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Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
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40 
4. Juros Compostos 
 
DEFINIÇÃO: É aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, o rendimento 
obtido será incorporado à aplicação no cálculo do rendimento seguinte. Diz-se 
que os rendimentos são capitalizados. Este processo também é conhecido como 
“capitalização de juros”. 
 
 
4.1 FÓRMULA DO JURO COMPOSTO 
 Consideremos em capital C aplicado a uma taxa de juros i, durante n períodos de tempo. 
Vamos determinar a fórmula do montante. 
 
Montante após 1 período: JCM +=1 onde: iCJ = 
iCCM +=1 
( )iCM += 11 
 
Montante após 2 períodos: iMMM += 112 
( )iMM += 112 
( )( )iiCM ++= 112 
( )22 1 iCM += 
 
Montante após 3 períodos: iMMM += 223 
( )iMM += 123 
( ) ( )iiCM ++= 11 23 
( )33 1 iCM += 
 .... 
 
Montante após n períodos: iMMM nnn += −− 11 
( )iMM nn += − 11 
( ) ( )iiCM nn ++=
−
11
1
 
( ) 111 +−+= nn iCM
 
( )nn iCM += 1 
 
4.1.1 FÓRMULA DO MONTANTE 
Assim: 
( )niCM += 1 
 
4.1.2 FÓRMULA DO CAPITAL 
 Isolando C na fórmula anterior se obtém 
( )ni
M
C
+
=
1
. 
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4.1.3 FÓRMULA DA TAXA 
 Para se obter o valor da taxa de juros, isola-se o valor i, na fórmula do Montante, obtendo-se a 
seguinte expressão: 
1−= n
C
M
i ou 1
1
−





=
n
C
M
i 
 
 
4.1.4 FÓRMULA DO PERÍODO 
 Para se obter o valor do número de períodos, isola-se o valor n, na fórmula do Montante, 
obtendo-se a seguinte expressão: 
 
( )i
C
M
n
+






=
1log
log
 
 
 
4.2 USO DA CALCULADORA HP-12 C – FUNÇÕES FINANCEIRAS 
 
 Na parte superior da calculadora HP-12C, na primeira linha, na função principal das teclas 
encontram-se 5 memórias especiais que são utilizadas em cálculos financeiros. 
• < n > : Representa o período, tempo em que o capital ficará aplicado. 
• < i > : Representa a taxa por período na forma percentual. 
• < PV > (Present Value) : Representa o valor presente ou o capital inicial empregado. 
• < FV> (Future Value) : Representa o valor futuro ou montante gerado pela aplicação. 
• < PMT > (PAYMENT) : Representa o valor de um termo, parcela ou prestação de uma série 
uniforme. 
 
Exemplos: 
1. Cálculo do Montante (FV) : Um capital de R$ 5.000,00 esteve aplicado por 6 meses à uma taxa 
de juros compostos de 4% a.m.. Determine o montante desta aplicação. 
 Temos: 
 C = 5.000,00 
 n = 6 meses 
 i = 4% a.m. = 0,04 
 
 Pela fórmula teríamos: 
 
( )niCM += 1  ( )604,015000 +=M  6.326,60 R$=M 
Cálculo na HP 12C: 
 
 
 FV = R$ 6.326,60 
 
 
 
5000 < CHS > < PV > 
4 < i > 
6 < n > 
< FV > 
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2. Cálculo do capital (PV) : Determine o capital que aplicado por 3 meses, à uma taxa de juros 
compostos de 5% a.m. gera um montante de R$ 6.800,00. 
 Temos: 
 M = 6.800,00 
 n = 3 meses 
 i = 5% a.m. = 0,05 
 
 Pela fórmula teríamos: 
 
( )ni
M
C
+
=
1
  
( )305,01
6800
+
=C  5.874,10 R$=C 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 
 PV = R$ 5.874,10 
 
 
 
3. Cálculo do período em que o capital foi aplicado (n) : Um capital de R$ 5.874,10 foi aplicado a 
uma taxa de juros compostos de 5% a.m., gerando um montante de R$ 6.800,00. Determine o 
prazo em que este capital esteve aplicado. 
 Temos: 
 C = 5.874,10 
 M = 6.800,00 
 i = 5% a.m. = 0,05 
 
 Pela fórmula teríamos: 
 
( )i
C
M
n
+






=
1log
log
  
( )05,01log
10,5874
6800
log
+






=n  n = 3 meses 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 
 n = 3 meses 
 
 
 
 
Observação: Recomenda-se USAR FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO PERÍODO EM 
OPERAÇÕES QUE ENVOLVEM JUROS COMPOSTOS, uma vez a calculadora HP 12C 
fornece a resposta sempre considerando o maior período inteiro para a operação. 
 
6800 < CHS > < FV > 
5 < i > 
3 < n > 
< PV > 
5874,10 < CHS > < PV > 
6800 < FV > 
5 < i > 
< n > 
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43 
4. Cálculo da taxa (i) : Um capital de R$ 5.874,10 esteve aplicado durante 3 meses, gerando um 
montante de R$ 6.800,00. Determine a taxa de juros compostos que foi aplicado neste capital. 
 Temos: C = 5.874,10 
 M = 6.800,00 
 n = 3 meses 
Pela fórmula teríamos: 
1
1
−





=
n
C
M
i  1
10,5874
6800 3
1
−





=i  i = 5% a.m. 
 
Cálculo na HP 12C: 
 
 
 i = 5% a.m. 
 
 
 
4.3 CÁLCULO DOS JUROS NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 Os juros no regime de capitalização composta podem ser calculados pela diferença entre o 
montante produzido em uma aplicação e o capital inicial empregado nesta aplicação. 
 
 JCM +=  CMJ −= 
 
 Como o montante é dado pela expressão ( )niCM += 1 , podemos representar os juros da 
seguinte forma: 
CMJ −= 
 
( ) CiCJ n −+= 1 
 
Assim: ( ) 11 −+= niCJ 
 
Exemplos: 
1) Um capital de R$ 4.800,00 esteve aplicado durante 4 meses, a uma taxa de juros compostos de 
3.5% a.m. . Determine o valor dos juros auferidos nesta aplicação. 
C = 4.800,00 
n = 4 meses 
i = 3,5% ao mês 
J = ? 
( ) 11 −+= niCJ  
( ) 1035,0100,800.4 4 −+=J  
J = R$ 708,11 
 
 
5874,10 < CHS > < PV > 
6800 < FV > 
3 < n > 
< i > 
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44 
Na HP 12 C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um capital C aplicado a uma taxa de juros composto de 1,12% a.m., durante 5,5 meses rendeu 
R$ 385,76 de juros. Determine o valor deste capital. 
Temos: 
i = 1,12% ao mês 
n = 5,5 meses 
J = 385,76 
( ) ]11[ −+
=
n
i
J
C  
( ) ]10112,01[
76,385
5,5
−+
=C  C = 6.106,43 
 
Na HP 12 C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43,106.6=C 
 
 
EXERCÍCIOS 4.3 
1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2% ao mês, considerando o 
regime de capitalização composta e o prazo da aplicação de 6 meses. 
2. Calcule o montante para as aplicações abaixo, supondo o regime de capitalização composta: 
 Capital aplicado Taxa Prazo 
 R$ 8.000,00 96% a.a. 2 anos 
 R$ 6.500,00 3% a.m. 1 ano 
 R$ 3.500,00 21%a.t. 1 ano e meio 
3. Um capital de R$ 700,00 é aplicado a juros compostos, durante 1 ano e meio, à taxa de 2,5% 
a.m.. Calcule os juros auferidos no período. 
4. Um banco remunera aplicações a juros compostos, cuja taxa é de 3% a.m.. Se uma pessoa aplica 
hoje R$ 8.000,00 e R$ 10.000,00 daqui 3 meses, qual será o montante daqui 6 meses? 
5. Um determinado capital, aplicado a juros compostos durante 10 meses, rendeu uma quantia de 
juros igual ao valor aplicado. Determine a taxa mensal dessa aplicação. 
HP – 12C 
4.800, < CHS >< enter > 
4.800, < CHS >< PV > 
3,5 < i > 
4 < n > 
< FV > 
< + > 
HP – 12C 
385,76 < enter > 
1 < enter > 
1,12 < enter > 
100 <  > 
< + > 
5,5 < yx > 
1 < − > 
<  > 
J = 708,11 
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45 
6. Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante nove anos, à taxa de 10% a.a. produz um 
montante de R$ 17.500,00? 
7. Um capital de R$6.500,00 aplicado a juros compostos, rendeu depois de um certo tempo o 
montante de 11.592,60. Sabendo que a taxa mensal da aplicação foi de 7,5%, calcule o prazo da 
aplicação. 
8. Um capital, aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendeu um montante igual ao seu 
dobro. Determine a taxa mensal da aplicação. 
9. Foi realizada uma aplicação de R$ 6.000,00, sendo uma parte no Banco A, à taxa de 6%a.m., e 
outra parte no banco B, à taxa de 5% a.m.. O prazo das aplicações foi o mesmo, ou seja, 6 meses. 
Determine os capitais aplicados, considerando o regime de capitalização composta e que os 
saldos verificados no banco A e no banco B são iguais. 
10. Uma determinada empresa teve seu faturamento aumentado de R$ 80.000,00 para R$ 
400.000,00 em apenas 3 anos. Determine o percentual de crescimento anual desse faturamento. 
11. Um aparelho de som foi adquirido a 6 meses por R$ 800,00. Estando o aparelho em ótimo 
estado de conservação e desejando vendê-lo com retorno de 2% a.m. sobre o capital investido, 
calcule o preço de venda do aparelho, considerando o regime de capitalização composta. 
12. Aplique R$ 55.000,00 e receba após 6 meses R$ 200.000,00. Qual a taxa mensal auferida nessa 
aplicação, considerando o regime de capitalização composta? 
13. Uma duplicata de R$ 8.000,00 é descontada 2 meses antes do vencimento à taxa de desconto 
comercial simples de 15% a.m. 
a) Qual o valor descontado? 
b) Qual a taxa mensal de juros simples da operação? 
c) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação? 
14. Uma empresa desconta num banco uma duplicata de R$ 10.000,00 com 90 dias a vencer. 
Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 10% a.m, pede-se: 
a) o valor líquido recebido pela empresa 
b) a taxa mensal de juros compostos da operação. 
15. Com relação ao problema anterior, suponha que a empresa consiga num outro banco um 
empréstimo igual ao valor líquido da duplicata, para ser pago no mesmo prazo, no regime de 
capitalização composta e a taxa de 12% a.m.. Qual a melhor opção para a empresa? 
16. Se no problema 15, o banco cobrasse 2% do empréstimo a título de despesas administrativas, 
qual seria a melhor opção? 
 
Respostas dos Exercícios 4.3 
1. R$ 5.630,81 
2. R$ 30732,80 ; R$ 9.267,45 ; R$ 10.984,50 
3. R$ 391,76 
4. R$ 20.479,69 
5. 7,18% a.m. 
6. R$ 7.421,71 
7. 8 meses 
8. 8,01% a.m. 
9. C1 = R$ 2.914,71 e C2 = 3.085,29 
10. 71% a.a. 
11. R$ 900,93 
12. 24,01% a.m. 
13. a) R$ 5.600,00 b) 21,43% a.m. c) 19,52% a.m. 
14. a) R$ 7.000,00 b) 12,62% a.m. 
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15. Melhor opção o empréstimo 
16. Continua sendo melhor o empréstimo 
 
 
4.4 TAXAS EQUIVALENTES 
 
DEFINIÇÃO: taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempos diferentes, 
fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo intervalo de 
tempo, ou seja: 
 
21 MM = 
 
( ) 111
n
iC + = ( ) 221
n
iC + 
 
( ) 111
n
i+ = ( ) 221
n
i+ 
 
Os índices 1n e 2n que acompanham as taxas i serão substituídos por: 
• ai : quando a taxa for anual; 
• si : quando a taxa for semestral; 
• ti : quando a taxa for trimestral; 
• bii : quando a taxa for bimestral 
• mi : quando a taxa for mensal; 
• di : quando a taxa for diária. 
 
 Considerando o ANO COMERCIAL podemos relacionar as taxas efetivas da seguinte forma: 
 
( )11 ai+ = ( )
2
1 si+ = ( )
4
1 ti+ = ( )
6
1 bii+ = ( )
12
1 mi+ = ( )
360
1 di+ 
 
 
Exemplo: Qual a taxa trimestral equivalente a 30% a.a.? 
 
Como um ano equivale a quatro trimestres, logo n1 = 1 e n2 = 4 
 
 ( ) 11 nai+ = ( ) 21
n
ti+ 
 ( )130,01+ = ( )41 ti+ 
 30,1 = ( )41 ti+ i = 6,78% a. t 
 130,14 −=ti 
 ( ) 130,1 4
1
−=ti 
 ti = 0,06778 
 ti = 6,78% a.t. 
HP – 12C 
100 < CHS> < PV > 
30 < i > 
1 < n > 
< FV > 
4 < n > 
 < i > 
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 Podemos ainda determinar as taxas equivalentes em função dos prazos (em dias) de cada taxa. 
 Consideremos ip a taxa procurada, ic a taxa conhecida, np o prazo em dias da taxa procurada e 
nc o prazo em dias da taxa conhecida e o prazo padrão de um ano. Temos então: 
 
i1 = ip ; i2 = ic 
 
c
n
p
n
360
;
360
21 == 
 
c
c
p
p ii
360360
)1()1( +=+ 
 
p
c
c
p p
p ii
360
360
360 360
)1()1( +=+ 
 
p
c
cp ii
360
360
)1()1( +=+ 
c
p
cp ii )1()1( +=+ 
 
1)1( −+= c
p
cp ii 
 
Do exemplo anterior temos: 
• Taxa procurada trimestral  p = 90 dias 
• Taxa conhecida anual  c = 360 dias 
Logo: 1)1( −+= c
p
cp ii 
 1)30,01( 360
90
−+=pi 
 1)30,01( 4
1
−+=pi 
 ( ) 130,1 4
1
−=pi 
 
pi = 0,06778 
 
pi = 6,78% a.t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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48 
EXERCÍCIOS 4.4 
1. Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
2. Qual a taxa trimestral equivalente à taxa mensal de 15% a.m., no regime de juros compostos?
 
3. Qual a taxa mensal equivalente a 900% a.a. no regime de juros compostos ? 
4. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às taxas: 
a) 18 % a.m. 
b) 25% a.b. 
c) 45% a.t. 
d) 250% a.s. 
5. Qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: 
 a) 750% a.a. 
b) 500% a.s. 
c) 280% a.t. 
d) 65% a.b. 
e) 1,2% a.d. 
6. Qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas: 
a) 1,3%.a.d. 
b) 16% a.m. 
c) 27% a.b. 
d) 41% a.t. 
e) 1.500% a.a. 
7. Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 25% a.m.? 
8. Em juros compostos, qual a taxa em 65 dias equivalente a 20% a.m.? 
9. Uma agência autorizada de veículos marca X, pretende dinamizar suas vendas, anuncia o 
seguinte: 
Compre um carro usado com 6 meses de garantia, e só pague daqui 6 meses. Quem optar pelo 
pagamento a vista receberá um desconto de 30%. 
Qual é a taxa anual de juros compostos cobrados pela agência? 
10. Uma empresa toma empréstimo de capital de giro de R$ 10.000,00 por 30 dias, à taxa de 750% 
a.a., a juros compostos. Qual o montante a ser pago. 
11. Uma empresa tem duas opções para levantar um empréstimo: descontar uma duplicata de 30 
dias a uma taxa de desconto de 25% a.m.. ou tomar um empréstimo de capital de giro pelo 
mesmo prazo, a juros compostos com taxa de 1.250% a.a.. Qual a melhor opção? 
12. Um empréstimo de R$ 8.000,00 deverá ser pago após 64 dias através de um montante de R$ 
12.900,00. Calcule a taxa de juros compostos mensal e anual cobrado pelo banco. 
 
Respostas dos Exercícios 4.4 
1. 26,82% 
2. 52,09% 
3. 21,15% 
4. a) 628,76% a.a. 
 b) 281,47% a.a. 
 c) 342,05% a.a. 
 d) 1125% a.a. 
5. a) 19,52% a.m. 
 b) 34,80% a.m. 
 c) 56,05% a.m. 
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49 
d) 28,45% a.m. 
e) 43,03% a.m. 
6. a) 922,59% a.s. 
 b) 143,64%as. 
 c) 104,84% a.s. 
d) 98,81% a.s. 
e) 300% a.s. 
7. 34,65% 
8. 48,44% 
9. 104,08% 
10. R$ 11.952,30 
11. Empréstimo de Capital de Giro 
12. 25,10% a.m. e 1369,56% a.a. 
 
 
4.5 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS DA 
APLICAÇÃO É FRACIONÁRIO 
 
 Quando o período da aplicação não é inteiro tem-se que adotar uma convenção para calcular o 
montante M produzido por um capital C aplicado a uma taxa i. 
 Existem várias convenções utilizadas, sendo que nosso estudo se restringirá a apenas duas 
convenções a linear e a exponencial, por serem estas na prática as mais comuns. 
 
SITUAÇÃO PROBLEMA: Suponha um capital de R$ 1.000,00 aplicado durante 2,5 meses a uma 
taxa de juros compostos de 10% a.m. 
 
4.5.1 CONVENÇÃO LINEAR 
 
Na convenção linear o capital será aplicado a juros compostos, durante a parte inteira do 
período considerado. 
 ( )niCM += 1 
 ( )21,01,000.1 +=M 
 M = 1.210,00 
 
 Sobre o montante assim obtido será calculado juros simples, a mesma taxa, durante a parte 
não inteira do período mencionado. 
 niMJ = 
 J = 1.210, . 0,1 . 0,5 = 60,50 
 
 O montante final será obtido pela soma do montante da parte inteira e os juros da parte 
fracionária. 
 Mf = 1.210, + 60,50 = 1.270,50 
 
 
 
 
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4.5.2 CONVENÇÃO EXPONENCIAL 
 
A convenção exponencial é aquela que temos utilizado, considerando a fórmula do 
montante: 
 ( )niCM += 1 
 ( ) 5,21,01,000.1 +=M 
 M = 1.269,06 
Observações: 
1. Existe uma diferença entre os montantes, sendo o montante da convenção linear é maior que o da 
convenção exponencial. Isto ocorre porque a partir do instante 2 de tempo até o instante 3, na 
convenção linear o montante cresce linearmente. Observe o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A calculadora HP 12 C utiliza a convenção linear em sua programação inicial. Para acionar a 
convenção exponencial, normalmente utilizada na resolução de problemas financeiros, deve ser 
acionada as teclas STO e em seguida EEX e deve aparecer no visor da calculadora a letra "c", o 
que indica que os problemas resolvidos após este processo utilizarão a convenção exponencial. 
Caso se queira trabalhar novamente com a convenção linear basta realizar o mesmo processo 
que a letra "c" desaparece do visor da HP 12 C. 
 
4.6 TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL 
 
 Em juros compostos essas denominações diferenciadas para a taxa de juros existem quando o 
período de capitalização enunciado em um problema não coincide com o período da taxa. 
 
DEFINIÇÕES 
 
a) Taxa Nominal: representa a taxa de juros declarada numa operação financeira. 
b) Taxa Efetiva: é a taxa implícita cobrada numa transação financeira, quando a unidade de 
referência de tempo da taxa explícita (nominal) não coincide com a unidade 
de tempo dos períodos de capitalização. 
 
2 2,5 3 n 
Convenção Linear 
M 
1.270,50 
1.269,06 
Convenção Exponencial 
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51 
 Quando fornecemos uma taxa nominal de juros e o prazo de formação e incorporação de juros 
no capital inicial não coincide com o tempo que a taxa se refere, adotaremos a convenção em que a 
taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. 
 
Exemplo: Uma instituição faz empréstimos a taxa de 12% a.a., mas adota a capitalização trimestral 
de juros. Obtenha a taxa efetiva de juros para um empréstimo de um ano. 
 
 Neste caso a taxa por período de capitalização será calculada a partir da taxa proporcional 
simples. O problema fornece uma taxa de 12% a.a. com capitalização trimestral, logo a taxa 
proporcional será: =
4
%12
3% a.t. 
Observe ainda que: 
• fator de capitalização para a taxa nominal de 12% a.a. é dado por: 
( ) ( ) 12,112,011 11 =+=+ i  12,0=i 
 o que implica em uma taxa de 12% a.a. 
 
• fator de capitalização para a taxa efetiva de 3% a.t. para prazo de um ano é dado por: 
 ( ) ( ) 12550881,103,011 41 =+=+ ei  12550881,0=ei 
o que implica em uma taxa de 12,55% a.a., que é a taxa efetiva que procuramos. 
 Dessa forma, a taxa efetiva pode ser calculada pela seguinte expressão: 
 
( )
k
e
k
i
i 





+=+ 11  11 −





+=
k
e
k
i
i 
onde: 
• ei = taxa efetiva 
• i = taxa nominal 
• k = n.º de capitalizações para um período de taxa nominal 
 
Na HP 12 C temos: 
 
 
 
 
ei 
 
 
 
No exemplo anterior: 12550881,01
4
12,0
1
4
=−





+=ei ou 12,55% a.a. 
Na HP 12 C temos: 
 
 
 
 
ei =12,55% a.a. 
 
100 < CHS> < PV > 
i < enter > k <  > < i > 
k < n > 
< FV > 
1 < n > 
 < i > 
100 < CHS> < PV > 
12 < enter > 4 <  > < i > 
4 < n > 
< FV > 
1 < n > 
 < i > 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
52 
 
52 
 
Note que, considerando a taxa de juros anual temos: 
 
a) Se a capitalização ocorrer anualmente (uma vez por ano), o montante é dado por 
 ( )11 aiCM += 
 
b) Se os juros forem capitalizados semestralmente (duas vezes por ano), então: 
 
12
2
1







+= a
i
CM 
 
c) Se os juros forem capitalizados trimestralmente (quatro vezes por ano), temos: 
 
14
4
1







+= a
i
CM 
d) Se os juros forem capitalizados trimestralmente e o prazo de aplicação for de três anos, temos : 
 
34
4
1







+= a
i
CM 
 
Desta forma, generalizando podemos determinar a seguinte relação: 
 
 
nk
k
i
CM







+= 1 
onde: 
• k = número de capitalizações para um período da taxa nominal; 
• n = número de períodos da aplicação; 
• i = taxa nominal. 
 
Na HP 12 C temos: 
 
 
 M 
 
 
 
Para obtermos a taxa efetiva também podemos proceder da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
ei 
 
 
 
C < CHS> < PV > 
i < enter > k <  > < i > 
k < enter > n <  > < n > 
< FV > 
C < CHS> < PV > 
i < enter > k <  > < i > 
k < enter > n <  > < n > 
< FV > 
n < n > 
 < i > 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
53 
 
53 
Assim, o montante pode ser calculado de duas maneiras: 
( )neiCM += 1 ou 
nk
k
i
CM







+= 1 
 
Exemplos: 
1. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado durante um ano e meio a taxa de 36% a.a., com 
capitalização mensal, calcule o montante desta aplicação. 
Temos: 
C = 1.500,00 
i = 36% a.a. 
n = 1,5 ano, como a capitalização é mensal temos k = 12 meses. 
Sabemos que: ( )neiCM += 1 e 11 −





+=
k
e
k
i
i 
1
12
36,0
1
12
−





+=ei = 0,425761 ou =ei 42,58% a.a. 
 
( ) 5,1425761,0100,500.1 +=M ou seja: M = R$ 2.553,65 
 
A outra forma de se calcular o Montante seria:nk
k
i
CM







+= 1 
 
5,112
12
36,0
100,500.1







+=M  M = 1500,00 ( 1 + 0,36/12 ) 12 . 1,5  M = R$ 2.553,65 
Na HP 12C temos: 
 
 
 
 
 FV = 2.553,65 
 
 =ei 42,58% a.a. 
 
2. Um Banco X cobra juros de 30% a.a. com aplicação anual. O Banco Y anuncia numa campanha 
promocional uma taxa de 27% a.a., porém com capitalização mensal. Qual a melhor taxa para o 
cliente? 
Para respondermos a pergunta vamos calcular a taxa efetiva da taxa de 27%a.a. com capitalização 
mensal do Banco Y e comparar com a taxa de 30% a.a. do Banco X. 
Temos: 
i = 27% a.a. 
k = 12 
ei = ? 
1.500,00 < CHS> < PV > 
36 < enter > 12 <  > < i > 
12 < enter > 1,5 <  > < n > 
< FV > 
1,5 < n > 
 < i > 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
54 
 
54 
Sabe-se que: 11 −





+=
k
e
k
i
i . 
Logo: 1
12
27,0
1
12
−





+=ei = 0,306049 ie = 30, 60% a.a. 
 
ou ie = 30, 60% a.a. 
 
 
 
Assim, a melhor opção para o cliente é a taxa de 30%a.a. oferecida pelo Banco X. 
 
Considerando: ( )
12
1
12
%27
11 





+=+ ei 
temos que a taxa efetiva também pode ser calculada da seguinte forma na HP 12 C: 
 
 
 
 
 ie = 30, 60% a.a. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 4.6 
1. Um banco concede empréstimos pessoais, cobrando juros compostos, à taxa de 20% a.s. com 
capitalização trimestral. Qual o montante a ser pago por um empréstimo de R$ 6.000,00 durante 
9 meses. 
2. O banco A cobra por um empréstimo em 45 dias a taxa de juros compostos de 25% a.a.. O 
banco B cobra pelo mesmo empréstimo a taxa de 21% a.a., sendo os juros capitalizados 
trimestralmente. Qual é a melhor alternativa para o tomador do empréstimo? 
3. Um banco A oferece empréstimos pessoais por um ano a juros compostos, cuja a taxa é de 18% 
a.a.. Um outro banco B pelo mesmo empréstimo e prazo cobra 16%a.a., porém com 
capitalização mensal de juros. 
a) Para o tomador de empréstimo, para prazo de um ano, qual dos bancos que mais lhe 
favorece? 
b) Qual deveria ser a taxa nominal anual do banco B para que fosse indiferente para o tomador 
de empréstimos a escolha do banco? 
4. Uma financeira concede empréstimos pessoais, cobrando juros compostos de 12% a.a. com 
capitalização bimestral. Qual o montante pago por um empréstimo de R$ 9.000,00 durante 10 
meses? 
5. Um investidor aplicou 1/3 de seu capital em um banco A, á taxa de juros compostos de 18% 
a.a.., com capitalização trimestral, e o restante em um banco B a juros de 24% a.a., capitalizados 
quadrimestralmente. Ao final de 2 anos sacou um montante de R$ 214.600,00. Determine o 
capital inicial empregado nesta operação financeira. 
 
HP – 12C 
1 < enter > 
27 < enter > 
100 <> 
12 < > <+> 
12 < yx > 
1 <−> 
100 < x > 
100 < CHS> < PV > 
27 < enter > 12 <  > < i > 
12 < n > 
< FV > 
1 < n > 
 < i > 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
55 
 
55 
Respostas dos Exercícios 4.6 
1. R$ 7.986,00 
2. Banco B 
3. a) Banco B 
 b) 16,67% a.a. 
4. R$ 9.936,73 
5. R$ 140.082,92 
 
4.7 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA 
 
 Quando o número de capitalizações (k) da taxa Nominal (i) for muito grande, podemos derivar 
uma expressão para o caso da capitalização contínua. 
 
Exemplo: Suponha um capital de R$ 10.000,00, aplicado por um ano à taxa de 12% a.a., e que a 
capitalização seja feita inicialmente por um ano, logo em seguida por um semestre, depois por um 
quadrimestre, um trimestre um mês, um dia, ou seja, que a capitalização seja feito para períodos 
cada vez maiores sendo que estes irão crescendo indefinidamente. 
 
• anual → 1 período, k = 1 
• semestral → 2 períodos, k = 2 
• quadrimestral → 3 períodos, k = 3 
• trimestral → 4 períodos, k = 4 
• mensal → 12 períodos, k = 12 
• diário → 360 períodos, k = 360 
• horária → 8.640 períodos, k = 8.640 
  
 Podemos aumentar indefinidamente o n.º de períodos, fazendo k→ . 
 Para esta situação (em que o período da taxa não coincide com o período da capitalização), 
temos a taxa efetiva dada por: 
 
 11 −





+=
k
e
k
i
i , 
 
e o montante é dado por : ( )neiCM += 1 ou 
nk
k
i
CM







+= 1 
 
 Neste caso, se k cresce indefinidamente podemos expressar o fator de capitalização como 
sendo: 
nk
lim
k k
x
1
1 





+
→
 
 
Do limite fundamental exponencial temos: 
e
x
x
x
=





+
→
1
1lim , onde: e = número de Euler  2,718281828 . . . 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
56 
 
56 
Para se calcularmos; 
nk
k k
i

→






+1lim , podemos considerar: 
k
i
w
=
1
, 
 
ou seja: 
i
k
w =  iwk = 
 
Substituindo na expressão temos: 
 
nk
k k
i

→






+1lim = 
niw
w w

→






+
1
1lim = 
ni
w
w w
.
1
1lim














+
→
 = nie  
 
Logo, a fórmula do montante pode ser simplificada da seguinte maneira: 
 
nk
k k
i
CM

→






+= 1lim = 
nk
k k
i
C

→






+1lim = 
nieC  
 
Assim o MONTANTE COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA pode ser calculado pela 
expressão: 
 
 nieCM .= 
 
 
Exemplo: Um capital de R$ 3.800,00 foi aplicado a taxa de 8% a.m., durante 1 ano, com 
capitalização contínua. Calcule o montante desta aplicação. 
 
Temos: 
M = ? nieCM .= 
C = 3.800,00 
1208,000,800.3 = eM 
 i = 8% a. M = R$ 9.924,45 
n = 1 ano = 12 meses 
 
 
Na HP 12 C temos: 
 
 
 
 
 M=R$ 9.924,45 
 
 
 
 
 
3.800, 00 < enter > 
0,08 < enter > 
12 < x > 
< g > < ex > 
< x > 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
57 
 
57 
EXERCÍCIOS 4.7 
1. Determine a taxa anual que, com capitalização anual seja equivalente a 6% a.a. com 
capitalização contínua? 
2. Determine o capital empregado a taxa de 2,7% ao mês, durante 3 anos, capitalizado 
continuamente que produziu o montante de R$ 83.400,00. 
 
Respostas dos exercícios 4.7 
1. 6,18% 
2. R$ 31.522,36. 
 
 
4.8 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA COM TAXAS DE JUROS DIFERENTES NOS 
PERÍODOS CONSIDERADOS 
 
Consideremos um capital C, aplicado a juros compostos e às seguintes taxas: 
• 1i no primeiro período; 
• 2i no segundo período; 
• 3i no terceiro período; 
 ... 
• ni no n-ésimo período 
 
 Os montantes obtidos no final dos períodos serão: 
primeiro período: ( )11 1 iCM += 
 
segundo período: ( )212 1 iMM += 
( )( )212 11 iiCM ++= 
terceiro período: ( )323 1 iMM += 
( )( )( )3213 111 iiiCM +++= 
 ... 
 n-ésimo período será: ( )nnn iMM += − 11 
( )( )( ) ( )nn iiiiCM ++++= 1111 321  
 
Logo: ( )( )( ) ( )niiiiCM ++++= 1111 321  (16) 
 
 O produto dos fatores de capitalização de (16) podem ser substituídos por ( )ACi+1 , onde ACi 
representa a taxa acumulada do período. Assim, o montante pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
 ( )ACiCM += 1(17) 
 
 
 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
58 
 
58 
Podemos encontrar a taxa acumulada do período ( ACi ), isolando-a em (17) ou seja: 
 1−=
C
M
iAC 
 
Também podemos encontrar a taxa acumulada do período ( ACi ), comparando (16) e (17): 
( )ACiC +1 = ( )( )( ) ( )niiiiC ++++ 1111 321  
 
( )ACi+1 = ( )( )( ) ( )niiii ++++ 1111 321  
isolando ACi , temos: 
 
=ACi ( )( )( ) ( ) 11111 321 −++++ niiii  
 
 
Na HP 12 C temos duas maneiras para obtermos a taxa acumulada: 
1) utilizando as diferentes taxas consideradas: 
 
 1 < enter > 
 1i < % > < + > 
 2i < % > < + > 
  
 ni < % > < + > 
 1 < − > 
 100 < x > iAC 
 
2) utilizando o capital inicial e o montante final obtido na operação: 
 
 C < enter > 
 M < % > iAC 
 
 
 
 Exemplos 
1) Um fundo de investimento no primeiro trimestre de 2004 remunerou suas contas com as 
seguintes taxas: 
• Janeiro: 1,77 % 
• Fevereiro: 1,38 % 
• Março: 1,64 % 
Calcule a taxa acumulada no trimestre. 
 
Considerando: 1i = 1,77 % a.m., 2i = 1,38 % a.m. e 3i = 1,64 % a.m., temos: 
 
=ACi ( )( )( ) 10164,010138,010177,01 −+++  =ACi 104866,1 − 
ACi = 0,04866 = 4,87 % no trimestre. 
 
Matemática Financeira SANTOS, D.L., KRIPKA, R.M.L. 
59 
 
59 
Na HP 12 C, temos: 
 
 1 < enter > 
 1,77 < % > < + > 
 1,38 < % > < + > 
 1,64 < % > < + > 
 1 < − > 
 100 < x > iAC = 4,87% no trimestre 
 
 
2) Um capital de R$ 1.500,00, aplicado por três meses, gerou um montante de R$ 1.573,00. Calcule 
a taxa acumulada trimestral. 
 Temos: 
 1−=
C
M
iAC  1
1500
1573
−=ACi  0487,0=ACi , ou seja , %87,4=ACi a.t. 
Na HP 12 C, temos: 
 
 1500 < enter > 
 1573 < % > iAC = 4,87% no trimestre 
 
 
 
EXERCÍCIOS 4.8 
1. Em agosto de 2005, um fundo de investimento remunerou suas contas a uma taxa de 2,48%. 
Qual deve ser a taxa de rentabilidade no mês de setembro do mesmo ano para que o acumulado 
no bimestre seja igual a 6,4%? 
2. Em 1998 um fundo de investimentos rendeu 25%; no acumulado de 1998 e 1999 este fundo 
rendeu 48%. Podemos afirmar que, em 1999, o fundo rendeu: (Fiscal do Mato Grosso do 
SUL/2000) 
 (A) menos de 18% 
 (B) entre 18% e 19% 
 (C) entre 19% e 20% 
(A) mais de 20% 
3. Uma pessoa depositou num fundo de investimento R$ 100,00 mensalmente, durante três meses. 
Seu capital, no final do primeiro mês, foi acrescido de l0%, no final do segundo mês, acrescido 
de l5% e no final do terceiro mês, acrescido de 20%. No final dos três meses, seu capital 
acumulado foi de: (CEF – 1998) 
 (A)R$ 345,00 
 (B)R$ 352,30 
 (C) R$ 409,80 
 (D) R$ 420,50 
 (E) R$ 435,00 
Respostas dos Exercícios 4.8 
1. 3,825% 
2. B 
3. C