lista09_base_e_dimensao

Prévia do material em texto

GAAL – Lista de Exerćıcios – 9
Vetores LI e LD. Base e Dimensão. Produto escalar em Rn. Diagonalização.
Exerćıcio 1. Considere os seguintes vetores em R3.
V1 = (1,−1, 1) V2 = (4,−2, 0) V3 = (0,−1, 2).
(a) Estes vetores são LI ou LD?
(b) Caso sejam LD, expresse um deles como combinação linear dos demais.
Exerćıcio 2. Sejam U , V e W vetores quaisquer de Rn. Mostre que os vetores
R = U + 3V − 2W , S = 4U + 7V + 2W e T = 5U + 8V + 4W
são linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combinação linear nula
(não trivial) entre R, S e T .
Exerćıcio 3. Considere o seguinte subespaço de R3.
W = {(a− b+ c, 2a+ b+ 5c, b+ c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
(a) Determine uma base e a dimensão de W .
(b) Complete esta base até uma base de R3.
Exerćıcio 4. Considere o seguinte subconjunto de R3.
W = {(a− b+ 5c, 2a+ 3b, a+ 4b− 5c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
Ele é um subespaço de R3? Se for, determine uma base ortogonal para W .
Exerćıcio 5. Considere o seguinte subconjunto de R3:
W =
{
V ∈ R3 tal que V é ortogonal ao vetor V0 = (2,−1, 1)
}
.
Descreva geometricamente este conjunto W e determine sua equação geral. Determine
também um par de vetores unitários em W e que sejam perpendiculares entre si, ou
seja, determine uma base ortonormal de W .
Exerćıcio 6. Se V1 = (1, 0, 0,−1) e V2 = (1, 1, 1, 0), considere o seguinte subespaço W
de R4:
V ∈ W se, e somente se, V é ortogonal a V1 e V é ortogonal a V2.
(a) Calcule uma base e a dimensão de W .
(b) Os vetores V1 e V2 e V3 = (4, 3, 3,−2) são LI ou LD? Justifique sua resposta.
Exerćıcio 7. Seja W o subespaço de R4 gerado pelos vetores
V1 = (1, 2, 0, 1), V2 = (0, 1, 1,−1), V3 = (2, 6, 2, 0) e V4 = (−1, 1, 3,−4).
(a) Mostre que o conjunto {V1, V2, V3, V4} é linearmente dependentes.
(b) Determine uma base e a dimensão de W .
(c) Encontre uma base ortogonal para W .
(d) Complete a base encontrada no item (b) para uma base de R4.
Exerćıcio 8. Considere a matriz
A =
 3 1 −1
4 3 −2
−4 −2 3

(a) Determine o conjunto S = {v ∈ R3 | Av = v}.
(b) Encontre uma base e determine a dimensão de S.
(c) Encontre uma base ortogonal para S.
Exerćıcio 9. Seja W o conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0, em que
A =
 1 −1 −1 0
4 −5 −5 −1
−2 3 3 1
 .
(a) W é um subespaço de qual Rn?
(b) Determine a dimensão e uma base para W .
(c) Determine uma base ortogonal de W .
Exerćıcio 10. Considere um sistema de coordenadas cartesiano xy no plano R2. Nesse
sistema de coordenadas, considere a base canônica ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1). Efetuando
uma rotação de 60o nessa base obtemos, respectivamente, os vetores U1 e U2 de uma
base ortonormal do plano. Determine as coordenadas xy de U1 e de U2.
Exerćıcio 11. No plano R2 considere um sistema de coordenadas cartesiano xy. Seja
x′y′ o sistema de coordenadas obtido de xy por uma rotação de 30o.
(a) Determine as coordenadas xy dos vetores canônicos unitários U1 e U2 do sistema
de coordenadas x′y′.
(b) Seja V o vetor no plano com coordenadas x = 2 e y = 3. Determine as coordenadas
desse mesmo vetor no sistema de coordenadas x′y′. Isto é, determine coeficientes
a e b tais que V = aU1 + bU2.
Exerćıcio 12. No plano R2 considere um sistema de coordenadas cartesiano xy. Seja
x′y′ o sistema de coordenadas obtido de xy por uma rotação de 45o. Veja figura a seguir.
(a) Determine as coordenadas xy dos vetores canônicos unitários U1 e U2 do sistema
de coordenadas x′y′.
(b) Considere a parábola de equação y = x2. Determine a equação dessa parábola no
sistema de coordenadas x′y′.
Exerćıcio 13. Considere a base ortogonal de R2 formada pelos vetores V1 = (−2, 3) e
V2 = (−3,−2). Se V = (11, 16) determine coeficientes x1 e x2 tais que V = x1V1 +x2V2.
Exerćıcio 14. Considere o plano α de R3 de equação 2x− 3y + 5z = 0. Observe que,
como esse plano passa pela origem, ele é um subespaço de R3.
(a) Determine uma base ortogonal {V1, V2, V3} de R3 tal que {V1, V2} é uma base
ortogonal do plano α.
(b) Escreva o vetor V = (−15,−20, 32) como uma combinação linear dos vetores da
base do item (a). Isto é, calcule coeficientes x1, x2 e x3 tais que
V = x1V1 + x2V2 + x3V3.
Exerćıcio 15. Considere os seguintes vetores de R4.
V1 = (1,−2, 5,−2) e V2 = (3,−2,−1, 2)
Seja W o conjunto dos vetores de R4 que são ortogonais a V1 e a V2.
(a) Determine uma base {W1,W2} para W .
(b) Determine uma base ortogonal {U1, U2} para W .
(c) Se U = (−21,−2, 19, 39) mostre que U é um vetor do subespaço W e determine
coeficientes x1 e x2 tais que U = x1U1 + x2U2.
Exerćıcio 16. Considere a matriz
A =
[
4 2
2 1
]
Determine uma matriz ortogonal P e uma matiz diagonal D tal que P−1AP = D.
Exerćıcio 17. Considere a seguinte matriz
A =
 5 −6 3
3 −4 3
0 0 2

(a) Determine os autovalores de A.
(b) Determine os autoespaços de A e uma base para cada um destes autoespaços.
(c) Mostre que A é diagonalizável, calculando uma matriz diagonal D e uma matriz
invert́ıvel P tais que
P−1AP = D.
Exerćıcio 18. Considere a matriz
A =
 0 −1 1
−1 0 1
1 1 0
 .
(a) Esta matriz é diagonalizável? Justifique sua resposta.
(b) Calcule o polinômio caracteŕıstico, os autovalores e os respectivos autoespaços de
A.
(c) Obtenha uma matriz invert́ıvel P e uma matriz diagonal D tais que P−1AP = D.
Exerćıcio 19. Analise se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira.
A matriz A =
[
0 1
0 1
]
é diagonalizável.
Exerćıcio 20.
(a) Existem dois vetores não nulos que geram R3 ?
(b) Existem quatro vetores LI em R3 ?
(c) Se W é um subespaço de dimensão 3 de R5, qual é o número máximo de vetores
LI em W ?
(d) Se W é um subespaço de R5 e se V1, V2 e V3 são vetores LI em W , o que podemos
dizer sobre dim(W ) ?
- FIM -