Exercícios-UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
Departamento de Matemática e Estatística 
 
Disciplina: Cálculo 1 (2011/01) Professora: Camila P. da Costa 
Lista 12: Derivadas 2: Derivadas de Funções de uma Variável 
 
 
Parte 1: 
 
1) Encontre y’, sabendo que: 
 
a) y = 7 – 6x b) y = 
5
912x −
 d) y = 4x3
2
2x
+− 
 
e) y = 2x
3x22x −
 f) y = 
x
1
22x
3
− g) y = 3 x3x2 + 
h) y = 
3x
2
3 x
3
+ i) y = 3 x
x
xx − j) y = (x2-1)(2+x) 
k) y = 
2x1
22x
+
+
 l) y = 
2x3
2
−
 
 
 
2) Seja a função definida por f(x) = 4x – x2 . 
 
a) Determine a equação da reta tangente no ponto P(1, 3). 
b) Esboce os gráficos de f e da reta tangente no ponto P(1, 3), no mesmo sistema de eixos. 
 
3) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = 2x + x.sen(x) no 
ponto 
2
pi
=x . 
4) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x)= 
x1
13x
−
−
 no ponto x = -1. 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA: 
REGRA DA CADEIA 
 
5) Encontre y’, sabendo que: 
 
a) y = (2-x)6 b) y = 53)(2x
1
+
 c) y = 24x − d) y = 5x 2 + 
e) y = 22 )4(2
3
xx −
 f) y =
213
2
x−
 g) y = (x2+3x-1)2 
h) y = cos (3x2) i) y = 
2
3
)52(
)33(
+
+
x
x
 j) xy 27sen −= 
 
6) Encontre a derivada de cada função abaixo definida e escreva o resultado de forma 
simplificada:
 
 
2 
 
A)
x
x
xf
2sen
5cos)( = B) 3)2cos3(sen)( xxxf += 
C) 33cos)( xxf = D) xxf 27sen)( −= E) 5 3)86cos()( += xxf 
 
7) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por y = 32 −x no ponto 
x = 2. 
 
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E TAXA DE VARIAÇÃO 
INSTANTÂNEA 
 
8) A distância percorrida (em m) por um objeto é dada, a cada instante, pela lei s(t) = t2 + 4t + 4 
onde t é o número de segundos percorridos. Determine: 
a) a velocidade média entre t = 1s e t = 3s. 
b) a velocidade inicial (t = 0). 
c) a velocidade no instante t = 3s. 
d) em que instante a velocidade é de 12 m/s. 
 
 
9) Um objeto move-se em linha reta de tal forma que, após t horas, ele está a 
ttts += 23)( quilômetros de sua posição inicial. 
a) Encontre a velocidade média do objeto no intervalo ]3;1[ . 
b) Ache a velocidade instantânea em 1=t . 
c) Determine em que tempo o objeto estará se deslocando a uma taxa de ./19 hkm 
 
10) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório “t” horas após o escoamento ter começado, é dada por: v(t) = 50.(80 – t )2. Determine 
a taxa de variação do volume de água no reservatório, após 8 horas de escoamento. 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) y’ = -6 b) y’ =
5
12
 c) y’= 3−x d) y’= 2
3
x
 
e) y’=- 23
13
xx
+ f) y’= 
3 2
11
xx
+ g) y’ = 23 4 3
21
xx
−− h) 33
2
2
3
x
x
− 
i) y’= 3x2+ 4x – 1 j) y’ = 2
2
)21(
422
x
xx
+
−+
 k) y’= 2)23(
4
x−
 
2) a) y=2x+1 
 
3) 1 
 
4) y =
2
3
2
−
x
 
 
5) a) y’= -6(2-x)5 b) y’= 6)32(
10
+
−
x
 c) y’= 
2x4
2
−
 d) y’= 
5x
x
2 +
 
 
 
3 
e) y’= 32 )4(
126
xx
x
−
+−
 f) y’=
32 )1(3
2
x
x
−
 g) y’=(4x+6)(x2+3x-1 
 
h) y’ = -6xsen(3x2) i) y’ = ( ) ( )( )3
2
52
33633
+
++
x
xx
 j)
x
xy
27
27cos
'
−
−
−= 
 
6) a)
x
xxxx
xf
2sen
2cos5cos22sen5sen5)(' 2
+
−= 
b) )2sen23cos3()2cos3(sen3)(' 2 xxxxxf −+= 
c) 3322 sencos9)(' xxxxf −= 
d)
x
x
xf
27
27cos)('
−
−
−= 
e)
5 34
32
)86(cos5
)86sen()86(18)('
+
++
−=
x
xx
xf 
7) y = 2x – 3 
 
8) a) 8m/s b) 4m/s c) 10m/s d) 4s 
 
9) a) hkm /13 b) hkm /7 c) h3 
 
10) -7200L 
 
4 
Parte 2: 
DERIVADAS DE FUNÇÕES 
EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS: 
 
1) Encontre y’, sabendo que: 
 
a) y = 3ex + 8ln x –1 
b) y = 5
2
xln
3
x
++ 
c) y = ln 4 – 3e + pi2 -1 
d) y = 2epixx2e3x +−− 
e) y = 3x2ex 
f) y = ex lnx 
g) y = 
2x
xe
 
h) y = 5x3ln x 
i) y = sen x . ln x 
j) y = xe
tgx
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA: 
REGRA DA CADEIA 
 
2) Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) g) 52 −= xey 
b) h) y = 
xe
1
 
c) y = 2ln3 x 
d) y = ln (5x+2) 
e) y = 23 +xe 
f) m) y = 2xe− 
 
g) y = ln(4-5x) 
 
h) y = xe x 2ln.2 
i) y =
x
e x
−1
3
 
j) y = x2.ln x3 
k) y = 2
2x
e
−
− 
 
l) y = xe 3ln 
 
m) y = ln e5x 
 
5 
n) y = 
xe x
1
sen
9
3 + 
3) Encontre a derivada de cada função abaixo definida e escreva o resultado de forma 
simplificada:
 
a) 
2
)(
xx ee
xf
−+
= b) )1(ln)( 23 += xxf c) 32 )1(ln)( += xxf 
 
4) Determine a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x) = x.e-x no 
ponto x = -1. 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS (Parte 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) 
a) b) y’ = 3ex + 
x
8
 
b) y’ = 
x2
1
3
1
+ 
c) y’ = 0 
 
d) y’= 3x2 –2ex -pi 
e) y’ = 3xex(2+x) 
f) y’=ex(
x
1
+ ln x) 
g) y’ = 22
)1(
x
xe x −
 
h) y’= 5x2(1+3ln x) 
i) y’= xx
x
x
cos.lnsen + 
j) y’=
xe
tgxx −2sec
 
h) y’= )2ln21(2 x
x
e x + 
i) y’= 2
3
)1(
)34(
x
xe x
−
−
 
j) y’= 2xln x3+3x 
k) y’= 2
2x
xe
−
 
l) y’= 3 
m) y’= 5 
n) y’ = 





−−
xxe x
1
cos
127
23 
 
2) 
a) y’=2x 52xe − 
b) y’=-e-x 
c) y’=
x
6
 
d) y’=
25
5
+x
 
e) y’=3e3x+2 
f) y’= 22 xxe−− 
g) y’=
x54
5
−
−
 
 
3) a) xhxfoueexf
xx
sen)('
2
)(' =−=
−
 
b) 
1
)1(ln6)(' 2
22
+
+
=
x
xx
xf c)
1
6)(' 2 += x
x
xf 
 
4) 2e