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1MatLab_AN2012

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Atividades de Análise Numérica com OCTAVE ou MATLAB 
 
J. A. Salvador 
salvador@dm.ufscar.br 
 
 
Onde quer que haja mulheres e homens, há sempre o que fazer, há sempre o que 
ensinar, há sempre o que aprender! (Paulo Freire) 
 
 
Foram elaboradas Fichas de Atividades no ambiente computacional 
para o estudante dominar o OCTAVE OU MATLAB para compreender os Métodos 
Numéricos bem como testar suas limitações, que são abordados num curso básico de 
Cálculo Numérico. 
 
 
Introdução 
Introdução ao OCTAVE OU MATLAB 
Obtendo ajuda no OCTAVE OU MATLAB 
Comandos básicos do OCTAVE OU MATLAB 
Programação em OCTAVE OU MATLAB 
Arquivos M 
FICHAS DE ATIVIDADES 
ZEROS DE FUNÇÕES 
Método da Bisseção 
Método das Aproximações Sucessivas 
Método das Secantes 
Método de Newton - Raphson 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Polinômio interpolador de Lagrange 
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Métodos Diretos 
Eliminação de Gauss 
Métodos indiretos 
Método de Jacobi - Richardson 
Método de Gauss-Seidel 
2 
SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS: 
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 
Método de Euler 
3 
Introdução 
 
O tema aborda a construção de uma ferramenta computacional de apoio 
ao ensino de cálculo numérico no ensino Superior. 
Tendo em vista a grande utilização do computador na rede de ensino, se 
faz necessário à implementação de ferramentas computacionais de ensino que possam 
contribuir para o aprendizado do aluno. Uma destas ferramentas de ensino, sem dúvida 
nenhuma, é o domínio de softwares. A escola como local de investigação e 
capacitação de futuros agentes transformadores da nossa realidade parece que ainda 
não esta totalmente preparada para proporcionar aos seus alunos condições necessárias 
para a utilização do computador como mais uma ferramenta de aprendizagem embora 
já tenha alcançado um avanço razoável. 
A utilização do computador pode possibilitar uma redefinição da escola 
como foco de ensino, investigação e pesquisa. A escola deve neste momento discutir 
qual será o seu papel na sociedade globalizada e quais ferramentas de ensino e 
aprendizagem podem fazer parte de suas dinâmicas. Tentando fornecer elementos para 
esta discussão, este trabalho de graduação tem por objetivo investigar o Ensino da 
Matemática na disciplina de Calculo Numérico no ensino superior por meio do uso de 
uma ferramenta computacional e pedagógica, o OCTAVE1 que é um software livre ou 
MATLAB2. 
 
Introdução ao OCTAVE ou MATLAB 
 
OCTAVE OU MATLAB são softwares interativos de alta performance 
voltados para o cálculo numérico. Eles integram a análise numérica, cálculo com 
matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar 
onde problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos 
matematicamente, ao contrário da programação tradicional. 
Neles, o elemento básico de informação é uma matriz que não requer 
dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de muitos problemas numéricos 
em apenas uma fração do tempo que se gastaria para escrever um programa 
 
1
 www.gnu.org./software/octave 
2
 www.mathworks.com 
4 
semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C++. Além disso, as soluções dos 
problemas são expressas quase exatamente como elas são escritas matematicamente. 
 
Obtendo ajuda no OCTAVE ou MATLAB 
 
O comando help nestes softwares nos fornece ajuda on-line sobre 
qualquer outro comando. Por exemplo, para obter ajuda sobre o comando who: 
 
>> help who 
 WHO list current variables. 
 WHO lists the variables in the current workspace. 
 WHOS lists more information about each variable. 
 
Outro comando que pode ajudar bastante é o lookfor, que procura entre 
todas as funções do OCTAVE ou MATLAB a palavra-chave especificada. 
 
>> lookfor max 
 BITMAX Maximum floating point integer. 
 REALMAX Largest positive floating point number. 
 MAX Largest component. 
 
Comandos básicos do OCTAVE ou MATLAB 
 
» Clear Apaga todas as variáveis do espaço de trabalho 
» Clc Limpa a janela de comandos 
» % O Operador Percentagem, permite adicionar comentários 
após comandos do OCTAVE ou MATLAB, ou seja, tudo que esteja à direita deste 
operador será ignorado. 
 
Tipos de dados em OCTAVE ou MATLAB: Matrizes 
 
Em OCTAVE ou MATLAB os dados são armazenados essencialmente 
como matrizes. Há várias formas de especificar matrizes, para que se possa manipulá-
las. 
5 
Para definir explicitamente uma matriz A, devem-se usar colchetes a 
delimitar seus elementos. Estes serão separados por vírgula ou espaços dentro da 
mesma linha, sendo estas finalizadas por ponto e vírgula. 
 
Exemplo: 
» A = [4 3 1; 5 7 0 ]; 
 
O Ponto e Vírgula no final da instrução impede que o OCTAVE ou 
MATLAB mostre os dados introduzidos, embora os deixa guardados na memória. 
Caso não se coloque, serão visualizados o seguinte: 
A = 
 4 3 2 
 5 7 0 
 
O OCTAVE ou MATLAB possui alguns comandos internos no caso de 
se criar matrizes elementares. 
 
» zeros(n,m) - Cria uma matriz nxm em que todos os elementos são 
nulos. 
» ones(n,m) – Cria uma matriz nxm em que todos elementos são a 
unidade. 
» eye(n) – Cria uma matriz identidade nxn 
 
Para obter acesso a um elemento da linha i e coluna j de uma matriz. 
utiliza-se o comando M(i,j) , sendo M a matriz. 
 
O Operador: 
O Operador: (dois pontos) possui várias funções no OCTAVE ou 
MATLAB. 
 
Exemplos: 
 
» D= 1:7 
 cria uma matriz D, linha, em que seus elementos são: [1 2 3 4 5 6 7 ]. 
6 
 
» D = 1:0.1:2 
cria uma matriz D, linha, com um espaçamento de 0,1 entre seus 
elementos 
[1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 ] 
 
» D (1,: ) 
Se quiser obter a primeira linha da matriz D 
[1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 ] 
 
» D(1,2:4) 
Se quiser obter a porção entre a Segunda e Quarta colunas, na primeira 
linha 
 [1.10 1.20 1.30 ] 
 
Constantes do OCTAVE ou MATLAB no format long com 15 dígitos 
 
pi 3,14159265358979 
exp(1) 2.71828182845905 
 
Ou no format short com 5 dígitos 
 
pi 3.1416 
exp(1) 2.7183 
e ainda a unidade imaginária 
i 0 + 1.0000i 
 
 
Variáveis em OCTAVE ou MATLAB 
 
As variáveis em OCTAVE ou MATLAB não necessitam de ser 
explicitamente declaradas, é feita distinção entre maiúsculas e minúsculas. 
 
7 
O OCTAVE ou MATLAB cria automaticamente a variável resposta ans 
(de ANSwer), que guarda o valor da última expressão calculada, quando este não 
estiver sido atribuído a nenhuma outra variável. Geralmente atribuímos um nome a 
uma variável definida, como 
» x = [1 2 3 4] 
x = 
 1 2 3 4 
 
Programação em OCTAVE ou MATLAB 
 
Aqui está um grande diferencial do OCTAVE ou MATLAB , quando se 
trabalha com expressões, pode-se envolver matrizes inteiras, ao invés de obrigar a 
trabalhar apenas elemento a elemento, como acontece em muitas linguagens de 
programação. 
 
Exemplos: 
 
A’ Transposta da matriz A 
inv(A) Inversa da matriz A 
det(A) Determinante da matriz A 
size(A) Dimensão da matriz A 
eig(A) Autovalores da matriz A 
rank(A) posto da matriz A 
 
Os número podem ser introduzidos como inteiros (2546), negativos 
( -456.003 ), decimais (4.634), complexos (8 + 7*i) ou notação científica ( 1.5e-5) que 
corresponde a 1.5 * 10^(-5) 
 
Na maioria dos softwares computacionais, principalmente no ambinete 
do Octave ou MatLab (VENDRAMETTO JR., C. E. \& ARENALES, 2000) 
indicamos os operadores lógicos ou relacionais
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