Física II - Ondas

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Física II
Ondas
Otoniel da Cunha Mendes
Engenharias
otoniel.mendes@fucapi.br
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Os slides desta aula foram
adaptados de:
1. Notas de aulas encontrados
na internet
2. Livros
3. Apostilas.
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O que aprenderemos?
• Ondas são perturbações que se propagam;
• As ondas podem ser longitudinais ou transversais;
• A equação que governa o movimento das ondas;
• As ondas transportam energia através de distâncias, em geral não 
transportam matéria;
• O principio da superposição estabelece uma propriedade fundamental
das ondas;
• As ondas podem interferir uma nas outras;
• Pode-se formar uma onda estacionária pela superposição de ondas 
progressivas.
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O que são Ondas?
Podemos definir onda como uma variação de uma grandeza 
física que se propaga no espaço. É um distúrbio que se propaga e 
pode levar sinais ou energia de um lugar para outro, sem que haja 
transporte de matéria. “Energia em movimento”. 
Objetos com movimento periódico são geradores de ondas.
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Natureza das Ondas
Quanto à 
Direção de 
Vibração
Mecânicas
Transversais
Longitudinais
Eletromagnéticas só 
transversais 
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Natureza de Onda
• Ondas mecânicas
São aquelas originadas pela deformação de uma região de um
meio elástico e que, para se propagarem, necessitam de um meio
material. Ex: onda na superfície da água, ondas sonoras, ondas numa
corda tensa, etc.
As ondas mecânicas não se propagam no vácuo.
Ondas Mecânicas
Som Onda em corda Onda em mola Ondas na água
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Natureza de Onda
Ondas eletromagnéticas
São aquelas originadas por cargas elétricas oscilantes. Ex: ondas de
rádio, ondas de raios X, ondas luminosas, etc.
As ondas eletromagnéticas propagam-se no vácuo.
Ondas eletromagnéticas
luz Raio x Micro-ondas Ondas de rádio Ultra-violeta outras
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Ondas Mecânicas
Ondulações em um lago, sons musicais que você pode ouvir e
outro sons que você não pode ouvir – estes são exemplos de
fenômenos ondulatórios.
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Ondas Mecânicas
Uma onda surge quando um sistema é deslocado de 
sua posição de equilíbrio e a perturbação se desloca ou se 
propaga de uma região para outra do sistema.
Para entendermos a natureza dos átomos, das 
moléculas e dos núcleos devemos primeiro estudar as 
ondas. 
“ Uma onda é qualquer perturbação de uma condição de 
equilíbrio que se propaga de uma região para outra”.
“ Uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto 
a outro de um meio com velocidade definida”.
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Ondas Mecânicas
Em geral, a transmissão do sinal entre dois pontos 
ocorre sem transporte de matéria, mas com transporte de 
energia e momento.
Uma onda mecânica é uma perturbação que 
se desloca através de um material chamado 
meio, no qual a onda se propaga. 
À medida que a onda se propaga através do meio, 
as partículas que constituem o meio sofrem deslocamentos 
de diversas espécies, dependendo da natureza da onda.
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Variedades de ondas mecânicas – Ondas Transversais
Quando agitamos ou balançamos a extremidade 
esquerda da corda, a agitação se propaga através do 
comprimento da corda.
As seções sucessivas da corda 
sofrem o mesmo tipo de 
movimento que aplicamos em sua 
extremidade, mas em tempos 
sucessivamente posteriores.
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Variedades de ondas mecânicas – Ondas Transversais
Como os deslocamentos do meio são 
perpendiculares ou transversais à direção de propagação da 
onda ao longo do meio, este tipo de movimento é chamado de 
onda transversal.
A direção de vibração das partículas é perpendicular à 
direção de propagação da onda
Propagação
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Se fizermos o pistão oscilar para frente para trás, uma perturbação de 
deslocamento se propaga ao longo do meio. Nesse caso, as partículas do meio 
oscilam para frente e para trás ao longo mesma direção de propagação da onda
e este movimento denomina-se onda longitudinal.
O meio líquido ou gás no interior de um tubo com uma 
parede rígida na extremidade da direita do tubo e com um 
pistão móvel na extremidade esquerda.
Variedades de ondas mecânicas – Ondas Longitudinais
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Variedades de ondas mecânicas – Ondas Longitudinais
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Variedades de ondas mecânicas - Mista
Em um tanque quando fazemos uma placa achatada 
oscilar para frente e para trás, uma perturbação ondulatória se 
propaga ao longo do tanque. Nesse caso, a água possui duas 
componentes, o transversal e o longitudinal.
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Classificação das Ondas
• Ondas unidimensionais
Quando se propagam numa só direção. Ex:
uma perturbação numa corda.
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Classificação das Ondas
• Ondas bidimensionais
Quando se propagam ao longo de um plano.
Ex: ondas na superfície da água.
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Classificação das Ondas
• Ondas tridimensional
Quando se propagam em todas as direções. 
Ex: ondas sonoras.
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Ondas Mecânicas
Esses exemplos possuem em comum:
1. A perturbação se desloca ou se propaga com uma 
velocidade definida através do meio.
2. O módulo dessa velocidade denomina-se velocidade de 
propagação da onda, ou simplesmente velocidade da onda.
As ondas transmitem 
energia, mas não 
transportam matéria
de uma região para 
outra do meio.
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Ondas Periódicas
Uma situação mais interessante ocorre quando 
balançamos a extremidade da corda com um movimento 
repetitivo ou periódico.
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Ondas Periódicas Transversal
Uma onda ela avança 
uniformemente para a direita, 
conforme indicada pela 
região sombreada. À medida 
que a onda se propaga, 
qualquer ponto sobre a corda 
oscila verticalmente.
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Ondas Mecânicas
Atenção Movimento de onda x movimento 
da partícula
Tome cuidado para não confundir o movimento de onda transversal
ao longo da corda com o movimento de uma partícula da corda. A 
onda se desloca com uma velocidade v ao longo da corda, 
enquanto o movimento da partícula é um movimento transversal à 
direção de propagação.
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Ondas Periódicas Transversal
Para uma periódica, a forma da corda em um dado 
instante é uma configuração que sempre se repete.
O comprimento de uma dessas configurações 
completas é a distância entre duas cristas sucessivas ou 
entre dois ventres consecutivos. 
Chamamos essa distância de 
comprimento de onda do movimento 
ondulatório.
v  f
(onda periódica)
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Visto no slide anterior, a velocidade da onda é igual ao 
produto do comprimento da onda pela frequência. A 
frequência é utilizada por se tratar de uma propriedade 
global do movimento periódico porque todos os pontos da 
corda oscilam com a mesma frequência f
Ondas em uma corda se propagam em 
apenas uma dimensão. Mas a idéia de 
frequência, comprimento de onda e amplitude se 
aplicam igualmente bem à ondas que se 
propagam em duas ou três dimensões.
Ondas Periódicas Transversal
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Ondas Periódicas Transversais
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Ondas Periódicas Longitudinais
Para entendermos os mecanismos envolvidos em uma 
onda longitudinal, vamos considerar um tubo longo repleto de 
fluido, com um pistão em sua extremidade esquerda
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Ondas Periódicas Longitudinais
 O som é uma onda longitudinal pois as partículas 
deslocam-se para a frente e para trás (passando 
pela posição de equilíbrio), na direcção da onda 
que se propaga. 
Moléculas de arAltifalante Ouvido
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Descrição Matemática das Ondas
Muitas características das ondas periódicas podem 
ser descritas mediante os conceitos de velocidade da 
onda, amplitude, período, frequência e comprimento de 
onda. Contudo precisamos de uma descrição mais 
detalhada das posições e movimentos de partículas 
individuais do meio em função do tempo durante um 
propagação da ondaPara esta descrição, precisamos do conceito de 
função de onda, uma função que descreve a posição de 
qualquer partícula do meio em função do tempo.
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Numa onda de matéria há partículas que se
deslocam da sua posição de equilíbrio. Vamos começar
por considerar uma perturbação gerada, por exemplo na
extremidade de uma corda, onde se produz uma oscilação
brusca. A perturbação é uma função do espaço e do
tempo.
Descrição Matemática das Ondas
Designemos essa perturbação por 𝑦(𝑥, 𝑡) , onde 𝑥
designa a coordenada ao longo da direção de
propagação da onda e t designa o tempo. A função 𝑦
representa, por exemplo, o deslocamento vertical em
relação à posição de equilíbrio (𝑦 = 0). A figura mostra um
pulso gerado no instante inicial (𝑡 = 0), ou seja a função
yx, 0  fx
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Descrição Matemática das Ondas – Ondas Progressivas 
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Descrição Matemática das Ondas – Ondas Progressivas 
A variável x reporta-se ao referencial S que se 
mostra na figura. 
Para obtermos a descrição matemática do pulso 
consideremos agora um novo referencial móvel, S’, que 
acompanha o pulso: 
Como relacionar y com y’ e x 
com x’? 
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Descrição Matemática das Ondas
A figura permite concluir que essa 
relação é 
y  y, x  x,  vt
(esta transformação linear de coordenadas chama-se transformação de 
Galileu). Ora, temos então 
yx, t  y,x,
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Descrição Matemática das Ondas
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Descrição Matemática das Ondas
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Descrição Matemática das Ondas
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A velocidade Escalar de Propagação de uma Onda
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Velocidade Transversal de uma Partícula
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Velocidade da onda numa corda esticada
Para calcular a velocidade de uma onda em uma corda, vamos
considerar um pequeno pulso em uma corda de densidade linear de
massa que é esticada por uma força de tensão . FT
FR  m v
2
R
;  m
Como a tensão da 
esquerda é igual a da direita
(Para ângulos pequenos)
FR  2Ftg 2
 m v
2
R
 pequeno
2F 
2
 R v
2
R
 v2  F
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Velocidade da onda numa corda esticada
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Reflexão de Ondas
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Reflexão de Ondas
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Reflexão de Ondas
PULSO
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Energia, potencia e intensidade
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Energia, potencia e intensidade
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Interferência
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Interferência
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A = A1 + A2 A = A1 – A2
Interferência
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Interferência
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Meio de densidade A. Meio de densidade B.
Observa-se INVERSÃO da fase da onda refletida.
Refração de um pulso numa corda
Chamamos de refração à passagem da onda de uma corda para a outra, 
que pode ser da menos densa para a mais densa, ou vice-versa. 
a) Se o pulso sofrer refração da corda menos densa para a mais densa, 
ocorre reflexão com inversão de fase.
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Refração de um pulso numa corda
b) Se o pulso sofrer refração da corda mais densa para a menos densa, a 
reflexão ocorre sem inversão de fase. 
A experiência mostra que a freqüência não se modifica quando um pulso passa 
de um meio para outro numa refração qualquer. 
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Ondas estacionárias
Caso muito especial do princípio de superposição para duas ondas idênticas, 
com mesma fase, exceto pelo sinal oposto da velocidade angular
Use a identidade trigonométrica
Resultado:
Onda com nodos e antinodos em pontos particulares nas coordenadas 
espaciais!
Superposição: onda incidente e a outra refletida
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Ondas estacionárias
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Ondas estacionárias
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Ondas estacionárias
Ondas estacionárias em uma corda
Experimento:
Ondas estacionárias numa corda.
Meia onda.
Ondas estacionárias numa corda.
Onda inteira.
Ondas estacionárias numa corda.
1½ de onda.
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Ondas estacionárias
Comprimentos de onda discretos
Comprimentos de onda possíveis:
Mais baixo, n=1: fundamental,
= 1º harmônico
n=2: 2º harmônico,…
n
n
2
 L, n  1,2,3,...
n 
2L
n
, n  1,2,3,...
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Ondas estacionárias
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Ondas estacionárias
Frequências discretas
Relação entre comprimento de onda e frequência ainda é:
Então, as possíveis frequências são:
Usando a expressão para a velocidade ao longo da corda, obtemos:
v   f
fn 
v
n
 n
v
2L
, n  1,2,3,...
fn 
v
n
 n
T
2L   n
T
4Lm
, n  1,2,3,...