AN_Aula01

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ANÁLISE NUMÉRICA, um Curso Moderno
Peter Albrecht
Capítulo 0
PRELIMINARES
0.1 ESPAÇOS VETORIAIS E MÉTRICOS 
Para que se possa operar com os elementos de um espaço 
 é necessário interrelacioná-los, isto é introduzir estruturas em 
. Serão usadas duas estruturas:
Estrutura Topológica, definindo norma
Estrutura Algébrica, definindo espaço vetorial
Definição 0.1
Uma métrica ou distância em um espaço 
 é definida pela associação de um número real d(x, y) a cada par de elementos 
, de modo que:
d(x,y) = 0 se e somente se x = y
d(x,y)
d(x,z) + d(y,z) ; 
 (chamada desigualdade triangular)
As condições 1. e 2. implicam as duas outras condições 
d(x,y) 
 0 
d(y,x) = d(x,y) para todo o 
Com efeito, para x = y, obtemos da expressão 2., 0 
 d(x,y) pois, 
 0 = d(y,y) 
d(y,z) + d(y,z) = 2 d(y,z) o que fornece 0
d(y,z) o que valida a expressão 3.
Para z = x, em 2. vem: d(x,y) = 0
d(x,x) + d(y,x) = d (y,x) e, assim, d (y,x) = d(x,y) o que valida a expressão 4.
Exemplos de Métricas no conjunto 
dos números reais. 
a) d1(x,y) = 
		b) d2(x,y) = 
		c) d3(x,y) = 
Definição 0.2
Um espaço 
 munido de uma métrica é chamado de espaço métrico.
Definição 0.3
Diz-se que uma seqüência de elementos xn de um espaço métrico 
 converge a 
 quando 
Com o uso de uma métrica, o conceito de convergência no espaço métrico 
 é levado ao conceito de convergência em 
.
Quando não se conhece o ponto limite da seqüência pode-se, ainda, verificar a condição de convergência com a seguinte definição:
Definição 0.4
Uma seqüência de elementos xn de um espaço métrico 
 é chamada de seqüência de Cauchy quando 
Observe que, se {xn} é uma seqüência de elementos de um espaço métrico 
 e se xn converge para 
, então, {xn} é de Cauchy. Mas a recíproca não é verdadeira. 
Exemplos:
{xn} , com 
, n=1, 2, … no espaço 
 definido pelos elementos de (0,1], munido da métrica d1(x,y)= 
 é de Cauchy. O limite é 0, embora este ponto não faça parte do conjunto que define o espaço 
.
{xn} , com xn = 
 n=1, 2, …, definido no espaço 
 dos números racionais, com a mesma métrica. O limite desta seqüência é o numero irracional e:
Para que se possam realizar operações entre elementos de um conjunto 
 é necessário que defina, nele, uma estrutura algébrica.
Definição 0.5
O conjunto 
 definido sobre o corpo Ҡ dos números complexos forma um espaço vetorial, se
os elementos do conjunto 
 formam um grupo comutativo em relação à operaçao de adição, isto é
 a) x+y = y+x 			para todo x e y de 
 b) (x+y) + z = x + ( y+z) 			para todo x , y e z de 
 c) existe um vetor 0
 tal que x +0 = x para todo x de 
 d) para cada elemento x de 
 existe um elemento y de 
 tal que 
 x+y = 0 
existe uma operação de multiplicação do vetor x de 
 por um escalar 
 Ҡ que satisfaz as leis distributivas
 a) 
 	para todo 
 Ҡ e x,y 
 b) 
 e 
 	com 
 Ҡ e x
 c) 1x=x para todo x
Definição 0.6
Em um espaço vetorial 
 pode-se definir uma norma se a cada x
 fica associado um número real 
 (norma de x) tal que:
 se e somente se x = 0
 (desigualdade triangular)
 para todo x 
 
 e 
 Ҡ (homogeneidade)
Dessas condições, segue:
, pois, na terceira condição, para c = -1 , vem 
 e na segunda condição, com y = - x, vem 
, o que valida a expressão d).
0.2 OPERADORES
Nos seguintes parágrafos consideraremos espaços vetorias X e Y, munidos de uma métrica d.
Definição 0.7
Um operador 
 é uma regra que permite associar a cada elemento 
 um único elemento 
. Os elementos de D são chamados argumentos e os elementos Tx, com 
 são chamdos valores de T. Escreve-se Tx = y; 
, 
. No caso particular em que 
 e 
 o operador será chamado de função de 
 em 
. Mas sempre que for usado o termo função, sem indicação dos espaços D ou B, vamos considerar que estamos no espaço dos números reais, 
.
Definição 0.8
T é chamado operador linear quando
 T(c1 . x1 + c2 . x2) = c1.Tx1+c2.Tx2; c1 e c 2 
 
Exemplo: No espaço das matrizes A, 2x2, e com x e y vetores de 2 dimensões, podemos escrever: 
 A(2x+3y) = 2Ax + 3Ay, 
Neste caso, estamos considerando a matriz A como um operador. 
Definição 0.9
Seja 
 um espaço vetorial com uma métrica d. Então dizemos que T é limitado quando existe um número 
tal que, para todo 
, 
. 				 (0.1)
Exemplo: 
Seja T dado por Tx=2x, 
, conjunto dos números reais e a distância d(x,y) = 
. Então, em X, T é limitado pois, 
 d(Tx,Ty) = 
, 
.
Definição 0.10
O menor número P para o qual essa limitação é verificada é chamado de norma de T e representado por 
.
No exemplo anterior, a norma de T é 2. 
Obs. Se o espaço 
 é normado, então (0.1) tem a forma 
 
. 
Se, além disso, T é linear, fica 
Definição 0.11
Um operador T de 
 em B é chamado contínuo quando 
 implicar que 
 , 
.
0.3 ITERAÇÕES
Seja X um espaço vetorial munido de uma métrica d e seja T um operador de 
 em X. Procuramos, a seguir, encontrar um ponto 
, chamado de ponto fixo de T, que tem a propriedade 
u = T u
Essa solução pode ser obtida usndo-se a iteração 
, 
, n = 0, 1, ...
quando o operador está definido em um conjunto completo e limitado 
 que contém o ponto fixo u tal que 
 e quando, para ele, vale:
, com 
.		 (0.2)
Exemplo:
O operador definido por 
 Tc=(c2+2)/3 
tem o ponto fixo u = 1 (verifique) que pode ser obtido pela seqüência
 
 cn+1=(cn2+2)/3, 
como pode ser visto a seguir:
> 
 ...
Assim, Tu=u, com u=1.
Observação 1: Pode ser verificado que esta função de iteração tem outro ponto fixo, u=2.
Para este ponto fixo, esta função não converge.
Observação 2: Esta iteração 
 foi obtida a partir de uma modificação no polinômio 
, fazendo-se 
. 
Observação 3: Pode-se obter uma outra função de iteração, 
. Ela converge para a raiz, u=2 e não converge para u=1.
Observação 4: Pode-se representar graficamente o problema 
 desenhando a reta y(x) = x e a curva y(x) = 
e vendo que elas se encontram: têm pontos comuns, que são os ponto fixos.
Observação 5: Pode-se verificar se a função de iteração é ou não convergente calculando-se a taxa de convergência ou a sua derivada nos pontos fixos. Veja que o valor dessas duas quantidades é o mesmo.
Veja como funcionam os conceitos das observações acima.
Funcionamento da função de iteração cn+1=(cn2+2)/3
 
1			] = 
= 			
...
...
…
...
...
 
...
 
				 
 
 ...
 
...
...
2
...
...
...
> 
__________________________________________________________________________________________
Análise Numérica, um Curso Moderno, P. Albrecht, Th. Costa, 
cap.0, pág.� PAGE �11�
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