Método do Relé

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02/11/2015 1/22
Métodos do Relé para Sintonia de 
controladores PID
Engenharia de Computação
Tópicos Especiais II
2015.2
Natal, Prof. Jan Erik, Msc.
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Introdução
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Introdução
Em 1984 Astrom e Hagglund, apresentaram uma metodologia para
autossintonia de controladores PID baseado nas ideias de Ziegler e Nichols para
a resposta em frequência do sistema. O grande avanço apresentado é a
possibilidade de detecção do ponto crítico (Ku, Wu) por intermédio de um
ensaio realizado em malha fechada, no qual não se faz necessário atingir os
limites da estabilidade. A abordagem baseia-se na modelagem da não-
linearidade através da função descritiva do relé e na interpretação em termos
do diagrama de Nyquist para obtenção em frequência do processo.
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Método da resposta em frequência
Primeiro método de Ziegler-Nichols
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Primeiro método de Ziegler-Nichols
No primeiro método, com o controlador P em malha fechada, aumenta-se o
ganho proporcional (só o termo P) gradativamente até se obter uma resposta
oscilatória com amplitude constante. Neste ponto, determina-se o ganho crítico
(Ku) e o período crítico de oscilação (Tu). O ganho crítico (Ku) é o valor do ganho
do controlador P que gerou uma resposta oscilatória sustentada na saída do
processo, e o período crítico (Tu) será o próprio período do processo oscilante.
𝜔𝑢 =
2𝜋
𝑇𝑢
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Função descritiva do relé
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Função descritiva do relé
Na análise por função descritiva, supõe-se que apenas a componente
harmônica fundamental da saída é significativa. Tal suposição é frequentemente
válida, uma vez que harmônicas superiores da saída de um elemento não-linear
são frequentemente de menor amplitude do que a amplitude da harmônica
fundamental.
A função descritiva ou função descritiva senoidal de um elemento não linear
é definida como a relação complexa entre a amplitude da componente
harmônica fundamental da saída e a amplitude da entrada, isto é:
𝑁 𝑎 =
𝑌1
𝑎
∠𝜙
Ou na forma complexa:
1
𝑁(𝑎)
=
𝜋
4ℎ
𝑎2 + 𝜀2 + 𝑗
𝜋
4ℎ
𝜀
a – amplitude da saída do processo.
h – amplitude do relé
𝜀 – histerese do relé se houver
∅ - defasagem do relé
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Função descritiva do relé ideal
A não linearidade tipo relé ideal é muitas vezes chamada de não linearidade
de duas posições, liga-desliga ou on-off. Considere um elemento tipo liga-desliga
cuja curva característica entrada-saída é vista abaixo.
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Função descritiva do relé ideal
𝑁 𝑎 =
4ℎ
𝜋𝑎
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Função descritiva do relé com histerese
Considerando o mesmo elemento liga-desliga, porém agora com histerese
cuja curva característica de entrada-saída é vista abaixo.
Usando a mesma dedução do relé ideal, porém agora para o relé com histerese tem-se:
𝑁 𝑎 =
4ℎ
𝜋𝑎
∠ − 𝑠𝑒𝑛−1
𝜀
𝑎
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Método do relé
Ensaio ou teste do relé
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Método do relé ideal
A proposta do método é colocar um relé na entrada do processo para chavear
a sua entrada de tal forma que crie um saída com oscilação sustentada. A
estrutura fundamental do ensaio do relé é vista abaixo.
A comutação do relé ideal é regida da 
seguinte forma:
- Se (erro(t) >=0), então u(t) = h
- Se (erro(t) <0 ), então u(t) = -h
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Método do relé com histerese
O ruído presentes nos sinais de campo causa chaveamentos indevidos do relé.
Para contornar isso, foi proposto o relé com histerese conforme representação
abaixo.
A comutação do relé com histerese é 
regida da seguinte forma:
- Se (erro(t) ≥ 𝜀), então u(t) = h
- Se (erro(t) < -𝜀 ), então u(t) = -h
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Cálculos dos parâmetros para sintonia
A partir das informações levantadas pelo ensaio com relé realimentado
(amplitude do ciclo limite “a” e período de oscilação Tu) é possível determinar
parâmetros do processo: ganho crítico Ku e frequência crítica Wu. Uma das
grande contribuições de Astrom e Hagglund, foi provar que o ganho crítico (Ku)
pode ser aproximadamente igual a função descritiva do relé, ou seja:
𝑁 𝑎 = 𝐾𝑢 =
4ℎ
𝜋𝑎
Com Ku e Tu já pode-se ter uma sintonia baseado na tabela de ZN (primeiro método de
ZN). Mas, o avanço no estudo do método continuou e Hang e Wang (2002), consideraram
que era possível determinar o ganho estático da planta através dos dados do ensaio do
relé.
𝐾 =
 0
𝑇𝑢/2
𝑦 𝑡 𝑑𝑡
 0
𝑇𝑢/2
𝑢 𝑡 𝑑𝑡
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Cálculos dos parâmetros para sintonia
Fazendo manipulações matemáticas a partir das condições de módulo e
ângulo de uma função de primeira ordem com atraso de transporte (FOPDT),
podemos estimar a constante de tempo (𝜏) e o atraso de transporte (D) de uma
planta.
𝜏 =
𝐾𝑢𝐾 2 − 1
𝜔𝑢
Ora, tendo os parâmetros 𝐾, 𝜏 𝑒 𝐷, pode-se usar quaisquer método/tabela de
sintonia, tais como: IMC, Cohen-Coon, IAE, ITAE, Ziegler-Nichols, etc..
𝐷 =
𝜋 − tan−1(𝜏𝜔𝑢)
𝜔𝑢
𝐷 =
𝜋 − tan−1 𝜏𝜔𝑢 − tan
−1(𝜀/ 𝑎2 − 𝜀2)
𝜔𝑢
Se for o relé ideal
Se for o relé com histerese
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Estimação de modelos de plantas
Note-se também, que podemos aproximar uma planta qualquer para um
modelo de primeira ordem com atraso de transporte da seguinte forma:
𝐺(𝑝) =
𝐾
𝜏𝑠 + 1
𝑒−𝐷𝑠
Para estimar uma função de ordem “n” (n=1,2,3...), pode-se fazer o seguinte:
𝐺(𝑝) =
𝐾
𝜏𝑠 + 1 𝑛
𝑒−𝐷𝑠
𝜏 =
𝐾𝑢𝐾 2/𝒏 − 1
𝜔𝑢
𝐷 =
𝜋 − 𝒏 tan−1 𝜏𝜔𝑢 − tan
−1(𝜀/ 𝑎2 − 𝜀2)
𝜔𝑢
Mas, precisa fazer as seguintes modificações para calcular 𝜏 e D:
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Exemplo
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Exemplo em Matlab – relé Ideal
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Exemplo em Matlab – relé Ideal
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Exemplo em Matlab – relé com histerese
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Exemplo em Matlab – relé com histerese
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Exemplo em Matlab – relé com histerese