Noções de Algebra Linear

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NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR 
1. ESPAÇOS VETORIAIS 
 
1.1. ESPAÇO VETORIAL REAL 
 
Seja um conjunto V f¹ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, 
tais que "u, v ÎV, u+v VÎ e "a ÂÎ ,"u VÎ , au VÎ . O conjunto V com as operações acima é chamado 
espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades: 
 
Em relação à adição: 
A1 - u + v = v + u , "u,v VÎ (a adição deve ser comutatividade ) 
A2 - (u + v) + w = u + (v + w) , "u,v,w VÎ (a adição deve ser associativa ) 
A3 - $ 0 VÎ , "u VÎ , u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição) 
A4 - "u VÎ , $ (-u) VÎ , u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V) 
 
Em relação à multiplicação por escalar: 
M1 - (a + b)u = au + bu, "a,b ÂÎ e "u VÎ (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de 
escalares) 
M2 - a(u + v) = au + av, "a ÂÎ e "u,v VÎ (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de 
vetores) 
M3 - (ab)u = a(bu), "a,b ÂÎ e "u VÎ (a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de 
escalares) 
M4 - 1u = u, "u VÎ (o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar) 
 
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza. 
 
Exemplos de espaços vetoriais: 
1. O conjunto n das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
 
2. O conjunto mxnM das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
 
3. O conjunto nP ={a 0 x
n + a 1 x
1n - + ... + a n ; a i ÂÎ } dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo 
o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
 
4. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por 
(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (af)(x) = af(x) , " aÎÂ . 
 
1.2. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 
 
Sejam os vetores n21 v,...,v,v de um espaço vetorial V. Um vetor Îv V é combinação linear (CL) 
dos vetores n21 v,...,v,v se existem os reais n21 a,...,a,a , tais que vva...vava nn2211 =+++ . 
 
E1) Verifique se o vetor )7,8,1(v --= é combinação linear dos vetores )1,2,3(v1 -= e )5,1,4(v2 = . Em caso 
afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de 1v e 2v . 
 
 2 
Importante: A combinação linear vva...vava nn2211 =+++ pode ser representada matricialmente por 
MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores n21 v,...,v,v , A é a matriz coluna formada pelos 
coeficientes n21 a,...,a,a e V é a representação matricial do vetor v. 
 
E2) Escreva o vetor v = (-3,2) como combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1). 
E3) Escreva o vetor v = (1,3,-2) como combinação linear dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). 
E4) Sejam os vetores )2,1,2(v1 -= , )2,3,0(v2 -= e )0,2,4(v3 = . 
 a) Escreva, se possível, o vetor )2,5,2(v -= como CL dos vetores 1v e 2v . 
 b) Escreva, se possível, o vetor 1v como CL dos vetores 2v e 3v . 
 c) Determine o valor de “m” para que o vetor )m,0,6(u = seja CL dos vetores 1v e 2v . 
 
1.3. RESPOSTAS 
 
E1) v = 3v1 - 2v2 E2) v = -3i + 2j E3) v = i + 3j – 2k 
E4) a) v = v1 + 2v2 b) Impossível c) m=4 
 
1.4. PRODUTO ESCALAR 
 
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado 
por u . v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. 
Se u = (x1, y1) 2ÂÎ e v = ( x2, y2 ) 2ÂÎ então u.v = x1.x2 + y1.y2 . 
Se u = (x1, y1 , z1)
3ÂÎ e v = ( x2 , y2 , z2) 3ÂÎ então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2. 
 
 
E1) Determinar u . v ,sabendo que u = (1, -2) e v = (4,2). 
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
®®
BC.AB . 
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 
a) u . v = v . u 
b) u .( v + w ) = u . v + u . w 
c) a ( u . v ) = (a u ). v = u .(a v ), com ÂÎa 
d) u.u = | u |2 
 
1.5. MÓDULO DE UM VETOR 
 
Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v.v . 
No 2Â , se v =(x,y ) então 22 yx|v| += . 
No 3Â , se v =(x,y,z ) então 222 zyx|v| ++= . 
 
E3) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,3), calcular | u | e | v | . 
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m, -2), calcular m para que |
®
AB | = 7. 
 
PROPRIEDADES DO MÓDULO: 
a) | u | ³ 0 e | u | = 0 Û u = 0 
b) | -u | = | u | 
c) | ua | = |a |.| u | 
 3 
d) | u + v | £ | u | + | v | 
 
1.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
A distância d e ntre dois pontos A e B é o comprimento do vetor 
®
AB . 
No 2Â , se A(x1, y1 ) e B( x2 , y2 ) então 
®
AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB = 212
2
12 )yy()xx( -+- . 
No 3Â , se A(x1, y1 , z1) e B( x2 , y2 , z2) então 
®
AB =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e 
dAB = 212
2
12
2
12 )zz()yy()xx( -+-+- . 
 
E5) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5). 
E6) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2). 
 
1.7. ÂNGULO DE DOIS VETORES 
 
Se u 0¹ , v 0¹ e q é o ângulo dos vetores u e v , com °££° 1800 q . 
 
 v v – u Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cosq (1) 
 q 
 u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u – 2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2) 
 
Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cosq ou cos q =
|v|.|u|
v.u
. 
 
E7) O que se pode afirmar sobre u.v, se °<<° 900 q . 
E8) O que se pode afirmar sobre u.v, se °<<° 18090 q . 
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se °= 90q . 
E10) O que se pode afirmar sobre u e v, se °= 0q . 
E11) O que se pode afirmar sobre u e v, se °= 180q . 
E12) Calcular os ângulos entre os vetores u e v , sendo: 
 a) u =(1,2) e v =(-1,2) b) u =(2,-1) e v =(1,2) c) u =(0,2) e v =(0,1) 
 d) u =(1,1,4) e v =(-1,2,2) e) u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2) f) u =(0,2,4) e v =(0,1,2) 
E13) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(2,1,-1) e v =(1,-1,m+2) é
3
p
, calcular m. 
 
1.8. VETORES ORTOGONAIS 
 
Seu é ortogonal a v , o ângulo q entre os vetores u e v é 90o e portanto, u .v = 0. 
 
 u ^ v Û u . v = 0 
 
E14) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais. 
E15) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo? 
E16) Determinar um vetor ortogonal ao vetor )2,1,3(w -= . 
 
1.9. RESPOSTAS 
 
E1) 0. E2) –1. E3) 3 e 5. E4) m = -3 ou m = 9. 
E5) (0,2,0). E6) (1,-2). E7) u.v > 0. E8) u.v < 0. E9) u.v = 0. 
E10) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido. 
 4 
E11) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários. 
E12) a) q = arc cos (3/5). b) 90o c) 0o d) 45o e) 90o f) 0o 
E13) m = -4. E14) m = -3. E15) SIM. E16) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c. 
 
 
2. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
2.1. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO 
 
E1) Sejam os vetores )2,1,2(v1 -= , )2,3,0(v2 -= e )0,2,4(v3 = . 
 a) Determine os vetores do 3Â que podem ser escritos como CL dos vetores 1v , 2v e 3v . 
 b) Determine os vetores do 3Â que podem ser escritos como CL dos vetores )0,1,2(vev 43 = . 
 
Seja A = { }n21 v,..,v,v um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e seja 
S = { }ÂÎ+++=Î inn2211 a,va...vavav/Vv . O conjunto S, também representado por G(A) ou 
[ n21 v,...,v,v ], é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores n21 v,...,v,v . 
 
E2) Se V = 2Â , determine o subespaço gerado por: 
 a) )2,1(v1 = b) )2,1(v1 -= e )2,1(v2 -=c) )0,1(v1 = e )2,2(v2 = 
 d) )2,1(v1 = , )1,1(v2 = e )1,1(v3 -= e) )2,1(v1 = e )1,0(v2 -= 
E3) Se V = 3Â , determine o subespaço gerado por: 
 a) )2,3,1(v1 = b) )2,3,1(v1 = e )4,6,2(v2 ---= c) )2,1,1(v1 -= e )1,1,1(v2 = 
 d) )1,1,1(v1 -= , )2,2,2(v2 --= e )1,1,1(v3 = e) )0,0,1(v1 = , )0,2,0(v2 = e )3,0,0(v3 = 
 f) )0,1,1(v1 = , )1,1,0(v2 = , )1,1,1(v3 = e )1,0,2(v4 -= 
 
2.2. RESPOSTAS 
 
E1) a) 3v ÂÎ" b) v=(2y,y,0) , y ÂÎ 
E2) a) { }x2y/)y,x( 2 =ÂÎ b) { }x2y/)y,x( 2 -=ÂÎ c) 2Â d) 2Â e) 2Â 
E3) a) { }x2zex3y/)z,y,x( 3 ==ÂÎ b) { }x2zex3y/)z,y,x( 3 ==ÂÎ 
 c) { }0z2y3x/)z,y,x( 3 =+-ÂÎ d) { }xz/)z,y,x( 3 =ÂÎ e) 3Â f) 3Â 
 
2.3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Sejam os vetores n21 v,...,v,v de um espaço vetorial V e a equação 0va...vava nn2211 =+++ (1). 
Os vetores n21 v,...,v,v são ditos linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita 
apenas a solução trivial 0a...aa n21 ==== . 
Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, então os vetores n21 v,...,v,v são ditos 
linearmente dependentes (LD). 
 
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD. 
a) )3,2,1(v1 = e )6,4,2(v2 ---= 
b) )2,1,0(v1 = , )3,2,1(v2 = e )0,3,1(v3 = 
c) )2,1,1(v1 -= , )3,0,2(v2 = e )1,2,0(v3 -= 
 
 5 
2.4. PROPRIEDADES 
 
a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores é CL dos 
demais. 
 
b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD. 
 
2.5. RESPOSTAS 
 
E1) a) LD b)LI c) LD 
 
2.6. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Seja B = { }n21 v,...v,v um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se: 
a) B é LI; 
b) B gera V. 
 
E1) Seja B o conjunto dado pelos vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do 
2Â . 
 a) B = { 1v } b) B = { 1v , 2v } c) B = { 1v , 2v , 3v } d) B = { 1v , 3v } 
E2) Seja B o conjunto formado pelos vetores )0,2,1(v1 = , )1,1,0(v2 = , )0,0,1(v3 -= e )1,1,1(v4 -= . 
Verifique se B é uma base do 3Â . 
 a) B = { 1v , 2v } b) B = { 1v , 2v , 3v } c) B = { 1v , 2v , 4v } d) B = { 1v , 2v , 3v , 4v } 
 
2.7. PROPRIEDADES 
 
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado. 
2. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de “n” 
vetores é LD. 
3. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo único 
como combinação linear dos vetores de B. 
4. Todas as bases de um espaço vetorial V têm o mesmo número de vetores. 
 
Exemplo: Qualquer base do 2Â tem 2 vetores e qualquer base do 3Â tem 3 vetores. 
Observações: 
a) No sistema de eixos adotado no 2Â , temos dois vetores padrão i = (1,0) e j = (0,1). 
 y 
 
 
 1 j = (0,1) 
 1 
 0 i = (1,0) x 
 
b) No sistema de eixos adotado no 3Â , temos três vetores padrão i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). 
 z 
 
 
 1 k = (0,0,1) 
 1 
 0 j = (0,1,0) y 
 1 i = (1,0,0) 
 x 
 6 
c) Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) formam a denominada base canônica do 2Â , enquanto que os vetores i = 
(1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) formam a denominada base canônica do 3Â . Os vetores i, j e k também são 
representados, respectivamente, por e1, e2 e e3. 
 
2.8. RESPOSTAS 
 
E1) a) Não b) Não c) Não d) Sim 
E2) a) Não b) Sim c) Não d) Não 
 
 
3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
3.1. TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , se 
i) f(u+v) = f(u) + f(v), Vv,u Î" 
ii) f(a u) = a f(u), ÂÎ"a e Vu Î" 
No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V. 
 
E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares: 
 a) f: ® , dada por f(x) = 2x b) f: 22 ® , dada por f(x,y) = (x ,0). 
E2) Quais das seguintes transformações são lineares ? 
a) f(x)= 2x + 1 b)f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z ) d)f(x,y) = | x+y | 
E3) Numa TL f: V ® W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule : 
 a) f(u+v) b) f(3u) c) f(u -v) d) f(2u+5v) 
 
PROPRIEDADES 
 
a) Se f: V® W é uma TL então f(0V) = 0W. 
b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das imagens 
com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn). 
 
E4) Se f: 32 ® é linear e u = (1,2), v = (-1,3), f(u) = (2, -1,-2) e f(v) = (-2,-4,-3) calcule: 
 a) f(u+v) b) f(3u) c) f(2,4) d) f(2u-3v) 
 
3.2. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA 
Seja a matriz A=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
45
03
12
. Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v 
= ú
û
ù
ê
ë
é
y
x
, por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
y4x5
x3
yx2
. Logo, a matriz A define uma 
transformação f: 32 ® , onde f(v) = A.v ou f(x,y) = (2x-y,3x,5x-4y). Pode-se mostrar que essa 
transformação é linear. 
 
Toda matriz Amxn define uma TL f: mn ® , com f(v) = A.v. Neste caso, A é chamada matriz 
natural ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f]. As linhas de A são, 
respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f. 
 
 7 
E5) Seja a matriz A = ú
û
ù
ê
ë
é -
354
321
, determine : 
 a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v = (1,-1,1), usando a matriz A. 
 c) a imagem de v = (1,-1,1), usando a lei. d) o vetor u, tal que f(u) = 0. 
E6) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y) = (x+2y,x-y,3x-5y) 
E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear: 
a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(2x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=3x 
E8) Um operador linear no 2Â é definida pela matriz [ ] ú
û
ù
ê
ë
é-
=
10
21
f . Determine u e v , tal que : 
 a) f(u)=u b) f(v)=-v 
E9)Um operador linear no 3Â é definido pela matriz 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
--
-
=
301
121
211
A . Determine v e w tais que:a) f(v) = 0 b) f(w) = (2,-1,-3) 
E10)Um operador linear é definido pela matriz A = ú
û
ù
ê
ë
é
43
12
. Determine v ¹ 0 e u ¹ 0 tal que: 
 a) Av = 5v b) Au = -2u 
 
3.3. TL DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA 
 
Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica 
do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da 
matriz canônica de f. 
 
E11) Seja f: 32 ® a TL definida por f(1,0) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4, -3). Determine: 
 a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei 
E12) Seja f: 23 ® a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre 
 f(x,y,z) e [f]. 
E13) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f]. 
E14) Seja f a TL definida por f(1,0,0) = (1,0), f (0,1,0) = (2,-1) e f(0,0,1) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f]. 
 
3.4. COMPOSTA DE DUAS TL 
 
Sejam f1: V ® W e f2: W ® U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2of1: V ® U 
definida por (f2of1)(v) = f2(f1(v)). 
 W 
 
 w=f1(v)= [f1].v 
 
 f1 f2 
 [f1] [f2] 
 
 V U 
 f2of1 
 v u= f2(w)= [f2].[f1].v 
 [f2of1] = [f2]. [f1] 
 
 Importante: 
A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa. 
 
E15) Sejam os operadores lineares definidos por f1(x,y) = (3x+y , y-x) e f2(x,y) = (2x-y , 3x). 
 a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1. 
 8 
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1. 
E16) Sejam as TL dadas por f1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2(x,y,z) = ( x-y , y -z). Determine: 
 a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1. 
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1. 
 
3.5. RESPOSTAS 
 
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não 
E3) a) 2u + 3v b) 6u c) 2u – 3v d) 4u + 15v 
E4) a) (0,-5,-5) b) (6,-3,-6) c) (4,-2,-4) d) (10,10,5) 
E5) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z) b) (-4,2) c) (-4,2) d) (-7z,5z,z) , z ÂÎ 
E6) A =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
53
11
21
 E7) a) A = ú
û
ù
ê
ë
é -
000
111
 b) A =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
- 1
0
2
 c) A = [ ]11 d) A =[3] 
E8) a) (y , y) , y ÂÎ b) (x , 0) , x ÂÎ . E9) a) (3z , z , z) , z ÂÎ b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z ÂÎ 
E10) a) (x , 3x) x ÂÎ b) NE 
E11) a) (7 , 26 , -7) b) f(x,y) = (3x – 2y , 2x + 4y , x – 3y) c) (7 , 26 , -7) 
E12) f(x,y,z) = (2x– 4y–2z,3x+y–z ), [ f ] = ú
û
ù
ê
ë
é
-
--
113
242
. 
E13) f(x,y) = (3x+4y,-2x,x+2y), [ f ] =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
21
02
43
. E14) f(x,y,z) = (x+2y+4z,–y+3z), [ f ] = ú
û
ù
ê
ë
é
- 310
421
. 
E15) a) ú
û
ù
ê
ë
é -
11
39
 e ú
û
ù
ê
ë
é
39
17
 b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y) 
E16) a)
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
022
101
312
 e ú
û
ù
ê
ë
é
- 11
21
 b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y) 
 
 
4. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS 
 
4.1. DEFINIÇÃO 
 
Seja f:V® V um operador linear. Um vetor não-nulo vÎV é chamado vetor próprio ou autovetor 
de f se existe ÂÎl , tal que f(v) = l v. O real l é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao 
vetor próprio v. 
 
 
E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e o s valores próprios correspondentes do 
operador linear f. 
 y 
 f(v2) 
 v3 
 f(v3) v1 
 v2 
 
 0 x 
 
 f(v1) 
 
 9 
E2) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio l então qualquer 
vetor a v, com a 0¹ , é também vetor próprio associado ao mesmo l . 
E3) Sejam v 1 = (2, 3) e v2 = (1, -1), vetores próprios de um operador linear associados aos valores próprios l 1 
= 4 e l 2 = -1, respectivamente. Encontre: 
 a) f(4 , 6) b) f(2 , -2) c) f(2/3 , 1) d) f(1/2 , -1/2) 
E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A e determine, se possível, o valor próprio correspondente. 
 a) v = (5, 2), A = ú
û
ù
ê
ë
é
12
54
 b) v = (1, 2), A = ú
û
ù
ê
ë
é
23
21
 
 
4.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS 
 
Seja f:V® V um operador linear e [f] = A . 
Determinação dos Valores próprios: 
 
f(v) = l v Û A.v = l v Û A.v - l v = 0 Û A.v - l I.v = 0 Û (A - l I).v = 0. 
 
O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v 0¹ se, e somente se, det(A - l I) = 0 (1). 
A equação (1) é chamada equação característica de f e suas raízes são os valores próprios de f. 
 
Determinação dos Vetores próprios: 
Os vetores próprios são as soluções da equação (A - l I).v = 0 para cada valor próprio encontrado. 
 
 
Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (3x,4x+y). 
 
Solução: 
Cálculo dos valores próprios : 
 
 det(A - l I) = 0 
 
A = ú
û
ù
ê
ë
é
14
03
 Þ A - l I = ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
l
l
14
03
 Þ det(A - l I) = 
l
l
-
-
14
03
 = 0 Û 0342 =+- ll Û 
 
l 1= 1 ou l 2= 3 
 
Cálculo dos vetores próprios: 
 
 (A - l I).v = 0 
 
Para l 1 = 1 e v = (x,y) 
 
(A - l I).v = 0 Û ú
û
ù
ê
ë
é
04
02
. ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
y
x
 Û v = (0,y), com 0y ¹ . 
 
Para l 2 = 3 e v = (x,y) 
 
(A - l I).v = 0 Û ú
û
ù
ê
ë
é
- 24
00
. ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
00
y
x
 Û v = (x,2x), com 0x ¹ . 
 
E5) Calcule os valores e vetores próprios : 
a) do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y , 2x + y) 
 10 
b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y) 
c) do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z) 
d) da matriz A =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
040
900
000
 
E6) Sabendo que l = 2 é valor próprio de A =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
321
141
123
 calcule os vetores próprios correspondentes. 
 
4.3. RESPOSTAS 
 
E1) v1=(2,2), 11 -=l e v2=(4,2), 22 =l . 
E3) a) (16,24) b) (-2,2 ) c) (8/3,4) d) ( -1/2 , 1/2 ) 
E4) a) Sim 6=l b) Não 
E5) a) 11 -=l , 0x),x,x(v1 ¹-= e 62 =l e )t2,t5(v2 = , 0t ¹ 
b) 11 -=l , 0x),x,x(v1 ¹-= e 42 =l e )t3,t2(v2 = , 0t ¹ 
c) 11 -=l , 0z),z,z3,0(v1 ¹-= e 12 =l e )z,z,z(v2 -= , 0z ¹ e 23 =l , 0z),z,0,0(v3 ¹= 
d) 61 -=l , 0t),t2,t3,0(v1 ¹-= e 02 =l e )0,0,x(v2 = , 0x ¹ e 63 =l , 0t),t2,t3,0(v3 ¹= 
E6) v= (x ,y ,- x - 2y), com x e y não simultaneamente nulos 
 
 
5. BIBLIOGRAFIA 
 
ANTON, Howard, RORES, Chris. Algebra Linear com aplicações. 8.ed. Ed. Bookman. 
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia S.S.;Wetzler,Henry G. Algebra 
Linear. Ed. Harbra, 1980. 
KOLMAN, Bernard. Introdução à Algebra Linear com aplicações. 6.ed. Ed. Prentice-Hall do Brasil, 
1998. 
LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2. Ed. Livros Técnicos e Científicos S. A., 1999. 
MOREIRA, Francisco Leal. Álgebra linear e geometria analítica, Material Didático, FAMAT/PUCRS, 
2004. 
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. McGraw-Hill, 1987.