Exercício básico

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LISTA DE EXERCI´CIOS BA´SICOS DE ALGEBRA LINEAR
Professor: Mauro Rincon
1. Considere o conjunto B = {v1, v2, v3}, onde v1 = (1, 2, 3),
v2 = (−5, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1).
(a) Calcule o mo´dulo (comprimento) de cada vetor de B.
(b) Calcule a distaˆncia d(v1, v2) = |v1 − v2|
(c) Verifique quais vetores de B, dois a dois, sa˜o ortogonais ou
paralelos.
(d) Calcule o aˆngulo, dois a dois, formado pelos vetores de B.
(e) Verifique se o conjunto B e´ uma base do IR3.
(f) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base
B, uma base ortogonal do IR3.
(g) Determine a partir de B uma base ortonormal do IR3.
(h) Seja Bˆ o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindo-
se o vetor v3 pelo vetor vˆ3 = (7, 3, 5). Verifique se o conjunto Bˆ e´
LI ou LD.
(i) Mostre que vˆ3 = (7, 3, 5) e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1
e v2 de B.
(j) Determine o espac¸o gerado pelos vetores v1 e v2 de B.
2. Seja S = {(x, y) ∈ IR2/x + 3y = 0}. Verifique se S e´ uma subespac¸o
vetorial do IR2, relativamente a`s operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o por escalar e em caso afirmativo determine uma base para
S.
3. Considere a matriz formada pelos vetores colunas:
A = [v1, v2, v3] =

2 −1 3
1 1 0
4 3 1
1 0 1

(a) Calcule o mo´dulo (comprimento) de cada vetor da matriz A.
(b) A partir dos vetores vi ∈ A, determine uma matriz U cujos vetores
colunas ui, i = 1, 2, 3 sa˜o unita´rios.
1
(c) Calcule a distaˆncia d(v1, v2) = |v1 − v2|
(d) Verifique se existem vetores de A, dois a dois, que sa˜o ortogonais
ou paralelos.
(e) Calcule o aˆngulo formado pelos vetores {v2, v3} de A.
(f) Mostre que o conjunto de vetores {v1, v2, v3} sa˜o linearmente
dependentes (LD).
(g) Seja V = IR4. Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de V gerado
pelo conjunto de vetores {v1, v2, v3} se e somente se
S =
{
(x, y, z, w) ∈ IR4; z = (x+ 10y)/3 ∧ w = (x+ y)/3
}
e determine uma base B para S.
(h) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base
B, uma base ortogonal de S.
(i) Determine a partir de B uma base ortonormal de S.
4. Determinar os subespac¸os de P2 (espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau
≤ 2) gerados pelos seguintes vetores:
{
2 + 2x, 3 + x− x2, 2x+ x2
}
e verifique se os vetores sa˜o LI ou LD.
5. Prove que se u e v sa˜o vetores LI enta˜o u+v e u-v tambe´m o sa˜o.
6. Seja V = M3×2 um espac¸o vetorial das matrizes reais e S ⊂ V um
subconjunto definido por:
S =

 a −a−b b
c −c
 , onde a, b, c ∈ IR
 .
Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de V .
7. Considere o seguinte sistema linear:
2x1 + 4x2 + 6x3 = −6
3x1 − 2x2 − 4x3 = −38
x1 + 2x2 + 3x3 = −3
2
(a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan.
(b) O que podemos afirmar se substituirmos somente a terceira com-
ponente do vetor dos termos independentes b = (−6,−38,−3)
pelo vetor b̂ = (−6,−38, 1).
8. Considere o sistema linear;
2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 1
x1 − 6x2 − x3 − 2x4 = 2
−x1 + 2x2 + x3 = −2
2x1 + 5x2 + 3x3 + x4 = 1
(a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan.
(b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes, usando a ex-
pansa˜o de Cofatores(Fo´rmula de Laplace).
9. Considere o sistema linear anterior, excluindo-se a segunda linha e a
quarta coluna, ou seja,
2x1 + x2 + 3x3 = 1
−x1 + 2x2 + x3 = −2
2x1 + 5x2 + 3x3 = 1
(a) Determine a matriz inversa de matriz dos coeficientes, usando-a
para resolver o sistema linear.
(b) Resolva o sistema linear pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss com
pivoteamento.
10. : Seja a aplicac¸a˜o T : IR2 → IR3
(x, y)→ (x+ ky, x+ k, y)
Verifique em que caso(s) T e´ linear, justificando a resposta:
a) k = x; b) k = 1; c) k = 0
11. Considere o operador linear T : IR3 → IR3
(x, y, z)→ (x− 3y, x− z, z − x)
3
(a) Determine o nu´cleo, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o.
T e´ injetora? Justificar
b.(1.0) Determine a imagem, uma base para esse subespac¸o e sua di-
mensa˜o. T e´ sobrejetora? Justificar
12. : Calcule os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes
matrizes:
A =
[
1 3
−1 5
]
, B =
 3 −1 −30 2 −3
0 0 −1

4