Aplicações da Derivada

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APLICAÇÕES DA DERIVADA – EXEMPLOS E EXERCÍCIOS ADICIONAIS 
 
 
1. Uma bola em movimento sobre uma reta, tem posição dada pela função , 
. Suponha que o tempo é medido em segundos e a posição, em metros. Calcule a 
velocidade média da bola no intervalo de tempo 
2( ) 10x t t= +
0t ≥
[ ]1, 4 . 
 
SOLUÇÃO: A velocidade média em mV [ ]1, 4 é dada pela taxa de variação média da 
função ( )x t neste intervalo. Em 1t = , a posição da bola é (1) 11x = m e, em 4t = , a 
posição é m. Portanto, (1x ) 26=
 
(4) (1) 15 5
4 1 3m
x xV −= = =− m/s 
 
2. No exemplo anterior, a função posição da bola é 2( ) 10x t t= + , [0, 4]t∈ . A função ( )x t 
é derivável em de modo que a função velocidade instantânea neste intervalo é (0, 4)
 
( ) (´ ) 2v t x t t= = , (0,4)t∈ 
 
 
Por exemplo, em , m/s. Para determinar a velocidade nos extremos calcula-se 
os limites laterais de em e 
2t = (2) 4v =
( )v t t = 0 4t = . Assim fazendo, obtém-se m/s e m/s nos 
extremos e , respectivamente. 
0 8
0t = 4t =
 
3. Considere a função 3 2( ) 4 9 5f x x x= − + x nos intervalos [ ]0, 1 , 51, 
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ e 
50, 
2
⎡⎢⎣ ⎦
⎤⎥ . Verifique se o teorema de Rolle pode ser aplicado nestes intervalos. Determine 0x 
em cada intervalo, onde , em cada intervalo onde o teorema de Rolle se aplica. 0(´ ) 0f x =
 
SOLUÇÃO: A função f é derivável em todo (0, 1)x∈ , 51, 
2
x ⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ e 
50, 
2
x ⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ e 
contínua em cada intervalo fechado correspondente. Nos extremos dos intervalos 
, (0) (1) 0f f= = 5 7
2 4
f ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5 . Portanto, o teorema de Rolle só vale no intervalo [ ]0, 1 
onde para 0(´ ) 0f x = 0 9 2112x
−= . 
 
 
4. Verificar se 2( ) 6 8f x x x= − + , x∈\ tem pontos extremos e onde f é crescente ou 
decrescente. 
 
SOLUÇÃO: A função é derivável em todo x∈\ . Temos que ´( ) 2 6 0f x x= − > quando 
, quando e 3x > (´ ) 0f x < 3x < (´ ) 0f x = quando 3x = . Portanto, f tem um ponto de 
mínimo absoluto em . 3x =
 
5. Seja 2( ) 1
xf x
x
= − , . Determinar os extremos absolutos da função f, se 
existirem. 
( 1,1x∈ − )
 
SOLUÇÃO: A função f é derivável no intervalo ( )1,1− e a função derivada é dada por 
 
( )
2
22 2
1 2´( )
1 1
xf x
x x
= +− −
 
Verifique! Portanto, , para todo (´ ) 0f x > ( 1,1)x∈ − , o que garante que a f não possui 
pontos críticos . 
 
6. Calcule a aceleração de uma partícula no instante 0 2t = s, sabendo que sua velocidade 
é dada por , . Em que instante sua velocidade é 2m/s ? 2( ) 1 4v t t t= + + 0t ≥
SOLUÇÃO: m/s2 e (2) 8a = 2 5
2
t − += 
 
7. Determine os pontos críticos da função 3( )f x x= , [ ]1,1x∈ − . 
 
8. Determine os intervalos onde a função dada é crescente e onde é decrescente 
 
 2( ) 9f x x x= − , 3x ≤ 
 
 SOLUÇÃO: A função cresce para 3 2 3 2,
2 2
x
⎡ ⎤−∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
 e decresce para [ ]1,1x∈ − , 0x ≠ 
 
9.Obter os pontos de máximo e mínimo locais da função ( ) cosf x x= , [ ]0,x π∈ 
 
10. Determinar os pontos de inflexão dos gráficos das seguintes função: 
 
 ( ) cosf x x= , [ ]0, 2x π∈ 
 SOLUÇÃO: ,0
2
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ e 
3 ,0
2
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
11. Verificar os seguintes limites: 
 
 a) 
0
1lim 1
ln(1 )
x
x
e
x→
− =+ 
 b) 2 50
 sen 1lim
3 3
x
x
e x x
x x→
− =+ 
 
12. Determine os pontos críticos das funções 
 a) 3( )f x x= , [ ]1,1x∈ − 
 b) , 4 3( ) 2 4f x x x= + + x∈\ 
 
SOLUÇÃO: 
a) e b) 1, 1,0x = − + 30,
2
x = − 
 
13. Obter os pontos de máximo e mínimo locais da função 
 a) , 4 3 2( ) 3 8 14 5f x x x x= − − + x∈\ 
 b) ( ) cosf x x= , [ ]0,x π∈ 
 
SOLUÇÃO: 
a) 1200,1
6
x = ± e b) 0,x π= 
9. Esboçar o gráfico da 3( ) 2 6f x x= − x x, ∈\ . 
 
Resolução: 
Derivadas: e 2(´ ) 6 6f x x= − ``( ) 12f x x= 
Pontos críticos: 1, 1x = − +
Ponto de mínimo relativo: , 1x = + (1) 4f = − 
Ponto de máximo relativo: , 1x = − ( 1) 4f − = 
A função é crescente quando , isto é, `( ) 0f x > 1x > ou 1x < − 
A função é decrescente quando `( ) 0f x < , isto é, 1 1x− < < 
A concavidade é positiva quando ``( ) 12 0f x x= > , isto é, quando ; é negativa quando 
. 
0x >
0x <
Ponto de inflexão: 0x =
 
10. Verificar os seguintes limites: 
 a) ( ) c) (0lim 1
x
x
senx→ = )0
1lim 1
ln 1
x
x
e
x→
− =+ 
b) 
2
22
4lim 4
5 6x
x
x x→
− = −− + d) 2 50
1lim
3 3
x
x
e senx x
x x→
− =+ 
 
Resolução: 
a) Aplique a regra 4 de L´Hospital. 
( )( ) ( ) ( )0 0 0ln lim limln lim lnx xx x xsenx senx x senx→ → →= = 
Em seguida, aplique a regra 2: 
( ) ( ) 2 0
0 0 0 0 0
2 0
cos
lim cosln cos cos 0lim ln lim lim lim lim 01 1 1lim
x
x x x x x
x
x
x xsenx x x x xsenxx senx senx senxsenx
x x x x
→
→ → → → →
→
= = = − = − = − = =
−
Portanto, . ( )( )0ln lim 0xx senx→ =
Podemos concluir que ( )
0
lim 1x
x
senx→ = . 
b) Este limite leva primeiramente a uma indeterminação da forma 0
0
. Vamos aplicar a 
regra 1: 
2
22 2
4 2lim lim 4
5 6 2 5x x
x x
x x x→ →
− = = −− + − 
 
c) Análogo a b) 
( ) ( )0 0 0
1lim lim lim 1 11ln 1
1
x x
x
x x x
e e x e
x
x
→ → →
− = = ++
+
= 
 
d) Aplicando a regra 1 duas vezes seguidas: 
2 5 4 30 0 0
cos 1 2 cos 1lim lim lim
3 6 5 6
x x x x
x x x
e senx x e senx e x e x
x x x x x→ → →
− + −= =+ + + 20 3= 
11. Calcule o polinômio de Taylor de ordem n da função 1( )f x
x
= , , no ponto 0x > 0 1x = . 
 
Solução: 
2`( )f x x−= − 
( )2 3``( ) 1 2f x x−= − 
( )3 4```( ) 1 2 3f x x−= − ⋅ ⋅
#
 
( )( ) ( 1)( ) 1 !nn nf x n x− += − 
 
( )( ) (1) 1 !nnf n= − 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3( ) 1 1 1 1 1 1n nnT x x x x x= − − + − − − + + − −"