PRÉ AULA 03 SISTEMAS MECÂNICOS

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Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 1 
 01 Introdução ao Estudo de 
Sistemas Dinâmicos 
 
 
 
 
 
 
 
O estudo de sistemas dinâmicos envolve a modelagem matemática, a análise e a simulação 
de sistemas físicos de interesse da engenharia, tais como os sistemas mecânicos, elétricos, 
hidráulicos, pneumáticos e térmicos. Também são de particular importância os sistemas híbridos, 
resultantes da combinação de dois ou mais dos sistemas citados. Devemos, entretanto, ressaltar 
que a teoria dos sistemas dinâmicos pode ser aplicada a outros tipos de sistemas, tais como 
sistemas biológicos, econômicos, etc. 
 
Iniciaremos nosso estudo com o conceito de sistema, diferenciando imediatamente um 
sistema dinâmico de um sistema estático. Após apresentarmos os vários sistemas dinâmicos 
físicos usados em engenharia, conceituaremos excitação e resposta de um sistema e, em seguida, 
i os através de um exemplo o procedimento para a modelagem e a análise de um sistema 
d Em seguida, depois de abordarmos rapidamente a representação da dinâmica de um 
s
a
c
s
 
 
 
1
e
p
p
 
E
o
 
E
m
c
 
 
e
t
i
 
lustrarem
inâmico.
istema por diagramas de blocos, faremos uma classificação didática dos sistemas dinâmicos de 
cordo com vários critérios. Tal classificação é útil por estar muito vinculada matematicamente 
om a modelagem. Por fim, examinaremos alguns tipos de resposta (comportamento) que um 
istema dinâmico pode apresentar. 
 O QUE É UM SISTEMA? 
 
Conjunto de componentes interconectados, que 
apresentam certas relações de causa e efeito e que 
atuam como um todo, com um determinado objetivo. 
 
 
 
Sistema 
 
 
É importante diferenciar um sistema estático de um sistema dinâmico. O sistema 
stático é aquele em que as propriedades descritivas do sistema não variam com o tempo, 
odendo variar espacialmente. Já no sistema dinâmico tais propriedades variam no tempo, 
odendo também variar espacialmente. 
xemplo de sistema estático: viga carregada estaticamente, isto é, com cargas constantes, pois 
s deslocamentos de seus pontos variam espacialmente mas não com o tempo. 
xemplo de sistema dinâmico: a mesma viga carregada dinamicamente, ou seja, com cargas que 
udam com o tempo, pois os deslocamentos de seus pontos variam também com o tempo. Neste 
urso estudaremos apenas os sistemas dinâmicos. 
Os sistemas dinâm emos ter sistemas 
conômicos, sistemas bio icos, sistemas de 
rânsito, etc. Neste te istemas que mais 
nteressam à engenharia: 
icos não são necessariamente de natureza física. Pod
lógicos, sistemas de informação, sistemas ecológ
xto, porém, serão tratados exclusivamente os s
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 2 
 
• sistemas mecânicos • sistemas elétricos 
• sistemas hidráulicos • sistemas térmicos 
• sistemas pneumáticos • sistemas híbridos 
 
Vamos tecer algumas considerações sobre esses tipos de sistemas. 
 
• sistemas mecânicos 
 
São sistemas que possuem massas e/ou inércias, as quais armazenam energia cinética e 
potencial gravitacional, assim como elementos armazenadores de energia potencial elástica 
(molas) e dissipadores de energia mecânica (amortecedores). Normalmente, suas entradas são 
forças, torques ou deslocamentos. Também podem ser colocados em movimento através da 
imposição de condições iniciais, tais como deslocamentos iniciais e/ou velocidades iniciais. 
 
Um automóvel é um exemplo bastante familiar de um sistema mecânico. Ele apresenta 
uma resposta dinâmica durante acelerações, frenagem, deslocamentos em curvas, passagens 
sobre irregularidades do terreno, etc. Uma aeronave em vôo também constitui um exemplo de 
sistema mecânico: ela tem uma resposta dinâmica às mudanças de velocidade, altitude e 
manobras. Estruturas de edifícios podem apresentar uma resposta dinâmica a carregamentos 
externos, tais como vento, tremores de terra, etc. 
 
• sistemas elétricos 
 
Normalmente são constituídos por circuitos elétricos que possuem componentes 
passivos, tais como resistores (dissipadores de energia elétrica), capacitores e indutores 
(armazenadores de energia elétrica), os quais são excitados por geradores de voltagem ou 
corrente. Já os circuitos eletrônicos envolvem também o emprego de transistores e 
amplificadores. Devido à disponibilidade e ao controle que temos sobre a energia elétrica, os 
sistemas elétricos são os que mais estão presentes na nossa vida diária: circuitos elétricos 
domésticos, motores elétricos, receptores de TV, rádios, aparelhos de som, computadores, etc. 
 
• sistemas fluidos 
 
Classificam-se em dois grandes grupos, conforme a natureza do fluido utilizado: sistemas 
hidráulicos, quando o fluido de trabalho é um líquido, tal como água ou óleo, e sistemas 
pneumáticos, quando o fluido de trabalho é um gás, tal como ar, nitrogênio, etc. São constituídos 
por orifícios, restrições, válvulas de controle (dissipadores de energia), reservatórios 
(armazenadores de energia), tubulações (indutores) e atuadores excitados por geradores de 
pressão ou escoamento de um fluido. O sistema de abastecimento de água de um edifício é um 
exemplo de um sistema fluido (mais especificamente, é um sistema hidráulico do tipo sistema de 
nível de líquido), no qual o nível da água do reservatório tem uma resposta dinâmica em função da 
quantidade de água que é bombeada para o reservatório e da quantidade de água que é consumida 
no prédio. O escoamento de ar através de uma cavidade em um tubo causará uma resposta 
dinâmica (um tom acústico). O sistema de freio hidráulico de um automóvel, o sistema de 
distribuição de ar condicionado de um escritório, o escoamento da mistura ar-combustível do 
sistema de alimentação de um motor de combustão interna, etc., constituem exemplos de 
sistemas fluidos. 
 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 3 
 
• sistemas térmicos 
 
Possuem componentes que oferecem resistência térmica à transferência de calor (por 
condução, convecção e radiação) e componentes que apresentam a propriedade de capacitância 
térmica (armazenamento de energia térmica) quando excitados por uma diferença de 
temperatura ou um fl mento de uma casa tem uma resposta 
dinâmica, conforme a lcançar a temperatura desejada. 
 
• sistemas híbridos
 
São sistemas 
maioria dos sistemas
combinação, podemos 
 
o sistemas elet
energia elétric
Exemplos: alto
 
o sistemas fluid
pneumática em
Exemplos: ma
avião,cilindro p
 
o sistemas term
energia mecân
Exemplos: mot
 
o sistemas elet
térmica. 
Exemplos: aqu
 
 
2 EXCITAÇÃO E 
 
Quando solicit
chamado de resposta.
 
 
 • 
• 
• 
 
 
 
 
 
3 ANÁLISE DINÂ
 
A Análise Din
de um sistema. Ela se 
 
uxo de calor. Um sistema de aqueci
temperatura ambiente aumente até a
 
que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas citados anteriormente. A 
 dinâmicos aplicados em engenharia são sistemas híbridos. Conforme a 
ter, dentre outros: 
romecânicos: empregam componentes eletromagnéticos que convertem 
a em mecânica. 
-falante, atuador solenóide, motor elétrico, etc. 
omecânicos: empregam componentes que convertem energia hidráulica ou 
 energia mecânica. 
caco hidráulico, servo-hidráulico usado para controle do vôo de um 
neumático, etc. 
omecânicos: empregam componentes que convertem energia térmica em 
ica. 
or de combustão interna, motor a jato, turbina a vapor, etc. 
rotérmicos: empregam componentes que convertem energia elétrica em 
ecedor elétrico doméstico, aquecedor elétrico de água, etc. 
RESPOSTA 
ado por uma dada excitação, o sistema exibe um certo comportamento, 
 Outros termos muito empregados: 
sistema = processo = planta 
excitação = entrada = input 
resposta = saída = output 
MICA 
âmica é o estudo da relação de causa e efeito entre excitação e resposta 
processanas seguinte etapas: 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 4 
 
 
 
 
 
 Representar o sistema real na forma de diagrama (modelo físico) e 
 definir os parâmetros do sistema e as variáveis envolvidas. Estabelecer 
hipóteses simplificadoras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 Escrever as equações para cada componente do sistema, a partir de 
equações constitutivas adequadas 
 A partir de Leis Físicas, de acordo com a natureza do sistema, obter o 
modelo matemático do mesmo 
4 
3 
2 
Resolver o modelo matemático (as equações do sistema) e comparar o 
resultado teórico obtido com resultados experimentais. 
Se a discrepância for pequena, pode-se aceitar o modelo; caso contrário, 
modificar o modelo e refazer a análise 
 
Inicialmente (etapa 1), devemos identificar o sistema a ser modelado e analisado. Como 
exemplo ilustrativo, vamos considerar um sistema mecânico real constando de um pêndulo 
simples, no qual temos uma massa m, suposta concentrada em um ponto, ligada à estrutura fixa 
por um fio inextensível de comprimento L. Consideremos que, ao serem impostos um deslocamento 
angular inicial e uma velocidade inicial ao sistema (condições iniciais), o mesmo oscilará dentro de 
um plano vertical, sendo o seu movimento descrito, a qualquer instante, por uma coordenada 
angular θ(t). Também vamos desprezar as perdas por atrito na articulação e considerar a 
inexistência de resistência aerodinâmica. A fig. 1 ilustra o que foi dito. 
 
Fig. 1 - Pêndulo simples 
 
Na etapa 1, portanto, foram definidos os parâmetros do sistema (m e L) e a variável θ(t). 
Também foram adotadas hipóteses simplificadoras (massa m concentrada em um ponto, 
comprimento do fio L constante, oscilação dentro de um plano vertical, desprezadas as perdas 
por atrito na articulação e atrito com o ar). A adoção de hipóteses simplificadoras é imperativa 
na análise dinâmica, pois facilita o lado matemático. Entretanto, devemos ter muito cuidado ao 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 5 
estabelecer tais hipóteses, pois deve haver um compromisso entre simplicidade e precisão: o 
modelo deve ser o mais simples possível mas deve reter as características essenciais do sistema 
real. Normalmente, quando fazemos a verificação do modelo e constatamos que existe uma 
discrepância muito grande entre os resultados teóricos e experimentais, a causa do problema 
reside na adoção de simplificações inadequadas. 
 
A seguir (etapas 2 e 3), devemos escrever as equações para os componentes do sistema e 
para o sistema como um todo. Para os componentes devemos usar equações constitutivas. Uma 
equação constitutiva é uma relação de causa e efeito, muitas vezes estabelecida 
experimentalmente, entre duas ou mais variáveis descritivas. Exemplos: Lei de Ohm (e = Ri), Lei 
de Hooke (σ = Eε), Lei dos Gases Perfeitos (p = ρRT), etc. Aplicando leis físicas adequadas, como 
as Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., chegamos normalmente a equações diferenciais 
que relacionam matematicamente as variáveis do modelo com as propriedades do modelo e com o 
tempo. 
 
No nosso exemplo, usamos a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação em torno do 
centro de oscilação (também conhecida como Equação dos Momentos ou Equação de Euler). 
Fazendo isso, conforme estudaremos mais tarde, encontramos para modelo matemático a equação 
diferencial não linear 
(1) 0sen
L
g.. =θ+θ 
onde g é a aceleração da gravidade e onde foi adotada a notação 2
2...
dt
d ,
dt
d θ=θθ=θ , etc. 
 
O modelo matemático assim obtido deve ser agora resolvido (etapa 4), para que 
obtenhamos o comportamento (a resposta) do sistema. Tal solução pode ser feita analiticamente 
ou numericamente. Se o modelo matemático for relativamente simples, como no caso de uma 
equação diferencial ordinária linear (EDOL), devemos preferir uma solução analítica, a qual é 
exata. Entretanto, se o modelo for mais complicado, como no caso de uma equação diferencial 
não-linear, podemos apelar para uma solução numérica, a qual é aproximada. Felizmente, hoje em 
dia dispomos de muitos programas de computador que permitem essa última solução, como o 
MatLab, o Simulink e o VisSim. Tais softwares permitem, também, simular o comportamento 
através de gráficos nos quais podemos visualizar, por exemplo, o deslocamento e a velocidade em 
função do tempo. Uma outra opção da qual podemos dispor é a chamada linearização do sistema 
em torno de um ponto de operação. No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas 
oscilações em torno da posição vertical θ = 0 (o ponto de operação), o ângulo θ em radianos tem 
aproximadamente o mesmo valor que sen θ. O leitor pode verificar isso em sua calculadora para o 
intervalo (-π/6 < θ < π/6). Então, considerando sen θ ≈ θ nesse intervalo, podemos rescrever a eq. 
(1) como 
 
(2) 0L
g.. =θ+θ 
 
que é uma EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes e homogênea, a qual é de fácil solução 
analítica: 
(3) tL
g
sen
L
g
t
L
g
cos)t( 0
.
0
θ+θ=θ 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 6 
onde θ0 e são as condições iniciais do problema, ou seja, o deslocamento inicial e a velocidade 
inicial que são as causas do movimento pendular. 
0
.θ
 
Uma vez obtido o comportamento do sistema, através da solução do modelo matemático, 
devemos compará-lo com o comportamento obtido experimentalmente. Se tal comparação for 
satisfatória, podemos aceitar o modelo. Caso contrário, devemos refinar o modelo e repetir o 
procedime delo satisfatório. 
 
 
4 PROJE
 
 Pr
apresente
estágios d
podendo h
 
 
5 REPRE
 
O 
conforme 
 
 
 
 
 
Co
controle),
 
 
Em
fig. 4: 
 
 
nto, até encontrarmos um mo
TO 
ojeto é a criação de um sistema que, ao ser solicitado por excitações conhecidas, 
 respostas especificadas (desejadas). O Projeto envolve praticamente todas os 
a Análise, a qual, agora, deverá ser repetida várias vezes. O projeto não é único, 
aver vários projetos apresentando desempenho satisfatório. 
SENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS 
diagrama de blocos é a representação gráfica da relação entre entrada e saída, 
ilustra a fig. 2: 
 
 
 Fig. 2 - Diagrama de Blocos 
 
mo exemplo ilustrativo, consideremos o vôo vertical de um foguete balístico (sem 
 fig. 3: 
• sistema: o próprio foguete 
• Excitações: força gravitacional (peso) Fg e resistência aerodinâmica Fd 
• resposta: podemos considerar a altitude h(t), ou a velocidade v(t), ou ambas 
 
 
Fig. 3 - Vôo Vertical de um 
 Foguete Balístico 
 termos de diagrama de blocos, podemos representar o sistema acima pelo diagrama da 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 7 
 
 Fig. 4 - Diagrama de Blocos 
 
 
 
 
6 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS 
 
 Apresentamos, a seguir, uma classificação dos sistemas dinâmicos de acordo com vários 
critérios. Apesar de didática, ela é importante porque revela uma ligação matemática com a 
modelagem. 
 
 
6.1 SISTEMAS COM PARÂMETROS CONCENTRADOS E COM PARÂMETROS 
 DISTRIBUÍDOS 
 
No desenvolvimento do modelo matemático é necessário identificar os componentes do 
sistema e determinar as suas características individuais. Tais características são governadas por 
leis físicas (Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., conforme a natureza do sistema) e 
são descritas em termos dos chamados parâmetros (ou propriedades) do sistema. Os sistemas 
podem ser divididos em duas grandes classes, conforme a natureza de seus parâmetros: aqueles 
cujos parâmetrosnão dependem das coordenadas espaciais, chamados sistemas com parâmetros 
concentrados, e aqueles cujos parâmetros dependem das coordenadas espaciais, denominados 
sistemas com parâmetros distribuídos. No primeiro caso, a excitação e a resposta dependem 
apenas do tempo, logo são descritos por equações diferenciais ordinárias; já no caso de 
parâmetros distribuídos, a excitação e a resposta dependem do tempo e das coordenadas 
espaciais, logo são descritos por equações diferenciais parciais (mais de uma variável 
independente). Como exemplo do primeiro caso, citamos um conjunto de discos montados em um 
eixo cuja massa é pequena em comparação com as massas dos discos, logo podemos concentrar 
nos discos as massas dos eixos. Já uma laje constitui um exemplo de segundo caso, pois vemos 
nitidamente que o parâmetro massa está distribuído ao longo das coordenadas espaciais. 
 
Neste curso serão estudados exclusivamente os sistemas com parâmetros concentrados. 
 
 
6.2 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO E INVARIANTES NO TEMPO 
 
No modelo matemático, i.é., nas equações diferenciais, os parâmetros do sistema 
aparecem sob forma de coeficientes. Se os coeficientes são constantes, dizemos que o sistema é 
invariante no tempo; se não, o sistema é considerado variante no tempo. O pêndulo simples 
analisado anteriormente constitui um exemplo de sistema invariante no tempo. Já um foguete na 
sua fase propulsada é um sistema variante no tempo, pois o mesmo perde massa durante a queima 
de combustível. 
 
Neste curso serão estudados apenas os sistemas invariantes no tempo. 
 
 
6.3 SISTEMAS LINEARES E NÃO LINEARES 
 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 8 
Uma propriedade do sistema que tem profundas implicações na análise é a linearidade. 
Consideremos a fig. 5, na qual está expressa a relação entre a entrada r(t) e a saída c(t) sob 
forma de diagrama de blocos: 
 
 
 
 
 
Fig. 5 Entrada e Saída de um Sistema 
Consideremos, também, dois pares de entrada e saída, r1(t), c1(t) e r2(t), c2(t), conforme 
fig. 6 (a) e (b). Então, para o mesmo sistema, seja a entrada r3(t), fig. 6 (c), uma combinação 
linear de r1(t) e r2(t): 
 
(4) r3(t) = α1r1(t) + α2r2(t) 
 
onde α1 e α2 são constantes. 
 
Fig. 6 Sistema Linear 
 
Se a saída c3(t) representa uma combinação linear de mesma forma, i.é., se 
 
(5) c3(t) = α1c1(t) + α2c2(t) 
 
então dizemos que o sistema é um sistema linear. Caso contrário, i.é., se 
 
(6) c3(t) # α1c1(t) + α2c2(t) 
 
então dizemos que se trata de um sistema não-linear. Em outras palavras, para um sistema 
linear, respostas a diferentes excitações podem ser obtidas separadamente e depois combinadas 
linearmente, o que constitui o Princípio da Superposição, que é o princípio fundamental da Teoria 
dos Sistemas Lineares. 
 
A grande vantagem de trabalhar com sistemas lineares é que o modelo matemático dos 
mesmos é descrito por um sistema de Equações Diferenciais Lineares, que são de fácil solução 
analítica. Já o modelo de sistemas não lineares é descrito por Equações Diferenciais Não 
Lineares, as quais são de difícil solução analítica (ou mesmo impossível). Nesse caso, temos duas 
opções: ou impomos certas hipóteses simplificadoras (se forem exeqüíveis) que conduzam à 
linearização do sistema, ou apelamos para métodos numéricos aproximados, como os métodos de 
Euler, Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, já estão implantados em muitos softwares de 
simulação, tais como MatLab, VisSim, etc. 
 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 9 
Conforme veremos mais tarde, um sistema linear com parâmetros concentrados com uma 
só entrada e uma só saída (sistemas SISO = Single Input Single Output) tem por modelo 
matemático uma só Equação Diferencial Ordinária Linear (EDOL) do tipo 
 
 
(7) r(t)ac(t)da...dada 1 =++++ c(t)dtdt
c(t)
dt
c(t)
n-n1-n
1-n
1n
n
0 
 
 
onde c(t) é a saída, r(t) é a entrada e os coeficiente ai são os parâmetros do sistema. A equação 
acima r presenta uma relação entre entrada e saída para o sistema. Notemos que a entrada r(t) 
aparec
no mem
 
Podemo
 
(8) 
 
e reesc
 
(9) 
 
que pod
 
 
 
 
operad
parâme
entret
para um
 
(10) 
 
onde o
recebe
blocos 
 
 
 
 
 
possam
 
 
6.4 SI
 
 
inserid
 
e
e no membro direito da EDOL, enquanto que a saída c(t) e suas derivadas estão presentes 
bro esquerdo, assim como as propriedades do sistema. 
s, neste ponto, definir um operador diferencial linear D(t) como 
 11 adt
a...
dt
a
dt
 D(t) ++++ n-n-n
1-n
1n
n
0
ddda =
rever a EDOL do sistema como 
 D(t)c(t) = r(t) 
 
e ser assim representada em diagrama de blocos: 
 Fig. 7 Operador Diferencial Linear 
 
A eq. (9) indica que a excitação r(t) pode ser obtida operando sobre a resposta c(t) o 
or D(t), onde D(t) difere de sistema para sistema, já que os coeficientes ai são os 
tros do sistema, os quais traduzem as características dinâmicas do sistema. Na análise, 
anto, temos interesse em determinar a resposta a uma dada excitação, isto é, achar c(t) 
a determinada r(t). Isso pode ser expresso matematicamente por 
 c(t) = D-1(t) r(t) 
 operador D-1(t) pode ser interpretado como o inverso do operador D(t). O operador D-1(t) 
 o nome de operador integral linear. A eq. (10) pode ser representada pelo diagrama de 
da fig. 8: 
 
Fig. 8 Operador Integral Linear 
No nosso curso trataremos apenas dos sistemas lineares e dos sistemas não lineares que 
 ser linearizados em torno de um ponto de operação. 
STEMAS ATIVOS E SISTEMAS PASSIVOS 
Um sistema físico com fonte interna de energia, como um circuito hidráulico no qual está 
o uma bomba, é chamado sistema ativo. Caso contrário, ele será um sistema passivo. Como 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 10 
exemplo de sistema passivo, podemos citar um circuito elétrico RLC sobre o qual não está 
atuando nenhuma fonte de tensão ou de corrente. 
 
 No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas. 
 
 
6.5 SISTEMA
 
 Se um
também contí
constituído po
discreta no te
(outra seqüên
será constituí
 
 No nos
 
 
7 RESPOST
 
Para o
excitação ou 
resolver a eq
invariantes no
representam o
 
A solu
solução partic
 
A solu
sistema entra
existirem con
Engenharia, é 
 
Por ou
excitação ext
solução partic
 
No cas
para combinar
 
 
 
 
A natu
do sistema di
resposta trans
 
 
S CONTÍNUOS E SISTEMAS DISCRETOS 
 sistema submetido a uma entrada contínua no tempo, r(t), apresentar uma saída 
nua, c(t), ele é chamado de sistema contínuo e o seu modelo matemático será 
r equações diferenciais. Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada 
mpo, {rk} (uma seqüência de números), apresentar uma saída também discreta, {ck} 
cia de números), ele é chamado de sistema discreto e o seu modelo matemático 
do por equações a diferenças finitas. 
so curso trataremos os dois tipos de sistemas. 
A DO SISTEMA 
bter a resposta do sistema, ou seja, o seu comportamento quando submetido a uma 
a condições iniciais (tais como deslocamento inicial e/ou velocidade inicial), basta 
uação diferencial do modelo matemático. Para o caso de sistemas lineares 
 tempo, a equação diferencial é linear com coeficientes constantes, os quais 
s parâmetros do sistema. 
ção de uma equação diferencial consiste de duas partes: a solução homogênea e a 
ular. 
ção homogênea corresponde ao caso em que a excitação externa é nula, podendo o 
r em movimento somente quando lhe forem impostas condições iniciais. Se não 
dições iniciais enem excitações externas, o sistema permanece em repouso. Em 
costume chamar a solução homogênea de resposta livre ou resposta natural. 
tro lado, a solução particular é a parte da resposta devida inteiramente à 
erna, considerando as condições iniciais nulas. Em Engenharia, é costume chamar a 
ular de resposta forçada. 
o de sistemas lineares, podemos invocar o Princípio da Superposição dos Efeitos 
 a resposta livre com a resposta forçada, obtendo a resposta total: 
Resposta Total = Resposta Livre + Resposta Forçada 
reza da resposta depende da excitação utilizada, assim como das características 
nâmico. A esse respeito, é conveniente distinguir entre resposta permanente e 
iente. 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 11 
A resposta permanente é aquela em que o sistema atinge um certo estado de equilíbrio, 
tal como uma resposta constante ou uma resposta periódica que se repete indefinidamente. 
Matematicamente, é a parte da resposta total que permanece quando se faz o tempo tender ao 
infinito. 
 
Já a resposta transiente depende fortemente do tempo: matematicamente, é a parte da 
resposta total que desaparece quando se faz o tempo tender ao infinito. 
 
No que diz respeito ao tipo de excitação, podemos dizer que a resposta permanente 
ocorre no caso de excitação harmônica ou periódica, enquanto que a resposta transiente ocorre 
no caso de outras excitações que não as mencionadas. 
 
A natureza da excitação afeta também a escolha do método a ser utilizado na 
determinação da resposta. No caso de excitação harmônica ou periódica, é vantajoso estudar a 
resposta permanente no domínio da freqüência, a qual é conhecida como resposta em freqüência. 
Já para os demais tipos de excitação, é mais conveniente estudar a resposta transiente no 
domínio do tempo. No nosso curso faremos ambos os estudos. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Dadas as equações diferenciais abaixo, classificá-las, seguindo o exemplo do item a): 
 
a) : EDOL de 1t5x
. = a ordem, coeficientes constantes, não homogênea 
b) :_________________________________________ t5sen2x9x3x
... =++
c) :_____________________________________________ 0x9x3x
... =++
d) :_________________________________________ 0x9x)1t3(x
... =+−+
e) :_______________________________________ )t(u3x9x)1t3(x
... =+−+
f) 2
2
2
2
t
)t,x(y
x
)t,x(y
9 ∂
∂=∂
∂
:________________________________________ 
 
 
2. Um sistema de nível de líquido, tal como a caixa d’água de uma residência, é modelado 
matematicamente pela equação diferencial de 1a ordem )t(q
A
1h
RA
g
i
. =+h , onde A é a área da 
seção reta do reservatório (constante), R é a resistência hidráulica do sistema (constante), g 
é a aceleração da gravidade (constante), qi(t) é a vazão volumétrica de água que entra no 
reservatório (excitação ou entrada do sistema) e h(t) é a altura instantânea de líquido dentro 
do reservatório, em relação ao fundo do mesmos. Admitindo que o reservatório inicialmente 
estava vazio e que a vazão qi = Q é constante, use seus conhecimentos de Cálculo para 
resolver a equação diferencial e assim encontrar a resposta no tempo h(t), ou seja, como 
varia a altura do nível de atua com o tempo. Esboce um gráfico da resposta h(t). 
 
Resp.: )e1(
g
QRA)t(
t
RA
g−−=h 
 
 
 
Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 12 
3. Usando seus conhecimentos de Cálculo, demonstre que a eq. (3) é a solução da eq. (2), ambas 
do texto. 
 
 
4. Suponha que a resposta de um sistema mecânico seja dada por 
 
 x(t) = e-t –2e-3t + sen2t 
 
 Achar a resposta transiente e a resposta permanente. 
 
Solução 
 
A resposta transiente é dada por e-t – 2e-3t, pois vemos claramente que ela tende a desaparecer à 
medida que o tempo cresce. Já a resposta permanente é dada por sen2t, a qual não tende a 
desaparecer à medida que o tempo cresce. 
 
 
5. Com relação ao Exercício 2, identificar a resposta permanente. 
 
 
 
6. A resposta total de um sistema mecânico de segunda ordem submetido a um deslocamento 
inicial x0 e a uma velocidade inicial é dada pela equação 0
.
x




ωω
+ςω+ω= ςω− tsenxxtcosxe)t(x d
d
0
.
0n
d0
tn , onde ωn, ωd e ζ são constantes do sistema, a 
serem definidas mais tarde. Pedem-se: 
 
(a) É a resposta acima livre ou forçada? Por quê? 
(b) Identificar a resposta transiente e a resposta permanente.