NOVO APÊNDICE

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DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque 72
APÊNDICE 
 
 
 
O TEOREMA DE TALES 
 
 
I - QUEM FOI TALES? “TALES DE MILETO” 
 
 
 
 
 
 
 
Viveu entre (624 e 548) a.C. em Mileto, Grécia, um homem de rara inteligência chamado 
Tales, que pela sua capacidade de aprender e produzir conhecimento, foi consagrado na 
história da humanidade, mais especificamente em matemática, como TALES DE MILETO. 
Considerado pela tradição como o primeiro filósofo e um dos Sete Sábios da antiguidade, 
Tales, foi em busca do conhecimento no Egito e na Babilônia, onde teria aprendido 
geometria e astronomia. É considerado também o primeiro matemático, no sentido 
moderno, pelas suas contribuições à Matemática, descobrindo e demonstrando teoremas, 
na sua maioria, o que hoje se entende hoje por geometria plana, além do que se atribui a 
ele a organização da geometria dedutiva. 
Aristóteles afirmou que para Tales a questão essencial não era o que sabemos, mas como 
sabemos. Isto encerra o caráter, da personalidade intelectual, de Tales, cuja tradição nos 
brinda. 
Das contribuições atribuídas a Tales, o resultado aqui enunciado desempenha um papel 
fundamental na geometria, trata da proporcionalidade de segmentos determinados por um 
feixe de paralelas ao intersectarem duas retas secantes a direção do feixe. Este resultado 
está sintetizado no seguinte: 
 
 
 
TEOREMA – Dadas duas retas transversais (secantes) e um feixe de retas paralelas que 
as interceptam estas determinam sobre aquelas segmentos proporcionais. 
 
 
 Observe a figura 1.1 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s 
 C F 
 B E 
A D 
r 
EF
DE
BC
AB
= 
 
Fig. 1.1 
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I - CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 
Esta seção trata das notações, da linguagem e dos conceitos básicos necessários ao 
estabelecimento dos resultados que permitirão a demonstração do teorema de Tales. 
 
 
Os pontos do plano serão representados por letras maiúsculas do alfabeto latino A,B,C, D 
... etc. e as retas por letras minúsculas r,s,t,...etc. Representaremos um segmento de reta 
determinado pelos pontos A e B por [AB] e o seu comprimento por AB. 
A razão entre os segmentos de reta [AB] e [CD], nesta ordem é, por definição, o quociente 
entre o comprimento do primeiro e o comprimento do segundo: 
CD
AB . 
 
Considere os segmentos de reta [AB], [CD], [EF] e [GH]. Se for possível estabelecer uma 
igualdade entre a razão de dois quaisquer deles com uma razão entre os outros dois, 
diremos, então que os segmentos são proporcionais. 
Por exemplo, se 
GH
EF
CD
AB
= então os segmentos [AB], [CD], [EF] e [GH] são ditos 
proporcionais. 
 
Entende-se por figura plana aquelas em que todos os seus pontos estão contidos no 
mesmo plano. A figura 1.2 ilustra as notações e as configurações associadas a elas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
· A 
B 
A [AB] 
Fig. 1.2 
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Dois conceitos importantes sobre figuras planas, congruência e semelhança, serão 
tratados de modo sucinto. 
 
 
CONGRUÊNCIA 
 
 
DEFINIÇÃO – Duas figuras planas são ditas congruentes se sobrepostas, 
convenientemente, coincidem. 
 
 
Tecnicamente, a palavra convenientemente, usada na definição acima, tem o significado 
de: através de translações, rotações e combinações destas. 
 
 
A figura 1.3 abaixo ilustra três situações de congruência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 1.3 uma translação é suficiente para que se comprove a congruência entre as 
figuras do grupo (a). Com o auxilio de rotação e translação verifica-se que no grupo (b) as 
figuras são congruentes e, finalmente, uma rotação é bastante constatar a congruência no 
grupo (c). 
 
 
Fig. 1.3 
(c) 
(a) 
(b) 
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CASOS DE CONGRUÊNCIA 
 
 
1º caso – (ALA) - Dois triângulos que possuem dois ângulos com medidas iguais e o lado 
comum a estes ângulos também com a mesma medida, são congruentes. 
 
 
2º caso – (LAL) - Dois triângulos são iguais quando possuem ângulos com medidas iguais 
e este estiver compreendido entre dois lados com medidas iguais. 
 
 
3º caso– (LLL) - Dois triângulos são iguais quando possuem os três lados com medidas 
iguais. 
 
 
 
SEMELHANÇA 
 
 
Entendendo por cópia de uma figura plana sua ampliação ou sua redução ou sua simples 
reprodução, pode-se dar a seguinte 
 
 
DEFINIÇÃO - Duas figuras planas são ditas semelhantes se uma for cópia da outra. 
 
 
O conceito de semelhança, ilustrado na figura 1.4 abaixo, é fortemente intuitivo,. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) (c) 
 
Fig.1.4 
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CASOS DE SEMELHANÇA 
 
 
A noção de semelhança aplicada aos triângulos, nos permite concluir que: 
 
 
1º caso – Dois triângulos que possuem o ângulo compreendido entre dois lados 
proporcionais igual são semelhantes. 
 
2º caso – Dois triângulos que possuem os três lados proporcionais são semelhantes. 
 
3º caso – Dois triângulos que possuem os três ângulos congruentes são semelhantes. 
 
 
A figura 1.5 abaixo ilustra a semelhança de triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações. 1 - Vale ressaltar que duas figuras congruentes são também semelhantes, 
mas a recíproca não é verdadeira. 
 
 2 - Dados dois pares de triângulos semelhantes se, qualquer triângulo de 
um par for semelhante a qualquer triângulo do outro par, então todos os triângulos serão 
semelhantes entre se. 
 
 
Vistos os conceitos que necessitaremos, passaremos a tratar dos resultados que se farão 
necessários. O primeiro destes resultados é o lema que segue: 
 
 
(a) (b) 
 
 Fig.1.5 
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LEMA – Se um feixe de retas paralelas divide uma reta secante em segmentos iguais, 
dividirá, também, qualquer outra reta secante em segmentos iguais. 
 
 
 
Demonstração. 
 
Há dois casos a considerar: 
 
i) As secantes ao fixe de paralelas são paralelas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que os pontos C, A, B e D são vértices consecutivos do paralelogramo ABDC, 
donde se conclui que [AC] = [BD]. Note ainda que os paralelogramos ABDC e CDFE são 
iguais, congruentes, donde segue que [BD] = [CE] e portanto [AC] = [BD] = [CE] = [DF]. 
 
 
 
ii) As secantes ao feixe são concorrentes entre si. 
 
 
 
 
 
Fig. 1.6 
 r s 
 A B 
 
 C D 
 
E F 
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Observe a figura 1.7. Pelos pontos B e D trace as paralelas BB’ e DD’. Pelo que já foi 
demonstrado, item (i), os segmentos [BB’] e [DD’] cumprem a igualdade [BB’] = [AC] = 
[DD’] e, além disso, temos a igualdade entre os ângulos: F'DD=D'BB
))
 e FD'D=DB'B
))
 o 
que nos permite afirmarque os triângulos BB’D e DD’F são congruentes, e portanto [BD] = 
[DF] 
 
Outro resultado fundamental consiste no teorema seguinte: 
 
 
TEOREMA – Qualquer paralela a um dos lados de um triângulo divide os outros dois em 
segmentos proporcionais. 
 
 
Demonstração. 
 
Considere o triângulo ABC, fig 1.5, e seja a reta r paralela ao lado [BC]. Divida o 
segmento [AD] em n partes iguais a
n
AD , isto é possível pelo lema acima, de modo que 
n
ADpDB
n
ADp ×+<£× )1( onde p é um número inteiro. Tomando AD como unidade obtêm-
se que 
n
pDB = com erro inferior a 
n
1 . Pelos (n+p) pontos que dividem [AB] em segmentos 
iguais trace paralelas ao segmento [BC]. Pelo lema, o segmento [AE] fica dividido em n 
 
 A B 
 
 
 C B’ D 
 
 
 
 E r D’ s F 
 
 Fig. 1.7 
C 
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segmentos iguais e o segmento [EC] cumprirá a desigualdade 
n
AEpEC
n
AEp ×+<£× )1( 
(n+p). Tomando agora AE para unidade segue-se que 
n
pEC = com erro inferior a 
n
1 . 
Como a medida que n cresce 
n
1 tende a zero é lícito afirmar que 
AE
EC
AD
DB
= donde os 
segmentos [AD], [DB],[AE] e [EC] são proporcionais, c.q.d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação. A recíproca do teorema acima é verdadeira, porém vamos aqui apenas 
enuncia-la, deixando sua demonstração a cargo do leitor. 
 
 
RECÍPROCA – A reta que divide dois lados de um triângulo em segmentos proporcionais é 
paralela ao terceiro lado. 
 
 
Nota 1 – A demonstração dada para o teorema acima faz uso implícito à idéia de limite, o 
que nos faz acreditar que há mais de 2500 anos esta idéia já povoava a mente de alguns 
homens. A noção de limite só foi devidamente formalizada por ocasião da criação do 
CÁLCULO através dos matemáticos: Isaac Newton (1642- 1727) e G. W. Leibniz (1646-
1716) e posterior fundamentação através do desenvolvimento da Análise Matemática. 
 
 
 
A 
B 
r D E 
Fig. 1.8 
C 
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III – DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE TALES 
 
 
 
 
A seção anterior contém tudo que necessitamos para demonstrar o teorema de Tales. 
 
 
TEOREMA (DE TALES) - Dadas duas retas transversais (secantes) e um feixe de retas 
paralelas que as interceptam estas determinam sobre aquelas, segmentos proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração 
 
Sejam as retas CF e BE,AD paralelas entre si, CF//BE//AD , e seja as transversais r e s. 
Caso as retas transversais r e s forem paralelas segue imediatamente que: 
AB = DE e BC = EF donde 
EF
BC
=
DE
AB
 e o teorema está demonstrado. 
 
Se as transversais r e s não são paralelas, trace pelo ponto D uma reta t paralela a reta r. 
Teremos então que AB = DB’ e BC = B’C’ pois são lados opostos de paralelogramo. Do 
triângulo DC’F tiramos que 
EF
'C'B
=
DE
'DB
 ou seja: 
EF
'BC
=
DE
AB
 o que completa a 
demonstração. 
 
 
 
 A D 
 
 B B’ E 
 
 
 C C’ F 
 
 r t s 
 
 
EF
DE
BC
AB
= 
 
 Fig. 1.9 
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Uma conseqüência do teorema acima e de larga aplicação e o resultado enunciado a 
seguir: 
 
 
PROPOSIÇÃO - Triângulos semelhantes possuem os lados correspondentes 
proporcionais. 
 
 
 
Não daremos aqui a demonstração da proposição acima, apenas ilustraremos a mesma. 
Na figura 1.10 (a) abaixo, os triângulos ABC e A’B’C’ são por hipótese semelhante. 
Sobrepondo-os convenientemente, figura. 1.10 (b), segue-se que o lado [B’C’] é paralelo 
ao lado [BC] e os lados [AB] e [AC] são secantes aos anteriores, o que já nos permite 
concluir a afirmação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
 Fig. 1.10 
 A A’ A=A’ 
 B C B C 
B’ C’ B’ C’ 
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IV – DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO 
 
 
 
Seja [AB] um segmento de reta tendo a como seu comprimento, a=AB . Se o ponto F, 
BAF ≠≠ , pertence ao segmento [AB] sejam respectivamente x e a-x as medidas dos 
comprimentos do maior e do menor entre os segmentos [AF] e [FB]. Nestas condições 
diremos que o ponto F divide o segmento [AB] em MÉDIA E EXTREMA RAZÃO quando a 
relação 
 
 
x
xa
=
a
x
 ( * ) 
for satisfeita. 
 
A figura 1 abaixo ilustra a situação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas condições expostas acima vamos considerar, por uma questão puramente didática, o 
segmento [AF] como tendo seu comprimento igual a x, e assim, o chamaremos de 
segmento áureo do segmento[AB]. 
 
A relação ( * ) nos fornece a equação 
 
 0=aax+x 22 -
. 
F 
a
Fig.1 
A 
. . 
B 
x 
a - x 
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cuja solução positiva, a
2
15
=x
-
, é o valor da medida do segmento áureo. 
 
O lema que se segue nos fornece um método para construção, com régua e compasso, 
do segmento áureo de um segmento de reta qualquer. 
 
LEMA – Se a e 
2
a
 são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa 
mede h , então 
2
a
h=b é a medida do segmento áureo do segmento cuja medida é a. 
 
Demonstração. 
 
O teorema de Pitágoras garante a igualdade 
 
 
2
2
2
2
a
+a=
2
a
+b 
 
cuja simplificação nos leva a equação 
 
0=aab+b 22 
 
indicando que b é o valor da medida do segmento áureo de a. Veja figura 2 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
h=b+
2
a
 
h=b+
2
a
 
a 
Fig.2 
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Vejamos agora o método, utilizando régua e compasso, que nos leva a determinar o ponto 
F que dividirá o segmento [AB] em MÉDIA E EXTREMA RAZÃO. 
 
Dado o segmento [AB] determine seu ponto médio M, figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa pelo ponto A, por exemplo, uma semi-reta perpendicular ao segmento [AB] e 
sobre ela um arco com centro no ponto A e raio igual ao comprimento do segmento [AM] 
para determine o ponto C. Ligue o ponto C ao ponto B obtendo o triângulo retângulo ABC. 
Com centro no ponto C e raio também igual ao comprimento do segmento[AM] determine 
sobre a hipotenusa do triângulo ABC o ponto D. Veja a figura 4 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
M 
Fig.3 
A B 
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Com centro no ponto B e raio igual ao comprimento do segmento [BD] construa um arco 
para determinar sobre o segmento [AB]o ponto F procurado. Veja a figura 5 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M A B 
C 
D 
Fig.4 
M A B 
C 
D 
Fig.5 
F 
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O segmento [FB] cujo comprimento é igual ao comprimento do segmento [BD] é o 
segmento áureo, ou seção áurea, do segmento [AB]. 
 
 
 
V – O TRIÂNGULO ÁUREO 
 
 
 
DEFINIÇÃO – Chama-ser de triângulo áureo a todo triângulo isósceles cujo ângulo 
determinado pelos seus dois lados congruentes for congruente ao ângulo definido pelos 
dois lados não congruentes e sua bissetriz. 
 
 
 
COSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO ÁUREO 
 
 
 
Dado um segmento [AB] vamos construir um triângulo áureo cujo lado maior seja 
congruente ao segmento [AB]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trace um segmento perpendicular ao segmento [AB] por uma de suas extremidades, por 
exemplo, o ponto A. Sobre este segmento determine o ponto D cuja distância ao ponto A é 
igual a metade do comprimento do segmento [AB]. Considere o segmento [DB] e com 
ponta seca no ponto D e abertura igual a distância do ponto D ao ponto A, determine sobre 
[DB] o ponto E. Construa as circunferências: de centro no ponto A e raio igual ao 
comprimento do segmento [AB] e uma centrada no ponto B e raio igual ao comprimento do 
segmento [BE]. Tome o ponto C na interseção das circunferências traçadas e considere o 
triângulo de vértices nos pontos A, B e C concluindo nosso objetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 
 
 
 
Traçado em Desenho Geométrico – O. Rivera, Felix; C. Neves, Juarenze; N. Gonçalves, 
Dinei –Editora Furg – Rio Grande 1986. 
 
Construções Geométricas – Wagner, Eduardo. Coleção de Professor de Matemática –– 
SBM, 2007.