algebra linear lista

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Universidade Federal de Santa Catarina
Disciplina: A´lgebra Linear - MTM 5245
2a Lista de exerc´ıcios
Assunto: Dependeˆncia e independeˆncia linear, base e dimensa˜o, vetor coordenada
Profa.: Virg´ınia Silva Rodrigues
1) Determine se os seguintes subconjuntos de R3 sa˜o L.I. ou L.D.:
(i) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 3, 5)}
(ii) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−2)}
(iii) {(0, 0, 0), (1, 2, 3), (4, 1,−2)}
(iv) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2,−1)}
2) Determine se os seguintes subconjuntos de P4(R) sa˜o L.I. ou L.D.:
(i) {1, x− 1, x2 + 2x+ 1, x2}
(ii) {2x, x2 + 1, x+ 1, x2 − 1}
(iii) {x2 − x, x3, 2x3 − x2, x}
(iv) {x4 + x− 1, x3 − x+ 1, x2 − 1}
3) Determine m,n para que os subconjuntos de R3 abaixo sejam L.I..
(i) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)}
(ii) {(6, 2, 0), (3, n+ 1,m− 1)}
4) Mostre que o conjunto {[
1 1
0 0
]
,
[
2 1
0 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 0
0 2
]}
e´ uma base de M2(R).
5) Determine uma base e a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o de cada um dos seguintes sistemas lineares
homogeˆneos:
(i)

x+ y + z = 0
2x− y − 2z = 0
x+ 4y + 5z = 0
(ii)

x− y − z − t = 0
3x− y + 2z − 4t = 0
2y + 5z + t = 0
6) Dar uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de R4 em que W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y = y e
x− 3y + w = 0}.
7) Considere W o subespac¸o de R4 do exerc´ıcio 6) acima e U o subespac¸o de R4 gerado por (1, 2, 1, 3)
e (3, 1,−1, 4). Determine uma base e a dimensa˜o de U +W e de U ∩W .
8) Sendo U e W subespac¸os do R4 de dimensa˜o 3, que dimenso˜es podem ter W + U se (1, 2, 1, 0),
(−1, 1, 0, 1) e (1, 5, 2, 1) e´ um sistema de geradores de W ∩ U ?
9) Em R3, consideremos os seguintes subespac¸os U = {(x, y, z) : x = 0}, V = {(x, y, z) : y− 2z = 0}
e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]. Determine uma base e a dimensa˜o dos subespac¸os U, V,W,U ∩ V, V + W e
U + V +W .
10) Mostre que os polinoˆmios 1, 1 +X, 1−X2 e 1−X −X2 −X3 formam uma base para P3(R).
11) Determine uma base de R4 que contenha os vetores (1, 1, 1, 0) e (1, 1, 2, 1).
12) Considere o subespac¸o [v1, v2, v3, v4] de R4 gerado por v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 =
(−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). Fac¸a os seguintes ı´tens.
(i) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4] ? Justifique.
(ii) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual e´ a dimensa˜o deste subespac¸o?
(iii) [v1, v2, v3, v4] = R4 ? Por queˆ ?
13) Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+y = 0 e z− t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x−y−z+ t = 0}
subespac¸os de R4.
(i) Determine W1 ∩W2.
(ii) Exiba uma base para W1 ∩W2.
(iii) Determine W1 +W2.
(iv) W1 ⊕W2 ?
(v) W1 +W2 = R4 ?
14) Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)} e β2 = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)}. Ache as coordenadas
do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a`s bases dadas.
15) Determine as coordenadas do vetor u = (4,−5, 3) em relac¸a˜o a`s bases: canoˆnica, β = { (1, 1, 1),
(1, 2, 0), (3, 1, 0)} e γ = {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
16) Determine as coordenadas do polinoˆmio t3 em relac¸a˜o a` base γ = {1, 2− t, t2 + 1, 1 + t+ t3} de
P3(R).
Algumas questo˜es de provas passadas
17) [questa˜o prova 2007] Deˆ o que se pede em cada item:
(i) Considere o R2 com as operac¸o˜es (x, y) + (x′ , y′) = (x+x′ , y+ y′) e α(x, y) = (α3x, α3y), ∀α ∈ R.
Veja que R2 com essas operac¸o˜es na˜o e´ um espac¸o vetorial dando um exemplo onde falha uma das
propriedades de espac¸o vetorial.
(ii) Considere o subconjunto de M2(R) dado por
W =
{(
0 a
b 0
)
: a+ b ≤ 0
}
com as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o por escalar de M2(R). Veja que W na˜o e´ um su-
bespac¸o vetorial de M2(R) dando um exemplo onde falha uma das condic¸o˜es para que se tenha um
subespac¸o vetorial.
18) [questa˜o prova 2007] Determine k para que o conjunto A seja linearmente dependente
A =
{(
1 0
1 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
2 −1
k 0
)}
.
19) [questa˜o prova 2015] Mostre que
W =
{[
x y
z 0
]
: y = −x e z ∈ R
}
e´ um subespac¸o de M2(R). Deˆ uma base para W e sua dimensa˜o.
20) [questa˜o prova 2014] Sejam
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y = 0 e z − y + t = 0}
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y − z − t = 0}
subespac¸os do R4.
(i) Determine a dimensa˜o e uma base para U .
(ii) Determine a dimensa˜o e uma base para W .
(iii) Determine a dimensa˜o e uma base para U +W .
(iv) Determine U ∩W , sua dimensa˜o e uma base.
(v) U +W = R4 ou U ⊕W = R4 ? Justifique sua resposta.
21) [questa˜o prova 2015] Sejam
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− z = 0 e y − t = 0}
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = 0 e z − t = 0}
subespac¸os do R4.
(i) Determine a dimensa˜o e uma base para U .
(ii) Determine a dimensa˜o e uma base para W .
(iii) Determine a dimensa˜o e uma base para U +W .
(iv) Determine U ∩W , sua dimensa˜o e uma base.
(v) U +W = R4 ou U ⊕W = R4 ? Justifique sua resposta.
Respostas de alguns exerc´ıcios:
1) (i) L.D., (ii) L.I., (iii) L.D., (iv) L.I.; 2) (i),(ii) e (iii) sa˜o L.D., (iv) L.I.; 3) (i) m 6= 0
e (ii) n 6= 0 ou m 6= 1; 5) Chamando S espac¸o soluc¸a˜o, temos (i) base de S e´ {(1,−4, 3)} e
dimS = 1, (ii) base de S e´ {(−3/2,−5/2, 1, 0)} e dimS = 1; 6) {(2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} e dimW = 2;
7) dim(U + W ) = 4 e portanto, U + W = R4 e dim(U ∩ W ) = 0 e a base de U ∩ W e´ va-
zia; 8) 4; 9) U : base {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} e dimU = 2, V : base {(1, 0, 0), (0, 2, 1)} e dimV = 2,
W : base {(1, 1, 0), (0, 0, 2)} e dimW = 2, U ∩ V : base {(0, 2, 1)} e dim(U ∩ V ) = 1, V + W = R3
e U + V + W = R3; 11) {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}; 12) (i) sim; a justificativa
e´ sua aluno(a), (ii) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e sua dimensa˜o e´ 3, (iii) na˜o; 13) (i) W1 ∩
W2 = [(0, 0, 1, 1)], (ii) Uma base para W1 ∩W2 e´ o conjunto unita´rio {(0, 0, 1, 1)}, (iii) W1 + W2 =
[(−1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)], (iv) na˜o e´ soma direta, (v) sim; 14)
(i)
[
3
−2
]
(ii)
[ −5/2
1/2
]
(iii)
[ √
3/2 − 1√
3/2 + 1
]
;
15)
(i)
 4−5
3
 (ii)
 3−5
2
 (iii)
 21/11−40/11
23/11
 ;
16) 
−3
1
0
1
 .