Apostila 4 Matemática Financeira

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21 Professor Mestre Sergio Gonçalves 
Curso: Administração 2014 
Matéria de Matemática Financeira Aplicada 
"A Facear está entre as 10 melhores faculdades de Curitiba e RMC, segundo dados do MEC" 
 
 
 Operações com taxas de juros 
 
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um 
mesmo capital, por um período equivalente, geram o mesmo rendimento.. 
 
Fórmula 
 
𝑖𝑒𝑞 = [( 1 + 𝑖𝑐 )
𝑄𝑄
𝑄𝑇 − 1] 𝑥 100 
Em que: 
i (eq) = taxa equivalente 
ic = taxa conhecida 
QQ = quanto eu quero 
QT = quanto eu tenho 
 
Exercício 15: 
Calcular a equivalência entre as taxas. 
Taxa Conhecida Taxa equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5% ao mês 105 dias 
d) 0,5% ao dia 1 ano 
e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (365 dias) 
 
a) Por HP 12C 
1,795856 [Enter] 
30 [Enter] 
360 [÷] [yx] 
1 [ - ] 100 [ x ] 
Resp. 5% a.m 
 
 
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Programa para Cálculo da taxa Equivalente pela HP-12C 
 
O professor Carlos Shinoda, no livro: Matemática Financeira para usuários do 
Excel (1998, p,48), apresenta a seguinte fórmula: 
 
 
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Praticando o programa: 
79,5856 [ Enter] 
360 [Enter] 
30 [R/S] 
 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Refaça o exercício 
nº 15 usando o 
programa. 
 
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Exercício 16 
 
 Taxa Over Equivalente 
A taxa over equivalente é usada pelo mercado financeiro para determinar a 
rentabilidade por dia útil, normalmente multiplicada por 30. 
Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento. 
Essa prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 1990. Várias 
aplicações são efetuadas tomando como base os dias uteis; entre elas temos as 
operações de CDIs (Certificados de Depósitos Interbancários). 
 
Fórmula: 
 
TOE = { [(1 + ic)
QQ
QT]
1
ndu − 1} 𝑥 3000 
Em que: 
TOE = taxa over equivalente 
ic = taxa de juros conhecida 
QQ = nº de dias efetivos da operação 
QT = nº de dias referente à taxa conhecida (ic) 
Ndu = nº de dias úteis no período da operação 
3000 = resultante da multiplicação de 30 por 100 
 
 
O gerente financeiro da empresa 3CD S/A cotou taxas de CDB (Certificado de Depósito 
Bancário) em dois bancos. No Banco A, foi oferecida uma taxa de 28% ao ano para uma 
aplicação de 63 dias, considerando-se 43 dias úteis, enquanto o Banco B ofereceu uma 
taxa de 26% ao ano para 32 dias, considerando 19 dias uteis. Qual é a melhor 
aplicação? 
Solução: 
 
 
 
 
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A aplicabilidade do conceito da taxa over equivalente não deve ser limitada às 
operações do mercado financeiro e bancário, assim como os demais conceitos da 
matemática financeira. O conceito da taxa over equivalente pode ser usado também em 
operações comerciais, como no financiamento de uma venda de mercadoria aos seus 
clientes, por exemplo. 
Uma das dificuldades para utilização do conceito da taxa over equivalente é a 
informação do número de dias úteis (ndu), por causa do grande número de feriados do 
calendário nacional. A saída é conseguir com a rede bancária um calendário que 
contenha o número de dias úteis, já contemplado os feriados nacionais. 
 
 TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS 
Algumas situações cotidianas voltadas para a Matemática Financeira envolvem a 
variação dos preços de mercadorias. As variações podem ocorrer no sentido dos preços 
aumentarem ou diminuírem, ocorrendo, respectivamente, inflação ou deflação. 
É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices 
percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a 
incidência de vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos 
que a incidência desses índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros 
acumulada. 
A taxa de juros acumulada de determinado produto é dada pela seguinte expressão 
matemática: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 17 
 
 
 
 
Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada durante 
os meses de jan./2001 a maio/2001. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 18 
 
Exercício 19 
 
 
 
 
 
Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequência de taxas: 5% , 3%, -1,5%, -
2% e 6,5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 TAXA MÉDIA DE JUROS 
A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. 
É uma taxa única capaz de substituir várias outras, relativas aos capitais empregados, 
e servirá de cálculo tanto de juros como de descontos 
 
i(média) = [(1 + 𝑖1) 𝑥 (1 + 𝑖2) 𝑥 (1 + 𝑖3 ) … . (1 + 𝑖𝑛)]
1
𝑛 − 1 𝑥 100 
 
 
 
Com base nos dados do exercício nº 17, calcular a taxa média. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 20 
 
 
 TAXA REAL DE JUROS 
A taxa real de juros nada mais é que a apuração de ganho ou perda em relação a uma 
taxa de inflação ou de custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que a taxa 
real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. 
Fórmula 
 
ir = [ 
(1+𝑖)
(1+ 𝑖𝑖𝑛𝑓)
] − 1 𝑥 100 
 
em que: 
i = a taxa de juros 
iinf = a taxa de inflação ou custo de oportunidade 
ir = taxa real de juros 
 
 
 
 
 Uma inflação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano. Sabendo-se que a taxa de 
inflação do período foi de 5,8% ao ano, determinar a taxa real de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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"A Facear está entre as 10 melhores faculdades de Curitiba e RMC, segundo dados do MEC" COMPARAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS SIMPLES COM AS TAXAS 
DE JUROS COMPOSTOS 
Foi possível constatar, na página 16, apostila 3, que a capitalização simples apresenta 
vantagens para o investidor quando o período da aplicação é inferior ao relativo à taxa 
negociada. Verificamos ainda que, quando o período da aplicação coincide exatamente 
com o período da taxa, não há diferença entre os regimes de capitalização. E, assim 
sendo, se o número de períodos for maior que o período da taxa, haverá uma vantagem 
para o regime juros compostos. 
Para exemplificar essa situação, vamos observar a tabela abaixo de taxas acumuladas 
com base nos regimes de capitalização simples e composto para os mesmos períodos 
com a mesma taxa. 
Vamos admitir uma taxa de 10% ao mês e período de 1 a 45 dias. 
 
Observando a tabela, é possível perceber, para o período de 15 dias, por exemplo, a 
taxa acumulada pelo método linear, ou seja, o regime de juros simples é de 5%, 
enquanto a mesma taxa, se calculada pelo regime de juros composto, ou seja, pelo 
método exponencial, será de 4,880885%. Mas se tomarmos para comparar o período 
de 45 dias, veremos que a taxa calculada a juros simples será de 15% e a mesma taxa 
a juros composto será de 15,368973%. 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
 
 TAXA EFETIVA E TAXA LIQUIDA 
O conceito da taxa efetiva de juros pode ser entendido como ganho real para uma 
aplicação, para um determinado período, sem considerarmos a taxa de inflação. Na 
verdade, a taxa efetiva tem um conceito muito semelhante ao da taxa equivalente. 
O que difere os dois conceitos são os objetivos do cálculo, ou seja, na taxa equivalente 
objetiva-se comparar duas taxas que, aplicadas a um mesmo capital por período 
considerado equivalente, produzem o mesmo rendimento, ao passo que a taxa efetiva 
tem seu foco direcionado para medir o ganho efetivo de uma dada aplicação. 
A taxa liquida é assim chamada quando reduzida de possíveis custos financeiros, o que 
não deve ser confundido com a taxa real de juros, que compara determinada taxa em 
um período com a inflação ou custo de oportunidade do mesmo período. 
 
 
 
Uma aplicação paga 25% ao ano para um período de 30 dias; sabendo-se que a 
inflação do mesmo período é de 18% ao ano e que o governo tributa o rendimento das 
aplicações em 15%, calcular a taxa efetiva, liquida, a taxa real de juros e o rendimento 
para uma aplicação de R$ 20.000,00.