opera�c�ao X � �� �� � � �� � que em bin�ario �ca �������� � � �������� � �vamos considerar valores em � bits e usar uma codi�ca�c�ao em C��� X � �������� � �������� � �������� � �������� � � �������� � �������� � �������� � ���������� � � � ��������� � �� �� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Assim como a soma� a subtra�c�ao tamb�em pode ser afetada por eventuais excessos que devam ser descartados� Embora bem mais complexas� as opera�c�oes de produto e divis�ao seguem os mecanismos conhecidos para a base decimal� ����� Aritm�etica hexadecimal ����� Aritm�etica em BCD �� Outros c�odigos importantes Embora os sistemas digitais sejam sempre bin�arios� isto �e� todos os sinais existentes no sistema s�o podem assumir dois valores� em alguns casos espec���cos �e interessante a utiliza�c�ao de outras codi�ca�c�oes bin�arias distintas da cl�assica� devido a certas vantagens oferecidas por estas� ����� Decimal Codi�cado em Bin�ario BCD Neste c�odigo cada d��gito de um n�umero decimal �e codi�cado na forma de um n�umero bin�ario� Para representar os dez d��gitos �� � � � � s�ao necess�arios � bits� Assim� o n�umero ��� �� seria codi�cado como ���� � �z � � ���� � �z � � ���� � �z � � � Observe que usando uma codi�ca�c�ao bin�aria cl�assica ter��amos ��� �� � ��������� � � Os n�umeros em BCD s�ao mais longos que os bin�arios normais� pois cada d��gito decimal �e representado separadamente� Um dos principais usos da codi�ca�c�ao em BCD encontra�se na implementa�c�ao de displays num�ericos de calculadoras� rel�ogios� etc� ����� C�odigo Gray Este c�odigo tamb�em �e chamado de �c�odigo espelhado� e caracteriza�se pelo fato de que a re� presenta�c�ao de dois n�umeros consecutivos nunca difere em mais que um bit� A tabela a seguir indica a constru�c�ao dos primeiros n�umeros neste c�odigo� Decimal Bin�ario Gray Decimal Bin�ario Gray � ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� ���� ���� � ���� ���� �� ���� ���� � ���� ���� �� ���� ���� � ���� ���� �� ���� ���� ���� ���� �� ���� ���� ���� ���� �� ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� O c�odigo Gray pode ser importante em situa�c�oes onde �e necess�ario minimizar as transi�c�oes de bits no sistema �por quest�oes de velocidade e imunidade a ru��dos�� Por exemplo� para passar de � a � no sistema bin�ario cl�assico s�ao necess�arias � transi�c�oes de bits ����� � ����� enquanto usando o c�odigo Gray apenas uma transi�c�ao �e necess�aria ����� � ������ ����� C�odigo � segmentos Este c�odigo est�a relacionado com os mostradores de � segmentos usados normalmente em cal� culadoras e outros aparelhos simples� para a apresenta�c�ao de resultados� Um mostrador desse EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� tipo �e constru��do usando sete segmentos luminosos que podem ser combinados para representar os d��gitos de � a � e as letras de �A� a �F�� como mostra a �gura a seguir� f a b c d e g Considerando um segmento iluminado como tendo o valor ���� temos a seguinte tabela para os d��gitos hexadecimais n c�odigo de � segmentos� n o a b c d e f g n o a b c d e f g � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A � � � � � � � � � � � � � � � B � � � � � � � � � � � � � � � C � � � � � � � � � � � � � � D � � � � � � � � � � � � � � E � � � � � � � � � � � � � � � F � � � � � � � ����� C�odigo ASCII �� Exerc��cios �� Converta os seguintes n�umeros para as bases bin�aria� octal� decimal e hexadecimal� �� �� � �� ���� ���� � � � � �� � �� ���� ���� � � �AC � � ���� ���� � � BD � e �� ��� �� � �� Indique quais dos seguintes n�umeros s�ao hexadecimais v�alidos� BED� CAB� DEAD� BAG e F�CA� �� Quantos n�umeros inteiros positivos podem ser expressos usando k d��gitos em uma base b� �� Expresse os seguintes n�umeros decimais no sistema sinal�magnitude� com m�odulo de � bits� ����� � � ����� ��� �� �� e ����� � Idem ao anterior� usando os sistemas complemento � e complemento �� Analise e compare a representa�c�ao dos n�umeros em cada um desses sistemas� Quais s�ao as vantagens e desvantagens de cada um deles� � Os seguintes n�umeros positivos e negativos correspondem a representa�c�oes em diferentes bases� ajustados em � bits �ou seja� m�odulo � �� Encontre as representa�c�oes decimais� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� considerando que todos est�ao representados no sistema C�� ���� ���� ���� ���� � � FA�� H e ���� ���� ���� ���� � � �� Passando previamente os valores �a base bin�aria� calcular X � Y e X �Y � considerando os n�umeros em C�� Indicar em que situa�c�ao ocorre over�ow ��estouro� da capacidade de um registro de n bits�� a� em � bits� X � B� H b� em � bits� X � F�A H Y � C H Y � �� �� �� �� Resolver as seguintes opera�c�oes� a� S � � ����� � � ������ � c� S � � �� �� � ������� � b� S � � �������� � � �A H d� S � � ���� � ���� Cap��tulo � � Algebra de Boole ��� Introdu�c�ao Uma vari�avel booleana pode assumir somente dois valores� � �falso� e � �verdadeiro�� Portanto� se x � � ent�ao x � � e se x � � ent�ao x � �� Chamamos de fun�c�ao booleana uma rela�c�ao F entre duas ou mais vari�aveis booleanas x � � x � � � � � � x n � realizada com as opera�c�oes de soma ��� e produto ��� �muitas vezes A �B �e representado na forma AB�� A �algebra de Boole apresenta uma s�erie de propriedades que nos ser�ao �uteis na manipula�c�ao de fun�c�oes l�ogicas� que estudaremos a seguir� Sendo A� B e C vari�aveis booleanas �tamb�em chamadas vari�aveis l�ogicas�� temos� �� Propriedade Comutativa� A � B � B � A A�B � B �A �� Propriedade associativa� A�BC� � �AB�C A� �B � C� � �A�B� � C �� Propriedade distributiva� A�B � C� � AB �AC A�BC � �A�B��A� C� Al�em das propriedades acima� uma s�erie de postulados �ou leis fundamentais� rege a � Algebra de Boole� Esses postulados podem ser facilmente provados� mas isto foge ao objetivo deste curso� Os postulados b�asicos que utilizaremos s�ao� �� se A � � ent�ao A � � se A � � ent�ao A � � �� � � � � � � � � � � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � Al�em dos postulados� alguns teoremas envolvendo vari�aveis booleanas nos ser�ao �uteis� �� A� � � A A � � � A �� A� � � � A � � � � �� A�A � A A � A � A �� �A� � A � A�A � � A � A � � � Teoremas de Morgan� A�B � C � � � � � A � B � C � � � � A � B � C � � � � � A�B �C � � � � �� A�A�B� � A�AB � A A�AB � A�A�B� � A A veri�ca�c�ao da validade dos teoremas �e bastante simples� bastando construir as tabelas� verdade com todos os valores poss��veis para as vari�aveis envolvidas� Tanto os teoremas quanto os postulados se apresentam aos pares� Para cada um deles� seu par respectivo pode ser obtido trocando�se os ��� por ��� e os ��� por ���� e vice�versa� Essa propriedade �e chamada dualidade�Por exemplo� A� � � A � A � � � A� ��� Fun�c�oes L�ogicas e Tabelas�Verdade As fun�c�oes l�ogicas ou booleanas b�asicas s�ao descritas abaixo� com seus s��mbolos e suas tabelas� verdade� Uma tabela�verdade �e simplesmente uma tabela enumerando todos os poss��veis estados das entradas de uma fun�c�ao e seu respectivo valor de sa��da� As fun�c�oes l�ogicas podem tambem ser chamadas portas l�ogicas� sobretudo quando implementadas em circuitos� Fun�c�ao N � AO � tamb�em chamada inversor ou NOT� e representada por F�A� � A� Sua tabela�verdade �e dada por� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� A A � � � � Em diagramas de circuitos digitais um inversor �e representado pelo s��mbolo abaixo� A F Fun�c�ao E � tamb�em denominada AND� assume valor verdadeiro se e somente se ambas as entradas s�ao verdadeiras� � E representada por F�A�B� � A � B ou simplesmente AB �em l�ogica tamb�em pode ser encontrada a forma A �B�� Sua tabela�verdade �e� A B A �B � � � � � � � � � � � � Seu s��mbolo em diagramas �e� A B F Fun�c�ao OU � tamb�em denominada OR� esta fun�c�ao �e verdadeira se alguma de suas entradas o for� F�A�B� � A � B �em l�ogica tamb�em pode ser encontrada a forma A B�� Sua tabela�verdade �e� A B A�B � � � � � � � � � � � � Seu s��mbolo em diagramas �e� A B F EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Al�em das fun�c�oes b�asicas E� OU e N � AO� algumas outras fun�c�oes simples que podem ser derivadas destas tamb�em nos ser�ao �uteis� S�ao elas� Fun�c�ao n�ao�E � tamb�em chamada NAND� �e a inversa da fun�c�ao E� F�A�B� � A � B� A B A �B � � � � � � � � � � � � Seu s��mbolo em diagramas �e� A B F Fun�c�ao n�ao�OU � tamb�em chamada NOR� �e a inversa da fun�c�ao OU � F�A�B� � A�B� A B A�B � � � � � � � � � � � � Seu s��mbolo em diagramas �e� A B F Fun�c�ao OU�exclusivo � tamb�em chamada XOR� �e indicada pelo operador ���� e �e verdadeira somente se suas duas entradas forem opostas� F�A�B� � A�B � AB �AB� A B A�B � � � � � � � � � � � � Seu s��mbolo em diagramas �e� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � A B F As fun�c�oes N�ao�E e N�ao�OU s�ao conhecidas como fun�c�oes universais� por serem freq�uente� mente empregadas na s��ntese das demais fun�c�oes� devido �a simplicidade de sua implementa�c�ao interna� ��� Interpola�c�ao de Lagrange Uma ferramenta muito �util na resolu�c�ao de problema l�ogicos �e a interpola�c�ao de Lagrange� Para uma fun�c�ao l�ogica F desconhecida com n vari�aveis� a partir de todas as combina�c�oes de suas vari�aveis de entrada e dos respectivos valores de sa��da� ela nos permite encontrar um polin�omio representando a fun�c�ao F � Por exemplo� para n � � temos a seguinte tabela�verdade� x F�x� � F��� � F��� O que nos d�a o seguinte polin�omio de Lagrange� F�x� � F���x � F���x� De modo similar� se n � � temos a seguinte tabela�verdade� x y F�x� y� � � F��� �� � � F��� �� � � F��� �� � � F��� �� Que resulta no seguinte polin�omio� F�x� y� � F��� ��x y � F��� ��x y � F��� ��x y � F��� ��x y De maneira gen�erica� se tivermos valores da forma� x � x � x � � � � x n F�x � � x � � x � � � � � � x n � � � � � � � � F��� �� � � � � �� �� � � � � � � � F��� �� � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � F��� �� � � � � �� �� � � � � � � � F��� �� � � � � �� �� O que nos d�a o seguinte polin�omio gen�erico� P�x � � x � � x � � � � � � x n � � F��� �� �� � � � � ��x � x � x � � � � x n � F��� �� �� � � � � ��x � x � x � � � � x n � � � � � F��� �� �� � � � � ��x � x � x � � � � x n � F��� �� �� � � � � ��x � x � x � � � � x n EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Vejamos agora um exemplo� Dada a seguinte tabela�verdade para uma fun�c�ao F�x� y�� podemos determin�a�la atrav�es do polin�omio de Lagrange� x y F�x� y� � � � � � � � � � � � � O polin�omio resultante tem a seguinte forma� F�x� y� � F��� ��x y � F��� ��x y � F��� ��x y � F��� ��x y � � � x y � � � x y � � � x y � � � x y F�x� y� � x y ��� Formas�padr�ao para express�oes l�ogicas Neste ��tem estudaremos as formas�padr�ao nas quais as express�oes l�ogicas podem ser escritas� Estas nos ser�ao �uteis mais tarde� para simpli�car o estudo das fun�c�oes l�ogicas� Existem basica� mente duas formas� a soma padr�ao de produtos e o produto padr�ao de somas� ����� Produto�padr ao de somas Neste caso a fun�c�ao l�ogica �e expressa como um produto de termos� cada termo sendo uma soma envolvendo todas as vari�aveis� Por exemplo� F�A�B�C� � �A�B � C� � �A�B � C� � �A�B � C� Cada termo da express�ao �e chamado maxitermo� e a express�ao em sua forma m��nima �e chamada forma can�onica de maxitermos� Esta forma apresenta a seguinte propriedade� F � � se ao menos um dos maxitermos for zero� e um maxitermo ser�a zero somente se todas as suas vari�aveis forem zero� Assim� pode� se concluir que cada maxitermo corresponde a uma linha da tabela�verdade na qual F � �� Veremos como empregar esta propriedade na se�c�ao ������ ����� Soma�padr ao de produtos Neste caso a fun�c�ao l�ogica �e expressa como uma soma de termos� cada termo sendo um produto envolvendo todas as vari�aveis� Por exemplo� F�A�B�C� � ABC �ABC �ABC Cada termo da express�ao �e chamado minitermo� e a express�ao em sua forma m��nima �e chamada forma can�onica de minitermos� Esta forma apresenta a seguinte propriedade� F � � se ao menos um dos minitermos for �� e um minitermo ser�a � somente se todas as suas vari�aveis forem �� Assim� pode�se concluir que cada minitermo corresponde a uma linha da tabela�verdade na qual F � �� Veremos como empregar esta propriedade na se�c�ao ������ EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� ����� Expans ao �as formas�padr ao Dada uma fun�c�ao l�ogica expressa sob a forma de uma soma de produtos� �e poss��vel expandi�la para a forma padr�ao aplicando os teoremas da l�ogica booleana� como mostra o exemplo abaixo� Y � AB �AC �BC � AB � � �AC � � �BC � � � AB�C � C� �AC�B �B� �BC�A�A� � ABC �ABC �ABC �ABC �ABC �A BC � ABC �ABC �ABC �A BC Da mesma forma� um produto de somas pode ser expandido para a forma padr�ao� como mostra o exemplo� Y � �P �Q��Q�R��P �R� � �P �Q� ���Q�R� ���P �R� �� � �P �Q�RR��PP �Q�R��P �QQ�R� � �P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R� � �P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R��P �Q�R� ����� Especi�ca�c ao de fun�c oes por maxitermos e minitermos Veremos agora como utilizar as formas padr�ao de maxitermos e minitermos para representar fun�c�oes l�ogicas� Dada uma fun�c�ao envolvendo n vari�aveis� teremos � n minitermos �indicados por m i � e � n maxitermos �indicados por M i � distintos� Veja o exemplo abaixo para tr�es vari�aveis� A B C minitermo maxitermo � � � A B C � m � A�B � C �M � � � � A B C � m � A�B � C �M � � � � A B C � m � A�B � C �M � � � � A B C � m � A�B � C �M � � � � A B C � m � A�B � C �M � � � � A B C � m � A�B � C �M � � � � A B C � m A�B � C �M � � � A B C � m � A�B � C �M � Dada sua tabela�verdade� podemos expressar uma fun�c�ao sob a forma de maxitermos ou minitermos� Por exemplo� para a fun�c�ao l�ogica de�nida pela tabela�verdade abaixo� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� A B C F�A�B�C�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Teremos sua express�ao sob a forma de minitermos �nos quais F � �� dada por� F�A�B�C� � A B C �ABC �ABC �ABC � m � �m � �m � �m � � X m��� �� �� �� E a mesma fun�c�ao sob a forma de maxitermos �nos quais F � �� �ca� F�A�B�C� � �A�B � C��A�B � C��A�B � C��A �B � C� � M � �M � �M � �M � Y M��� � � � �� Mapas de Karnaugh O mapa de Karnaugh de uma fun�c�ao l�ogica� tamb�em chamado mapa K� �e uma representa�c�ao gr�a�ca da tabela�verdade da fun�c�ao �ou seja� de todas as combina�c�oes de todas as vari�aveis da fun�c�ao�� expressa sob a forma de minitermos e ou maxitermos� O ordenamento das c�elulas adjacentes em um mapa de Karnaugh segue o c�odigo Gray� A principal utilidade dos mapas de Karnaugh �e a simpli�ca�c�ao de express�oes l�ogicas� como veremos na pr�oxima se�c�ao� O mapa de Karnaugh de uma fun�c�ao pode ser constru��do diretamente a partir de sua tabela verdade� Para uma fun�c�ao F com duas vari�aveis A e B ter��amos a seguinte tabela�verdade e o respectivo mapa de Karnaugh� A B F�A�B� � � F��� �� � m � � � F��� �� � m � � � F��� �� � m � � � F��� �� � m � B A � � � m � m � � m � m � Para fun�c�oes com tr�es e quatro vari�aveis ter��amos os seguintes mapas� C AB �� �� �� �� � m � m � m m � � m � m � m � m � CD AB �� �� �� �� �� m � m � m �� m � �� m � m � m �� m �� m � m � m �� m �� �� m � m m �� m �� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Vejamos como exemplo a fun�c�ao abaixo� representada atrav�es de uma tabela�verdade e de seu respectivo mapa de Karnaugh� A B F�A�B� � � � � � � � � � � � � B A � � � � � � Vejamos outro exemplo� A B C F�A�B�C� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C AB �� �� �� �� � � � � � � � No caso acima podemos escrever F � P m��� �� �� � �� � Q M��� �� �� Deve�se observar que existe uma rela�c�ao direta entre os minitermos maxitermos e os quadros do mapa de Karnaugh� Al�em disso� em um mapa de Karnaugh representamos somente os minitermos ��� ou os maxi� termos ���� por raz�oes de clareza �para o processo de simpli�ca�c�ao estaremos interessados em associar somente os minitermos ou somente os maxitermos�� Para construir um mapa de Karnaugh com mais de quatro vari�aveis constru��mos um mapa b�asico com quatro vari�aveis e o repetimos tantas vezes quantas forem as combina�c�oes das va� ri�aveis restantes� formando assim um mapa externo� O exemplo abaixo mostra a constru�c�ao de um mapa de Karnaugh para uma fun�c�ao de seis vari�aveis� B A � � � CD EF �� �� �� �� �� �� �� �� CD EF �� �� �� �� �� �� �� �� � CD EF �� �� �� �� �� �� �� �� CD EF �� �� �� �� �� �� �� �� �� Simpli ca�c�ao de fun�c�oes l�ogicas A minimiza�c�ao de fun�c�oes l�ogicas �e importante para minimizar os custos de implementa�c�ao dos circuitos digitais e melhorar sua velocidade de trabalho �a cada opera�c�ao l�ogica est�a associado EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� uma dura�c�ao�� Podemos encontrar uma forma m��nima para uma fun�c�ao atrav�es dos mapas de Karnaugh ou atrav�es da aplica�c�ao dos postulados e teoremas da �algebra de Boole� Vejamos dois exemplos de simpli�ca�c�ao usando a �algebra de Boole� Y � ABC �ABC �ABC �ABC � AB�C � C� �AB�C � C� � AB �AB � B�A�A� � B Y � �A�B � C� �A�B � C� �A�B � C� �A�B �C� � !A� �B �C�" !A� �B � C�" !�A�B� � C" !�A�B� � C" � !AA�A�B � C� � �B � C�A� �B � C��B � C�" !�A�B��A�B� � �A�B�C �C�A�B� � CC" � !A�B � C� � �B � C�A� �B � C�" !�A�B� � �A�B�C � C�A�B�" � !�A�A� ���B � C�" !�� �C � C��A�B�" � !��B � C�" !��A�B�" � �B � C��A �B� Para a simpli�ca�c�ao usando os mapas de Karnaugh� nos baseamos em sua principal proprie� dade que �e o fato de que dois quadros adjacentes �na horizontal ou na vertical� em um mapa de Karnaugh correspondem a dois minitermos �ou dois maxitermos� nos quais apenas uma vari�avel difere� estando complementada em um deles e n�ao no outro� Esses dois minitermos adjacen� tes podem ser combinados com a remo�c�ao da vari�avel que difere entre ambos� como mostra o exemplo a seguir� para F � m � �m �� � CD AB �� �� �� �� �� � � �� �� �� Podemos escrever F � AB C D � ABC D � AC D�B � B� � AC D� Assim� dois termos envolvendo quatro vari�aveis puderam ser substitu��dos por um s�o termo envolvendo tr�es vari�aveis� Como regra geral� um conjunto regular de � n minitermos adjacentes �ou seja� um ret�angulo com �� �� �� �� � � �minitermos� pode ser agrupado em um termo �unico do qual podem ser eliminadas n vari�aveis� Por exemplo� para o mapa abaixo� CD AB �� �� �� �� �� �� � � �� � � �� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � Podemos escrever F � m � �m � �m � �m � � AD� � E importante observar que� devido ao uso do c�odigo Gray� as colunas e linhas externas s�ao adjacentes entre si� como mostra o exemplo abaixo� no qual encontramos dois grupos com quatro termos cada� CD AB �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � De acordo com o mapa acima podemos escrever� F � m � �m � �m � �m �m �m �� � m �� �m �� � BD �BD � B �D� Vejamos mais um exemplo� CD AB �� �� �� �� �� � � �� �� �� � � Neste caso F � m � �m � �m � �m �� � B D� Ao construir a fun�c�ao m��nima devemos associar entre si os termos de maneira a eliminar o maior n�umero poss��vel de vari�aveis� at�e cobrir todos os termos existentes no mapa� � As vezes um termo tem de ser usado em mais de uma associa�c�ao� como mostra o exemplo abaixo� no qual temos F � BD �A CD� CD AB �� �� �� �� �� �� � � � �� � � �� Para levar a uma boa simpli�ca�c�ao da fun�c�ao� devem ser seguidas as seguintes regras na constru�c�ao dos grupos� � Minimizar o n�umero de grupos �para minimizar o n�umero de termos na express�ao �nal�� � Cada grupo deve englobar o maior n�umero poss��vel de casas �para eliminar o maior n�umero poss��vel de vari�aveis no termo correspondente ao grupo� na express�ao �nal�� Por exemplo� no mapa abaixo as associa�c�oes da esquerda levam a uma express�ao m��nima da fun�c�ao �F � A CD � ABC � ACD � ABC�� enquanto as associa�c�oes da direita n�ao �F � BD �A B CD �ABCD �ABCD �ABCD�� CD AB �� �� �� �� �� � �� � � � �� � � � �� � CD AB �� �� �� �� �� � �� � � � �� � � � �� � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � Caso sejam empregados maxitermos ao inv�es de minitermos� devemos tentar agrupar os zeros do mapa de Karnaugh� lembrando que a regra de complemento funciona ao contr�ario� Veja o exemplo� CD AB �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� Podemos escrever F �M � �M � �M � �M � �M �� �M �� � �A� C� � �A� C �D�� ��� Fun�c�oes incompletamente especi cadas Uma fun�c�ao l�ogica �e dita incompletamente especi�cada quando� para uma dada combina�c�ao das vari�aveis de entrada� a sa��da �e irrelevante� podendo assumir � ou �� Isso ocorre quando� � certas combina�c�oes das vari�aveis de entrada nunca ocorrem� � as entradas existem em circunst�ancias tais que n�ao in�uenciam no comportamento global do sistema� Nestascondi�c�oes a fun�c�ao pode assumir � ou � na tabela�verdade ou no mapa de Karnaugh� sendo ent�ao indicada por um �X�� Podemos considerar a fun�c�ao nessas condi�c�oes como � ou �� de� pendendo da conveni�encia �por exemplo� para auxiliar os agrupamentos no mapa de Karnaugh�� Vejamos o exemplo da fun�c�ao dada por F � P m��� �� � � � � P X���� ��� ��� ��� ��� � � e seu respectivo mapa de Karnaugh� CD AB �� �� �� �� �� �� � � X � �� X X �� � � X X Se interpretarmos como � os valores dem �� em �� e como � os demais valores indeterminados� ent�ao podemos agrupar os termos em dois grupos e teremos a forma m��nima F � CD � CD � C �D� ��� Exerc��cios �� Utilize os postulados e teoremas da �algebra de Boole para simpli�car as seguintes ex� press�oes l�ogicas� a� S �W �X � Y �Z �W �� c� S � �X�Y �W �Z� �X � Y � b� S � �W �X � Y ��WX � Y ��Y � Z��W � Z� d� S � X � �X Y �X X� �� Indique quais das seguintes a�rma�c�oes s�ao v�alidas� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� a� a opera�c�ao NAND n�ao �e associativa c� AB AB � AB b� AB �AB � AB d� AC �AC � B � AB �AB � C �� Expresse as fun�c�oes abaixo como somas de produtos� indicando tamb�em sua formas can�onicas �somas padr�ao de produtos�� a� X � �A�BC��B �CD� b� X � �A�BC��D �BC� �� Idem ao anterior� mas usando produtos de somas� a� X � A�BC c� X � �A�B��A� C��B � C� b� X � �A�BC��B � CD� � Encontrar as express�oes duais das express�oes abaixo� a� F � XY Z �XY Z c� F � X�Y � Z�X � Y �� b� F � �X � Y �Z �XY Z � Minimize as seguintes fun�c�oes usando o mapa de Karnaugh� a� F � � P m��� �� �� d� F � � Q M��� �� �� � ��� ��� ��� b� F � � P m��� �� � �� e� F � � P m��� �� � ��� ��� ��� c� F � � P m��� � �� ��� �� � � � f� F � Q M� � ��� ��� �X��� �� �� Uma fun�c�ao chamada majorit�aria produz uma sa��da l�ogica alta ��� quando a maioria de suas entradas est�a em n��vel alto ���� Considere e fun�c�ao para � entradas e encontre a express�ao l�ogica correspondente atrav�es da tabela�verdade e do mapa de Karnaugh �escolha a forma mais conveniente� maxitermos ou minitermos�� Cap��tulo � Circuitos Combinacionais ��� Introdu�c�ao Este cap��tulo �e dedicado ao estudo e projeto de sistemas l�ogicos combinacionais� Um circuito l�ogico �e dito combinacional quando suas sa��das em um determinado instante t s�ao fun�c�ao uni� camente de suas entradas naquele instante� ou seja� suas sa��das s�ao combina�c�oes l�ogicas de suas entradas naquele instante� Isso signi�ca que qualquer modi�ca�c�ao nas entradas ser�a imediata� mente considerada pelas sa��das� e � �t� e � �t� e � �t� e m �t� s � �t� s � �t� s � �t� s n �t� sa��das circuito combinacional entradas ��� S��ntese de circuitos combinacionais O projeto de um circuito combinacional segue habitualmente os seguintes passos� que devem ser aplicados para cada uma das sa��das do circuito� �� Descri�c�ao do comportamento desejado para o sistema� atrav�es de uma tabela�verdade enumerando todos os estados poss��veis para as entradas e os respectivos valores das sa��das� �� Constru�c�ao do mapa de Karnaugh da fun�c�ao� a partir da tabela�verdade� �� Obten�c�ao da forma m��nima para a fun�c�ao desejada� a partir dos agrupamentos de termos no mapa de Karnaugh� �� Constru�c�ao do circuito indicado pela express�ao m��nima da fun�c�ao� usando as portas l�ogicas b�asicas �AND� OR� NOT�� Podem ser efetuadas manipula�c�oes sobre a express�ao para permitir o uso de portas derivadas �XOR� ou universais �NAND� NOR�� No �nal deste cap��tulo veremos casos onde este roteiro n�ao pode ser aplicado diretamente� devido ao grande n�umero de entradas� que torna impratic�avel a de�ni�c�ao de uma tabela�verdade EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � para o sistema inteiro �por exemplo� � entradas geram � estados poss��veis�� Entretanto os circuitos onde isso ocorre podem normalmente ser divididos em sub�sistemas� para os quais o roteiro acima pode ser empregado� Vejamos o uso do roteiro acima em um exemplo� vamos projetar um detector de n�umeros primos de � bits� entre ���� � e ���� � �� Os n�umeros primos de � bits s�ao� �� �� �� � �� �� e ��� e nosso circuito disp�oe de quatro entradas �os quatro d��gitos do n�umero bin�ario� e uma sa��da �a indica�c�ao de que o n�umero na entrada �e primo�� o que nos leva a seguinte tabela�verdade� n A B C D F � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � A partir da tabela�verdade acima podemos construir o seguinte mapa de Karnaugh para a fun�c�ao F � CD AB �� �� �� �� �� �� � � � �� � � � �� � A express�ao que pode ser obtida dos agrupamentos do mapa de Karnaugh tem a forma� F � BCD �BCD �A BC �AD Podemos construir o circuito indicado pela express�ao acima usando somente as portas l�ogicas b�asicas� Cada termo �produto� da express�ao �e implementado por uma porta AND� e a soma dos termos �e implementada por uma porta OR� o que nos d�a o seguinte circuito� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� A B C D F Podemos empregar os teoremas de Morgan �A�B � C � A B C� para transformar a fun�c�ao sob a forma de uma soma de produtos em um produto de complementos� eliminando as somas �e a porta OR�� F � BCD �BCD �A BC �AD � BCD �BCD �A BC �AD � BCD � BCD �A BC �AD Desta forma a implementa�c�ao do circuito passa a empregar somente portas NAND� A B C D F EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Embora implementado de outra forma� este circuito executa exatamente a mesma fun�c�ao que o anterior� Esta forma de implementa�c�ao� empregando somente portas NAND� �e chamada �l�ogica NAND�NAND�� ��� Conversores de c�odigos Os circuitos conversores de c�odigos se destinam �a convers�ao entre diferentes sistemas de codi�� ca�c�ao de n�umeros bin�arios� como o Gray� o BCD� o � segmentos� etc� A maioria destes circuitos se encontra dispon��vel em circuitos integrados comerciais� Vejamos como exemplo a implemen� ta�c�ao de um conversor de n�umeros de � bits em c�odigo Gray para bin�ario� A tabela�verdade da fun�c�ao de convers�ao possui quatro entradas �os � d��gitos do n�umero em c�odigo Gray� e quatro sa��das �os quatro d��gitos do c�odigo bin�ario�� n G � G � G � G � B � B � B � B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � Com base na tabela�verdade podemos construir os mapas de Karnaugh para cada uma das sa��das B � � � � B � � Come�cando com B � temos� G � G � G � G � �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � O que nos leva �a express�ao B � � G � � Para B � teremos� G � G � G � G � �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� O que nos leva a B � � G � G � �G � G � � G � �G � � Para B � teremos� G � G � G � G � �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � B � � G � G� G � �G � G � G � �G � G � G � �G � G � G � � G � �G � G � �G � G � � �G � �G � G � �G � G � � � G � �G � �G � � �G � �G � �G � � � G � � �G � �G � � B � � G � �G � �G � Finalmente para B � teremos� G � G � G � G � �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � O que nos levar�a a B � � G � �G � �G � �G � �este resultado pode ser encontrado de maneira an�aloga ao obtido para B � �� Desta forma temos o seguinte conjunto de fun�c�oes que devem ser implementadas� B � � G � B � � G � �G � B � � G � �G � �G � � B � �G � B � � G � �G � �G � �G � � B � �G � A implementa�c�ao mais simples e direta destas express�oes �e dada pelo circuito abaixo� G � G � G � G � B � B � B � B � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� Veremos agora em outro exemplo a convers�ao de bin�ario para complemento �� com palavras bin�arias de � bits �B � B � B � B � � e seus respectivos complementos �C � C � C � C � �� A tabela�verdade assume a seguinte forma� n B � B � B � B � C � C � C � C � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � Com base na tabela�verdade podemos construir os mapas de Karnaugh e deduzir as ex� press�oes l�ogicas para cada uma das sa��das C � � � � C � � B � B � B � B � �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � B � B � B � B � �� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � C � � B � B � �B � B � �B � B � �B � B � B � B � C � � B � B � �B � B � �B � B � B � B � B � B � B � �� �� �� �� �� �� � � � � �� �� � � � � B � B � B � B � �� �� �� �� �� �� � � � � �� � � � � �� C � � B � B � �B � B � C � � B � As express�oes acima nos permitem implementar o circuito como apresentado na �gura a seguir� usando as portas b�asicas� Obviamente outras implementa�c�oes s�ao poss��veis� manipulando adequadamente as express�oes acima� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� B � B � B � B � C � C � C � C � Al�em dos circuitos apresentados acima� podemos ter codi�cadores de bin�ario para comple� mento � e vice�versa� de BCD para � segmentos� etc� que podem ser facilmente projetados pelo leitor usando a t�ecnica apresentada acima� ��� Codi cadores e decodi cadores Um decodi�cador �e um dispositivo com n entradas e � n sa��das� Para cada valor da entrada uma �unica sa��da �e verdadeira e as demais s�ao falsas� Normalmente representamos um decodi�cador atrav�es de um bloco� como por exemplo para o decodi�cador com � entradas e � sa��das� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � Decodi�cador �� �� E � E � E � E � S � S � S � S �� A tabela�verdade do decodi�cador �� � acima assume esta forma� E � E � E � E � S � S � S � S � � � � S �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Por exemplo� para o decodi�cador de �� � linhas teremos a seguinte tabela�verdade� E � E � S � S � S � S � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Que pode ser facilmente implementada atrav�es do circuito abaixo �note que usamos uma nova nota�c�ao para as entradas complementadas�� S � S � S � S � E � E � Um decodi�cador pode ser �util na implementa�c�ao de fun�c�oes l�ogicas simples� como alguns dos circuitos vistos anteriormente� Por exemplo� eis uma implementa�c�ao do detector de n�umeros primos de � bits usando um decodi�cador �� � � EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � E � E � E � E � F Decodi�cador �� �� S � S �� Devido �as suas caracter��sticas construtivas� nas principais fam��lias l�ogicas uma sa��da no estado baixo �� ou L�ow�� drena uma corrente signi�cativamente maior que uma sa��da em estado alto �� ou H�igh��� Para uma porta TTL convencional� a corrente em uma sa��da em estado baixo �e da ordem de �� mA� enquanto uma sa��da em estado alto drena apenas cerca de ��� �A� ou seja� uma corrente � vezes menor� O comportamento esperado para um um decodi�cador com � n sa��das �e ter a sa��da ativa em estado alto e as demais � n � � sa��das em estado baixo� sendo por isso chamado de ativo alto� Entretanto� para diminuir o consumo de energia e a conseq�uente dissipa�c�ao de calor nos circuitos integrados� a maioria dos decodi�cadores comerciais emprega uma l�ogica de ativo baixo� na qual a sa��da ativa se encontra em estado baixo ��� e as demais em estado alto ���� O decodi�cador comercial integrado TTL ������ de � � � vias� �e entao representado por� TTL �� � E � E � E � S � S � S � S � EN � EN � EN � Al�em das entradas que de�nem a sa��da ativa� um decodi�cador pode ter uma ou mais entradas do tipo strobe ou enable�disable� como as entradas EN � � EN � e EN � do decodi�cador � � � acima� A fun�c�ao dessas entradas �e inibir a sa��da ativa do decodi�cador� na situa�c�ao acima� enquanto EN � EN � EN � for falso� nenhuma sa��da ser�a ativada� n�ao importando o estado das entradas E i � Considerando um decodi�cador �� � com uma entrada enable teremos a seguinte tabela�verdade� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� EN E � E � S � S � S � S � � X X � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Este comportamento pode ser facilmente implementado atrav�es do seguinte circuito� S � S � S � S � EN E � E � As entradas do tipo enable podem ser usadas para conectar decodi�cadores em cascata� permitindo assim a constru�c�ao de decodi�cadores maiores� O exemplo abaixo mostra a imple� menta�c�ao de um decodi�cador �� � usando decodi�cadores �� �� S � S � S � S � S � S �� S �� S �� S � S � S � S � E � E � EN E � E � EN S � S � S � S � E � E � EN S � S � S � S � E � E � EN S � S � S � S � E � E � E � E � EN EN E � E � S � S � S � S � Ao contr�ario dos decodi�cadores� os codi�cadores convertem entre � n entradas e uma sa��da com n bits� O circuito integrado ����� �e um codi�cador de � � � vias� funcionando em ativobaixo �sua entrada ativa est�a em estado ��� Sua tabela�verdade �e dada por� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� EN E � E � E � E � E � E � E E � S � S � S � EO GS � x x x x x x x x � � � � x � x x x x x x x � � � � � � � x x x x x x � � � � � � � � x x x x x � � � � � � � � � x x x x � � � � � � � � � � x x x � � � � � � � � � � � x x � � � � � � � � � � � � x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A entrada EN habilita a sa��da� As sa��das complementadas S � � � � S � indicam o d��gito bin�ario correspondente �a entrada ativa de n�umero mais elevado �trata�se ent�ao de um codi�cador com prioridade� onde as entradas de n�umero mais elevado tem prioridade�� A sa��da EO �e ativada ��� quando n�ao existir entrada ativa� ou caso as sa��das estejam desabilitadas �EN � ��� A sa��da GS �chamada group service� �e ativada caso haja alguma entrada ativa� independente da habilita�c�ao das sa��das� �� Comparadores de palavras Um circuito comparador simples permite comparar duas palavras de n bits� indicando quando estas s�ao iguais� Esse tipo de comparador pode ser facilmente implementado atrav�es de portas n�ao�ou�exclusivo entre os respectivos bits das palavras a comparar �A i �B i � A i B i �A i B i �� A � B � A � B � A � B � A n B n A � B Circuitos comparadores mais complexos podem ser construidos para indicar se A � B� A � B ou A � B� O circuito integrado TTL ��� �e um comparador de palavras de � bits com essa possibilidade� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero � TTL ��� A � A � A � A � B � B � B � B � entradas A � B A � B A � B A � B A � B A � B sa��das condi�c�ao anterior As entradas indicadas como condi�c�ao anterior permitem a conex�ao de comparadores em cascata para efetuar a compara�c�ao de palavras maiores� No circuito do exemplo a seguir podem ser comparadas palavras de � bits� � � � A � A � A � A � B � B � B � B � TTL ��� A � B � B � TTL ��� A � A � A B � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B A � B �� Geradores e detectores de paridade Os geradores e detectores de paridade s�ao muito �uteis em comunica�c�ao de dados� onde permitem detectar a presen�ca de erros de transmiss�ao� A t�ecnica b�asica consiste em associar um bit de paridade ao dado a ser transmitido� indicando se este tem um n�umero par ou ��mpar de bits ativos� Ao ser recebido� o dado �e testado em rela�c�ao ao bit de paridade� e eventuais erros podem ser detectados� paridade gerador de paridade detector de dadodado erro paridade bit de Um gerador simples de bit de paridade para palavras de � bits e seu respectivo detector s�ao apresentados no diagrama a seguir� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� D � D � D � D � bit de paridade erro Um circuito �e dito de paridade par� quando o n�umero total de bits ���� incluindo o de pari� dade� �e par� Caso contr�ario� o circuito �e dito de paridade ��mpar� O circuito acima apresentado �e de paridade par� pois o bit de paridade vale � se o dado possuir um n�umero par de bits ativos� e � sen�ao� em conseq�u�encia� o n�umero total de bits ativos �e sempre par� No caso da detec�c�ao de erro em um dado� o sistema de recep�c�ao de dados pode solicitar que este seja retransmitido� ou tomar outra atitude� Os circuitos de paridade s�ao capazes de detectar erros quando um n�umero ��mpar de bits �e alterado durante a transmiss�ao� Existem circuitos mais complexos de comunica�c�ao de dados capazes de detectar erros de modo mais abrangente e mesmo corrigir erros pequenos� sem necessidade de retransmiss�ao� No entanto esses circuitos necessitam de mais bits de controle associados a cada dado� ��� Multiplexadores e demultiplexadores Um multiplexador �e um dispositivo com � n entradas de dados� uma sa��da e n entradas de sele�c�ao que de�nem qual entrada de dados transferir para a sa��da� Um t��pico multiplexador de � vias �e mostrado abaixo� x� MUX E � E � D � D � D � D � S � D � D � D � D � E � E � S A tabela�verdade do multiplexador acima �e dada por� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� E � E � S � � D � � � D � � � D � � � D � O que nos leva a S � E � E � D � � E � E � D � � E � E � D � � E � E � D � � Esta fun�c�ao pode ser facilmente implementada pelo circuito abaixo� D � D � D � D � E � E � sa��da Assim como os decodi�cadores� os multiplexadores podem ser usados na implementa�c�ao de fun�c�oes l�ogicas� como por exemplo a detec�c�ao de n�umeros primos� MUX �� E � E � E � E � � � sa��da D � D �� Os demultiplexadores permitem distribuir um dado em sua entrada para uma entre � n sa��das� escolhida de acordo com as entradas de sele�c�ao� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� DEMUX D E � E � S � S � S � S � � D E � E � S � S � S � S � Para um demultiplexador de � vias ter��amos a seguinte tabela�verdade� E � E � S � S � S � S � � � D � � � � � � D � � � � � � D � � � � � � D Esta tabela pode ser implementada pelo seguinte circuito� S � S � S � S � E � E � D Os dispositivos mux demux comerciais geralmente possuem uma ou mais entradas do tipo enable� complementadas ou n�ao� que permitem conectar circuitos em cascata� As principais apli� ca�c�oes desses dispositivos s�ao a sele�c�ao e encaminhamento de dados� a convers�ao s�erie�paralelo de dados� a gera�c�ao de formas de onda e a s��ntese de fun�c�oes l�ogicas� Um exemplo de circui� to integrado comercial �e o TTL ��� �� que possui dois multiplexadores de � vias controlados simultaneamente �as entradas de sele�c�ao s�ao comuns a ambos�� EEL���� � Sistemas Digitais � EEL�UFSC � Prof� Carlos Maziero �� MUX MUX S a S b E � E � A � A � A � A � B � B � B � B � ��� Somadores Os circuitos somadores permitem efetuar opera�c�oes de soma entre duas palavras de n bits� levando em conta o �vai�um� �excesso ou carry�� Para a soma de duas palavras A e B de � bit teremos a seguinte tabela�verdade� para a soma S e o excesso C� A B S C � � � � � � � � � � � � � � � � Pode�se ent�ao concluir que S � A � B e C � A � B� O circuito de�nido por essas fun�c�oes �e chamado �meio�somador� e sua implementa�c�ao �e trivial� usando apenas duas portas l�ogicas� Um circuito �somador completo� deve levar em conta o excesso ��vai�um�� de um eventual ante� cessor� para poder ser associado em cascata a outros somadores e assim implementar somadores para palavras mais longas que � bit� A tabela�verdade para um somador completo de � bit �e dada por� C i�� A i B i S i C i � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Atrav�es dos mapas de Karnaugh obtemos as fun�c�oes l�ogicas e sua implementa�c�ao� S i � A
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