Enviando Fundamentos de engenharia hidr_ulica

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C a l o 2
A m e c â n ic a d o s f l u id o s n a H id r á u l ic a
N e s t e c a p it u lo s ão a p r e se n t a d o s
, 
r e s u m ida m e n t e
, 
a lg u n s t ó p ic o s bás ic o s
d a M e c â n ic a d o s Flu id o s n e c e s sá r io s a o e s t u do d a H id r áu l ic a
, 
t a is c o m o
s is t e m a s d e u n id a d e s
, p r o p r ie d a d e s f ís ic a s d o s f lu id o s e c o n c e it o s d e
h id r o d in âm ic a e h id r o s t át ic a
2 1 In t r o d u çã o
A f u n d a m e n t a ção t e ó r ic a da H id r á u l ic a e s t á c o n t ida n a M e c ân ic a d o s Flu id o s e c
s e q u e n t e m e n t e n a FÍs ic a A s s im
, 
e n q u a n t o e s t a e s t u d a o c o m p o r t a m e n t o d a m a t é r ia n o s
t r ês e s t a do s (s ó lid o
, 
irq u ido e g a s o s o ), a M e c â n ic a d o s Flu id o s t r a t a d o s f lu id o s (líq u ido s
e g a s e s ) e a H id r áu lic a a p e n a s d o s líq u id o s , m a is e s p e c if ic a m e n t e da ág u a
En t r e t a n t o
, 
o s e le m e n t o s t e ó r ic o s o r ig in á r io s da FÍs ic a n âo s ão s u f ic ie n t e s p e r s i p a r a
r e s o lv e r t o d o s o s p r o b le m a s p r at ic o s d a h id r a u lic a
. 
r e q u e r e n do e s t a
. 
q u a s e s e m p r e
. 
d e
d a d o s e x p e r im e n t a is D e s t a m a n e i r a , o s f u n da m e n t o s do s it e n s a p r e s e n t a d o s n e s t e liv r o
e s t ã o a lic e r ça d o s n a Fís ic a c lás s ic a e n o e m p ir is m o
Pa r a a n á lis e d e s t a s q u e s t ô e s , p r in c ipa lm e n t e a s re la c io n a da s c o m e q u a çõ e s e p r opr
d a d e s f ís ic a s d o s f lu id o s
, 
a p re s e n t a m s e a s e g u i r a s u n id a de s d a s g r a n d e z a s n o r m a lm e n t e
u t il iz a d a s n e s t e l iv ro e o p r in c íp io d a ho m o ge n e id a d e d im e n s io n a l
2 1 1 S i s t e m a s d e u n id a d e s
Pa r a e fe t u a r s e a m e d ida de d e t e r m in a da g r a n d e z a , t a l c o m o c o m p r im e n t o , fo r ça , o u
m e s m o
, 
a lg u m a p r o p r ie da de do f lu ido , é n e c e s sá r io c o m pa rá la c o m o u t ra g ra n de z a de
m e s m a e spéc ie O pa d rão de m e dida qu e se rv e pa r a c o m pa ra qão é de n o m in a do de u n ida de
Co n fo r m e a n a t u r e z a da g r a n d e z a c o n s ide r a da , a s u n ida de s p o de m s e r í i1n da m e n t a )s o u
d e r iv a d a s
0 c o n ju n t o f o r m a do pe la s u n ida d e s d a s g r a n d e z a s f u n da m e n t a is e pe la s u n ida de s d a s
g r a n d e z a s d e r iv a da s é d e n o m in a do Sist e m a d e U n ida de s No Bra s il, de sde 19 62 , a d o t a s e
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& e » d h n a l «d r i a a
o ño a l r n e n t e o Sis t e m a In t e r n a c io n a l (51)
, 
ba s e a do e m 7 g r a n de z a s f u n da m e n t a is , bás ic a s
A s a b r e u a t u ra s da s u m da d e s s ão e s c r it a s e m le t r a s m in ú sc u la s , c o m e x c e ção d a s un i
d e s d e n v a d a s d e n o m e s p r ó p r io s , q u e d e v e m in ic ia r s e c o m le t r a s m a iúsc u la s , c o n f o r m e
m o s t r a o Qu a d r o 2 1
Q u a d r o 2 1 G r a n d e z a s f u n d a m e n t a is s ím b o lo s e u n id a d e s
G r a n d e z a s f u n d a m e n t a i s S ím b o lo U n id a d e
Ca m p n m e n t o M e t r o
IU a s s a 
i e m Do
Qu i lo g r a m a
Se g u n d o
A b r e v ia t u r a d a u n id a d e
n í e n s d a d e c o r r e n t e e lét r ic a A m p e r e
e m pe r a m ra
Qu a n t ida de de m a t é r ia
In t e n s id a d e lu m in o sa
Ke lv in
M o le
Ca n d e ia
m o l
c d
Na Fisic a E m g e ra l, e n a H id ráu lic a , e m p a r t ic u la r , a do t a m s e c o m o g ra n de z a s f
d a m e n í a is a M a s s a M
, 
o C o m p r im e n t o L e o Te m po 7 , d a i a d e n o m in a ção d e Si st e m a
M LT E m subi t ui ção a o n o m e d e Sist e m a In t e r n a c io n a l A s u n id a de s c o r re s po n d e n t e s
à m a s sa
, 
a o c o m p r i m e n t o e a o t e m p o s ão o q u i lo g r a m a (kg ), o m e t ro (m ) e o s e g u n do
(S)
. 
Re s p e c t iv a m e n t e
O u u o s t s t e m a m u it o u t i liz a d o n o Br a s i l é o Téc n ic o 5 1 t a m bé m d e n o m in a d o FLT,
be m s e m e lha n t e a o 5 / C o n t u do
, 
u t i liz a s e a f o r ça F c o m o g r a n d e z a f u n d a m e n t a l , c u ja
u n d a de é o kg f , n o lu g a r da m a s s a , a lém do c o m p r im e n t o e do t e m po Po r o u t r o la do ,
a m a s s a pa s sa a s e r u m a g r a n d e z a d e r iv a da , c u ja u n id a d e é d e n o m in a d a u n id a d e t éc n ic a
d e m a s sa t rt m ) A pa s s a g e m de u m s is t e m a a o o u t ro é f e it a pe la a p lic a ção da s e g u n da
le i d E N e w to n d c = m a )
, 
e s t a be le c e n do d e ss a m a n e i r a q u e :
Iu tm = 1kg f 5 ' 1 m
l u t m = 9
, 
8 1kg
I N - t kg m ! 52
rkg f = 9 , 8 1N
0 Qu a d r o 2 2 c o n t ém a s u n ida de s da s g ra n de z a s n o r m a lm e n t e u t iliz a da s n a H id ráu lica ,
n o s s m e m a s m t e r n a c io n a l e t éc n ic o
Q u a d r o 2 2 U n id a d e s u t i l i z a d a s n o s s i s t e m a s u s u a i s
G r a n d e z a s S ím b o lo A b r e v i a t u r a d a s u n id a d e s
S is t e m a In t e r n a c i o n a l
M a ssa M
Co m p n m e n t o
Te m po
Fo r qa
S i s t e m a T é c n ic o
kgf s Zl m (u t m )
m
kg f
36
m 
kg
A 
K
kg
N
M 
T
e
T
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A M ec an ica d o s Flu ido s n a H ld ràu t, ca I Ca ptl u lo 2
2 1 2 P r i n c íp i o d a h o m o g e n e id a d e d i m e n s i o n a l
O p r in c íp io d a ho m o g e n e id a d e d im e n s io n a l é u t iliz a d o pa r a f a c ilit a r o d e s e n vo l
m e n t o d e e q u a ç(3e s e a c o n v e r sã o d e s is t e m a s d e u n id a d e s A t r a v és d e s t e
, 
é po s s iv e l
r e p r e s e n t a r , p o r e x e m p lo a s le is da FÍs ic a p e la s g r a n d e z a s f u n d a m e n t a is d o s s is t e m a s
in t e r n a c io n a l o u t éc n ic o Es t e p r in c íp io e s t a b e le c e q u e u m a e g u a ção é d it a h o m o g ên e a
d im e n s io n a im e n t e
, q u a n d o o s s e u s d ife r e n t e s t e r m o s a p r e s e n t a m 0 m e s m o g r a u c o m
r e la çâo às g r a n d e z a s í im da m e n t a js É im p o r ta n t e r e s sa lt a r e n t r e t a n t o
, q u e o p r in c íp io
d a ho m o g e n e id a de d im e n s io n a l
, 
e m bo r a s e ja u m a c o n d ição g e r a l p a r a a v a lida d e d e
u m a e q u a çã o
, 
n ão é s u f ic ie n t e
Po r o u t r o la d o
, 
é po s s iv e l t e r s e e q u a ço e s n âo ho m o gên e a s , o u s e ja , e q u a çô e s
c u jo s d if e r e n t e s t e r m o s n ã o a p r e s e n t a m a s m e s m a s d im e n s õ e s
, 
s e n d o v á lid a s e m u m
de t e r m in a do s is t e m a d e u n id a de s
, p a r a u m a d e t e r m in a d a g a m a d e v a lo r e s da s g r a n
z a s in t e r v e n ie n t e s Em g e r a l
, 
e s t a s e q u a çô e s s ão o r iu n d a s d e e x p e r iên c ia s c o n d u z id a s
e m p ir ic a m e n t e
Ex e m p lo 2 1
D e t e r m in a r a e q u a ção d a d is t ân c ia pe rco r r ida po r u m c o r po e m q u e d a l iv r e ,
c o n s ide r a n d o s e q u e a d ist â n c ia p e r c o r r id a d d e pe n d e d o pe s o d o c o r p o
P
, 
d a a c e le r a çã o d a g r a v id a d e g e d o t e m p o t , o u s e ja :
d = k P a g ° t c (2 1)
s e n do k u m c o e f ic ie n t e a d im e n s io n a l g e r a lm e n t e d e t e r m in a d o e x per i m
t a lm e n t e e / o u p o r a n á lis e f ís ic a
So l u çã o
Pe lo p r in c íp io d a ho m o g e n e ida de d im e n s io n a l , pa r a q u e e s t a e q u a ção s e ja
h o m o gê n e a o s e x p o e n t e s d a s g r a n de z a s f u n da m e n t a is e n v o lv id a s d e v e m
t e r 0 m e s m o g r a u , e m a m bo s o s m e m b r o s d a e q u a ção Ex p r e s s a n d o , 
t âo
, 
a s g r a n de z a s e n v o lv ida s e m t e r m o s d a s g r a n d e z a s f u n d a m e n t a is M LT
e s u bst it u in d o a s e m (2 1) t e m s e :
M L T2
LT2
M ° Lr 7O . (M ° La T2a) (LbT 2 b) (F)
37
T
d 
P 
g
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r u n d . M e n t m d e En g ' " . . I. I l ld , au nu
Re la c io n a n d o o s e x p o e n t e d e M , L, e T n a e q
u a çã o a n t e r io r , t e m s e ,
r e s pe c t iv a m e n t e :
O · a
1 . A + b
O - 2 a 2 b + C
a - O
b = 1
C = 2
Su bs t it u in d o s e 0 5 v a lo r e s de a , b e C n a e q u a çã o (2 1), o b t é m s e a s
d im e n sô e s da d ist ân c ia e m re la ção às g r a n de z a s f u n da m e n t a is M LT. De
o n de p o de s e c o n c lu ir q u e a d is tâ n c ia in de pe n d e de
" P "
d . k P° g ' t 2 d - k g t z
A a p l ic a ção d e ss e p r in c íp io pe r m it e o bt e r o m e s m o r e s u lt a d o , u t iliz a n d o se
t a n t o a s g r a n de z a s f u n da m e n t a is M LT q u a n t o FLT
2 2 P r o p r ie d a d e s f ís ic a s d o s f lu id o s
Flu id o s s ão s u bs t ân c ia s n o e s t a do líq u id o o u ga s o s o q u e s e d e f o r m a m c ont i n
m e n t e s o b a a ção d e a lgu m a f o r ça c is a lha n t e Es t e t e x t o t r a t a e s pe c ia lm e n t e d o s líq u ido s
n e w t o n ia n o s
, 
ist o é
, 
do s l íq u ido s e m q u e a t a x a d e d e f o r m a ção v a r ia lin e a r m e n t e c o m a
f o r ça de c is a lha m e n t o a p lic a da A lgu m a s p ro p r ie da de s f ís ic a s d o s líq u id o s e e m e s pe c ia l
da ág u a s ão a p r e s e n t a da s a s e g u ir
M a s s a e s p e c íf ic a o u d e n s id a d e a b s o lu t a
M a ssa e spe c if ic a o u de n s ida de a bso lu t a é a re la ção e n t r e a m a ssa d o f lu ido e 0 se u
v o lu m e
(2 2)
s e n do :
P - m a s s a e s pe c íf ic a o u de n s ida d e a bs o lu t a do f lu id o
m - m a ss a do f lu ido
V . v o lu m e do f lu ido
A m a ss a e s pe c if ic a de pe n de d a p re s são e da t e m pe r a t u r a (v e r Qu a d ro s 2 3 e 2 4)En t re t a n t o
, 
e m c o n d içõ e s n o r m a is
, 
a v a r ia ção de ss a g r a n de z a é pe q u e n a e
, 
c o m u m e n t e ,c o n s ide ra da c o n st a n t e Na m a io r ia do s p r o ble m a s
, 
a d o t a s e pa ra a ág u a o s v a lo re s da m assaespeci fi ca a 4 C
, 
o u se ja
, P - 1000 kg/m 3 n o s is te m a in te r n a c io n a l o u P = 102 kg f s zl m d n o s ist e m a
38
P
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A M ed n k a do s Flu rd m n a H , d ràu l lc a I Ca p lt u to 2
t éc n ic o Ex c e ção s e f a z a o s e s c o a m e n t o s t r a n s it ó r io s
, 
n o s q u a is e s s a p r o p r ie d a d e de v e
s e r c o n s id e r a d a c o m o u m a f u n ção d a p r e s são q u e é m u it o v a r iáv e l, o u e m e s c o a m e n t o s
c o m e le v a d a s t e m p e r a t u r a s Pa r a t o d a s a s a p lic a çõ e s p r át ic a s d e s t e liv r o , s a lv o in d ic a ção
e m c o n t r á r io
, 
s e r ã o a d o t a d o s : P = 10 0 0 kg / m a . 10 2 kg f 52/ m 4
D e n s i d a d e r e la t iv a
D e n s id a d e r e la t iv a (8) é a r e la ção e n t r e a m a s s a e s p e c íf ic a de u m a s u bs t ân c ia p a r a
o u t r a t o m a d a c o m o r e f e rê n c ia No r m a lm e n t e
, p a r a líq u ido s , a ág u a a 4 ° c é t o m a d a c o m o
pa d r ã o
, 
O q u e c o r r e s p o n d e a P
.
- 10 0 0 kg/ m a o u P
. 
= 10 2 kgf m d s 2 A s s im , a d e n s ida d e
r e la t iv a d a ág u a , in d e p e n d e d o s is t e m a d e u n id a de
, 
p o d e n d o s e r c o n s id e r a da ig u a l a
u n id a de (Ô · 1) e m g r a n d e p a r t e d o s p r o b le m a s Pa r a t o d a s a s a p lic a çô e s p r át ic a s d e s t e
liv r o
, 
s a lv o in d ic a d o e m c o n t r á r io
, 
s e r á a do t a d o = 1
(2 3 )
Q u a d r o 2 3 P r o p r ie d a d e s f ís i c a s d a á g u a s i s t e m a in t e r n a c i o n a l
Te m p e r a t u r a M a s s a Pe s o P r e s s ã o d e M ó d u lo d e V i s c o s id a d e V is c o s id a d e
Es p e c if i c a Es p e c íf ic o V a p o r Ela s t i c i d a d e D i n â m i c a C in e m á t i c a
V o l u m é t r i c o
Pa 10 7 Pa 1 0 3 k g l m S 10 Ó m z l s
6 1 1
8 7 3
39
2 0 4 
2 0 6 
2 U 
2 14 
2 2 0 
2 2 2 
2 2 3 
2 24 
2 2 7 
2 29 
2 3 0 
2 3 1 
2 28 
2 2 6 
2 2 5 
2 2 3 
2 2 1 
2 17 
2 16 
2 1 1
, .
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一
P
. 
. 
. 
. 
.
. 
. 
. 
.
T 
0 C
0
5
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5 
0 
5 
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0 
5 
0 
5 
0 
5 
0 
5 
0 
5 
0 
5
)0
1 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
4 
5 
5 
6 
6 
7 
7 
8 
8 
9 
9 
1(
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Fu . Da . En t ' " ' " g ' " ' " a H ld , a . Tlca
Q u a d r o 2 4 r i e d a d e s f is ic a s d a á g u a s i s t e m a t é c n
i c o
Te m p e r a t u r a M a s s a Pe s o Pr e s s ão d e M ó d u lo 
d e V is c o s id a d e
Es p e c if ic a Es p e c if ic o Va p o r El a s
t i c id a d e D i n â m i c a
V o l u m é t r i c o
K g f s z / m 4 1o
a K g f / m z 10
3 k g / m S
V is c o s i d a d e
C i n e m át i c a
1 0 6 m z / S
Pe s o e s p e c íf ic o
Pe s o e s p e c if ic o é a r e la çâo e n t r e 0 p e so d o f lu id o e 0 s e u v o lu m e
Y - W7 b ' (2 4 )
s e n do :
Y - p e s o e s p e c if ic o do f lu ido
W - pe s o d o f lu id o
V - v o lu m e do f lu ido
pe la s e g u n d a le i d e N e w t o n W - m g , s e n do m a m a s s a e g a a c e le r a çã o da g r a
d a de Su bst it u in do e s t e v a lo r de W n a e q u a ção (2 4 )
, 
ju n t a m e n t e c o m a e q u a çã o (2 2),
t e m s e 7 - P g C o n c lu i s e , po r ta n t o , q u e 0 pe so e s pe c if ic o de p e n d e d a p r e s s ão e da
t e m p e ra t u r a
, 
já q u e P t a m bém de pe n de d e s t a s c a r a c t e r ís t ic a s Pa r a t o da s a s a p lic a çõ e s
p r át ic a s d e st e liv r o
, 
s a lv o in d ic a ção e m c o n t r á r io
, 
s e r ão a d o t a d o s : Y = 9 8 10 N/ m a .10 0 0 kg fí m a e g - 9 , 8 1 m / 52
0 5 Qu a d ro s 2 3 e 2 4 r e la c io n a m o s v a lo r e s d o p e s o e s p e c if ic o d a ág u a e m d if e r e n t e s
t e m pe r a t u r a s
, 
e n t r e t a n t o
, 
c o m o a v a r ia gão d o s v a lo re s d o pe s o e s p e c if ic o é p e q u e n a,
40
.
.
, '
. '
m 
W 
m 
m 
W
. 
.
P
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一 
一
T
0 C 
0
10 
15 
2 0 
2 5 
30 
3 5 
4 0 
4 5 
5 0 
5 5 
6 0 
6 5 
7 0 
7 5 
8 0 
8 5 
9 0 
9 5
. ,
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A M e c àn rca d o s Flu ido s n a H , d ràu llc a I Ca p it u lo 2
e m g r a n de pa r te d o s p ro b le m a s u t iliz a se o v a lo r pa d rão : Y - 9 , 8 1× 10 3 N/ m 3 0 U Y - 1000kgf/ m 3 ,
n o s s is t e m a s d e u n id a d e s in t e r n a c io n a l e t éc n ic o
, 
r e s p e c t iv a m e n t e
P r e s s ã o
A r e la ção e n t re a f o rça n o r m a l q u e a ge c o n t r a u m a s u p e r f ic ie p la n a e s u a á r e a é de f in ida
c o m o p r e s são m éd ia <r = Fr A) Qu a n d o e s t a á r e a s e a p r o x im a d e z e r o , e m t o r n o d e u m
p o n t o t e m s e
, p o r d e f in iqã o
, 
a p r e s s ão n o p o n t o , s e n d o a d ir e ção d a p r e s são s e m p r e
n o r m a l à s u p e r f le ie A m e d id a d e s s a g r a n d e z a n o s is t e m a t éc n ic o é de n o m in a da Pa s c a l(Pa )
, 
s e n d o 1 Pa = 1 N/ m z
P - ¢im 
F
A + O A
e m q u e :
(2 5)
P : p r e s s ã o n u m p o n t o
F : e s f o r ço n o r m a l à s u p e r f fe ie
A : á r e a d a s u p e r f íc ie
Ta m b é m le v a o n o m e d e Pa s c a l a te i q u e e s t a b e le c e q u e n u m f lu ido e m e q u i lib r fo a
p r e s s ão n u m p o n t o é a m e s m a e m t o da s a s d ir e qõ e s , in d e p e n d e n t e m e n t e d a o r ie n ta qã o
d a s u p e r f ic ie e m t o r n o d o p o n t o , o u s e la :
P
.
- P
,
- P
.
(2 6 )
P r e s s ã o d e v a p o r
Pr e s s ã o d e v a p o r c o r r e s p o n d e a o v a lo r d a p r e s s ão n a q u a l o liq u id o p a s s a d a f a s e
líq u ida p a r a a g a s o s a N a s u p e r f fe ie de u m líq u ido há u m a t r o c a c o n s t a n t e d e m o léc u la s
q u e e s c a p a m p a r a a a t m o s f e r a (e v a po r a çã o ) e o u t r a s q u e pe n e t r a m n o l iq u id o ( c
de n s a çâ o ) V is t o q u e e s t e p r o c e s s o d e p e n de d a a t iv id a de m o le c u la r e q u e e s t a d e p e n de
d a t e m p e r a t u ra e d a p re s s ão , a p r e s s ão de v a po r d o líq u id o t a m bé m d e pe n d e de s t e s ,
c r e s c e n do o s e u v a lo r c o m o a u m e n t o d a p r e s s ão e d a t e m p e r a t u r a
Qu a n d o a p re s s â o e x t e r n a , n a s u p e r f íc ie do líq u id o , s e lg u a la à p r e s s ão d e v a p o r ,
e s t e s e e v a p o r a Se o p r o c e s s o n o q u a l is t o o c o r r e é de v id o a o a u m e n t o da t e m p e r a t u r a
d o líq u id o , p e r m a n e c e n d o a p re s são e x t e r n a c o n s t a n t e , O p r o c e s s o é d e n o m in a
do de
e v a p o r a çâ o C a s o is t o s e dê p e la m u d a n ça d a p r e s s ão lo c a l e n q u a n t o a t e m p e r a t u r a
p e r m a n e c e c o n s t a n t e , O f e n ô m e n o é c o n he c id o p o r c a v it a ção Es t e f e n ô m e n o o c o r r e ,
n o r m a lm e n t e
, 
e m e s c o a m e n t o s s u je it o s às ba ix a s p r e s s õ e s , p r ó x im o s à m u da n ça de
f a s e d o e s t a d o líq u id o p a r a 0 g a so s o e c o n s t it u i u m g r a n de p r o b le m a e m v e r te do r e s ,
v á lv u la s e SU CÇÂo de bo m ba s Va lo re s d a p re ssão d e v a po r , p a r a a ág u a , são m o s t r a d o s
n o s Qu a d r o s 2 3 e 2 4
41
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M ó d u lo d e e la s t ic id a d e v o l u m é t r i c o
O m ód u lo de e la st ic ida de v o lu m ét r ic o é a re la qão e n t r e o in c r e m e n t o de p r e s são (& P)
a p l ic a d o a o f lu ido e a v a r ia qão r e la t iv a de v o lu m e (&v / V )
, 
d a n do
, po r t a n t o , a m e d ida
d a c o m p re ss ibilida de do f lu id o a t r a v és d a r e la qão :
e m q u e :
K . M ódu lo de e la s t ic id a de v o lu m ét r ic o do líq u id o
A P . In c re m e n t o d e p r e ssão
A V . v a r ia ção do v o lu m e d e v ido a A P
V . v o lu m e d o líq u id o
Em g ra n d e pa r te d o s p r o ble m a s qu e e n v o lv e m e sc o a m e n t o de líq u id o s , a c o mp r es
b ilida d e po de s e r de sp re z a da
, 
u m a v e z q u e a s m u d a n ça s de v o lu m e pa r a a s v a r ia çõ e s de
p re s sõ e s n o r m a lm e n t e e x is t e n t e s são ir re le v a n t e s En t r e t a n t o
, 
n o e s t u do d e t ra n s ie n t e s
h id ráu lic o s o m ó du lo de e la st ic ida de v o lu m ét r ic o pa ssa a s e r im p o r ta n t e , po is a s o sc ila çõ e s
d a s p re ss õ e s são d e m a io r m o n t a
, 
a f e t a n do a v e lo c ida de de p r o p a ga ção d a s pe r t u r ba çõ e s
n o m e io l íq u ido Pa r a a ág u a , 0 5 v a lo r e s do m ód u lo de e la st ic ida de são m o st ra do s n o s
Qu a d ro s 2 3 e 2 4
V is c o s id a d e
V is c o s ida de é a r e s ist ên c ia d o f lu ido à de f o r m a ção
, 
de v ida p r in c ip a lm e n t e às f o rça sd e c o e s ão in t e r m o le c u la r Co n s e q u e n t e m e n t e
, 
e s s a p r o p r ie d a de só é e v ide n c ia da
c o m 0 e s c o a m e n t o do f lu ido
, 
a p re s e n t a n d o m e n o r f lu id e z o s f lu id o s de a lt a v isc o s ida de
e v ic e v e r s a
Ne w t o n e s t a be le c e u q u e n u m e sc o a m e n t o u n id ir e c io n a l
, 
c o m o 0 re p re s e n t a do n a
Fig u r a 2 1 , a t e n s ão t a n g e n c ia l t é p ro p o rc io n a l a o g r a d ie n t e d e v e lo c ida de d v fa y s e n do
o c o e f ic ie n t e de p ro p o rc io n a lid a de a v isc o s ida de d in âm ic a d o f lu ido r t Os f lu id o s q u e
s e g u e m e s t a le i s ão c ha m a do s de n e w to n ia n o s
T - H d v ña y (Le i da V isc o s ida de d e Ne w t o n )
P L A C A M O V E L
(2 8 )
d v
d y I d y
P L A C A F IX A
Fig u r a 2 1 D ia g r a m a de v e lo c ida de d e u m f lu ido e sc o a n do e n t re d u a s p la c a s p la n a s
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A M ed n , ca do s Flu , do s n a H ld , áu l, c a I Ca p it u lo 2
A r a z ão e n t r e a v isc o s ida d e d in âm ic a d o f lu id o rt e s u a m a ss a e s p e c if ic a P é d e n o
n a d a v is c o s id a d e c in e m át ic a V e é f r e q u e n t e m e n t e u t iliz a da
, p o is o s e f e it o s d a v is c o s ida d e
t o r n a m s e m a is e v ide n t e s c o m m e n o r in é r c ia d o f lu ido
V - P / P (2 9 )
0 Qu a d r o 2 3 m o s t r a n o s is t e m a in t e r n a c io n a l de u n ida d e s o s v a lo re s d a v is c o s id a d e
d in âm ic a e c in e m át ic a d a ág u a
, 
a d if e r e n t e s t e m p e r a t u r a s
, 
O m e s m o a c o n t e c e n d o n o
Qu a d r o 2 4 p a r a o s is t e m a t éc n ic o
2 3 C la s s if ic a çã o d o s e s c o a m e n t o s
U m a c la s s if ic a çã o g e r a l bás ic a
, q u e n o r te ia o e s t u d o da H id r á u lic a , d iz r e s p e it o à
p r e s s ão r e in a n t e n o c o n d u t o
, po d e n do o e sc o a m e n t o s e r l o r ça d o o u / iv r e No p r im e ir o
c a s o a p r e s s ão é s e m p r e d if e r e n t e da a t m o s f é r ic a e p o r ta n t o o c on d u t o t e m q u e s e r
f e c h a d o
, 
c o m o n a s t u b u la çõ e s d e r e c a [q u e e SU CÇÃo da s bo m ba s o u n a s r e d e s de a b
t e c im e n t o d e ág u a N o e s c o a m e n t o liv re a p r e s são n a s u pe r f ic ie d o líq u id o é ig u a l à
a t m o s f é r ic a
, p o d e n d o o c o n d u t o s e r a b e r t o , c o m o n o s c a n a is f lu v ia is , o u f e c ha d o , c o m o
n a s r e d e s d e c o le t a de e s g o t o s a n it á r io
P ie z ô m e t r o
Q
\ T u bo L . A
<u
Se çã o A A
C o n d u to fo r ga d o
r * B
Q
'
C a n a l 1
- B S e gã o B B
C o n d u t o liv r e
Fig u r a 2 2 Es c o a m e n t o fo r ça d o e liv r e
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r . Nd a " " ' " ' " g c " . ' " H fd , a . II.
A du to r a c o n du \o fo r ça d o e c a n a tiz a qâo do r ibe irão A r ru da s e sc o a m e n to liv r e (Be lo Ho r iz o n t e , M G)
Qu a n t o à d ir e ção n a t r a je t ó r ia da s p a r t íc u la s , O e s c o a m e n t o po de s e r / a m in a r o u
t u r bu /e n t o A e x p e r iê n c ia d e O sb o r n e Re yn o lds , q u e c o n s ist e n a in je ção c o n t rn u a d e
u m c o r a n t e e m u m p o n t o do e s c o a m e n t o , pe r m it e v is u a liz a r e st e s d o
is t ip o s d e f lu x o
(v e r Fig u r a 2 3 ) No f lu x o la m in a r o c o r a n t e f o r m a u m f ile t e be m d e f in ido , s e m m is t u r a r
c o m o l iq u id o , u m a v e z q u e a s v á r ia s c a m a da s do líq u ido s e m o v e m s e m p e r t u r ba ção
Jâ n o e s c o a m e n t o t u r b u le n t o
, 
a s p a r t íc u la s do líq u ido t êm t r a je t ó r ia s ir r e g u la r e s , c
s a n d a u m a t r a n sf e r ên c ia d a q u a n t ida d e d e m o v im e n t o d e u m a pa r t e a o u t r a do f lu id o
N e s t e c a s o
, 
o c o r r e a m is t u r a do c o r a n t e n a m a s s a líq u id a Na En g e n ha r ia H id r á u lic a , e m
g e r a l , o s e s c o a m e n t o s s e e n q u a d r a m n a c a t e go r ia de t u r b u le n t o O e s c o a m e n t o la m in a r
p o d e o c o r re r q u a n do o f lu ido é m u it o v is c o s o o u a v e lo c id a de d o e s c o a m e n t o é m u it o
p e q u e n a
. 
c o m o n o s d e c a n t a do r e s d a s e st a çõ e s d e t ra t a m e n t o d e ág u a
Fila m e n to d e t i n q
\ T u bo
F lu x o la m in a r
Figu r a 2 3 Es c o a m e n t o la m in a r e t u rb u le n t o
'
\ Tu b o
Flu x o tu r b u le n to
C o m e f e it o c o n s id e r a n do a s in dic a çõ e s d e Re y n o ld s , t e m s e :
Re = p UD / p o u Re = UD Jv
e m q u e :
Re : Nú m e ro d e Re yn o lds ;
U : Ve lo c ida d e m éd ia d o e s c o a m e n t o ;
D
h : 
D im e n s âo ge o m ét r ic a c a r a c t e r ís t ic a ;
P : M a s s a e s pe c if ic a ;
: V is c o s id a de d in âm ic a :
: V is c o s ida d e c in e m át ic a
(2 10)
44
V
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A M e c ân ,c a do s Flu i do s n a H , d r áu bc a I Ca pl tu To 2
Pa r a o s e sc o a m e n t o s liv r e s
, 
a d o t a s e o r a io h id r á u lic o Rh c o m o d im e n s ão g e o m ét r ic a
c a r a c t e r ís t ic a
, 
e pa r a o s e s c o a m e n t o s e m c o n d u t o s f o r ça d o s o d iâm e t ro D c o m o s e r á
v is t o o p o r t u n a m e n t e O Qu a d r o 2 5 a p r e s e n t a o s n ú m e r o s d e Re y n o ld s c o r r e s p o n de n t e s
a o s r e g im e s d e e s c o a m e n t o v e r if ic a d o s n a e x p e r iên c ia c it a d a c o n f o r m e 0 5 e s c o a m e n t o s
s e d e e m e m e sc o a m e n t o s liv r e s o u f o r ça do s
Q u a d r o 2 5 Re g i m e d e e s c o a m e n t o e o n ú m e r o d e Re y n o ld s
Re g im e Co n d u t o s Liv r e s Co n d u t o s Fo r ça d o s
Re = U R
h
/ V Re = U D l v
La m in a r Re < 500 Re < 2 0 0 0
Tr a n s iqão
Tu r b u le n t o
50 0 < Re < 10 00
Re > 10 0 0
2 0 00 < Re < 4 0 0 0
Re > 4 0 0 0
Qu a n t o à v a r ia qão n o t e m po o s e s c o a m e n t o s s e c ta s s if ic a m e m p e r m a n e n t e s e t r
s i t d r ío s No r e g im e p e r m a n e n t e n ão há v a r ia çâo da s c a r a c t e r ís t ic a s d e e s c o a m e n t o c o m
0 t e m p o ; a s s im
, 
a v e lo c id a d e V e t a m bém o u t r a s p ro p r ie da de s c o m o m a s s a e s p e c if ic a
P p r e s s ão P e t c s e r ã o e x p re s s a s m a t e m a t ic a m e n t e c o m o s e n do :
a v t = C Ap/a t = G Ap /a t = O
D e m a n e i r a s im ila r
, 
t e m s e n o s e s c o a m e n t o 5 t r a n s it ó r io s :
àv iàt * O
, 
ap /a t " ap /at "
O s e s c o a m e n t o s t r a n s it ó r io s p o de m a in d a s e r s u b d iv id id o s de a c o r d o c o m a t a x a de
v a r ia çã o d a v e lo c id a de e d a p r e s são Se e s t a s v a r ia m le n t a m e n t e c o m o n o e s c o a m e n t o
e m u m a t u b u la çâ o a ba s t e c id a p o r u m r e s e rv a t ó r io d e n iv e l v a r iáv e l , a m u d a n ça é le n t a
e a c o m p r e s s ib ilid a de d o liq u id o n ão é im p o r ta n t e En t r e t a n t o q u a n d o a m u d a n ça é
b r u s c a
, 
c o m o n o s c a s o s d e f e c ha m e n t o r áp ido d e v álv u la s e m c o n d u t o s f o r ça do s
, 
d a s de p r e s s ão s ão g e r a d a s e t r a n s m it id a s c o m a v e lo c id a d e d e p r o pa g a çã o d o s o m e
c a u s a m u m a v a r ia ção a c e n t u a da d e p r e s s ão s e n do a c o m p r e ss ib i lid a d e
, 
n e s t e s c a s o s
,
f a t o r im p o r ta n t e n o f e n ô m e n o , c ha m a d o d e t r a n s ie n t e h idrä u /ic o o u g o lp e d e a r ie t e
C a ra c te r ls t ic a s h id r á u l ic a s
c o n s t a n t e s n o t e m p o
C a ra c t e r i s ü c a s h id r á u lic a s
v a r iá v e is n o t e m p o
F l u x o p e r m a n e n t e F lu x o t r a n s ie n t e
Fig u r a 2 4 Esc o a m e n t o p e r m a n e n t e e t r a n s it ó r io
C o m r e la qão à t r a je t ó r ia o s e s c o a m e n t o s po de m t a m bém s e r c la s s if ic a do s e m uni l
m e e v a r ia d o N o e sc o a m e n t o u n ifo r m e o v e t o r v e lo c id a d e é c o n st a n t e e m m ó d u lo
, 
d ir e ção
45
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e s e n t ido
, 
e m t o do s o s po n t o s , pa ra q u a lq u e r in s ta n t e , ist o q u e r d iz e r, m a
t e m a t ic a m e n t e
,
q u e Ôu ñ s = O
, 
s e n d o V O v e t o r v e lo c id a de e 5 o d e s lo c a m e n t o Ex e m p lo s d e e s c o a m e n t o
u n if o r m e s ão e n c o n t r a d o s n o s c o n d u t o s de se ção c o n s t a n t e d e g r a n d e e x t e n s ão , c o m o
a d u t o r a s e c a n a is p r is m á t ic o s e m q u e a a lt u r a d a lâ m i n a d
' ág u a é in v a r iáv e l N o
e s c o a m e n t o v a r ia do au ras # 0 Co n du t o s c o m v ár io s d iâm e t ro s o u c a n a is c o m d e c liv id a d e s
v a r iáv e is
, 
c o m o o m o s t r a do n a f ig u r a a s e g u i r , s ão e x e m p lo s d e e s c o a m e n
t o v a r ia d o
B r u s c a m e n te
a d o
n te
U n ifo r m e
Flu x o p e r m a n e n te v a r ia d o
Fig u r a 2 5 Es c o a m e n t o v a r ia do
Te m s e a in d a o s e s c o a r n e n t o s u n id im e n s io n a is
, 
b id im e n s io n a is e t r id im e n s io n a is ,
co n f o r m e o n ú m e r o d e d im e n sõ e s e n v o lv id a s n o f e n â m e n o No p r im e i r o t ip o s ão d
p r e z iv e is a s v a r ia çõ e s d a s g r a n de z a s n a d i re ção t r a n s v e rs a l a o e s c o a m e n t o , t e n do e m
v is t a a s v a r ia çõ e s d e s s a s m e s m a s g r a n de z a s a o lo n g o d o e s c o a m e n t o 0 5 e s c o a m e n t o s
e m c o n d u t o s f o r ça do s são c o n s id e r a do s u n id im e n s io n a is , u m a v e z q u e a s g r a n d e z a s ,
d o t ipo v e lo c ida de , p re s são e p ro p r ie d a de s f ís ic a s , s ão e x p re s sa s e m t e r m o s d e v a lo r e s
m éd io s c o n s t a n t e s p a r a a s e qão t r a n sv e r s a l No e s c o a m e n t o b id im e n s io n a l a d m it e s e
q u e a s v a r ia çõ e s da s g r a n de z a s p o de m s e r e x p re s s a s e m f u n ção d e d u a s c o o r d e n a d a s ,
o u s e ja
, 
a s v a r ia çõ e s da v e lo c ida de , d a p r e s são e d e m a is g r a n d e z a s p o d e m s e r d e s c r it a s
n u m p la n o pa r a le lo a o do e s c o a m e n t o O t r id im e n s io n a l é o m a is g e r a l , s e n do q u e s u a s
c a r a c t e r is t ic a s v a r ia m n a s t r ês d im e n sõ e s e p o r is s o m e s m o s u a a n á lis e e x ig e m ét o do s
m a t e m át ic o s m a is c o m p le x o s
TX
Es c o a m e n to u n id im e n s io n a l
Fig u ra 2 6 Es c o a m e n t o s u n id im e n s io n a l e bid im e n s io n a l
Es c o a m e n to bid im e n s io n a t
Qu a n t o à v e lo c id a d e a n g u la r da s pa r t íc u la s q u e c o m p ô e m o f lu id o
, 
o s e s c o a m e n t o s
p o d e m s e r r o t a c io n a rts e l r r o t a c io n a is N o e s c o a m e n t o i r r o t a c io n a l a v e lo c id a de a n g u la r
é t ida c o m o z e r o e n o ro t a c io n a l a v e lo c id a de a n g u la r é d if e r e n t e d e z e ro
46
y ,
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A M e can k a do s Flu lt lo s n a H rd rau llca 1 C o mu To Z
,
a i
a¢s = = » ·
Cu rso d águ a n a t u ra l : e sc o a m e n t o v a r ia d o t r idim e n s io n a l (Rio Ve rd e M G)
2 4 Eq u a çõ e s f u n d a m e n t a i s d o e s c o a m e n t o
Os e s c o a m e n t o s e m s u a g r a n de m a io r ia , po de m s e r c o n s id e ra do s u n id im e n s io n a is e
e m r e g im e p e r m a n e n t e s im p lif ic a n do m u it o a s e q u a çõ e s de f lu x o n o r m a lm e n t e u t iliz a d a s
(c o n t in u id a d e
, q u a n t ida d e de m o v im e n t o e Be r n o u l[i) Pe q u e n o s a ju st e s n e s t a s e q u a çõ e s
p o de m s e r in t r o d u z id o s pa r a c o n t e m p la r s it u a çô e s e m q u e 0 e s c o a m e n t o e s t á ca r ac t e
z a d o t a m bém e m d u a s o u t r ês d im e n sõ e s Pa r a a t e n de r a e s t a s s it u a çõ e s o e s c o a m e n t o
é re p r e s e n t a d o po r s u a s c a r a c t e r ís t ic a s m éd ia s (v e lo c ida d e m éd ia
, 
de n s id a d e m éd ia e t c )
e o s e f e it o s d a s v a r ia çô e s q u e o c o r r e m n u m a s e ção t r a n sv e r s a l s ão c o r r ig id o s a t r a v és
de c o e f ic ie n t e s
2 4 1 Eq u a çã o d a c o n t in u id a d e
A e q u a ção da c o n t in u ida de é de c o r re n t e da le i de c o n se rv a ção d e m a ssa Es t a [e i da
f is ic a e s t a be le c e q u e a m a s s a n ão p o de s e r c r ia d a o u de s t r u ída (m a ssa q u e e n t ra n o t u bo
· m a s s a q u e s a i d o t u bo ) A p lic a n d o e s se c o n c e it o e n t re d u a s s e qõ e s 1 e " 2 " d e u m
c o n du t o
, 
t e m s e :
47
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F. . d ' ' " t ' " e E. g . . Ha r l . H ld r l . [k .
P i A , U 1- P z A , U ,
C o n s ide r a n do q u e a hid r áu lic a t r a t a , p r a t l c a m e n t e , cl , 1 c o ri c
lu qâo d e gua
, 
f lu ido
e s t e
, p r a t ic a m e n t e in c o m p r e ss lv e l . c u j a m a ss a e s pe c if ic a po cle s e r c o n s rc
le ra d a c o n st a n t e
n o r e g im e p e r m a n e n t e , a e q u a ção da c o n t in u id a de , a p [ic a cla o rn u m t r e c l7o e n t re d u a s
s e çÕe s o n de n ão h a ja e n t r a d a o u s a ida d e ág u a , a ss u m o a s u a Ío r rTl a M a is si mpl es :
(2 1 1)A 
1 
U
,
- A
2 
U
,
- Q
e m q u e :
A : á re a da s e qâo t r a n s v e rs a l d o e sc o a m e n t o , e m m
'
:
U : v e lo c ida de m éd ia do e sc o a m e n t o , e m nv s :
Q : v a z ão e m m 3/S
2 4 2 Eq u a çã o d a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o
A e q u a çâo da q u a n t id a de d e m o v i m e n t o , a lg u m a s v e z e s d e n o m in a cJa e q u a ção de
m o m e n t u m
, 
é de d u z ida a p a r t ir d a s e g u n da le i d e Ne w to n , a p lic a d a a o c o n c e it o de
q u a n t ida de de m o v im e n t o (m i T ) . o u s e ja :
R = d (mi ) l d t
A p lic a n do e s t e c o n c e i t o a o c a so d e e s c o a m e n t o d e l[q u id o s , t e m se :
R = p Q{p2 ü 2 P, Ü, ) (2 12)
e m q u e :
: Re s u lt a n t e da s f o r qa s e x t e r n a s a t u a n t e s n o s is t e m a ;
P : M a s s a e sp e c íf ic a d o líq u ido :
Q : V a z ão e s c o a d a ;
U : Ve t o r q u e re p re se n t a a v e lo c ida de m éd ia do e sc o a m e n t o
, 
n a se ção
c o n s ide r a da ;
P : Co e f ic ie n t e d a q u a n t ida de d e m o v im e n t o
, 
o u d e Bo u ss i n e sq
É im po r ta n t e a q u i r e ss a lt a r a d if e r e n ça e n t r e a s fo r ça s in te r n a s d a s e x t e r n a s A s
p r im e ira s são d e v ida s às in t e r a çõ e s n o m t e r io r da n i a ss a c o n s id e r a da
, 
se n do a r e s u lta n t e
de s ta s n u la
, po is a c a da a ção r e s u lt a e m u n i a re a ção (p r im e ir a le i de Ne w to n ) Já a s fo rqa s
e x te r n a s a g e m s o b r e a s u pe r f ic ie f e c ha da
. 
E n t re e s t a s d is t i n g u e m s e a s fo r ça s de v ido à
p r e s s a o e a o pe s o
0 c o e f ic ie n t e da q u a n t id a d e d e m o v im e n t o P le v a e m c o n t a a v a r ia ção q u e e x is t e
e n t re a v e lo c ida de da s p a r t íc u la s d o e sc o a m e n t o v e a v e lo c ida d e m éd ia U c o n s id e r a da
48
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A M ecÀ. Ica do s Fru ido s n a Hid¢àu hc a Ca p l t u b z
n u m a d a d a s e ção t ra n s v e rs a l a o e s c o a m e n t o
, 
de á r e a A (v e r Fig u ra 2 7 ), e m t e r m o s de
q u a n t ida de d e m o v im e n t o :
J-
13 = h (2 13)
*
.
P qtU $ ¬ Yçrti çAF
Fig u r a 2 7 Va r ia gã o d e v e lo c ida d e
N o s e sc o a m e n t o s e m c o n d u t o s f o r ça do s t u r bu le n t o s , O c o e f ic ie n t e B f r e q u en
m e n t e é s u p e r io r a 1 , 1 , e n o s e s c o a m e n t o s la m in a r e s é 1 , 3 3 Em e s c o a m e n t o s liv r e s e s t e
c o e f ic ie n t e v a r ia de 1
, 
0 2 a 1
, 
12
, 
e n t r e t a n t o
, 
n a m a io r ia da s a p lic a çõ e s p r á t ic a s , p o de s e
a d o t a r P = 1
, 
O t a n t o pa ra e s c o a m e n t o s fo r ça do s q u a n t o l iv r e s
2 4 3 Eq u a çã o d e e n e r g ia B e r n o u l l i
A e q u a ção d e Be r n o u ll i é u m c a s o p a r t ic u la r d a p r im e i r a le i d a Te r m o d in â m ic a Es t a
\e i e s t a b e \ e c e q u e a m u da n qa de e n e r g ia in t e r na d e u m s is t e m a é ig u a l à s o m a da e n e r g ia
a d ic io n a da a o f lu id o c o m o t r a ba lho r e a liz a d o p e lo f iu fd o U m a t o r m a ge r a l de e x p re ss a r
e s t a le i pa r a 0 c a s o de u m e s c o a m e n t o e n t r e d u a s s e çÕe s de u m f lu ido in c o m p r e s s iv e t
e m r e g im e p e r m a n e n t e é a s e g u in t e :
) = H
. 
+ h h (2 14 )
De f a t o
, 
O la do e sq u e r do da e qu a çâo (2 14 ) c o r re sp o n de a o g a s to m éd io d e e n e rg ia
pa ra o f lu ido s e r t r a n spo r t a do da se ção 1 à se ção 2 , e n q u a n t o o la do d ire it o re p r e s e n t a 0
t ra ba lho re a liz a do po r u m a m áqu in a de sd e o s ist e m a a o e x t e r io r so m a da à pe r da de e n e rg ia
m e c ân ic a Ca da p a rc e la da e qu a ção (2 14 ) r e p re se n t a u m t ipo de e n e rg ia do e le m e n t o f lu ido
de pe so u n it ár io , c u ja u n ida de po de s e r e sc r it a c o m o N M LN de f lu ido o u s im p le s m e n t e
m A s s im
, 
e s t a s p a r c e la s t êm d im e n s âo l in e a r e são d e n o m in a da s de c a r g a , c o n f o r m e
d e s c r it o a s e g u i r :
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p iy
a .u z 12g
: e n e r g ia o u c a r g a de Po SIÇÃo :
: e n e r g ia o u c a r g a d e p r e ssão :
: e n e r g ia o u c a r g a de v e lo c ida de , t a m bém de n o m in a
da d e
t a q u ic a r g a ;
: e n e r g ia a p lic a da o u r e t ir a da p o r a lg u m a m áq u in a ;
: p e r d a d e e n e r g ia m e c ân i c a o u p e rda de c a r ga
0 f a t o r a
, 
t a m bém de n o m in a do c o e f ic ie n t e da e n e rg ia c in ét ic a o u d e 
Co r io lis
,
v is a c o r r ig i r o c âlc u lo da pa r c e la re la t iv a à e n e r g ia c in ét ic a , t e n
do e m v is t a a a d o ção
da v e lo c ida de m éd ia do f lu x o
, 
n o lu ga r d a m éd ia da s e n e r g ia s c in ét ic a s 
da s pa r t íc u la s
Es t e c o e f ic ie n t e
, 
d a do p e la e x p r e ssão (2 15), n o c a so d e c o n d u t o s f o r ça do s , é ig u a l a
2
, 
O n o e s c o a m e n t o la m in a r e v a r ia de 1 , O a 1 , 10 pa r a e sc o a m e n t o s t u r
bu le n t o s N0 5
e s c o a m e n t o s liv r e s oc v a r ia d e 1 , 0 3 a 1 , 3 6
a - (2 1 5 )
Em g e r a l a do t a se a = 1 , O, a n ã o s e r e m t r a ba lh o s q u e e x ija m m u it a p r e c is ão o u
o n de e x is t a m ra z ô e s f o r t e s p a r a s u p o r v a r ia çô e s s ig n if ic a t iv a s da s v e lo c id a de s n a s s e çô e s
O e f e it o d e u m a m áq u in a n o s is t e m a , r e p r e s e n t a do n a e q u a ção (2 14 ) p e la pa r c e la
H de v e le v a r e m c o n t a o t ip o de m áq u in a No c a so d e t u r b in a , q u e u t iliz a a e n e rg ia
d ; s ist e m a
, 
O s in a l d e H
_
de v e se r p o s it iv o , m a s n o c a so de bo m ba q u e c e de e n e r g ia a o
s is t e m a
, 
O s in a l d e v e se r n e g a t iv o
A e x p e r iê n c ia t e m de m o n s t r a d o q u e n o c a s o d e e s c o a m e n t o do s f lu ido s r e a is , u m a
p a r te d a e n e r g ia m e c â n ic a é d e s p e n d id a e m fo r m a d e c a lo r e e m m u
da n ça d e e n e r g ia
in t e r n a
, 
p o r c a u s a d a s r e s is t ê n c ia s a o e sc o a m e n t o (v isc o s ida d e , t u r b u [ên c ia s , a t r it o e t c )
N a H id r á u lic a , e s t a pa r t e d a e n e rg ia é c o n s ide r a da p e rd ida p o rq u e n ão c o n t r ib u i m a is
p a r a o m o v im e n t o d o f lu id o e po r isso é c ha m a da de pe rda de c a r g a (A h)
Pa r a 0 5 o bje t iv o s p r át ic o s d a H id ráu lic a , a e q u a ção de e n e rg ia a plic a da a d u a s s e çÕe s de
u m e sc o a m e n t o p e r m a n e n t e o n de n ão e x is te m áq u in a , é d e n o m in a da e q u a qão de Be r n o u lli
p a ra o s f lu ido s r e a is , n o r m a lm e n t e e sc r it a da s e g u in t e f o r m a pa r a o s c o n d u t o s f o rqa do s :
(2 1 6 )
Na e q u a ção d e Be r n o u l[i, a s o m a d a s pa r c e la s (Z + pw é de n o m in a da e n e r g ia
po t e n c ia l e c eu
z/ 27 de e n e r g ia c in ét ic a ; s a be s e pe la FÍs ic a q u e é p o s s iv e l t r a n sfo r m a r a
e n e r g ia c in ét ic a e m p o t e n c ia l e v ic e v e r s a
D e t e r m in a r a p e rd a de c a r g a n u m a o b r a h id r á u l ic a e x e c u t a da é s im p le s , p o is o s t
m o s da e x p r e ssão (2 16 ) s ão f a c ilm e n t e m e d ido s En t r e t a n t o , p r e v e r e ss a pe rda de e n e r g ia
t e m s id o u m de s a f io pa r a v á r ia s ge r a çõ e s d e c ie n t is t a s Um a d a s m a io r e s c o n t r ib u içõ e s
t e ó r ic a s pa r a a e x p lic a qão d e ss e f e n ô m e n o o c o r re u e m 19 0 4 q u a n do Lu d w ig Pr a n d t l
d e s e n v o lv e u a t e o r ia da Ca m a da Lim i t e Se g u n do e ss a t e o r ia , O líq u ido e m e s c o a m e n t o
a de r e à s u pe r f íc ie só l id a do c o n d u t o e c o n s e q u e n t e m e n t e a v e lo c id a de v a r ia de s de u m
50
3 dA 
3 A
· 
.
H
.
Z
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A M e c ân ic a do s Flu ido s n a H id ráu lic a I Ca p ít u lo 2
v a lo r z e ro ju n t o à s u p e r f íc ie só lida
, 
a t é u m v a lo r n o q u a l a s c o n d içõ e s de c o n t o r n o n âo s ão
m a is s e n t ida s Es s a r e g iã o é d e n o m in a da c a m a da lim it e Pr a n d t l m o s t r o u q u e s o m e n t e
d e n t ro da c a m a da lim it e o s e f e it o s da v is c o s ida d e são im p o r ta n t e s e q u e f o r a d e la o s
f lu id o s po de m s e r c o n s ide r a do s n ã o v is c o s o s No s t u bo s o u c a n a is o s e s c o a m e n t o s s ão
in f lu e n c ia do s p e la s s u p e r f íc ie s de f ro n t e i r a e po r ta n t o pe la c a m a da lim it e Es t a t e o r ia
s e rv iu pa r a e x p lic a r po r q u e a s le is da Fís ic a , q u a n do a p lic a da s a o e s c o a m e n t o do s f lu ido s ,
a p re s e n t a v a m bo n s r e s u lt a do s s o m e n t e f o r a d a c a m a da lim it e Pa r a g e n e r a liz a ção d e s t a s
le is
, 
a H id r áu lic a pa s s o u a s e v a le r d e c o e f ic ie n t e s e d o e m p ir is m o O c a p ít u lo s e g u in t e
a p r e s e n t a a lg u m a s m a n e ir a s de s e p r e v e r a pe r da de c a r ga pa r a c o n d u t o s f o rça do s d e
s e çâo c o n s t a n t e
Co m o a s pa rc e la s de s sa e q u a çã o t êm d im e n são lin e a r, e s t a s po de m s e r re p r e s e n t a d a s
g r a f ic a m e n t e , c o m r e la ção a u m s is t e m a de r e f e r ê n c ia da t u m A Fig u r a 2 8 m o s t r a e s t a
r e p re s e n t a ção t a n t o pa r a 0 c a s o de c o n d u t o f o r ça do q u a n t o pa r a o d e c o n d u t o liv r e
N e s t e ú lt im o c a s o
, 
a pa r c e la c o r r e s po n d e n t e à c a r ga de p r e s s ão Pfy po d e s e r s u bs t it u íd a
pe la lâm in a d ' ág u a y , q u a n d o a s p r e s sõ e s s e g u e m u m a d is t r ibu ição h id ro s t át ic a <
0 j yh)
A s o m a (2 + P/Y)
, 
c o r re s po n de n t e à e n e rg ia po t e n c ia l, de t e r m in a a lin ha pie z o m ét r ic a
Es t a lin ha r e p r e s e n t a o n ív e l q u e o líq u ido a t in g ir ia , c a s o e m c a d a po n t od a t u b u la ção
f o s s e in s t a la d o u m p ie z ô m e t r o
Se f o s s e a c re s c e n t a do à e n e rg ia po t e n c ia l a pa rc e la c eu 2 12 g , c o r re s po n de n t e à e n e rg ia
c in ét ic a
, 
t e r s e ia a lin ha de e n e r g ia , s im bo liz a n do a e n e r g ia h id r áu lic a t o t a l po s s u ída
p e lo lÍq u ido O a ba ix a m e n t o e n t r e do is po n t o s da lin ha de e n e r g ia c o r r e s po n d e à p e rd a
d e c a r g a e n t re e s s e s do is po n t o s
Ca s o s e ja a do t a d o pa r a P o v a lo r c o r r e s po n de n t e à p r e ssão e f e t iv a ,
Z + PTY c o r r e s p o n d e à lin ha p ie z o m ét r ic a e f e t iv a (L P E )
Z + PTY + oc( / 2 / 2g à lin ha de c a rg a e f e t iv a (L C E )
Z + PTY + ocl j 2/ 2g + A h a o p la n o de c a r ga e f e t iv o (PC E )
Não é m u it o u s u a l
, 
m a s po de s e a do t a r pa r a P o v a lo r da p r e s sâo a bs o lu t a e n e st e
c a s o t e m s e a lin ha p ie z o m ét r ic a a bs o lu t a (L PA ), a lin ha de c a r ga a bs o lu t a (L C A ), e
o p la n o de c a r ga a bso lu t o (PC A )
N o s e s c o a m e n t o s liv r e s
, 
a c a r ga d e p r e ss ão Pfy n o f u n do do c o n d u t o c o r re s p o n de
à p r o f u n d ida de y , conf or me po de s e r v is t o n a Fig u r a 2 8 (b) Ne s t e c a s o , a e q u a çâo de
Be r n o u lli a p r e s e n t a s e da s e g u in t e f o r m a :
Z
1 
+ y l + a , U 
2 12g - Z 2 + y 2 ' 0 2 : j 2"2g + h h (2 17)
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P re z ô m e t r o
Z z § S e gã o A A
d a tu m
(a ) C o n du lo fo rga d o
P C E
r B Ê
L
.
Z
z â
i da tu m §
S e gã o B B
(b ) C o n d u to liv r e
Fig u ra 2 8 Re p r e se n t a ção g r áf ic a da e qu a gão d e Be r n o u lli
52
;:; ;
y 2
y l
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A M eü n , ca do s Flu , do s n a Hrd ràu lk a I Ca plM o 2
Ex e m p lo 2 2
A t u b u la çâo l de 150 0 m m de d iâ m e t ro se b if u r c a e m d u a s o u t r a s d e 9 0 0
m m e 12 0 0 m m de d iâm e t ro
, 
f o r m a n d o ân g u lo s d e 3 0 ° e 4 5° c o m o e ix o d a
t u b u la ção 1 De s p r e z a n do a s p e rd a s de c a r g a , de t e r m in a r a s c o m p o n e n t e s
da f o rça n e c e ss ár ia pa r a m a n t e r f ix a e s s a b if u r c a çâo , s a be n d o s e q u e a
p r e s são lo go a m o n t a n t e da b if u rc a ção é d e 50 0 k pa e q u e a s t u b u la çô e s
2 e 3 t r a n s p o r t a m 4 , 0 0 m 3/ S e 5 , 0 0 m als de ág u a , r e s p e c t iv a m e n t e
g = 9 0o m m
D 15 0 0 m n
-450
· 120 0 m m
@
So l u çã o
A e q u a ção d a q u a n t id a d e d e m o v im e n t o a p lic a da a o v o lu m e d e c o n t ro le
c o m p r e e n d id o e n t re a s s e çÕe s 1 , 2 e 3 pa r a p= t , pe r m it e d e t e r m in a r a s
c o m p o n e n t e s F
x 
e F
y 
d a f o r ça :
d ir e ção X , s e g u n d o o e ix o d a t u b u la ção 1 :
F
.
F
, 
A
, 
+ f 2A , c o s 3 0 
° 
+ f 3A , COS 4 5 
°
_ p Q, U , PQz, U 2 COS 30 ° pQ , U , COS 4 5 °
(2 18 )
d i r e çã o y p e r p e n d ic u la r a o e ix o da t u b u la ção 1 , n o p la n o ho r iz o n t a l :
F
,
F
, 
A
, 
s e n 3 0 ° + f 3A , s e n 4 5 
°
. PQz, U z se n 30 ° pQ , U 3 se n 4 5 °
(2 1 9)
e m q u e :
1
, 
77m z
53
@
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U
,
-
Qi
. 
9 00
_ 5
, 
0 8 m l 5
A
, 
1
, 
7 7
U
z 
=-
Q
. 
4 00
, 6
, 
25m l s
A
. 
O 64
A s p r e s sõ e s Pz e P, p o d e m s e r c a lc u
la da s p e la e q u a ção de Be r n o u ll i , d
p re z a n do a s pe rda s d e c a r ga c o m o m o s t r a do a s e g u ir :
pg 2 9 p g 29 pg 29
P
z 
= P
, 
+ p (u : U : ) 12 = 50 0000 + 1000 (5 , 082 6 , 25 2 ) / 2 - 4 93372 Pa
F
.
- F
, 
+ p (u : u y / 2 - 500000 + 10 00 (5 , 082 4 , 4 2 2 2 = 503 135 Pa
Su bs t it u in do o s v a lo re s o bt id o s pa r a A
.
. 
A
. 
A
. 
U
.
. 
U
z. 
U
. 
F
, 
e P3 n a s 
p re s sô e s (2 18 ) e (2 19 ) o bt é m se :
F
.
- 2 17 967 N
F " 2 4 72 6 8 N
F - 3 29 6 23 N
Fx ° 2 17 967 N
2 5 Eq u a çã o f u n d a m e n t a l d a H id r o s t á t i c a
A H id r o s t á t ic a e s t u da o f lu ido e m r e p o u s o
, p r in c ip a lm e n t e n o s a s pe c to s liga do s a o s
e sfo r ço s Não ha v e n do m o v im e n t o do f lu ido
, 
a re s u lt a n t e da s f o r ça s t e m o r ige m n o s
e sf o rço s de c o m p r e ssão s o m e n t e , u m a v e z q u e a s t e n sõ e s d e c is a lha m e n t o p ro v o c a r ia m
a d e fo r m a ção n o f lu ido , o u s e ja , O e sc o a m e n t o A ss im
, 
a H id r o st át ic a p o d e s e r e n t e n d ida
c o m o u m c a s o pa r t ic u la r da H id ro din âm ic a e m q u e a v e lo c ida d e é n u la C o m e f e it o
,
a e q u a çâo f u n da m e n t a l da H id ro s tât ic a
, 
t a m b ém d e n o m in a d a Le i de St e v in
, po de s e r
o bt id a da e q u a ção (2 16) f a z e n do U . O e A h . O Jâ q u e n âo há m o v im e n t o
, 
o u se ja :
54
Z 
.
.
. 
.
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A M e ca r] i c a do s Ru ido s n a Hr dMcal Capfiu b 2
(2 20 )
F
,
P
z 
= 1h
Pa (a tm o s fe ra )
z 2
d a tu m
Fig u r a 2 9 Va r ia ção d a p re ssão c o m a p r o fu n d ida de
Po r t a n t o
. 
a v a r ia ção d a p r e ss ão e n t r e d o is po n t o s (P
,
P
,
) n o in t e r io r d e u m a m
s a f lu id a e m r e p o u so é rg u a t a o pe s o da c o lu n a d e ba se u n it â r ia d e ss e f lu ido e n t r e o s
po n t o s c o n s ide r a d o s (yh )
Po d e s e a in d a d e d u z ir p e la Le i d e St e v in q u e n u m f lu id o e m r e po u so a p r e s s ão é
c o n s t a n t e n o m e s m o p la n o ho r iz o n t a l, e n q u a n t o n a d i r e ção v e r t ic a l a p r e s são d im in u i
c o m a e le v a çã o a u m a t a x a ig u a l a 7h , s e n d o h a a lt e r a ção d a e le v a ção
A t r a v és da e q u a çã o (2 2 0 ) é p o ss iv e l s e c o n he c e r a p r e ss ão n o p o n t o l a pa r t ir d e
u m a r e f e r ên c ia (p r e s s ão n o p o n t o 2 ), d o p e s o e s p e c if ic o d o f lu id o e d a d if e r e n ça d e n iv e l
e n t r e o s p o n t o s 1 e 2 A d o t a s e , n o r m a lm e n t e , d u a s e sc a la s c o m o r e fe r ên c ia , u m a q u e
u t iliz a a p r e s s ã o a t m o s f é r ic a lo c a l e a o u t r a , O z e r o a bs o lu t o o u o v i c u o t o t a l (v e r Fig u r a
2 10 ) A p r e s s ão o b t ida a p a r t ir da p r e ss ão a t m o s fé r ic a é d e n o m in a da d e p r e s sâo e íe t iv a
o u m a n o m é t r ic a e n a o u t r a e s c a la d e p r e ss ã o a bs o /u ta A p a s s a g e m d e u m a e sc a la p a r a
a o u t r a s e o bt é m a t r a v és da e x p re s s âo :
P
, 
a bs ol u ta
. P
, 
e fe tiv a 1 P
. m 
absd . !. (2 2 1)
P r e s s ã o a tm o s fé r ic a n o r m a l
P r e s s ã o a tm o s fé r ic a lo c a l
P t e s s ã o e fe b v a n e g a b v a
Pa · 1 a tm o s f e r a
Pa f d Hg · 7 60 m m Hg
Pa - 10 1 K Pa
Pa / da - 10 m C a ba ró m e t r o
Pr e s s ã o a b s o lu t a
Z e ro ab s o l u b bs o l u t o )
Figu r a 2 10 Esc a la s p a ra m e d id a da pr esso
55
h2
h l 
Z 1
一 
. .
P 1
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As s im
, 
O v a lo r da p re ssâo a t m o sfé r ic a n a e sc a
la e f e t iv a é z e r o (F
. . 
e
' e c
. O)
, 
e n qu a n t o n a
e sc a la a bso lu t a
, 
e m bo r a de pe n da da c o lu n a d e a r a c im a 
da s u p e r f íc ie d a t e r r a , a do t a se
n o r m a lm e n t e
, 
O v a lo r da p re ssão a t m o s fér ic a a o n iv e
l do m a r (F
. .. 
A b d l r ra 
· 10 1 kpa ) c o m o
pa d r ão
, 
t a m bé m de n o m in a da a t m o s f e ra n o r m a l A m a n e ir a m a
is u s u a l d e e x p re s s a r a
p r e ssão é n a e sc a la e f e t iv a De s t a m a n e ir a , n e s t e t e x t o , q u a
n d o n a n o t a ção n ão e st iv e r
e x p líc it o
, po r u m a q u e s tão de fa c ilida de , a dm it e s e t ra t a
r d e p r e s são e f e t iv a , a o p a sso
q u e n a s p r e ssô e s n a e sc a la a bso lu t a s e r ão de st a c a da s (p a b s)
2 5 1 M e d id a s d e p r e s s ã o
A m a n o m e t r ia t r a t a d a s m e d ida s d e p re ss ão e pa r a t a n t o , u t i l iz a d is p o s it iv o s
de n o m in a do s m a n ô m e t ro s A lg u n s de s se s d isp o s it iv o s , c o m o o s c it a d o s lo go a s e gu ir,
s e f u n da m e n t a m n a Le i d e St e v in (P = Y hj , u t iliz a n do a c o lu n a d o líq u ido c o m o m e io
in d ire t o p a r a a d e t e r m in a ção da p r e s são
O p ie z ô m e t r o é o m a is s im p le s de sse s m a n ô m e t r o s , s e n do c o n s t it u ído po r u m t u bo
t r a n s pa r e n t e c o lo c a d o n a po s ição v e r t ic a l , c o n e c t a do a o s is t e m a , pa r a m e d i r a a lt u ra h
d e l iq u id o (v e r Fig u r a 2 1 1 a )
O m a n õm e t r o e m " U " t e m e ss e n o m e de v ido à f o r m a do t u bo de m e d ida de p re s são
e m
" U " (v e r Fig u r a 2 1 1 b) Ess a f o r m a p o ss ib i lit a t o m a da d e p r e s s ão n e ga t iv a (a ba ix o
da p r e s sâo a t m o s fé r ic a o u v ác u o pa r c ia l), a lém d a p o s it iv a , o bt id a e m m e d ido r do t ipo
p ie z ô m e t r o
O m a n ôm e t r o d i/e r e n c ia / d if e r e do s a n t e r io re s po r n ã o po s s u i r u m a d a s ext r emi
d e s e m c o n t a t o c o m a a t m o s fe r a
, 
o u s e ja
, 
t e m a s d u a s e x t r e m id a d e s liga da s n o s do is
s ist e m a s
, 
n o s q u a is d e s e ja se m e d ir a d if e re n ça de p re s são
Ne ss e s t ipo s d e m a n ô m e t r o s
, 
m e n c io n a do s a n t e r io r m e n t e
, q u a n do s e d e s e ja m e d ir
p re s sõ e s m u it o e le v a da s
, 
u t iliz a se o u t r o líq u ido
, 
d if e re n t e da qu e le do s is t e m a
, 
c ha m a do
líq u ido m a n o m ét r ic o , in e r t e e im isc lv e l c o m a s u bs t ân c ia n o in t e r io r do s ist e m a
, po rémd e pe so e s pe c íf ic o e le v a do
, 
c o m o po r e x e m p lo o m e rc ú r io
, 
CUJo p e s o e s p e c if ic o é 13 , 6
v e z e s o d a ág u a (v e r Figu ra 2 1 1 C) O m e s m o re c u rs o é u t i liz a d o p a r a p e q u e n a s p r
sô e s
, 
c o n t u do a do t a n do s e llq u ido s de p e so e sp e c íf ic o ba ix o (Ex : Óle o ) Pa r a p e qu e n a s
p r e s s õ e s e m p re ga s e , t a m bém
, 
O re c u rs o de in c lin a r o m e d ido r (v e r Fig u r a 2 1 1 d), pa ra
m e lho r a r a p r e c isâo d a m e d ida
Co n v é m t a m bém c it a r o m a n ôm e t r o m e M lic o t ip o Bo u r do n
, 
m u it o u t i liz a d o n o s
p r o c e ss o s in d u st r ia is
, p o r ém , c o m o u t ro p r in c íp io de f u n c io n a m e n t o Est e a pa re lhoé c o n s t it u íd o p o r u m t u bo c ha t o
, 
c u rv o e s e la do e m u m a da s e x t r e m id a d e s
, 
se n do a
o u t ra e x t r e m ida de c o n e c t a da a o s ist e m a pa r a s e m e d i r a p r e s s ão Est a n d o e s t e s ist e m a
p re ss u r iz a do , há u m a a lt e ra ção n a c u rv a t u r a de st e t u bo Es t a d e f o r m a ção é p ro po rc io n a là p re s são do s is t e m a q u e é t r a n s m it ida po r u m p o n t e ir o s o lidá r io a o t u bo c u r v o a u m
m o st r a do r
, 
c o n f o r m e a p re se n t a do n a Fig u r a 2 1 1 e Es t e t ip o de a p a re lho r e q u e r u m ac a lib r a qão p r év ia pa r a a s u a u t iliz a ção
56
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A Ir l II r lt nn H lr41114 : al CNl l ul o2
Pp · a h
(a ) P ie z ô m e t r o (b) M a n ô m e t r o e m U (o ) Me n om o lr o cl i re ra n o tn l
. p r e s s ã o P
d '
Pp - d h - d L s e n o
(d ) Ma n ô m e t r o in c im a d e (o ) M n n üm n t ro d o Bo u rdo n
Fig u r a 2 11 M a n ô m e t ro s
Ex e m p lo 2 3
O m a n ô m e t ro de t u bo e m
" U " c o n t e n do m e rc úr io , in d ico u o s v a lo re s c ons t
te s da f ig u r a a ba ix o q u a n do c o n e c ta do a u m c o n du to fo rqa do co n te n
do águ a
De te r m in a r a p r e ss ão do s is te m a Ca so se ja u t iliz a da a p rópr ia águ a n o lu ga r do
m e r c ú r io
, 
de t e r m in a r a a lt u r a de águ a co r re spo n de n te h
Da d o s : p
r e s e â o P
1 : - 9 , 8 1 × 10
3 N/ m a
T
.
- 1
, 
3 3 x i o s N/ m a
y 0 , 5 0 m
h 1
, 
0 0 m
d
.
d
.
57
X 
V
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O t q \ i \ ho \ \ R\ n t i \ l \ \ da in t e i fa c e e n t r e o s 
do is líq u id o s , s e r á t o m a do c o m o
rv fo w \ ( ia
, 
\ n t iw ea q ue a p íe sbño é i \ m e s nna d o s 
do is la do s d o m a n ô m e t r o
\ w HD lx qa equ r qi \ o ( iü St e \ ¢in , o bt ém se 
:
t : \ t 0 ' N m * \ t 00 n l S, B l × l O
J N/n 73 x C
. 
5 0 m
(2 2 2)
LRiliaa t t io n · d p ro pr ia a gu i \ n o lu ga r do m e r c ú r io , a n o
v a a lt u r a h p o d e s e r
o bt '" a pe l t h u bst lt t l \ çño de 1. . po r 1 , n a e q u a ção (2 2 2), O U s e ja :
:
. 
H¥ t3
, 
56 11
Ex : e m p lo 2 4
A p la ci t «le ori t t ci m o s t ra da n a f ig u ra a s e g u ir , é u m in st r u m e n t o u t iliz a do
P : l ra n i edir \ Hâ o e m c o n du t o s fo r qa do s , pe la m e d ida d a d if e r e n qa d e p r e ssão
en t t e u nm S ¬ l adde m o n t a n te e ju s an t e d a p la c a De t e r m in a r a e q u a ção q u e
pen n it e e st im a r a v É= ão Q n t m i c o n du t o v e r t ic a l e m f u n ção d o s d iâ m e t r o s
D e cf 1t o s t r a do s n a figu ra , da a lt u r a h m e d ida n o m a n ô m e t r o e d o s p e so s
e spe c ific a s da âgu a (Y) e do \iq r Rido m a n o m ét r ic o h : ), a ss u m in do a s pe rda s
de c a r ga e n t r e as seões 1 e 2 n u la s
Pla c a d e O r if i c io
v
z
A
x
Th b u la ç&o M a n ô m e t r o d if e r e n c ia l
58
h
2
D
d
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A M ca . Jm dos Flu idos n a H ld , a . 1' " a [ c a pr l u lo 2
So l u çã o
Ne s t e p ro ble m a é im po r t a n t e d is t in g u ir a pa r t e o n d e há e sc o a m e n t o , c o m o
n a t u b u la qao
. 
n a q u a l e po ss iv e l u t iliza r a s e q u a çõ e s d a c o n t in u ida de
. 
d e
Be r n o u lli e da q u a n t id a de d e m o v im e n t o
, 
da q u e la e m q u e o líq u ido p
m a n e c e e s t át ic o
, 
c o m o n o m a n ô m et ro
, 
o n de s e u t iliz a o f u n d a m e n t o d a
Hid ro s tát ic a
A ss im
, 
a p lic a n do a equaç o d e Be r n o u lli e n t r e 1 e 2
, 
c o m o d a t u m p
s a n do p o r 1 , t e m s e :
Y 2g Y 2 g
2 g 2 9 T 1
e m q u e
A
, 
x D Z A 2 n d
z
(2 2 3 )
(2 2 4 )
A d ife r e n qa de c a r ga p ie z o m ét r ic a ( P/y P / Y) po de se r d e t e r m in a da at
v és da le it u ra n o m a n ôm e t ro
, 
a p lica n do a Le i de St e v in , c o m o de m o n st r a do
a se g u ir :
e P? = y {z X ) + y . h
h + z · x + y
Z X = y h
(v e r f ig u r a a n t e r io r )
f
, P, = y {y h) + y . h
59
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Fu , d . " " ' " o Cn gu , hn r l n l l [d l d \ , 11m
0 te r m o o l l t l e pa i ôn t e bo d n eqt t çôe a n t
ecio r ê u n i a c a r a c t e r is t ic a d o
m a n ó m e t l o q u e u t ilipn o I(q \ l ido m an o \
n e m c o d e p e so especi f i co Y . e d o
líq u ido t ra n spo r t t tdo , de pe so e spe c
rf ic o T Po r t a n t o . E s se 
t e r m o é c o n st a n t e
pa r a e ss a s it u a q8o
(2 251
Le v a n do (2 24 ) e (2 25) e m (2 23), o bt e m se :
h q + y y
q 2 .
Q = 
4
2g h
A e q u a ção a n t e r io r pe r m it e es t rN a r a \ a : êo e sc o a da , t e n d o e m v is t a o
d if e r e n c ia l de p r e ss ão c a u sa do p e la p la c a d e o r if ic io En t r e t a n t o
, 
de v id o à
pe rd a d e c a r ga a qu i n e g lig e n c ia da , a v a : âo ree l é
. 
N o r m a lm e n t e
, 
in f e r io r
a o v a lo r o bt ido pe la e qu a ção t eó r ica a p re s e n t ad a
60
/1
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A M t : * n : a l lo l lu l o t n n w tl ràu cn l Capl\ u lo Z
2 5 2 Fo r ça s e x e r c id a s s o b r e s u p e r f íc ie s p la n a s submer sas
A f im de s e p r o je t a re m e s t r u t u r a s c o n st itu ida s po r s u pe r l lc le s p la n a s im e r sa s n u m
l iqu ido e m r e po u s o , é n e c e s sár io se co n he c e r a fo rqa ro su [la m o da a çao do f lu ido so b re
a s u pe r f tc ie , be m c o m o 0 se u po n t o d e a p lic a qao Is to to ln g ra n c]o a p llc a q=o n o cá lc u lo
d e c o m p o r t a s pla n a s , v á lv u la s , pa r e de s e la je s de re se r v a tó r io s
A fo r ça r e s u lt a n t e d a a ção do f lu ido , ta m bém de n o m in a da de e m pu x o , po de s e r
c a lc u la da p e la in t e g ra ção da s f o rqa s de v ido à p r e ssao cl ls t r lbu íd r l so b re a su pe r fíc ie p la n a
m e r gu lha da n o líq u ido , q u a l se ja :
F - 7 h
. 
A (2 26)
F f o r ça r e s u lt a n t e o u e m p u x o
Y p e s o e s p e c if ic o do líq u ido
h
.
- Dis t â n c ia v e r t ic a l d a s u pe r f íc ie liv re a o c e n t ro de g r a v tcla de da
á r e a A (v e r Figu r a 2 12 )
A - á re a da s u p e r f ic ie p la n a
Po r t a n t o
, 
a f o r ça r e s u lt a n t e de v ida à p re ssão hid r o s l át lc a e m qu a lqu e r s u pe r f tc ie
p la n a s u b m e r s a é ig u a l a o p r o du t o da á re a da su pe r f ic ie pe la p r e ssad q u e a t u a n o c e n t r o
d e g r a v id a de (C G )
- = = =
yp
A ·
L
.
S e güo A A
Fi g u ra 2 12 Esf o r qo e m u m a s u p e r
f íc ie pla n a im e rs a
A p o s ição da fo r qa r e s u lt a n t e
" F" po de s e r de t e r m in a da pe la e x p re ssão (2 27 ), po r
o n de s e c o n s t a t a q u e o c e n t ro de e m pu x o (C E ) e s tá se m p re lo ca liz a do a ba ix o do c e n t r o
de g r a v ida d e (C G ) da s u p e r f íc ie p la n a , já q u e y > y
(2 27 )
61
yo
C \
ho
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F. Nd a . . En t ' " 0 E' " ' " r l . H ld t d . Tl . .
- d is t ân c ia da lin h a de a çâo da f o rça re
s u lt a n t e à s u p e r f íc ie liv r e ,
- m o m e n t o d e in é rc ia d a s u p e r f íc ie p la n
a e m r e la ção a o e ix o q u e
p a s s a p e lo se u c e n t r o d e g r a v id a de (v e r Qu a
d r o 2 6)
d is t ân c ia d o c e n t ro d e g r a v ida d e d a s u p e
r f Íc ie p la n a à s u p e r f íc ie
y 
in ; s e g U n do o p la n o d a s u p e r f Íc ie
Q u a d r o 2 6 M o m e n t o s d e i n é r c ia d e a lg u m a s f ig u
r a s i m p o r t a n t e s
Fo r m a Fig u r a
Re t a n g u la r
b a 3
12
Tr ia n g u la r
3
C i r c u la r X : D
d \ =
Co m p o r t a s r e t a n gu la re s (Can a l d e / a D u r a n c e
, 
Fr a n ça )
62
'
I o
. ,
· l
l ·
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A M ecdn lcü do s Flu ido s . a Hld ra . Tic a I Ca pitu lo 2
Ex e m p lo 2 5
U m a b a r r a g e m d e t e r r a e e n ro c a m e n t o é p ro je t a da pa r a u m a lâm in a d ' ág u a
m áx im a d e 9
, 
O m Co n s ide ra n do a s e ção t ra n s v e r s a l m o s t r a da n a f ig u r a a
s e g u ir
, p e d e s e d e t e r m in a r :
a ) O e s f o r ço e x e r c id o pe la ág u a a r m a z e n a da po r u n ida de d e la r g u r a
d a ba r r a g e m
b) A lo c a [iz a çâo d o e s fo r ço c a lc u la do n o it e m a n t e r io r
A 
1 O m
9 O m
So l u çã o
a ) U t il iz a n do a e q u a çâo {2 2 6 ) p a ra s e de t e r m in a r o e s fo r qo e m 1
, 
O m
d a ba r r a g e m , t e m s e :
F = yh
. 
A
Y - 100 0kg f / m
3
t
. . 
n
M
. 
9 0 
74
, 
Om
se n 4 0 °
A = Ãi 1
, 
O = 14
, 
Om z
F = 10 0 0 4
, 
5 14
, 
O = 6 30 00kg f o u F - 6 1 80 30N
b) Pe la e q u a çâo (2 2 7)
h
.
4 5
_ 7
, 
Omy
.
-
s e n 4 0 ° 0 , 6 4
63
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F, m d . M o n te l d D E' " n h . Rl ' " d , i . n .
O r e t ân g u lo , d e ba se igu a l a 1 , O m e a
lt u ra d e 14 , O m , t e m pa r a o 
m o m e n t o
de in é rc ia (1
. 
a e x p r e ssão s e g u i n t e , m o s t ra
da n o Qu a d ro 2 6 :
ba
. 
1
, 
O 14
, 
0 3
. 2 2 8
, 
7 m 4
12 12
228 7
' \
P r o b le m a s
2 1 Est a b e le c e r a e x p re s são m a t e m át ic a da r e la çâo e n t re 0 t e m po p e r c o r r ido (t )
e m q u e d a liv r e de u m c o r po n o v ác u o , s u je it o à g r a v id a d e (Q), a u m a a lt u r a (h),
u t iliz a n do o p r in c ip io d a ho m o g e n e ida de d im e n s io n a l
2 2 U t iliz a n d o o p r in c rp io d a h o m o ge n e ida d e d im e n s io n a l
, 
e st a b e le c e r a r e la ção
m a t e m á t ic a q u e e x ist e e n t r e a e n e rg ia f o r n e c ida po r u m a b o m ba (P)
, 
O p e s o es
c if ic o do f lu id o (W
, 
a v a z ão (Q) e a a lt u r a d e c a r ga f o r n e c ida pe la b o m ba (Hm )
2 3 U m bo c a l c o n v e r g e n t e d e 10 0 m m X 50 m m é c o lo c a do n u m s is t e m a pa ra
a s s e g u r a r u m a v e lo c id a de d e 5 , O m / 5 n a e x t re m ida de m e n o r d o bo c a l Ca lc u la r a
v e lo c id a de
, 
a m o n t a n t e do bo c a l e a v a z ão e sc o a da
2 4 C a lc u la r a f o r ça re q u e r ida pa r a s e g u r a r u m e sg u ic ho d e m a n g u e i r a de in c ê n d io
q u e t e m 6 3 m m de d iâ m e t ro n a e n t r a da e 19 m m n a s a ída
, q u a n do e s t e e st á d
p e ja n do 4 , O 1/ s d e ág u a p a r a a t m o sf e r a Co n s ide r a r de s p r e z ív e l a p e r d a de c a r gan o bo c a [
2 5 U m c a n a l r e t a n g u la r c o m 5 , O m de la r g u r a t r a n s p o r t a u m a v a z ão d e 10 m 3l s
a o lo n g o de 1 km de e x t e n s ão O c a n a l t e m in ic io n a c o t a 9 0 3
, 
O o n d e a lâ m in a
d ' ág u a é de 1 , O m Su p o n d o q u e n a s e ção f in a l d o c a n a l a c o t a s e ja 8 90
, 
O m e a
v e lo c ida d e m éd ia 3
, 
O m / S
, p e d e s e c a lc u la r a p e r d a de c a r g a t o t a l e n t r e o in ic io e
o t é r m in o d o c a n a l
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A M e ca . Ka do s Fl . ido s n a H ldr a. Fim l Ca t dru b z
2 6 Po r u m c a n a l r e t a n g u la r d e 2
, 
O m de la r g u r a , p o s ic io n a do a 20 m d o n iv e l d e
r e fe r ên c ia e s c o a m 3
, 
O m 3l s d e ág u a a u m a p ro f u n d ida de de 1 , 8 m Ca lc u la r a e n e rg ia
h id r áu lic a t o t a l n a s u p e r f íc ie da ág u a e m re la gão a o n ív e l de r e fe r ên c ia
2 7 U m a t u b u la çâo de 50 0 m m de d iâm e t ro
, 
a sse n t a d a c o m u m a in c lin a gâo de 1 %
a o lo n g o de 1 km d o se u c o m p r im e n t o
, 
t r a n spo r t a 2 50 1/S Sa be n do se q u e a p re ssão
a o lo n g o d a t u bu la çâo é c o n s t a n t e
, 
d e t e r m in a r a p e rda d e c a r g a n e s t e t re c ho
2 8 Um t a n q u e c o n t ém 0
, 
50 m d e águ a e 1 , 2 0 m de ó le o c u ja de n s ida de r e la t iv a
é 0
, 
80 Ca lc u la r a p r e ssão n o f u n do do t a n q u e e n u m p o n t o do líq u ido s it u a do
n a in t e r fa c e e n t r e o s do is líq u id o s Ex p re ssa r 0 5 r e su lta do s n o s s is t e m a s t éc n ic o e
in t e r n a c io n a l
2 9 U m a v a z ão d e 7 5 1/ S e s t á e sc o a n do n u m a c u rv a d e 90 · 
, 
d iâm e t r o d e 30 0 m m
,
p o s ic io n a d a n u m p la n o ho r iz o n t a l
, 
o n de a c a r ga de p r e s s ão é 4 0 m De t e r m in e o
v a lo r e a d ire qão d a f o r ça q u e a t u a n e s t e p o n t o d a in s t a la ção
2 10 U m a r e d u ção c o m 1
, 
5 m de d iâm e t ro a m o n t a n t e e 1
, 
O m a ju sa n t e
, 
as s
t a d a n o p la n o ho r iz o n t a l
, 
a p r e se n t o u 4 0 0 kpa d e p re ssão n a se qâo de m o n t a n t e
q u a n d o t r a n s po r t a v a 1
, 
8 m 3ls d e ág u a D e sp r e z a n d o se a p e rda de c a r g a , c a lc u le
a f o r ça h o r iz o n t a l q u e e s t a p e ça d e v e p r o v o c a r n o b lo co pa r a a su a a n c o r a g e m
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C a p ít u lo 3
Es c o a m e n t o e m c o n d u t o s f o r ça d o s s i m p le s
Es t e c a p it u lo t r a t a
, 
e s se n c ia lm e n t e
, 
de p r o ble m a s re la c io n a d o s a o s cd u t o s fo r ça d o s s im p le s e m r e g im e pe r m a n e n t e u n if o r m e Pa r a t a n t o
, 
são
a p r e s e n t a d o s o s m ét o d o s u s u a is pa r a o c á lc u lo da p e rd a de c a r ga e s u a s
a p lic a çô e s A n a lisa s e
, 
t a m bém
, 
a in f lu ên c ia do pe r f il d a s t u bu la çã e s e m
r e la ção às lin ha s d e c a r g a d o e s c o a m e n t o Fin a lm e n t e
, 
o s p ro ble m a s l iga do sà c a v it a ção e a o s e s c o a m e n t o s n ão p e r m a n e n t e s s ão dis c u t ido s
3 1 Pe r d a d e c a r g a
0 líq u id o a o e s c o a r t r a n s fo r m a p a r t e de s u a e n e r g ia e m c a lo r Ess a e n e r g ia n ão é
m a is r e c u p e r a da n a f o r m a de e n e r g ia c in ét ic a e / o u po t e n c ia l e , po r is s o , de n o m in a s e
pe r da de c a r g a Pa ra e fe it o de e st u do , a pe rda de c a r ga , de n o t a da po r A h , é c la ss if ic a da e m
pe rd a d e c a r ga c o n t ín u a A h ' e p e rd a de c a r ga lo c a liz a d a A h " , s e n do a p r im e ir a c ons i
r a da a o lo n g o d a t u b u la ção e a o u t r a , d e v ido à p re s e n ça de c o n e x ô e s , a pa re lho s e t c
,
e m po n t o s p a r t ic u la re s d o c o n d u t o , c o n f o r m e po de s e r v ist o n a Figu r a 3 1
L g
r r
Z 1
Z 2
a h
@ I
P3 
y 2 g
Z4
R2
@z 3
P C E - P la n o d e C a rg a Es t átic o L C - L in ha d e Ca ig a L P
- Lin ha P i e z o m étr ic a
Figu r a 3 1 Re p r e se n ta çâo da p e rd a de c a rga n u m t u bo de s e q
ão c o n s t a n t e
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3 1 1 Pe r d a d e c a r g a c o n t ín u a
A pe rda de c a rg a c o n t ín u a se d e v e , p r in c ipa lm e n t e , a o a t r it o in t e r n o e n t re pa r t íc u la s
e sc o a n do e m d ife re n t e s v e lo c ida de s A s c a u sa s de s sa s v a r ia qô e s d e v e lo c ida de s 58o a
v isc o s ida de do liq u ido V e a r u go s ida de da t u bu la çâo e A ra zâo e n t re a p e rda de c a rga
c o n t ín u a a h ' e o c o m p r im e n t o do c o n d u t o L r e p re se n t a o g ra d ie n t e o u a in c lin a qão da
lin ha de c a r ga e é de n o m in a do po r pe rda de c a rg a u n it á r ia J :
J = g (3 1)
Na Fig u r a 3 1 , e n t r e o s po n t o s 2 e 3 do c o n du t o , o n de n ão há n e n hu m a pe rda de
c a rga lo c a liz a d a , a lin h a p ie z o m ét r ic a é pa r a le la à lin ha de c a r ga , já q u e a s e ção do t u bo
é c o n s t a n t e e c o n se qu e n t e m e n t e a c a r ga de v e lo c ida d e t a m bém o é A ss im , o a ba i
m e n t o da lin h a p ie z o m ét r ic a re p r e se n t a t a m bém a pe rd a de c a r ga c o n t ín u a , c o m o po de
se r d e m o n st r a do
, 
a p lic a n do a e q u a ção d e Be r n o u lli e n t r e a s se çÕe s 2 e 3 c o n s ide ra da s :
Z
, 
+ P
, 
l 1 + U ; 
2 12g - Z
. 
+ P
, 
l 1 + U12g + b h ' 2 3
v ist o qu e
J 
;
- U
,
- h h '
2 3
- (z i pJ f) (Z ] + pJ1)
A a n álise d im e n s io n a l p o de s e r u t iliz a da pa r a s e o bt e r u m a r e la ção e n t r e a p e rda
de c a r g a c o n t ín u a , pa r âm e t ro s g e o m ét r ic o s do e s c o a m e n t o n o c o n d u t o e p r o p r ie da de s
r e le v a n t e s d o f lu ido
, 
r e s u lt a n do n a e g u a gâo u n iv e r s a / d e p e r da d e c a rg a , q u e pa r a c
d u t o s d e se çâo c irc u la r a p re se n t a se c o m o :
A H -
f U : L
D 2 g
(3 2 )
Co n s ide r a n do a s e q u a çõ e s (3 1), (3 2) e a e q u a gão da c o n t in u ida de
, 
o bt ém se a
se g u in t e e q u a ção pa r a a pe rda de c a rg a u n itá r ia :
Bf Q2J = 1 5 (3 3 )
se n do :
j - p e rda de c a r ga u n it á r ia e m m / m :
U = v e lo c ida d e m éd ia d o e s c o a m e n t o e m m / S :
D - d iâm e t r o do c o n d u t o e m m ;
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Ex o a m e n tn e . c o n d u t o s lo rça do s a m p le s I Ca p it u lo 3
L - c o m p r im e n t o do c o n d u t o e m m ;
Q = v a z ão e m m a/S ;
g = a c e le r a ção da g r a v id a de e m m / s z ;
f . c o e f ic ie n t e de pe rda d e c a r g a
0 c o e f ic ie n t e de pe r d a de c a r ga f é u m a d im e n s io n a l q u e de pe n de ba s ic a m e n t e
do re g im e d e e sc o a m e n t o N o e sc o a m e n t o la m in a r (Re < 2 0 00 )
, 
e s t e c o e f ic ie n t e p o de
s e r o b t id o a t r a v és d a e q u a ção ra c io n a l de Ha ge n Po ise u ille (m o st