ESTATISTICA

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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
APOSTILA DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Dr. Lauri Lourenço Radünz 
UFFS- Campus Erechim 
 
 
ERECHIM/RS 
2009
 
SUMÁRIO 
 
 
1 A NATUREZA DA ESTATÍSTICA ...................................................................................................... 2	
  
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ........................................................................................................... 2	
  
1.2 TIPOS DE CONHECIMENTO ......................................................................................................... 2	
  
1.2.1 Conhecimento empírico ............................................................................................................. 2	
  
1.2.2 Conhecimento filosófico ............................................................................................................ 2	
  
1.2.3 Conhecimento teológico ............................................................................................................ 2	
  
1.2.4 Conhecimento científico ............................................................................................................ 2	
  
1.3 MÉTODO DE PESQUISA ................................................................................................................ 2	
  
1.3.1 Pesquisa bibliográfica ................................................................................................................ 2	
  
1.3.2 Pesquisa documental ................................................................................................................. 3	
  
1.3.3 Levantamento ............................................................................................................................. 3	
  
1.3.4 Estudo de caso ........................................................................................................................... 3	
  
1.3.5 Estudo de protótipo .................................................................................................................... 3	
  
1.3.6 Pesquisa não experimental ....................................................................................................... 3	
  
1.3.7 Pesquisa ação ............................................................................................................................. 3	
  
1.3.8 Pesquisa participante ................................................................................................................. 3	
  
1.4 O MÉTODO CIENTÍFICO ................................................................................................................ 3	
  
1.5 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO ............................................................................................. 4	
  
1.5.1 Planejamento .............................................................................................................................. 4	
  
1.5.2 Coleta dos dados ........................................................................................................................ 4	
  
1.5.3 Crítica dos dados ........................................................................................................................ 4	
  
1.5.4 Apuração dos dados .................................................................................................................. 4	
  
1.5.5 Exposição ou apresentação ...................................................................................................... 4	
  
1.5.6 Análise dos resultados .............................................................................................................. 4	
  
2 POPULAÇÃO E AMOSTRA .............................................................................................................. 5	
  
2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS ................................................................................................ 5	
  
2.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA ............................................................................................................ 5	
  
2.3 AMOSTRAGEM ............................................................................................................................... 5	
  
2.3.1 Amostragem casual ou aleatória simples ................................................................................ 5	
  
2.3.2 Amostragem proporcional estratificada ................................................................................... 6	
  
2.3.3 Amostragem sistemática ........................................................................................................... 6	
  
2.4 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA .......................................................................... 6	
  
2.4.1 População conhecida e desvio padrão desconhecido ........................................................... 6	
  
2.4.2 População desconhecida e desvio padrão conhecido ........................................................... 7	
  
3.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 8	
  
3.2 SÉRIES ESTATÍSTICAS ................................................................................................................. 9	
  
 
3.2.1 Séries históricas, cronológicas, temporais ............................................................................. 9	
  
3.2.2 Séries geográficas, espaciais, territoriais ................................................................................ 9	
  
3.2.3 Séries específicas ou categóricas ............................................................................................ 9	
  
3.2.4 Séries conjugadas ou tabelas de dupla entrada ................................................................... 10	
  
3.2.5 Séries de distribuição de freqüência ...................................................................................... 10	
  
3.3 DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS ............................................................................. 10	
  
3.3.1 Dados absolutos ....................................................................................................................... 10	
  
3.3.2 Dados relativos ......................................................................................................................... 10	
  
4 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ............................................................................................................ 12	
  
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 12	
  
4.1.1 Gráfico em linha ........................................................................................................................ 12	
  
4.1.2 Gráfico em colunas ou barras ................................................................................................. 12	
  
4.1.3 Gráficos em colunas ou barras múltiplas .............................................................................. 13	
  
4.1.4 Gráficos de setores ou pizza ................................................................................................... 13	
  
4.1.5 Gráficos polares ou radar ........................................................................................................ 13	
  
4.1.6 Cartograma ................................................................................................................................ 14	
  
4.1.7 Pictograma ................................................................................................................................15	
  
5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ................................................................................................. 16	
  
5.1 TABELA PRIMITIVA E ROL .......................................................................................................... 16	
  
5.2 FREQÜÊNCIA ............................................................................................................................... 16	
  
5.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ........................................................ 16	
  
5.3.1 Classe de freqüência ou classe .............................................................................................. 16	
  
5.3.2 Determinar o número de classes ............................................................................................ 16	
  
5.3.3 Limites de classes .................................................................................................................... 17	
  
5.3.4 Intervalos das classes ou amplitudes das classes (AC) ...................................................... 17	
  
5.3.5 Amplitude total da distribuição (AT) ....................................................................................... 17	
  
5.3.6 Amplitude amostral (AA) .......................................................................................................... 18	
  
5.3.7 Ponto médio de uma classe ou centro de classe (CC) ......................................................... 18	
  
5.3.8 Freqüência simples ou absoluta (Fi) ...................................................................................... 18	
  
5.3.9 Freqüências relativas (fj) ......................................................................................................... 18	
  
5.3.10 Freqüência absoluta acumulada (Fi‘) ................................................................................... 18	
  
5.3.11 Freqüência relativa acumulada (fj`) ...................................................................................... 18	
  
5.4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ...................................................................................................... 19	
  
5.4.1 Histograma (gráfico de coluna) ............................................................................................... 19	
  
5.4.2 Polígono de freqüência ............................................................................................................ 19	
  
5.4.3 Polígono de freqüência acumulada ........................................................................................ 19	
  
5.4.4 Formas da curvas de freqüência ............................................................................................. 20	
  
6 MEDIDAS DESCRITIVAS ................................................................................................................ 22	
  
6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 22	
  
 
6.2 MEDIDAS DE POSIÇÃO ............................................................................................................... 22	
  
6.2.1 Média .......................................................................................................................................... 23	
  
6.2.2 A moda (Mo) .............................................................................................................................. 26	
  
6.2.3 A mediana (Md) ......................................................................................................................... 28	
  
6.2.4 Separatrizes .............................................................................................................................. 30	
  
7 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIAÇÃO OU DE VARIABILIDADE ......................................... 35	
  
7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 35	
  
7.2 AMPLITUDE TOTAL ...................................................................................................................... 35	
  
7.2.1 Dados não agrupados .............................................................................................................. 35	
  
7.2.2 Dados agrupados ..................................................................................................................... 36	
  
7.3 AMPLITUDE INTERQUARTÍLICA ................................................................................................. 36	
  
7.3.1 Dados não agrupados (pares ou impares) ............................................................................. 37	
  
7.3.2 Dados agrupados (com ou sem intervalo de classe) ............................................................ 37	
  
7.4 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO ................................................................................................. 37	
  
7.4.1 Para dados não agrupados ...................................................................................................... 37	
  
7.4.2 Para dados agrupados ............................................................................................................. 40	
  
7.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON (CV) .................................................................... 42	
  
7.6 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE THORNDIKE - CVT .............................................................. 43	
  
8 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E DE CURTOSE ................................................................................ 44	
  
8.1 ASSIMETRIA ................................................................................................................................. 44	
  
8.1.1 Relação de assimetria .............................................................................................................. 44	
  
8.2 CURTOSE ..................................................................................................................................... 47	
  
8.2.1 Coeficiente de curtose ............................................................................................................. 47	
  
9 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES .................................................................................................... 48	
  
9.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 48	
  
9.2 GRÁFICO DA DISPERSÃO .......................................................................................................... 48	
  
9.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR (R) .......................................................................... 49	
  
9.4 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (R2) ................................................................................... 50	
  
9.5 EQUAÇÃO DA RETA E DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS ................................................ 50	
  
10 ANÁLISE COMBINATÓRIA ........................................................................................................... 52	
  
10.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 52	
  
10.2 FATORIAL ................................................................................................................................... 52	
  
10.3 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC ................................................................ 52	
  
10.4 ARRANJOS SIMPLES ................................................................................................................. 53	
  
10.5 PERMUTAÇÕES SIMPLES ........................................................................................................54	
  
10.6 PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS ................................................................... 55	
  
10.7 COMBINAÇÕES SIMPLES ......................................................................................................... 55	
  
11 INTRODUÇÃO A TEORIA DA PROBABILIDADE ........................................................................ 56	
  
11.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 56	
  
 
11.2 CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS ............................................................................................ 56	
  
11.3 ESPAÇO AMOSTRAL OU PONTOS AMOSTRAIS (S) .............................................................. 57	
  
11.3.1 Tipos de espaço amostral ...................................................................................................... 57	
  
11.4 EVENTO (E) ................................................................................................................................ 57	
  
11.4.1 Possibilidades para a ocorrência de eventos aleatórios .................................................... 59	
  
11.5 DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE ............................................................................................. 60	
  
11.5.1 Clássica ................................................................................................................................... 60	
  
11.5.2 Pela freqüência relativa .......................................................................................................... 60	
  
11.5.3 Axiomática (kolmogorov) ....................................................................................................... 61	
  
11.4.4 Regras básicas da probabilidade .......................................................................................... 61	
  
11.4.5 Tipos de eventos .................................................................................................................... 62	
  
11.4.6 Probabilidade subjetiva ......................................................................................................... 62	
  
11.4.7 Probabilidade através da freqüência relativa ...................................................................... 63	
  
11.4.8 Probabilidade condicional ..................................................................................................... 63	
  
11.4.9 Teorema de Bayes .................................................................................................................. 64	
  
12 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ............................................................................................................ 66	
  
12.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 66	
  
12.2 ESPERANÇA MATEMÁTICA ...................................................................................................... 66	
  
12.3 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA ........................................................................................... 69	
  
12.3.1 Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias ............................................................ 69	
  
12.3.2 Distribuições marginais de probabilidade e esperança de X ............................................. 70	
  
12.3.3 Probabilidade pela distribuição de Bernoulli ou binomial ................................................. 72	
  
12.3.4 Probabilidade pela distribuição hipergeométrica ............................................................... 73	
  
12.3.5 Probabilidade pela distribuição de Poisson ........................................................................ 75	
  
12.3.6 Probabilidade geométrica ...................................................................................................... 76	
  
12.4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS .................................................................................... 77	
  
12.4.1 Probabilidade pela distribuição normal ou de Gauss ......................................................... 77	
  
13 INTERVALO DE CONFIANÇA ...................................................................................................... 81	
  
13.1 PARA MÉDIA, QUANDO A VARIÂNCIA É CONHECIDA ........................................................... 81	
  
13.2 PARA MÉDIA, QUANDO VARIÂNCIA POPULACIONAL NÃO É CONHECIDA ......................... 82	
  
14 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA E TESTE DE HIPÓTESES ................................................................ 2	
  
14.1 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ......................................................................................................... 2	
  
14.1.1 População e amostra ................................................................................................................ 4	
  
14.1.2 Tipos de amostragem ............................................................................................................... 4	
  
14.2 TESTE SIGNIFICÂNCIA OU DE HIPÓTESES .............................................................................. 4	
  
14.2.1 Teste Z para avaliação de uma média populacional ............................................................. 6	
  
14.2.2 Teste t para avaliação de uma ou duas médias ..................................................................... 7	
  
14.2.3 Teste Qui-quadrado (א2) ......................................................................................................... 11	
  
14.2.4 Teste F para comparação de duas variâncias ..................................................................... 12	
  
 
14.2.5 Teste t para dados pareados ................................................................................................. 13	
  
14.2.6 Teste de Hipótese – valor-P (p-value) ................................................................................... 14	
  
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 15	
  
2 
 
1 A NATUREZA DA ESTATÍSTICA 
 
 
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 
- A estatística é um ramo da matemática que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões 
- Desde a antiguidade vários povos já registravam os nascimentos, óbitos, etc 
- A qualidade das decisões depende da verdadeira informação dos indicadores 
- Os indicadores podem ser obtidos de levantamentos, que podem ser contínuos, regulares e 
esporádicos 
- Foi utilizada para acompanhar as coisas do estado (status) 
- A partir do século XVII inicia-se a utilização da estatística 
- Depois de 1960 a informática da um grande impulso a estatística 
- Exemplo????? 
 
 
1.2 TIPOS DE CONHECIMENTO 
 
1.2.1 Conhecimento empírico 
- Obtido ao acaso, após diversas tentativas 
 
1.2.2 Conhecimento filosófico 
- Através do raciocínio e da reflexão humana (razão) 
 
1.2.3 Conhecimento teológico 
- Gerado pela fé divina ou crença religiosa 
 
1.2.4 Conhecimento científico 
- É o conhecimento racional, sistemático e verificável 
 
 
1.3 MÉTODO DE PESQUISA 
 
- Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim 
 
1.3.1 Pesquisa bibliográfica 
- Elaborada a partir de material já publicado 
 
 
3 
 
1.3.2 Pesquisa documental 
- Materiais que não receberam tratamento analítico 
 
1.3.3 Levantamento 
- Questionário, formulário, entrevista 
 
1.3.4 Estudo de caso 
???? 
 
1.3.5 Estudo de protótipo 
????? 
 
1.3.6 Pesquisa não experimental- Investigação sistemática e empírica 
 
1.3.7 Pesquisa ação 
- Resolução de um problema coletivo 
O pesquisador fica envolvido de forma cooperativa 
 
1.3.8 Pesquisa participante 
- O pesquisador se inclui na pesquisa 
 
1.4 O MÉTODO CIENTÍFICO 
 
- Modelo padrão de pesquisa que permite que qualquer pessoa que realize determinada pesquisa 
dentro da metodologia proposta possa encontrar resultados similares 
 
a) Método experimental 
Consiste em manter constante toda a causa (fatores), exceto uma, variando esta 
convenientemente 
Exemplo???? 
 
b) Método estatístico 
Na impossibilidade de manter as causas constantes, admitem-se todas essas causas 
presentes, registrando-se e procurando-se determinar o que a influência. 
Ex: causas que definem o preço do produto 
 
 
 
 
4 
 
1.5 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da estatística descritiva 
A análise e a interpretação ficam a cargo da estatística indutiva ou inferencial 
 
1.5.1 Planejamento 
Se refere a execução 
 
1.5.2 Coleta dos dados 
Pode ser direta ou indireta 
a) Direta: é realizada com a própria tomada de dados. Ex.: nascimentos, importação, produção 
A coleta de dados direta pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: 
a.1) Contínua: Ex.: freqüência as aulas 
a.2) Periódica: Ex.: Censo 
a.3) Ocasional: Ex.: doenças 
b) Indireta: é inferida de outros dados. Ex.: peso médio ao abate, produtividade 
 
1.5.3 Crítica dos dados 
Pode ser externa ou interna 
 
1.5.4 Apuração dos dados 
Manual ou eletrônica 
 
1.5.5 Exposição ou apresentação 
Tabelas e gráficos 
 
1.5.6 Análise dos resultados 
Através da estatística indutiva e inferencial 
5 
 
2 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
 
2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS 
 
Cada fenômeno corresponde a um número de resultados possíveis 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno 
Exemplo: 
# Sexo: são apenas dois 
# Filhos: expresso pelos números naturais 
# Estatura: assume diferentes valores dentro de determinado intervalo 
 
A variável pode ser: 
a) Qualitativa: são expressas por atributos (sexo, cor da pele, etc.). 
b) Quantitativa: Expressa em números, sendo: 
b.1) Variável contínua: pode assumir qualquer valor entre dois limites, teoricamente. 
Ex: Produção de grãos 
b.2) Variável discreta: só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. 
Ex: número de leitões por cria 
 
 
2.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
# População: Conjunto de indivíduos de, pelo menos, uma característica comum 
Ex: Grupo de estudantes, aves de um aviário 
# Amostra: Subconjunto finito de uma população, o qual deve ser representativo 
 
 
2.3 AMOSTRAGEM 
 
Existem técnicas que garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha 
Dessa forma, cada elemento deve ter a mesma chance de ser escolhido 
Vantagens: Menor custo 
Menor tempo 
Material destrutivo 
 
2.3.1 Amostragem casual ou aleatória simples 
É equivalente ao sorteio 
Ex: alunos numerados de 1 a 20 
 
 
6 
 
2.3.2 Amostragem proporcional estratificada 
Quando a população se divide em extratos 
Ex: alunos do sexo masculino e feminino 
 
2.3.3 Amostragem sistemática 
Quando os elementos da população já estão ordenados 
Ex: Propriedades rurais em determinada estrada, prédios de certa rua, etc 
Neste caso a amostra pode ser obtida por um sistema imposto pelo pesquisador 
 
 
2.4 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA 
 
2.4.1 População conhecida e desvio padrão desconhecido 
1º) Aproximação do tamanho da amostra 
2
a
o E
1n = 
onde: 
no= aproximação do tamanho da amostra 
2
aE = margem de erro amostral aceitável (decimal) 
2º) Tamanho da amostra 
onN
onxNn
+
= 
onde: 
n= tamanho da amostra 
N= tamanho da população 
 
Exemplos: 
1) Considerando que se desejasse determinar o tamanho da amostra, num aviário com 15 mil 
frangos de corte, para estimar o peso total de frangos vivos para comercialização. Considere um erro 
de 2,5% para mais e para menos. 
N= 15000 
2o 0,025
1n = = 1600 
160015000
1600x 15000n
+
= = 1445,78 = 1446 frangos 
 
2) Para população do RS, estimada em 10,6 milhões de habitantes? 
 
3) De um povoado com 289 habitantes? 
 
7 
 
2.4.2 População desconhecida e desvio padrão conhecido 
Tabela Z 
2
E
σ zn ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
Onde: z= grau de confiança σ= desvio padrão E= erro máximo desejável 
 
 
Exemplo: 
Supondo-se que se deseje determinar o tamanho da amostra visando obter o preço médio da hora 
máquina para a semeadura de milho em dada região. Conforme estudo prévio, o desvio-padrão para 
o aluguel é de aproximadamente R$ 30,00. Use nível de confiança de 95%. 
a) Qual o tamanho da amostra se a margem de erro para a média obtida esteja a menos de R$ 10,00 
da verdadeira média? 
2
10
30 x 1,96n ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= = 34,6 = 35 prestadores de serviço 
b) Qual o tamanho da amostra se a margem de para a média obtida esteja a menos de R$ 5,00 da 
verdadeira média?
2
5
30 x 1,96n ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= = 138,3 = 134 prestadores de serviço 
 
 
Nível de confiança (1 - α) Zc 
0,90 1,65 
0,95 1,96 
0,99 2,58 
8 
 
3 SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
São as tabelas (????) e os quadros (???) 
Sintetizar os resultados 
Devem ser de fácil interpretação 
Reproduzir fielmente os resultados 
 
A Tabela é o Quadro são compostos por: 
Corpo: conjunto de linhas e colunas que contem informações sobre a variável em estudo. 
Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. 
Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas. 
Linhas: retas imaginárias no sentido horizontal. 
Casa ou célula: espaço destinado a um único número. 
Título: conjunto de informações, mais completas possíveis, localizadas ?????. 
Pode ter os elementos complementares como fonte, notas e chamadas, colocadas no rodapé. 
 
Exemplo: 
Tabela 3.1 - Comparação entre a armazenagem no Brasil quanto à localização, em função da capacidade 
 
Localização Capacidade (%) 
Cidades 52 
Zona rural (empresas e cooperativas) 32 
Fazendas 11 
Portos (terminal) 5 
Fonte: CONAB, 2006. 
 
A Tabela e o Quadro devem ser auto-explicativos. 
 
Segundo a resolução 886 do IBGE, nas células devemos colocar: 
# Um traço horizontal (-): valor zero 
# Três pontos (...): quando não temos dados 
# Um ponto de interrogação (?): quando temos dúvidas 
# Zero (0): quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade empregada. Se tiver 
decimais os mesmo deverão ser usados (0,0; 0,00; 0,000). 
 
 
 
 
9 
 
3.2 SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 
3.2.1 Séries históricas, cronológicas, temporais 
Compara resultados ao longo de determinado período. 
 
Tabela 3.2 - Evolução da produção de milho, no Brasil, durante o período de 2005 a 2009 
 
Safra Produção (1000 t) 
2005/06 41682,2 
2006/07 42426,8 
2007/08 58652,2 
2008/09 50268,0 
Fonte: Conab, agosto 2009. 
 
3.2.2 Séries geográficas, espaciais, territoriais 
Compara resultados para diferentes locais 
 
Tabela 3.3 - Situação da armazenagem de grãos em diferentes do Brasil 
Região Capacidade (milhões de t) 
Centro-Oeste 43,95 
Nordeste 7,24 
Norte 2,46 
Sudeste 20,52 
Sul 51,33 
Brasil 125,51 
FONTE: CONAB, 2009. 
 
3.2.3 Séries específicas ou categóricas 
Descrevem os valores coletados segundo especificações ou categorias. 
 
Tabela 3.4 – Rebanho efetivo para as principaiscategorias animais, em 2005 
 
Rebanho Quantidade (1000 cabeças) 
Bovinos 207.157 
Suínos 34.064 
Ovinos 15.558 
Caprinos 10.307 
Fonte: Mapa, 2009. 
10 
 
 
3.2.4 Séries conjugadas ou tabelas de dupla entrada 
Apresentam mais de uma variável na mesma tabela. 
 
Exemplo: 
 
Tabela 3.5 - Principais produtores mundiais de soja, durante as safras 2004 a 2009, expresso em milhões de 
toneladas 
 
Período 
Países 
EUA Brasil Argentina China 
2004/05 85,013 53,000 39,000 17,400 
2005/06 83,368 55,000 40,500 16,350 
2006/07 87,001 59,000 48,800 15,967 
2007/08 72,859 61,000 46,200 14,000 
2008/09 80,536 57,000 43,800 16,800 
Fonte: USDA, 2009. 
 
3.2.5 Séries de distribuição de freqüência 
Será visto posteriormente devida sua grande importância. 
Pode ser com intervalo de classe ou sem. 
Exemplo peso suínos: 51, 57, 60, 62, 65, 67, 69, 70, 79, 85 
 
Tabela 3.6 - Peso de um grupo de bovinos com determinada faixa de idade 
Massa (kg) Número de suínos 
50 l– 60 2 
60 l– 70 5 
70 l– 80 2 
80 l– 90 1 
Total 10 
 
 
3.3 DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS 
 
3.3.1 Dados absolutos 
Resultantes da coleta direta, provenientes da contagem ou medida. 
 
3.3.2 Dados relativos 
São resultantes de comparações por quociente que se estabelece entre os dados absolutos, 
realçando as possíveis diferenças. 
São indicados por percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
11 
 
 
a) Percentagens 
Número de partes de um todo, o qual apresenta 100 partes, expresso em percentual 
 
Exemplo: 
Tabela 3.7 - Resultados da avaliação final da disciplina X 
 
Condição Número de alunos Percentual 
Aprovado direto 220 57,89 
Reprovado direto 18 4,74 
Aprovado c/ recuperação 101 26,58 
Reprovado na recuperação 41 10,79 
Total 380 100,00 
 
b) Coeficientes 
São razões entre o número de ocorrências e o número total, não expressos em percentagem. 
# Coeficiente de natalidade: número de nascimentos / população total 
# Coeficiente de mortalidade: número de óbitos / população total 
 
c) Taxas 
São os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000) para tornar mais 
inteligível o resultado. 
# Taxa de mortalidade: coeficiente de mortalidade x 1000 
# Taxa de nascimentos: coeficiente de nascimento x 1000 
# Taxa de juros 
 
d) Índices 
São razões entre duas grandezas de modo que uma não inclui a outra. 
Exemplo: 
# Densidade demográfica: População / superfície 
# Produção per capita: valor total da produção / população 
# Consumo per capita: consumo total / população 
# Renda per capita: renda total / população 
12 
 
4 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
Deve produzir uma impressão rápida e fácil dos resultados. 
 
- Portanto, deve ser: 
# simplicidade 
# claro 
# verdadeiro 
 
Os principais tipos de gráficos são os histogramas, cartogramas e pictogramas. 
 
4.1.1 Gráfico em linha 
 
Exemplo: Dados da produção de milho, Tabela 2. 
Fonte: Conab, 2009 
Figura 1 - Evolução da produção de milho, no Brasil, durante o período de 2005 a 2009. 
 
Quando é usado? 
 
4.1.2 Gráfico em colunas ou barras 
 
# Colunas: quando verticalmente 
# Barras: quando horizontalmente 
Fonte: Conab, 2009. 
Figura 2 - Situação da armazenagem de grãos em diferentes do Brasil. 
 
# Dicas: 
13 
 
- Todas as colunas ou barras devem ter a mesma largura. 
- Escrever de baixo para cima ou da direita para esquerda. 
- Usar ordem cronológica ou decrescente. 
- A distância entre colunas ou barras não deverá ser menor que a metade da largura e nem 
maior que 2/3. 
 
4.1.3 Gráficos em colunas ou barras múltiplas 
 
Geralmente empregado quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais 
fenômenos. 
Fonte: USDA, 2009 
Figura 3 - Principais produtores mundiais de soja, durante as safras 2004 a 2009, expresso em milhões de 
toneladas. 
 
4.1.4 Gráficos de setores ou pizza 
 
Construído com base em um circulo. É empregado sempre que desejamos ressaltar a 
participação do dado num todo. 
 
Fonte: Conab, 2009 
Figura 4 - Situação da armazenagem de grãos em diferentes do Brasil, expresso em milhões de t. 
 
# Observação: - Não deve ser empregado quando houver muitos dados, normalmente até 7. 
 
4.1.5 Gráficos polares ou radar 
 
É ideal para representar séries temporais cíclicas. 
Exemplo: Precipitação ao longo do ano, consumo de energia elétrica durante o mês. 
 
 
14 
 
 
Dados fictícios 
Figura 5 - Médias de precipitação pluviométrica durante determinado ano. 
 
4.1.6 Cartograma 
 
É a representação sobre uma carta geográfica. 
Usado quando o objetivo é o de demonstrar dados estatísticos relacionados com áreas 
 geográficas. 
Em geral usamos: 
- Pontos: Para representar dados absolutos (população) 
- Hachuras ou cores: representar dados relativos (densidade) 
Exemplo: habitantes em determinado estado 
 
Figura 6 – Predominância por setores no PIB brasileiro em 2009. 
 
 
 
 
15 
 
4.1.7 Pictograma 
 
Método gráfico que melhor demonstra os resultados ao público geral, pois é atraente e 
sugestivo. 
A representação é feita por figuras. 
Semelhante ao gráfico de barras. 
Exemplo: População, exportação, doenças, etc. 
 
 
Figura 7 – Evolução na matrícula no ensino superior no Brasil. 
16 
 
5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
 
5.1 TABELA PRIMITIVA E ROL 
 
Exemplo: Dados de produtividade de plantas de figueira. 
 
Tabela 5.1 – Quantidade de figo produzido por planta, expresso em kg 
5,0 5,5 8,0 6,0 4,0 
9,0 7,0 6,5 4,5 8,0 
3,1 7,5 6,0 5,5 6,5 
 
Acima é difícil de obter conclusões 
Portanto, ordenar os dados, sendo a tabela então denominada de ROL. 
 
Tabela 5.2 – Quantidade de figo produzido por planta, ordenados de forma crescente, expresso em kg 
3,1 4,0 4,5 5,0 5,5 
5,5 6,0 6,0 6,5 6,5 
7,0 7,5 8,0 8,0 9,0 
 
 
5.2 FREQÜÊNCIA 
 
É o número de dados de observação que ficam relacionados com determinada variável. 
# Freqüência de uma classe: número de valores da variável pertencente à classe. 
Obs.: Simbologia empregada para determinar as classes: 
–– = 3,1 < x < 4,3 
l–– = 3,1 ≤ x < 4,3 
––l = 3,1 < x ≤ 4,3 
l––l = 3,1 ≤ x ≤ 4,3 
 
 
5.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
5.3.1 Classe de freqüência ou classe 
 
São os intervalos de variação de valores na classe. 
São representados simbolicamente por “i“, sendo i= 1,2,3,...,k 
k= número total de classes da distribuição. 
 
5.3.2 Determinar o número de classes 
 
Mais usual é a regra de Sturges. 
k= 1 + 3,32 logn 
17 
 
n= número total de dados de observação. 
Exemplo: 
k= 1 + 3,32 log15 =k= 4,9 
Logo serão k= 5 
Também, pode ser empregada a seguinte regra: 
k= n 
Exemplo: 
k= 15 k= 3,87 k= 4,0 
 
5.3.3 Limites de classes 
 
São os extremos de cada classe. 
LI= limite inferior 
LS= limite superior 
 
Tabela 5.3 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg 
I Peso kg (AC) CC Fi fj Fi` fj` 
1 3,0 l– 4,2 3,6 2 0,13 2 0,13 
2 4,2 l– 5,4 4,8 2 0,13 4 0,26 
3 5,4 l– 6,6 6,0 6 0,41 10 0,67 
4 6,6 l– 7,8 7,2 2 0,13 12 0,80 
5 7,8 l–l 9,0 8,4 3 0,20 15 1,00 
 
5.3.4 Intervalos das classes ou amplitudes das classes (AC) 
 
É o tamanho da classe. 
AC= 
k
variação Amplitude → 
5,0
3,0-9,0AC = → AC= 1,20 kg 
Exemplo: 
1ª classe 
LI= 3,0 
LS= LI + AC → LS= 3,0 + 1,20 → LS= 4,20 
2ª classe 
LI= LI da 1ª classe 
LS= 4,20 + 1,20 → LS= 5,40 
 
5.3.5 Amplitude total da distribuição (AT) 
 
É a diferença entre o valor superior da última classee limite inferior da primeira classe. 
Exemplo: 
AT= 9,00 – 3,00 AT= 6,0 kg 
 
18 
 
5.3.6 Amplitude amostral (AA) 
 
É a diferença entre o valor máximo e o mínimo observado. 
AA= 9,0 – 3,1 AA= 5,9 kg 
Obs.: Neste caso é igual à amplitude total da distribuição. 
 
5.3.7 Ponto médio de uma classe ou centro de classe (CC) 
 
Ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 
Conforme a tabela 5.3 temos para a classe 2: 
CC= (4,2 + 5,4)/2 CC= 4,8 kg 
 
5.3.8 Freqüência simples ou absoluta (Fi) 
 
São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. 
Exemplo: 
F1= 2 
∑Fi= n 
 
5.3.9 Freqüências relativas (fj) 
 
São os valores que de cada classe expresso em decimal. 
fj= (Fi)/(∑Fi) 
Exemplo: 
f1= 2/15 f1= 0,13 
 
5.3.10 Freqüência absoluta acumulada (Fi‘) 
 
É igual a soma das freqüências simples, classe a classe. 
Exemplo: 
F1’= F1 F1`= 2 
F2`= F1+F2 F2`= 2+2 F2`= 4 
 
5.3.11 Freqüência relativa acumulada (fj`) 
 
É igual a soma das freqüências relativas, classe a classe. 
f1`= f1 f1`= 0,13 
f2`= f1+f2 f2`= 0,13+0,27 f2`= 0,4 
 
 
 
19 
 
5.4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Pode ser representado por histograma e polígono de freqüência e polígono de freqüência 
acumulada. 
Histograma – Utiliza o centro de classe. 
Polígono de freqüência – Utiliza o centro de classe. 
Polígono de freqüência acumulada – Utiliza os limites superiores dos intervalos de classe. 
 
5.4.1 Histograma (gráfico de coluna) 
 
Exemplo: Freqüência absoluta 
Utiliza o centro de classe. 
 
Figura 5.1- Distribuição de freqüência absoluta, do peso de 15 suínos da raça landrace, na fase inicial, 
expresso em kg. 
 
5.4.2 Polígono de freqüência 
 
Utiliza o centro de classe. 
 
 
Figura 5.2 - Distribuição de freqüência absoluta, do peso de 15 suínos da raça landrace, na fase inicial, 
expresso em kg. 
 
5.4.3 Polígono de freqüência acumulada 
 
Exemplo: Freqüência acumulada 
Utiliza os limites superiores dos intervalos de classes. 
20 
 
 
Figura 5.2 - Distribuição de freqüência acumulada, do peso de 15 suínos da raça landrace, na fase inicial, 
expresso em kg. 
 
 
5.4.4 Formas da curvas de freqüência 
 
a) Curvas em forma de sino: máximo no centro 
Muitas curvas apresentam estas formas, como exemplo, altura, notas, peso, etc. 
Esta curva assume a forma simétrica ou assimétrica, sendo esta última a mais comum. 
 
a.1) Simétrica 
Não ocorre com muita freqüência. 
 
Figura 5.5 - Distribuição de freqüência simétrica. 
 
a.2) Assimétrica 
Na prática não encontramos curvas perfeitamente simétricas. Essas curvas apresentam cauda, 
a qual é mais longa de um lado do que do outro. 
Podem ser: 
# Assimétrica positiva: Cauda para a direita 
 
Figura 5.6 - Distribuição de freqüência simétrica positiva. 
 
 
 
 
 
Mo 
 
21 
 
# Assimétrica negativa: Cauda para a esquerda 
 
Figura 5.7 - Distribuição de freqüência assimétrica negativa. 
 
a.3) Curvas em forma de jota 
Máximo ocorre em uma das extremidades. 
Exemplo: fenômenos econômicos e financeiros. 
 
 
Jota Jota invertido 
Figura 5.8 - Distribuição de freqüência em forma jota. 
 
a.3) Curvas em forma de U 
Máximo em ambas as extremidades. 
Exemplo: Mortalidade por faixa etária. 
 
 
Figura 5.9 - Distribuição de freqüência em forma U. 
 
a.4) Distribuição retangular ou linear 
Rara, pois apresenta todas as classes com a mesma freqüência. 
 
Figura 5.10 - Distribuição de freqüência linear. 
 
 
 
 
22 
 
6 MEDIDAS DESCRITIVAS 
 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
 
Os elementos típicos da distribuição são: 
# As medidas de posição 
# As Medidas de variação ou dispersão 
# As Medidas de assimetria 
# As Medidas de curtose 
 
Estas medidas são: 
- de fácil interpretação 
- apropriadas para processos mais elaborados 
- representativas 
 
Temos: Dados não agrupados 
Dados agrupados (com e sem intervalo de classe) 
 
 
6.2 MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Esta estatística representa uma série de dados, orientando-os quanto a posição da distribuição 
em relação ao eixo horizontal. 
Podem ser: 
a) Tendência central: Os D.O. tendem a se agrupar em torno dos valores centrais. 
- média 
- mediana 
- moda 
 
b) Separatrizes: Separa a distribuição em partes iguais 
- própria mediana 
- quartis 
- decis 
- percentis 
 
 
 
 
 
23 
 
6.2.1 Média 
 
a) Média aritmética simples 
 
a.1) Para dados não agrupados 
É a mais utilizada, sendo de fácil obtenção e de simples compreensão. 
n
Xn)...X2(X1X +++=
−
 
=
−
X média aritmética 
Xi= valores observados 
n= número de observações. 
 
Exemplo: peso médio, em kg, de 5 ovinos jovens. 
887
5
8896361839X ,,,,,, =++++=
−
 kg 
 
- Desvio ou erro em relação à média 
É a diferença entre cada valor observado e a média aritmética. 
−
−= XXie 
Exemplo: 
e= (9,3-7,88) + (8,1-7,88) + (6,3-7,88) + (6,9-7,88) + (8,8-7,88) 
e= 1,42 + 0,22 + (-1,58) + (-0,98) + (0,92) 
 
- Propriedades da média 
 
# Primeira propriedade 
A soma dos desvios, obtidos a partir da média, é zero. 
∑e= 0 
Exemplo: 
∑e= 1,42 + 0,22 + (-1,58) + (-0,98) + (0,92) 
∑e= 0 
 
# Segunda propriedade 
Somando-se ou subtraindo-se de todas as observações uma constante, a média fica 
aumentada ou diminuída desta constante. 
kXnY ±=
−
 ou 
n
k)(Xn...k)(X2k)(X1Y ±++±+±= 
 
24 
 
Exemplo: 
5
2,0)(8,82,0)(6,92,0)(6,32,0)(8,12,0)(9,3Y +++++++++= 
88,9
5
4,49
==Y kg ou 
Y= 7,88 +2,0 
Y= 9,88 kg 
 
# Terceira propriedade 
Multiplicando-se ou dividindo-se de todas as observações uma constante, a média ficará 
multiplicada ou dividida por esta constante. 
kXnY
÷
×−
= ou 
n
k)(Xnk)(X1k)(X1
Y ÷
×
+
÷
×
+
÷
×
= 
 
Exemplo: 
5
2,0)(8,82,0)(6,92,0)(6,32,0)(8,12,0)(9,3Y ×+×+×+×+×= 
15,76
5
78,8Y == kg ou 
Y= 7,88*2 
Y= 15,76 kg 
 
# Quarta propriedade 
A soma de quadrados dos desvios em relação à média é mínima, pois é menor que a soma 
dos quadrados a partir de qualquer número. 
Exemplo: 
- Desvios reais: 
Σe2= (1,42)2 + (0,22)2 + (-1,58)2 + (-0,98)2 + (0,92)2 
Σe2= 6,368 kg 
 
Se a média fosse 10: 
Σe2= (9,3-10)2 + (8,1-10)2 + (6,3-10)2 + (6,9-10)2 + (8,8-10)2 
Σe2= (-0,7)2 + (-1,9)2 + (-3,7)2 + (-3,1)2 + (-1,2)2 
Σe2= 28,84 kg 
 
 
 
25 
 
 
b) Média ponderada 
 
b.1) Dados não agrupados 
 Quando aos valores são atribuídos pesos diferenciados. 
PesoXnX p ×∑=
−
 
Exemplo: Considere que para uma turma serão feitas três avaliações, sendo a primeira valendo 30% 
da nota final, a segunda 50% e a terceira o restante. Suponha que as notas obtidas de um aluno 
foram, respectivamente, 6,5; 7,2 e 5,8. Qual será a média final do aluno? 
71,6)2,08,55,02,73,05,6( =×+×+×=
−
pX 
 
b.2) Dados agrupados 
 
b.2.1) Sem intervalos de classe 
Avaliação da ocorrência da ferrugem da soja em determinada região. 
Fi
XnFiX
∑
∑
=
−
 
Tabela 6.1 – Municípios com registros de ocorrência da ferrugem da soja, em determinada região 
Ocorrências Municípios (Fi) 
0 15 
1 10 
2 8 
3 5 
4 2 
Total 40 
 
2251
40
245382101150 ,)()()()()(X =×+×+×+×+×=
−
ocorrências por município 
 
b.2.2) Com intervalos de classes 
Fi
CCnFiX
∑
∑
=
−
 
Exemplo: Produtividade de figueiras 
 
Tabela 6.2 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
I Peso (kg) CC Fi fj Fi` fj` 
1 3,0 l– 4,2 3,62 0,13 2 0,13 
2 4,2 l– 5,4 4,8 2 0,13 4 0,26 
3 5,4 l– 6,6 6,0 6 0,41 10 0,67 
4 6,6 l– 7,8 7,2 2 0,13 12 0,80 
5 7,8 l–l 9,0 8,4 3 0,20 15 1,00 
 
Consideramos que todos os valores incluídos no intervalo de classe coincidem com CC. 
26 
 
 
Logo: 
kg/planta6,16
15
8,4)(37,2)(26,0)(64,8)(23,6)(2X =×+×+×+×+×=
−
 
Obs: se fosse utilizado todos os valores observados a média seria 6,14 kg/planta. 
 
- Usos da média 
# obter a medida de posição de maior estabilidade 
# necessidade de tratamento algébrico posterior 
 
c) Média geométrica 
É usada para médias proporcionais de crescimento quando uma medida subseqüente depende 
de medidas prévias. 
n
ng nnX ×=
−
1 
Exemplo: 
- população em 1990= 2 milhões 
- população em 2000= 8 milhões 
- Qual é em 1995? Não é 5 milhões 
milhõesX 4822 =×=
−
 
 
6.2.2 A moda (Mo) 
 
Observação que ocorre com maior freqüência. 
 
a) Dados não agrupados 
 
É o dado de observação que mais se repete. 
Exemplo: Número de cachos por planta de mamona. 
1, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 3 
Mo= 3 cachos planta 
 
As distribuições podem ser: 
a.1) amodal: Não existe um valor com maior freqüência 
Exemplo: Peso ao nascer de terneiros 
41, 34, 39, 43, 38, 45, 37, 31, 42, 47 
 
a.2) unimodal ou modal: Apenas um conjunto com maior freqüência 
Exemplo: Número de cachos por planta de mamona 
 
27 
 
a.3) multimodal: Apresentam mais de um conjunto com maior freqüência 
Exemplo: Número de coelhos por cria 
10, 12, 8, 10, 9, 12, 11, 13, 10, 11, 11 
Logo temos 2 modas: 10 e 11 (bimodal) 
 
b) Dados agrupados 
 
b.1) Sem intervalo de classe 
É só avaliar os valores na tabela 6.1 (apresentada anteriormente), e observar o valor com 
maior freqüência. 
Logo a maior freqüência é 15, então a moda é: 
Mo= 0 ocorrências por município 
 
b.2) Com intervalo de classe 
A classe que apresenta maior freqüência é denominada classe modal. 
A moda é o CC 
Exemplo: Produtividade figueiras 
 
 
Tabela 6.3 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
I Peso (kg) CC Fi 
1 3,0 l– 4,2 3,6 2 
2 4,2 l– 5,4 4,8 2 
3 5,4 l– 6,6 6,0 6 
4 6,6 l– 7,8 7,2 2 
5 7,8 l–l 9,0 8,4 3 
 
Então: 
Classe modal é a 3 
A moda é 6,0 kg/planta 
 
- Expressões gráficas da moda 
Na curva de freqüência a moda é o valor que corresponde, no eixo das abscissas, ao ponto de 
ordenada máxima. 
 
 
 
Curva modal Curva não modal Curva bimodal 
 
 
Mo 
 
 
Moda
Moda Moda 2Moda 
2 
Moda 
1Moda 
1 
28 
 
 
- Emprego da moda 
- quando desejamos uma medida rápida e aproximada de posição 
- quando a medida de posição deve ser o valor típico da distribuição 
 
6.2.3 A mediana (Md) 
 
É o número que se encontra no centro de uma série de dados de observação, dispostos 
segundo uma ordem. 
 
a) Dados não agrupados 
 
a.1) Número impar de observações 
2
1nMd += 
Exemplo: Número de coelhos por cria 
10, 12, 8, 10, 9, 12, 11, 13, 10, 11, 11 
 
Primeiramente ordenamos a série: 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13 
11Mdlogo posição 6Md
2
111Md =→=→+= coelhos/cria 
 
a.2) Número par de observações 
A mediana será o valor médio entre os 2 valores observados. 
2
1nMd += 
Exemplo: Número de coelhos por cria 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13 
2
112Md += = 6,5 posição 
Então: 
11Md
2
22Md
2
1111Md =→=→+= leitões/porca 
 
b) Dados agrupados 
É semelhante àquele dos dados não agrupados, implicando, porém na determinação prévia 
das freqüências acumuladas. 
 
 
 
29 
 
 
b.1) Sem intervalo de classe 
Neste caso é suficiente identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade 
da soma das freqüências. A mediana é àquele valor da variável que corresponde a tal freqüência 
acumulada. 
Md= 
2
Fi∑ 
 
Tabela 6.4 - Municípios com registros de ocorrência da ferrugem da soja, em determinada região 
I Aplicações Fi (lavouras) Fi’ 
1 0 15 15 
2 1 10 25 
3 2 8 33 
4 3 5 38 
5 4 2 40 
 Total 40 
 
Então: 
Md= 20
2
40
2
==
∑Fi posição 
Assim, o valor mediano está na classe 2. 
Md= 1 ocorrência por município 
 
b.2) Com intervalo de classe 
Md= 
2
Fi∑ , entretanto temos que determinar o valor dentro do intervalo de classe. 
Exemplo: 
Tabela 6.4 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
i Peso (kg) CC Fi Fi’ 
1 3,0 l– 4,2 3,6 2 2 
2 4,2 l– 5,4 4,8 2 4 
3 5,4 l– 6,6 6,0 6 10 
4 6,6 l– 7,8 7,2 2 12 
5 7,8 l–l 9,0 8,4 3 15 
 
Md= 5,7
2
15
2
==
∑Fi posição 
 
O valor está na 3ª classe, entre os valores 5,4 e 6,6. 
Interpolação: 
1,2 (6,6-5,4) –––– 6 
 x –––––– 3,5 (7,5-4) 
x= 0,7 kg 
Md= 5,4+0,7 = 6,1 kg 
 
30 
 
 
- Emprego da mediana 
- obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais 
- há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média 
- a variável em estudo é o salário 
 
6.2.4 Separatrizes 
 
a) Os quartis 
Valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. 
 
Há, portanto 3 quartis, conforme segue: 
# Primeiro quartil (Q1): primeiro 25% da série 
# Segundo quartil (Q2): Coincide com a mediana (Q2=Md) 
# Terceiro quartil (Q3): 75% da série 
 
a.1) Dados não agrupados 
 
a.1.1) Números pares de dados de observação 
4
2nkQk +=
 
Exemplo: Número de coelhos por cria 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13 
Obs.: Colocar os valores em ordem crescente. 
 
Para o primeiro quartil 
53,
4
2121Q1logo =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +×= posição, logo Q1 = 10 coelhos/cria 
 
Para o segundo quartil 
6,5
4
212 x 2Q2 =+= posição 
11
2
1111Q2logo =+= coelhos/cria 
 
Para o terceiro quartil 
posição9,5
4
212 x 3Q3 =+= 
12=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
2
1212Q3logo coelho/cria 
31 
 
 
a.1.2) Números impares de dados de observação 
4
1)nk(Qk += 
Exemplo: Número de coelhos por cria 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13 
 
Para o primeiro quartil 
3
4
1)(111Q1 =+×= posição 
10Q1logo = coelhos/cria 
 
Para o segundo quartil 
Q2 6
4
1)2(11
=
+
= posição 
11Q2logo = coelhos/cria 
 
Para o terceiro quartil 
Q3 9
4
1)3(11
=
+
= posição 
12Q3logo = coelhos/cria 
 
a.2) Dados agrupados 
 
a.2.1) Sem intervalo de classe 
Neste caso é suficiente identificar a freqüência acumulada imediatamente superior. 
Qk=
4
Fik ∑ , onde k é o número de ordem do quartil. 
 
Tabela 6.5 - Municípios com registros de ocorrência da ferrugem da soja, em determinada região 
i Aplicações Fi (lavouras) Fi’ 
1 0 15 15 
2 1 10 25 
3 2 8 33 
4 3 5 38 
5 4 2 40 
 Total 40 
 
Para o primeiro quartil 
Q1= 10
4
40
4
40*1
== posição, está na classe 1 
Logo: Q1= 0 ocorrências por município 
 
32 
 
 
Para o segundo quartil 
Q2= igual a mediana 
Q2= 20
4
80
4
40*2
== posição, está na classe 2 
Logo Q2= 1 ocorrência por município 
 
Para o terceiro quartil 
Q3= 30
4
120
4
40*3
== posição, está na classe 3 
Logo: Q1= 2 ocorrências por município 
 
a.2.2) Com intervalo de classe 
 
Igual a anterior. 
Qk=
4
Fik ∑ , onde k é o número de ordem do quartil. 
Entretanto, neste caso interpolar, pois existe um intervalo de valores em cada classe. 
Exemplo: 
 
Tabela 6.6 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
I Peso (kg) CC Fi Fi’ 
1 3,0 l– 4,2 3,6 2 2 
2 4,2 l– 5,4 4,8 2 4 
3 5,4 l– 6,6 6,0 6 10 
4 6,6 l– 7,8 7,2 2 12 
5 7,8 l–l 9,0 8,4 3 15Para o primeiro quartil 
Q1= 75,3
4
151
4
=
×
=
∑ Fik posição 
Então o Q1 está na segunda classe, entre o intervalo de 4,2 l– 5,4 
Interpolação: 
(5,4-4,2) 1,2––— 2 
 X –––----– 1,75 (3,75-2) 
x= 1,05 kg 
Q1= 4,2 + 1,05 = 5,25 kg/planta 
 
Para o terceiro quartil 
Q3= 25,11
4
153
4
=
×
=
∑Fik posição 
Então o Q3 está situado na classe 4, entre o intervalo 6,6 l– 7,8 
33 
 
 
 
Interpolação 
(7,8-6,6)1,2 –––– 2 
 X ––––------– 1,25 (11,25-10) 
Q3= 0,75 kg 
Q3= 6,6+0,75= 7,35 kg/planta 
 
b) Os decis 
Dividem a distribuição em 9 partes iguais 
São indicados por D1, D2, ..., D9 
Dk= 
10
Fik ∑ , sendo k o número de ordem do decil. 
 
b.1) Dados agrupadas com intervalo de classe 
 
Exemplo: 
Tabela 6.7 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
I Peso (kg) CC Fi Fi’ 
1 3,0 l– 4,2 3,69 2 2 
2 4,2 l– 5,4 4,87 2 4 
3 5,4 l– 6,6 6,05 6 10 
4 6,6 l– 7,8 7,23 2 12 
5 7,8 l–l 9,0 8,41 3 15 
 
Para o decil 4 
D4= 6
10
154
10
Fik
=
×
=
∑ posição 
Logo D4 está situado na classe 3, no intervalo de 5,4 a 6,6 
Interpolação: 
(6,6 – 5,4)1,2 –––– 6 
 X –––––------ 2(6-4) 
X= 0,4 kg 
D4= 5,4+0,4= 5,8 kg por planta 
 
c) Os percentis ou centis 
Dividem a distribuição em 99 partes iguais 
São indicados por P1, P2, ..., P61, P99 
Sendo assim sabe-se que P50= Md, P25= Q1 e P75= Q3. 
Pk= 
100
Fik ∑ , sendo k o número de ordem do percentil. 
 
34 
 
Exemplo: Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
 
 
Para o percentil 90 
P90= 13,5
100
1590
100
Fik
=
×
=
∑ posição 
Logo P90 está situado na classe 5, no intervalo de 7,82 a 9,00 
Interpolação: 
(9,0-7,8)1,2 –––– 3 
 X ––––– 1,5 (13,5-12,0) 
X= 0,6 kg 
P90= 7,8+0,6= 8,4 kg por planta 
35 
 
7 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIAÇÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
7.1 INTRODUÇÃO 
 
Indicam a variabilidade dos dados. 
 
Ex: Precipitação mensal em três localidades, durante período de 1 ano. 
Não podemos saber como é a distribuição desta chuva ao longo do ano 
 
Tabela 1 – Precipitação média mensal em três localidades, durante o período de 1 ano 
Local Período Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Média 
A 0 12 25 80 121 150 210 250 230 105 50 15 104 
B 239 220 200 100 46 2 0 0 55 88 140 158 104 
C 99 105 110 109 100 112 104 98 101 100 105 105 104 
 
# Qual cidade apresenta dados mais homogêneos? 
# Qual a localidade com maior e menor dispersão? 
# A média, por si só, é uma boa medida? 
 
Logo temos como medidas de dispersão: 
 - Amplitude total 
- Variância 
- Desvio padrão 
- Coeficiente de variação 
 
 
7.2 AMPLITUDE TOTAL 
 
É a diferença entre a maior e a menor medida. 
Maior a amplitude total, maior a dispersão. 
 
7.2.1 Dados não agrupados 
 
AT= X(máximo) – X(mínimo) 
 
Exemplo 1: 
Para a cidade A, temos: 
AT= 250 – 0 = 250 mm 
# Para a cidade B 
AT= 239 – 0 = 239 mm 
# Para a cidade C 
36 
 
AT= 112 – 98 = 14 mm 
 
7.2.2 Dados agrupados 
 
a) Sem intervalos de classe 
Também empregamos a fórmula que segue: 
AT= LS última classe – LI primeira classe 
 
Tabela 2 – Municípios com registros de ocorrência da ferrugem da soja, em determinada região 
i Ocorrências Municípios Fi’ 
1 0 15 15 
2 1 10 25 
3 2 8 33 
4 3 5 38 
5 4 2 40 
 Total 40 
 
Logo: 
AT= 4 – 0 = 4 ocorrências / município 
 
b) Com intervalos de classe 
Neste caso, a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite 
inferior da primeira classe. 
AT= LS última classe – LI primeira classe 
 
Exemplo: 
Tabela 3 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
I Prod. (kg/planta) CC Plantas Fi’ 
1 3,0 l– 4,2 3,69 2 2 
2 4,2 l– 5,4 4,87 2 4 
3 5,4 l– 6,6 6,05 6 10 
4 6,6 l– 7,8 7,23 2 12 
5 7,8 l–l 9,0 8,41 3 15 
 
Logo: 
AT= 9,0 – 3,0 = 6,0 kg / figueira 
 
 
7.3 AMPLITUDE INTERQUARTÍLICA 
 
É a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. 
AIQ= Q3 – Q1 
 
 
37 
 
7.3.1 Dados não agrupados (pares ou impares) 
 
Exemplo: Número de coelhos por cria 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13 
Q1= 10 coelhos/cria 
Q3= 12 coelhos/cria 
 
AIQ= 12 – 10 = 2 coelho/cria 
 
7.3.2 Dados agrupados (com ou sem intervalo de classe) 
 
Exemplo: Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
Q1= 5,25 kg/planta 
Q3= 7,35 kg/planta 
Logo: 
AIQ= 7,35 – 5,25 = 2,1 kg/planta 
 
 
7.4 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
# Tanto o desvio padrão como as variâncias são usadas como medidas de dispersão. 
 
7.4.1 Para dados não agrupados 
 
a) Variância 
Baseia-se nos desvios em torno da média. 
Σdi= Σ(Xi - 
−
X ) = 0 
É obtido a partir do somatório dos quadrados dos desvios em relação a média, dividido pelos 
valores observados ou destes descontados de uma unidade. 
Para cálculo usamos: 
n= para população 
n-1= para amostra 
 
► Fórmula dedutiva 
 
- Para população 
n
XXi
n
XXnXXXXS
n
i
∑
=
−
−−− −
=
−+−+−
= 1
2
222
2
)(
)...()2()1( 
 
38 
 
- Para amostra 
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
−
n
XXi
S
n
i
 
 
►Fórmula de cálculo 
- Para população 
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
=−
∑
==
n
n
1i
Xn
n
n
1i
2Xn
2S 
 
- Para amostra 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
=−
∑
==
2
n
n
1i
Xn
n
n
1i
2Xn
2S x 1n
n
−
 
Isto por que: 
1) como ∑
=
−
−
n
i
XXi
1
)( = 0, então somente n-1 desvios são independentes. 
2) o divisor n-1 torna S2 uma medida “melhor” do que S2 divido por n. 
 
 
►Interpretação dos valores da variância 
Normalmente resulta num valor elevado, pois é um número em unidade quadrada em relação à 
variável em questão, o que a torna de pouca aplicabilidade. 
# Variância pequena= valores próximos a média 
# Variância grande= valores distantes da média 
# Na variância o ponto de referência é a média 
 
 
b) Desvio padrão 
É definido como a raiz quadrada da variância. 
 
Tanto para população ou amostra 
2SS = 
 
 
39 
 
- Propriedades do desvio: 
1ª) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores observados, o desvio 
padrão não se altera. 
2ª) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante a todos os valores observados (diferente de 
zero), o desvio padrão fica multiplicado ou dividido por essa constante. 
 
# Observações: 
- Tanto a variância como o desvio padrão não são adequados para comparar valores com 
médias muito diferentes, mesmo que a unidade seja igual. 
- Não é passível de comparação entre valores com distintas unidades. 
 
Exemplo para dados não agrupados 
Exemplo 2: Número de coelhos por cria, considerando uma amostragem. 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13 
 
# Pela fórmula dedutiva, a variância e o desvio padrão são os seguintes: 
 
- Média 
−
X = 130/12 = 10,83 coelhos/cria 
 
- Variância 
112
112
2)83,1013(2)83,1013(2)83,1012(2)83,1012(2)83,1011(2)83,1011(2)83,1011(
2)83,1010(2)83,1010(2)83,1010(2)83,109(2)83,108(2
−
−
−+−+−+−+−+−+−
+−+−+−+−+−
=S
 
11
2(2,17)2(2,17)2(1,17)2(1,17)2(0,17)2(0,17)2(0,17)20,83)(20,83)(2,830(21,83)(22,83)(2S +++++++−+−+−+−+−= 
,34
11
25,672S 2== coelhos/cria 
 
-Desvio padrão 
2,34S= = 1,53 coelhos/cria 
 
# Pela fórmula de cálculo temos: 
S2= 
1n
nx
n
Xn
n
Xn
2n
1i
n
1i
2
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∑∑
== 
 
40 
 
Tabela 7.3- Número de coelhos por cria 
Peso dos cordeiros (Xi) Xi2 
8 64 
9 81 
10 100 
10 100 
10 100 
11 121 
11 121 
11 121 
12 144 
12 144 
13 169 
13 169 
130 1434 
 
 
- Variância 
11
12
12
130
12
1434 22 ×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=S 
S2= (119,5 - 117,36)x 12/11 
S2= 2,34 coelhos/cria 
 
- Desvio padrão 
34,2=S 
S= 1,53 coelhos/cria 
 
7.4.2 Para dados agrupados 
 
a) Sem intervalos de classe 
Como temos intervalos de classes, fazemos uma modificação da fórmula: 
 
►Variância 
- Para população 
S2= 
2n
1i
n
1i
2
ΣFi
XnFi
ΣFi
XnFi
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
×
−
× ∑∑
== 
 
- Para amostra 
Obs.: Para amostra se multiplica o resultado por 
1Fi
Fi
− 
 
 
41 
 
►Desvio padrão 
2SS = 
 
Exemplo 
Consideraremos o exemplo da ferrugem como uma amostra. 
 
Tabela 7.4 - Municípios com registros de ocorrência da ferrugem da soja, em determinada região 
i Ocorrências Municípios FiXi FiXi2 
1 0 15 0 0 
2 1 10 10 10 
3 2 8 16 32 
4 3 5 15 45 
5 4 2 8 32 
soma 10 40 49 119 
 
Então temos: 
 
Variância 
os/municípiocorrência 1,51
39
402
40
49
40
1192S =×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−= 
 
Desvio padrão 
51,1=S = 1,228 registros/município 
 
 
b) Com intervalos de classe 
 
►Variância 
 
- Para população 
S2= 
2n
1i
n
1i
2
ΣFi
CCFi
ΣFi
CCiFi
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
×
−
× ∑∑
== 
 
- Para amostra 
Obs.: Para amostra se multiplica o resultado por 
1Fi
Fi
−
 
 
Exemplo: 
Consideraremos o exemplo do peso de suínos como uma amostra: 
42 
 
 
Tabela 7.5 - Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta 
I Prod. (kg/planta) CC (Xi) Plantas FiCC FiCC2 
1 3,0 l– 4,2 3,6 2 7,38 27,2322 
2 4,2 l– 5,4 4,8 2 9,74 47,4338 
3 5,4 l– 6,6 6,0 6 36,3 219,615 
4 6,6 l– 7,8 7,2 2 14,46 104,5458 
5 7,8 l–l 9,0 8,4 3 25,23 212,1843 
 30,25 15 93,11 611,0111 
 
Variância 
kg/planta1,13
14
15
15
93,11
15
611,0111S
2
2 =×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 
 
Desvio padrão 
13,1=S = 1,06 kg/planta 
 
 
7.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON (CV) 
 
É o desvio padrão expresso em percentagem da média. 
O desvio padrão por si só não indica muita coisa por que: 
- Difícil comparar grupos de valores quando as médias são bastante distintas, mesmo que 
expressos na mesma unidade. 
- Não é possível comparar grupos de valores expresso em unidades distintas. 
 
Logo o Coeficiente de Variação é: 
100
X
SCV ×=
−
 
Para os três exemplos temos: 
 
a) Dados não agrupados 
−
X = 10,83 coelhos/cria 
,142S 2= coelhos/cria 
S= 1,46 coelhos/cria 
=×= 010
10,83
1,46CV 13,48% 
 
b) Dados agrupados sem intervalo de classe 
−
X = 1,225 ocorrências de ferrugem município 
43 
 
1,512S = ocorrências de ferrugem município 
=S 1,228 ocorrências de ferrugem município 
%24,100010
1,225
1,228CV =×=
 
 
c) Dados agrupados com intervalo de classe 
−
X = 6,207 kg/planta 
1,13S2 = kg/planta 
=S 1,06 kg/planta 
%08,17010
6,207
1,06CV =×= 
 
Interpretação do CV: 
- Baixo (menor que 10): dados com pouca variação 
- Médio (entre 10 e 20): dados com variação média 
- Alto (maior que 20): dados com variações elevadas 
 
 
7.6 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE THORNDIKE - CVT 
É igual ao quociente entre o desvio padrão e a mediana. 
100
Md
SCVT ×=
−
 
 
Exemplo: Distribuição de freqüência da produtividade de figueiras, expresso em kg/planta. 
S= 1,06 kg/planta 
Md= 6,1 kg/planta 
100
1,6
1,06CVT ×= 
CVT= 17,38% 
44 
 
8 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E DE CURTOSE 
 
 
8.1 ASSIMETRIA 
 
É o grau de afastamento de uma distribuição em relação a um determinado ponto referência 
(pode ser a média) chamado de eixo de simetria. 
 
a) Simétrica: média, moda e mediana coincidem. 
 
 
 
b) Assimétrica positiva: apresenta mediana e média à direita da moda. 
 
 
c) Assimétrica negativa: apresenta mediana e média à esquerda da moda. 
 
 
 
 
8.1.1 Relação de assimetria 
 
a) Média e moda 
Baseando-se nas relações entre média e moda, podemos considerar: 
0MoX =−
−
 → distribuição simétrica 
0MoX >−
−
 → distribuição assimétrica positiva 
0MoX <−
−
 → distribuição assimétrica negativa 
−
X= Md = Mo −X= Md 
= Mo 
Mo < Md < −XMo < 
Md < −X 
−
X< Md < Mo −X< Md 
< Mo 
45 
 
b) Coeficiente de assimetria 
Entretanto, a mediada anterior é absoluta, apresentando a mesma deficiência do desvio 
padrão, ou seja, não permite a comparação entre mediadas de duas distribuições. 
Portanto, para comparação usaremos o coeficiente de assimetria de Pearson: 
S
Md)X3(As
−
=
−
 
Interpretação: 
- Simétrica: As = 0 
- Assimetria fraca: IAsI < 0,15 
- Assimetria moderada: 0,15 < IAsI < 1,0 
- Assimetria forte: IAsI > 1 
Obs.: conforme o sinal pode ser assimétrica positiva ou negativa 
 
Exemplo 1: 
Tabela 8.1 - Consumo de óleo diesel (l h-1), por diferentes tratores agrícolas, durante a semeadura 
I Consumo (l h-1) Trator Fi’ CC (Xn) FiXn FiXn2 
1 4,0 I– 5,0 10 10 4,5 45 202,5 
2 5,0 I– 6,0 23 33 5,5 126,5 695,75 
3 6,0 I– 7,0 36 69 6,5 234 1521 
4 7,0 I– 8,0 23 92 7,5 172,5 1293,75 
5 8,0 I– 9,0 10 102 8,5 85 722,5 
Σ 102 663 4435,5 
 
Conforme a relação média e moda: 
=
−
X (4,5 x 10) + (5,5 x 23) +...+(8,5 x 10) = 6,5 l h-1 
Mo= 6,5 l h-1 
Logo temos: 6,5-6,5= 0 l h-1 → distribuição simétrica 
 
Conforme o coeficiente de assimetria: 
Md= 102/2 = 51 posição 
Logo está na classe 3, entre os valores 6 e 7: 
36 –– 1,0 
18 –– x x= 0,5 
Md= 6,0 + 0,5 = 6,5 l h-1 
S2= 
2
11
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
×
−=
× ∑∑
n
n
i
XiFi
n
n
i
XiFi
 
24,1
2
102
663
102
5,44352 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=S l h-1 
46 
 
Logo: 0
24,1
)5,65,6(3
=
−
=sA simétrica 
 
Exemplo 2: 
Tabela 8.2 - Consumo de óleo diesel (l h-1), por diferentes tratores agrícolas, durante a semeadura 
I Consumo (l h-1) Trator Fi’ CC (Xn) FiXn FiXn2 
1 4,0 I– 5,0 10 10 4,5 45 202,5 
2 5,0 I– 6,0 20 30 5,5 110 605 
3 6,0 I– 7,0 30 60 6,5 195 1267,5 
4 7,0 I– 8,0 40 100 7,5 300 2250 
5 8,0 I– 9,0 2 102 8,5 17 144,5 
Σ 102 667 4469,5 
 
Conforme a relação média e moda: 
=
−
X (4,5 x 10) + (5,5 x 30) +...+(8,5 x 2) = 6,54 l h-1 
Mo= 7,5 l h-1 
Logo temos: 6,54-7,5= -0,96<0 → distribuição assimétrica negativa 
 
Conforme o coeficiente de assimetria: 
Md= 102/2 = 51 posição 
Logo está na classe 3, entre os valores 6 e 7: 
30 –– 1,0 
21 –– x x= 0,7 
Md= 6,0 + 0,7 = 6,7 l h-1 
06,1
2
102
667
102
5,44692 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=S l h-1 
Logo: 45,0
06,1
)7,654,6(3
−=
−
=sA assimétrica negativa moderada 
 
Exemplo 3: 
Tabela 8.3 - Consumo de óleo diesel (l h-1), por diferentes tratores agrícolas, durante a semeadura 
I Consumo (l h-1) Trator Fi’ CC (Xn) FiXn FiXn2 
1 4,0 I– 5,0 2 2 4,5 9 40,5 
2 5,0 I– 6,0 40 42 5,5 220 1210 
3 6,0 I– 7,0 30 72 6,5 195 1267,54 7,0 I– 8,0 20 92 7,5 150 1125 
5 8,0 I– 9,0 10 102 8,5 85 722,5 
Σ 102 659 4365,5 
 
Conforme a relação média e moda: 
=
−
X (4,5 x 2) + (5,5 x 40) +...+(8,5 x 10) = 6,46 l h-1 
Mo= 5,5 l h-1 
Logo temos: 6,46-5,5= 0,96>0 → distribuição assimétrica positiva 
47 
 
Conforme o coeficiente de assimetria: 
Md= 102/2 = 51 posição 
Logo está na classe 3, entre os valores 6 e 7 
30 –– 1,0 
9 –– x x= 0,3 
Md= 6,0 + 0,3 = 6,3 l h-1 
06,1
2
102
659
102
5,43652 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=S l h-1 
Logo: 45,0
06,1
)3,646,6(3
=
−
=sA assimétrica positiva moderada 
 
8.2 CURTOSE 
 
É o grau de achatamento de uma distribuição em relação a distribuição padrão, denominada 
curva normal. 
Temos 3 tipos: 
- Leptocúrtica: mais fechada que a normal ou mais aguda. 
- Platicúrtica: mais aberta que a normal ou achatada. 
- Mesocúrtica: é a curva normal, sendo a referencial. 
Exemplo: fazer no quadro. 
 
8.2.1 Coeficiente de curtose 
 
Para avaliar a curtose usa-se a seguinte fórmula: 
)90(2
13
10P
P
QQ
CC
−
−
= 
 
Interpretação: 
- Leptocúrtica: CC<0,263 
- Platicúrtica: CC>0,263 
- Mesocúrtica: CC = 0,263 
 
Exemplo: Distribuição de freqüência do peso de 15 suínos da raça landrace, nos primeiros 30 
dias de idade. 
Q1= 5,31 kg Q3= 7,38 kg P10= 3,985 kg P90= 8,41 kg 
 
0,234
3,985)2(8,41
5,317,38CC =
−
−
= - logo, a distribuição é considerada leptocúrtica. 
 
48 
 
9 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
9.1 INTRODUÇÃO 
 
É uma análise bivariada, pois tem o objetivo de estudar a relação entre duas variáveis. 
Usados para fatores de tratamento quantitativos. 
 
9.2 GRÁFICO DA DISPERSÃO 
 
Pode indicar correlação linear positiva, negativa ou inexistência de correlação. 
Também é útil para identificar existência de valores aberrantes. 
A variável X é a independente e Y a dependente. 
 
a) correlação positiva 
Adubação Produtividade 
100 2560 
150 3000 
200 3398 
250 3378 
300 4050 
350 4298 
400 4500 
 
 
Gráfico 1 - Produtividade de determinada cultura em função da aplicação de adubo. 
 
b) correlação negativa 
Adubação Produtividade 
400 4400 
450 4000 
500 3710 
550 3480 
600 3045 
650 2871 
700 2569 
 
 
Gráfico 2 - Produtividade de determinada cultura em função da aplicação de adubo. 
 
 
 
 
 
 
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
50 150 250 350 450
Adubo (kg/ha)
Pr
od
ut
ivi
da
de
 (k
g/
ha
)
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
300 400 500 600 700 800
Adubação (kg/ha)
Pr
od
ut
iv
id
ad
e 
(k
g/
ha
)
49 
 
c) Sem correlação 
Adubação Produtividade 
100 2584 
150 4012 
200 3015 
250 3958 
300 2781 
350 3451 
400 2800 
 
 
Gráfico 3 - Produtividade de determinada cultura em função da aplicação de adubo. 
 
 
9.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR (R) 
 
Indica: 
- o grau de intensidade da correlação entre as duas variáveis 
- o sentido dessa correlação (positivo ou negativo). 
 
Obtenção pelo coeficiente de Pearson: 
[ ][ ]2i2i2i2i
iiii
)Y(Yn.)X(Xn
)Y.X(YXn
r
∑−∑∑−∑
∑∑−∑
= 
onde n é o número de observações. 
 
Os valores de r estão sempre entre -1 e 1, sendo adimensional. 
 
Assim: 
r= 1 → correlação entre as duas variáveis é perfeita e positiva; 
r= -1 → correlação entre as duas variáveis é perfeita e negativa; 
r= 0 → ausência de correlação entre as duas variáveis. 
 
 
Exemplo 1 - Calcular o coeficiente de correlação para os dados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 100 200 300 400 500
Adubação (kg/ha)
Pr
od
ut
iv
id
ad
e 
(k
g/
ha
)
50 
 
Tabela 1 – Produtividade de leite em função da dose diária de ração 
Ração (kg) Produtividade (l/dia) Xi.Yi Xi2 Yi2 
5,0 15,1 75,50 25,00 228,01 
5,3 15,3 81,09 28,09 234,09 
5,6 15,7 87,92 31,36 246,49 
5,9 16,0 94,40 34,81 256,00 
6,2 16,2 100,44 38,44 262,44 
6,5 15,9 103,35 42,25 252,81 
6,8 16,4 111,52 46,24 268,96 
7,1 17,0 120,70 50,41 289,00 
7,4 16,7 123,58 54,76 278,89 
55,80 144,30 898,50 351,36 2.316,69 
 
Logo: 
=
−
=
),,()55,80-(9x351,36
3055,80x144,-9x898,50r
2 2301446923169xx
0,94158 
 
Conclusão: Existe uma correlação positiva entre a dose de ração fornecida e a produtividade de leite 
de 94,16%. 
 
9.4 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (R2) 
 
Mede a proporção de variação de Y que é explicada linearmente pela variação de X. 
Os valores de r2 ficam entre 0 e 1. 
r2= (r)2 
r2= (0,94158)^2 
r2= 0,88658 
 
Conclusão: Pode-se afirmar que 88,66% do aumento de produtividade de leite é explicada 
linearmente pela dose de ração fornecida. 
 
9.5 EQUAÇÃO DA RETA E DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS 
 
Tem por objetivo descrever através de um modelo matemático a relação entre duas variáveis. 
 
A modelo que descreve é: 
Y=a + bX 
Onde: 
a= parâmetro 
b= parâmetro da inclinação da reta. 
 
Os parâmetros são obtidos pelas equações: 
51 
 
( )
( )∑ ∑
∑ ∑∑
−×
−×
= 22 XnXnn
YnXnnXnYn
b 
 
 
 
Cálculo dos parâmetros: 
255,80-351,369
144,3055,80-898,509b
×
××
=
 
b= 0,7111 
  
a= 11,6244 
Logo o modelo fica descrito por: 
Y= 11,6244 + 0,7111X 
 
Obs: Para cada quilo de ração que for fornecido, teria um incremento de 0,7111 litros de leite. 
Então o gráfico fica assim apresentado: 
 
Gráfico 1 - Produtividade de leite em função da dose diária de ração. 
 
Conclusão da regressão linear: 
Espera-se que 88,66% das vezes a variação da produtividade de leite é explicada linearmente pela 
dose de ração, sendo que o fornecimento de cada quilo de ração proporciona o incremento de 0,71 
litro de leite. 
 
Obs.: A regressão só pode estimar valores para o intervalo avaliado. 
 
Exemplo: Estime a produtividade em função de alguma dose de ração 
y = 0,7111x + 11,624
R2 = 0,8866
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
4,5 5,5 6,5 7,5 8,5
Ração (kg)
Pr
od
ut
iv
id
ad
e 
(l/
ha
)
52 
 
10 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
10.1 INTRODUÇÃO 
 
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de 
azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que 
estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático 
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses 
Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
 
10.2 FATORIAL 
 
Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta 
matemática chamada Fatorial. 
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como 
sendo: 
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2. 
 
Exemplos: 
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
b) 4! = 4.3.2.1 = 24 
c) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 
e) 3! = 3.2.1 = 6 
Perceba que 7! = 7.6.5.4!, ou que 
6! = 6.5.4.3!, e assim sucessivamente. 
 
Casos especiais: 
0! = 1 
1! = 1 
 
10.3 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC 
 
Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode 
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, 
então o número total “T” de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por “n” etapas, é dado 
por: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
 
53 
 
Exemplo 1: 
No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do alfabeto