[pdf] Espaço Vetorial - Álgebra Linear - Parte 1

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Notas de aula: Álgebra linear - Ciências da Computação
Turmas: CC3P30, CC3Q30, CC2P30
Prof a Evelize Ferracini
Data: 04/02/2014
Espaço Vetorial
Para definirmos, de modo genérico, um espaço vetorial necessitamos da
seguinte definição.
Definição 1 Um corpo é um conjunto K não vazio, munido de duas opera-
ções, uma chamada de adição, que a cada par de elementos a, b ∈ K, associa
um novo elemento a+ b ∈ K e outra chamada multiplicação, que a cada par
de elementos a, b ∈ K, associa um novo elemento a · b ∈ K, satisfazendo as
seguintes condições:
(A1) a+ b = b+ a, para todo a, b ∈ K (comutatividade da adição);
(A2) (a + b) + c = a + (b + c), para todo a, b, c ∈ K (associatividade da
adição);
(A3) existe um elemento em k, denotado por 0 e chamado de elemento
neutro da adição, que satisfaz 0 + a = a+ 0 = a, para todo a ∈ K;
(A4) para cada a ∈ K, existe um elemento em k, denotado por −a e
chamado de oposto de a (ou inverso aditivo de a), tal que (−a) + a = a +
(−a) = 0;
(M1) a · b = b · a, para todo a, b ∈ K (comutatividade da multiplicação);
(M2) (a · b) · c = a · (b · c), para todo a, b, c ∈ K (associatividade da
multiplicação);
(M3) existe um elemento em k, denotado por 1 e chamado de elemento
neutro da multiplicação, que satisfaz 1 · a = a · 1 = a, para todo a ∈ K;
(M4) para cada a ∈ K não nulo, existe um elemento em k, denotado por
a−1 e chamado de inverso multiplicativo de a, tal que a−1 · a = a · a−1 = 1;
(D) (a + b) · c = a · c + b · c, para todo a, b, c ∈ K (distributividade da
multiplicação em relação a adição).
Exemplo 1 O conjunto dos números reais, R, munido das operações usuais
de adição e de multiplicação é um corpo, pois:
(A1) a+ b = b+ a, para todo a, b ∈ R
exemplo: 5 + 2 = 7 = 2 + 5
2
(A2) (a+ b) + c = a+ (b+ c), para todo a, b, c ∈ R
exemplo: (55 + 1) + 3 = 59 = 55 + (1 + 3)
(A3) existe o número 0 ∈ R, chamado de elemento neutro da adição, que
satisfaz 0 + a = a+ 0 = a, para todo a ∈ R;
exemplo: 12 + 0 = 0 + 12 = 12
(A4) para cada a ∈ R, existe um elemento em R, chamado de oposto de
a ou inverso aditivo de a, tal que (−a) + a = a+ (−a) = 0;
exemplo: dado o número real 70, existe o real −70 tal que
(−70) + 70 = 70 + (−70) = 0
(M1) a · b = b · a, para todo a, b ∈ R
exemplo: 17 · 4 = 68 = 4 · 17
(M2) (a · b) · c = a · (b · c), para todo a, b, c ∈ R
exemplo: (11 · 5) · 2 = 110 = 11 · (5 · 2)
(M3) existe o número 1 ∈ R, chamado de elemento neutro da multipli-
cação, que satisfaz 1 · a = a · 1 = a, para todo a ∈ R;
exemplo: dado o número real 67 temos que 1 · 67 = 67 · 1 = 67
(M4) para cada número a ∈ R não nulo, existe um número em R,
chamado de inverso multiplicativo de a, tal que a−1 · a = a · a−1 = 1;
exemplo: dado o número real 25, existe o real 25−1 =
1
25
tal que
(
1
25
) · 25 = 25 · ( 1
25
) = 1
(D) (a+ b) · c = a · c+ b · c, para todo a, b, c ∈ R
exemplo: (10 + 13) · 2 = 10 · 2 + 13 · 2
Exemplo 2 O conjunto dos números complexos, C = {z|z = a+bi com a, b ∈
R e i2 = −1}, munido das operações usuais de adição [z1 + z2 = (a + bi) +
(c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i] e de multiplicação [z1 · z2 = (a+ bi) · (c+ di) =
(a · c− b · d) + (a · d+ b · c)i] é um corpo.
(A1) z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C
exemplo: (5 + 2i) + (3 + i) = 8 + 3i = (3 + i) + (5 + 2i)
3
(A2) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), para todo z1, z2, z3 ∈ R
exemplo:
[(55 + i) + (3 + 2i)] + (1 + 3i) = 59 + 6i = (55 + i) + [(3 + 2i) + (1 + 3i)]
(A3) existe o número 0 = 0 + 0i ∈ C, chamado de elemento neutro da
adição, que satisfaz (0 + 0i) + (a + bi) = (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi, para
todo a+ bi ∈ C;
exemplo: (12 + i) + (0 + 0i) = (0 + 0i) + (12 + i) = 12 + i
(A4) para cada z ∈ C, existe um elemento em C, chamado de oposto de
z ou inverso aditivo de z, tal que (−z) + z = z + (−z) = 0;
exemplo: dado o número complexo z = 7 + 2i, existe o complexo
−z = −(7 + 2i) = −7− 2i tal que
(−z) + z = (−7− 2i) + (7 + 2i) = 0 + 0i = (7 + 2i) + (−7− 2i) = z + (−z)
(M1) z1 · z2 = z2 · z1, para todo z1, z2 ∈ C
exemplo: dado os números complexos z1 = 2 + 3i e z2 = 4 + i temos que
z1 · z2 = (2 + 3i) · (4 + i) = 5 + 14i = (4 + i) · (2 + 3i) = z2 · z1
(M2) (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3), para todo z1, z2, z3 ∈ C
exemplo:
[(11 + i) · (1 + 5i)] · (2 + 2i) = −100 + 124i = (11 + i) · [(1 + 5i) · (2 + 2i)]
(M3) existe o número 1 = 1 + 0i ∈ C, chamado de elemento neutro da
multiplicação, que satisfaz 1 · z = z · 1 = z, para todo z ∈ C;
exemplo: dado o número complexo 6 + 7i temos que
(1 + 0i) · (6 + 7i) = (6 + 7i) · (1 + 0i) = 6 + 7i
(M4) para cada número z ∈ C não nulo, existe um número em C,
chamado de inverso multiplicativo de z, tal que z−1 · z = z · z−1 = 1;
exemplo: dado o número complexo 2 + 5i, existe o complexo
(2 + 5i)−1 =
1
2 + 5i
=
1
2 + 5i
· 2− 5i
2− 5i =
2− 5i
29
tal que
(
2− 5i
29
) · (2 + 5i) = 29
29
= 1 = (2 + 5i) · (2− 5i
29
)
(D) (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C
exemplo:
[(1 + i) + (2 + 3i)] · (2 + i) = 2 + 11i = (1 + i) · (2 + i) + (2 + 3i) · (2 + i)
4
Exemplo 3 O conjunto dos números inteiros Z não é um corpo, pois a
propriedade (M4) não é satisfeita.
Passemos, então, para a definição de espaço vetorial.
Definição 2 Um espaço vetorial V sobre um corpo K é um conjunto não
vazio, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidas duas
operações:
a adição, que a cada par de vetores u, v ∈ V , associa um novo vetor u+v ∈ V ,
chamado a soma de u e v,
e a multiplicação, que a cada vetor u ∈ V e a cada elemento a ∈ K, associa
um novo vetor a · u ∈ V , chamado o produto de a por u,
satisfazendo as seguintes condições:
(A1) u+ v = v + u, para todo u, v ∈ V (comutatividade da adição);
(A2) (u + v) + w = u + (v + w), para todo u, v, w ∈ V (associatividade
da adição);
(A3) existe um elemento em V , denotado por 0 e chamado de vetor nulo,
tal que 0 + u = u+ 0 = u, para todo u ∈ V ;
(A4) para cada vetor u ∈ V , existe um vetro em V , denotado por −u e
chamado de oposto de u (ou simétrico de u), tal que (−u)+u = u+(−u) = 0;
(M1) (a·b)·u = a·(b·u), para todo a, b ∈ K e todo u ∈ V (associatividade
da multiplicação);
(M2) existe um elemento em k, denotado por 1 e chamado de elemento
neutro da multiplicação, que satisfaz 1 · u = u · 1 = u, para todo u ∈ V ;
(D1) (a+ b) ·u = a ·u+ b ·u, para todo a, b ∈ K e para todo vetor u ∈ V ;
(D2) a · (u+v) = a ·u+a ·v, para todo a ∈ K e para todo vetor u, v ∈ V .
Observação 1 Os elementos de um espaço vetorial V , independente de sua
natureza, são chamados de vetores e os elementos do corpo K são denomi-
nados escalares.
Exemplo 4 Todo corpo K é um espaço vetorial sobre si mesmo.
De fato, a própria definição de corpo nos assegura que as condições para ser
um espaço vetorial são satisfeitas.
Como exemplo deste fato, podemos citar o conjunto dos números reais, isto
é, o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre si mesmo.
Note que podemos definir um espaço vetorial V sobre o corpo dos números
reais, R, sem perdermos nada em sua estrutura. Assim, vamos trabalhar com
tais espaços vetoriais sobre o conjunto dos números reais.
Vejamos como fica a definição.
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Definição 3 Um espaço vetorial V sobre o corpo dos reais R é um conjunto
não vazio, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidas
duas operações:
a adição, que a cada par de vetores u, v ∈ V , associa um novo vetor u+v ∈ V ,
chamado a soma de u e v,
e a multiplicação, que a cada vetor u ∈ V e a cada número real a ∈ R,
associa um novo vetor a · u ∈ V , chamado o produto de a por u,
satisfazendo as seguintes condições:
(A1) u+ v = v + u, para todo u, v ∈ V (comutatividade da adição);
(A2) (u + v) + w = u + (v + w), para todo u, v, w ∈ V (associatividade
da adição);
(A3) existe um elemento em V , denotado por 0 e chamado de vetor nulo,
tal que 0 + u = u+ 0 = u, para todo u∈ V ;
(A4) para cada vetor u ∈ V , existe um vetro em V , denotado por −u e
chamado de oposto de u (ou simétrico de u), tal que (−u)+u = u+(−u) = 0;
(M1) (a ·b) ·u = a ·(b ·u), para todo a, b ∈ R e todo u ∈ V (associatividade
da multiplicação);
(M2) existe o número 1 ∈ R tal que 1 · u = u · 1 = u, para todo u ∈ V ;
(D1) (a + b) · u = a · u + b · u, para todo a, b ∈ KR e para todo vetor
u ∈ V ;
(D2) a · (u+ v) = a ·u+a · v, para todo a ∈ R e para todo vetor u, v ∈ V .