Cálculo das Probabilidades I

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TEORIA DAS PROBABILIDADES I
Prof. Nei Rocha
Instituto de Matemática - UFRJ
Rio de Janeiro
2013-1
Sumário
1 Revisão de Análise Combinatória 1
1.1 Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Noções Básicas de Técnicas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Base Teórica de Probabilidade 17
2.1 Modelo Matemático para um Experimento . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Espaços de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Variáveis Aleatórias 44
3.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . 54
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Esperança Matemática 58
4.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 A Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Modelos de Variáveis Aleatórias Discretas 70
5.1 O Modelo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 O Ensaio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 A Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 A Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 A Distribuição Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 A Distribuição Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
5.7 O Processo de Poisson e a Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . 79
5.7.1 Aproximação da Binomial pela Poisson . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Modelos de Variáveis Aleatórias Contínuas 90
6.1 A Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 A Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 A Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 A Distribuição Normal Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 A Distribuição Normal com média � e variância �2 . . . . . . 93
6.4 A Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 A Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.2 A Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5 A Distribuição Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 A Distribuição Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7 A Distribuição de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.8 A Distribuição t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.9 A Distribuição F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Vetores Aleatórios 112
7.1 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios . . . . . . 122
7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
i
OBJETIVOS GERAIS: Habilitar o aluno a pensar probabilisticamente o
mundo e a modelar fenômenos aleatórios por meio de modelos de probabilidade,
resolvendo problemas reais usando raciocínio probabilístico.
PROGRAMA
UNIDADE I - PROBABILIDADE.
Interpretações de Probabilidade. Experimentos e eventos. De…nição de proba-
bilidade. Propriedades da probabilidade. Espaços amostrais …nitos –Métodos de
Contagem. Probabilidade da União Finita de Eventos.
UNIDADE II –PROBABILIDADE CONDICIONAL.
De…nição de Probabilidade Condicional. Independência. Teorema de Bayes.
Cadeias de Markov: primeiras noções.
UNIDADE III –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
De…nição. Função de Distribuição e Propriedades. Tipos de Variáveis Aleatórias.
UNIDADE IV –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
De…nição e exemplos. Função de Probabilidade. Valor esperado e variância de
uma variável aleatória discreta. Propriedades do valor esperado e da variância.
Principais modelos discretos: de…nição e propriedades. Bernoulli, Binomial, Ge-
ométrico, Binomial Negativo, Hipergeométrico e Poisson.
UNIDADE V –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
De…nição. Função de densidade de probabilidade.
Valor esperado e variância. Propriedades do valor esperado e da variância.
Principais modelos contínuos: de…nição e propriedades. Uniforme, Normal, Ex-
ponencial, Gama, Beta. Outros modelos contínuos.
A distribuição de uma função de uma variável aleatória.
ii
UNIDADE VI – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO CON-
JUNTA
Duas variáveis aleatórias discretas: função de probabilidade conjunta, funções
de probabilidade marginais e função de probabilidade condicional.
Duas variáveis aleatórias contínuas: densidade conjunta, densidades marginais e
condicionais. Extensão para o caso n-variado. Variáveis aleatórias independentes.
Covariância e correlação.
UNIDADE VII –A FUNÇÃO GERATRIZ DE MOMENTOS
Função geratriz de momentos: de…nição e propriedades.
Somas de variáveis aleatórias independentes via função geratriz de momentos.
Função geratriz de momentos conjunta.
UNIDADE VIII - TEOREMAS LIMITES –NOÇÕES BÁSICAS
Desigualdade de Tchebyshev, Lei dos Grandes Números, Teorema Central do
Limite: enunciado e exemplos de aplicação.
iii
BIBLIOGRAFIA
[1] Ross, S. (1998). A First Course in Probability . Prentice Hall.
[2] DeGroot, M., (2002). Probability and Statistics. Addison Wesley.
[3] Hoel, P.G., Port, S.C. e Stone, C.J. (1978). Introdução à Teoria da Probabil-
idade Tradução deChiyoshi, F.Y., Editora Interciência.
[4] Magalhães, M. N. (2004) Probabilidade e Variáveis Aleatórias - Ed. Univer-
sidade de São Paulo.
AVALIAÇOES
Prova 1 - 28 de maio de 2013.
Prova 2 - 26 de julho de 2013.
Reposição - 1 de agosto de 2013.
Prova Final - 2 de agosto de 2013.
iv
Capítulo 1
Revisão de Análise Combinatória
1.1 Álgebra de Conjuntos
Letras maiúsculas, como por exemplo A, B, ..., Y , Z, representarão conjuntos.
A letra grega 
 representará o conjunto universal em uma situação determinada.
Letras minúsculas a, b, ..., y, z, indicarão elementos desses conjuntos.
A relação de pertinência será grafada pelo símbolo e escrevemos, por exemplo
a 2 A para indicar que a é membro de A (ou a pertence a A).
O conjunto vazio é representado pelo símbolo ;.
Um conjunto também pode ser descrito por uma propriedade p, comum a todos
os seus elementos, e escrevemos
A = fx j x tem a propriedade pg
Exemplo 1 A = fx j x = 2k, k = 1; 2; :::g descreve o conjunto dos números in-
teiros pares positivos.
Usaremos o símbolo #Apara indicar o número de elementos de um determinado
conjunto A (ou cardinalidade de A).
Diremos que A � B (A está contido em B) se todo elemento de A é também um
elemento de B, e diremos também que A é subconjunto de B.
1
Se A � B mas existe um elemento b 2 B tal que b =2 A, (b não pertence a A),
diremos que A é um subconjunto próprio de B.
Para mostrar que A não está contido em B, basta exibir um elemento a 2 A tal
que a =2 B.
Dizemos que A = B se A � B e B � A.
Proposição 1 ; � A, para qualquer conjunto A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 1 Dados dois conjuntos A � 
 e B � 
 indicaremos por A [ B o
conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é o conjunto dos elementos
que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Este conjunto é chamado
união de A com B.
A [B = f! 2 
 j ! 2 A ou ! 2 Bg
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai � 
, para todo
i = 1; 2; :::; n). Então
n[
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 A1 ou ! 2 A2 ... ou ! 2 Ang
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai � 
, para todo i 2 N).
Então
1[
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 Ai para algum i 2 Ng
De…nição 2 Dados dois conjuntos A e B, de…nimos o conjunto interseção de A
e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, isto é
A \B = f! 2 
 j ! 2 A e ! 2 Bg
2
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai � 
, para todo i =
1; 2; :::; n). Então
n\
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 A1 e ! 2 A2 ... e ! 2 Ang
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai � 
, para todo i 2 N).
Então
1\
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 Ai para todo i 2 Ng
De…nição 3 Dados dois conjuntos A e B, diz-se que eles são disjuntos, se não
têm elementos comuns, isto é, se A \ B = ;. Por extensão, dada uma coleção de
conjuntos A1, ..., An, dizemos que eles são (mutuamente) disjuntos, ou disjuntos
dois a dois, se Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
De…nição 4 Dado um conjunto A, de…nimos o conjunto complementar de A o
conjunto dos elementos de 
 que não pertencem a A. Simbolicamente
Ac = f! 2 
 j ! =2 Ag
De…nição 5 Dados dois conjuntos A e B, de…ne-se o conjunto diferença de A e
B como o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, isto é
A�B = f! 2 
 j ! 2 A e ! =2 Bg
Observe que A�B = A \Bc.
A proposição seguinte lista as propriedades mais importantes que relacionam os
conceitos de…nidos anteriormente.
Proposição 2 Dado um conjunto universal 
 e conjuntos A, B e C, os seguintes
itens se veri…cam:
3
(i) Para todo conjunto A � 
, A [ ; = A, A \ ; = ;.
(ii) A � B se e somente se A [B = B.
(iii) A � B se e somente se A \B = A.
(iv) A [ (B [ C) = (A [B) [ C.
(v) A \ (B \ C) = (A \B) \ C.
(vi) A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C).
(vii) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C).
(viii) A [ Ac = 
, A \ Ac = ;, ;c = 
, 
c = ;.
(ix) (Ac)c = A.
(x) A � B se e somente se Bc � Ac.
(xi) (A [B)c = Ac \Bc,
�
n[
i=1
Ai
�c
=
�
n\
i=1
Aci
�
e
� 1[
i=1
Ai
�c
=
� 1\
i=1
Aci
�
.
(xii) (A \B)c = Ac [Bc,
�
n\
i=1
Ai
�c
=
�
n[
i=1
Aci
�
e
� 1\
i=1
Ai
�c
=
� 1[
i=1
Aci
�
.
Prova. (Deixada como exercício.)
De…nição 6 Dados dois conjuntos A e B, chamaremos de produto cartesiano de
A por B o conjunto de pares ordenados (a; b) onde a é um elemento de A e b é um
elemento de B. Simbolicamente
A�B = f(a; b) j a 2 A, b 2 Bg
Extensão 1: Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, o produto cartesiano
A1� A2 � ::: � An é de…nido como o conjunto das n-uplas (a1; a2; :::; an), onde
ai 2 Ai, para i = 1; :::; n.
Extensão 2: Dada uma seqüência de conjuntos A1, A2, ..., o produto cartesiano
A1� A2� ::: é de…nido como o conjunto das1-uplas (a1; a2; :::; ) (ou das seqüências
fan; n � 1g) onde ai 2 Ai, para todo i 2 N.
4
Exemplo 2 Se A = f1; 2g e B = f1; 2; 3g, temos
A�B = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3)g
Observe que, em geral, A�B 6= B � A.
1.2 Noções Básicas de Técnicas de Contagem
Neste capítulo, exporemos todos os objetos presentes na análise combinatória, fazendo
uma re‡exão minuciosa sobre eles, quando for necessária.
Princípio da Adição: Sejam A1, ..., An, conjuntos diferentes e disjuntos dois a
dois, tendo, respectivamente, r1, ..., rn elementos diferentes, isto é, #A1 = r1,
..., #An = rn. Então o número de formas de selecionar um objeto de um dos
n conjuntos é r1 + :::+ rn.
Princípio da Multiplicação: Suponha que um experimento possa ser realizado
em n fases. Suponha que a fase Fi (i = 1; :::; n) tenha ri receitas diferentes
para cumpri-la. Se o número de receitas em cada fase é independente das
escolhas nas fases anteriores, e se os resultados compostos são todos distintos,
então o número de formas de se realizar o experimento nas n fases é r1�:::�rn.
Exemplo 3 Prof. Cláudio tem 40 estudantes no curso de álgebra e 35 no curso de
geometria. Quantos estudantes diferentes há nessas duas classes, supondo que não
há estudantes em ambas as classes?
Exemplo 4 De quantas formas podemos extrair uma carta de copas ou de espadas
de um baralho de 52 cartas? Uma carta ás ou rei?
5
Exemplo 5 De quantas formas podemos obter uma soma 4 ou 8 quando dois dados
distinguíveis (por exemplo, têm cores diferentes) são lançados? De quantas formas
obtemos uma soma par?
Observação 1 É urgente a discussão sobre a diferença semântica entre os adjetivos
distinto e distinguível. No exemplo acima, os dois dados são distintos porque
temos dois dados e não apenas um dado. Além disso, os dados eram também distin-
guíveis com respeito à cor, de forma que o par (1,5) pode ser diferenciado de (5,1).
Entretanto, se os dois dados distintos não tivessem características distinguíveis, en-
tão não poderíamos fazer tal diferenciação.
Exemplo 6 De quantas formas podemos obter uma soma 8 quando dois dados in-
distinguíveis são lançados? De quantas formas obtemos uma soma par?
Exemplo 7 Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados. Quantos resulta-
dos diferentes existem neste experimento?
Exemplo 8 Há 5 livros diferentes de Espanhol, 6 livros diferentes de Francês e 8
livros diferentes de Inglês. Quantas formas há de tomar um par (não ordenado) de
livros de línguas diferentes?
Exemplo 9 Quantas maneiras existem de formar uma seqüência de três letras,
usando as letras a, b, c, d, e, f:
(a) com a repetição de letras permitida?
(b) sem a repetição de qualquer letra?
(c) sem a repetição e contendo a letra ”e”?
(d) com repetição e contendo a letra ”e”?
Exemplo 10 Quantas coleções diferentes e não-vazias podem ser formadas com 5
maçãs idênticas e 8 laranjas idênticas?
6
Exemplo 11 Uma indústria fabrica 100 produtos diferentes, que já estão no mer-
cado. Para facilitar a identi…cação via computador será criado um código de barras
onde cada barra é j ou �. Qual o número de barras necessárias para que se possa
identi…car cada um dos 100 produtos?
De…nição 7 Dado um número natural n, de…ne-se o fatorial de n, representado
por n!, como
n! = n(n� 1)(n� 2):::3:2:1
= 1:2:3:::(n� 2)(n� 1)n
Por convenção, 0! = 1. Esta convenção está amparada no mundo físico, como
veremos a seguir.
Proposição 3 (Permutação) Sejam n objetos distinguíveis, ordenados em …la.
Então o número de con…gurações das ordenações possíveis, ou por outra, o número
de permutações dos objetos é dado por
Pn = n!
Pn é chamado de permutação de n objetos distintos.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 12 Suponha que um carteiro bêbado tenha n cartas a serem distribuídas
aleatoriamente em n casas diferentes. Suponha que ele o faça colocando uma carta
em cada caixa de correio. De quantas formas ele pode distribuir as cartas?
Exemplo 13 Suponha agora o carteiro bêbado tenha n cartas a serem distribuídas
aleatoriamente em k casas diferentes (k �n). Suponha que ele o faça colocando
uma carta em cada caixa de correio.
7
(a) De quantas formas ele pode distribuir as cartas?
(b) Justi…que, com base nos dois últimos exemplos, o fato de 0! = 1.
O resultado do exemplo anterior é chamado de arranjo de n objetos em k com-
partimentos, ou simplesmente arranjo de n, k a k, como veremos na proposição a
seguir.
Proposição 4 (Arranjo) Suponha que n objetos distinguíveis devam ser alocados
em k compartimentos (k � n), de forma ordenada, com cada compartimento tendo
um único elemento. O número de alocações possíveis é dado por
An;k =
n!
(n� k)!
Prova. (Em aula.)
Exemplo 14 Suponha que 20 corredores disputam uma corrida de Fórmula 1. Quan-
tos resultados de pódium (primeiro, segundo e terceiro lugares) são possíveis?
Exemplo 15 Suponha que 5 pessoas entrem num elevador que conduz aos 10 an-
dares de um edifício. De quantas maneiras podemos ter pessoas saindo sozinhas em
andares diferentes?
Proposição 5 (Combinação) Suponha que n objetos devam ser alocados em k
compartimentos (k � n), de forma não-ordenada, com cada compartimento tendo
um único elemento. O número de alocações possíveis é dado por�
n
k
�
=
An;k
k!
=
n!
k!(n� k)!�
n
k
�
(ou Cn;k ou Ckn) é chamado de combinação de n, k a k, e sua distinção básica com
o conceito de arranjo de n, k a k reside no fato de que, na combição, a ordenação
dos objetos não é relevante, embora o seja no contexto de arranjo.
8
Prova. (Em aula.)
Exemplo 16 Suponha que desejemos formar uma comissão de 4 pessoas retiradas
aleatoriamente de 10 pessoas. Quantas comissões são possíveis?
Exemplo 17 Quantos padrões distintos usando-se k letras A e n� k letras B são
possíveis de serem criados? (As ”palavras”assim formadas são chamadas de ana-
gramas.)
Exemplo 18 Numa recepção há 50 homens e 30 mulheres. Qual o número de
apertos de mão possíveis, sabendo que 70% das mulheres não se cumprimentam
entre si?
Vejamos agora a construção do conceito de permutação com repetição, que gen-
eraliza o conceito de combinação.
Proposição 6 (Permutação com Repetição) Se há n objetos, com r1 objetos
do tipo 1, r2 objetos do tipo 2, ..., e rm objetos do tipo m, onde r1 + r2:::+ rm = n,
então o número de permutações distintas geradas pelos objetos é dado por
P (n; r1; r2; :::; rm) =
�
n
r1
��
n� r1
r2
��
n� r1 � r2
r3
�
:::
�
n� r1 � r2:::� rm�1
rm
�
=
n!
r1!r2!:::rm!
Prova. (Em aula.)
Exemplo 19 Numa universidade há 7 professores de Matemática e 4 de Física. De
quantas formas uma equipe composta de 4 matemáticos e 2 físicos pode ser feita?
Exemplo 20 Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000, podem ser for-
mados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8?
9
Exemplo 21 Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não pos-
suem duas letras A juntas?
Os próximos exemplos ilustram o conceito de Combinações Completas, onde o
conceito de distinguibilidade de objetos não mais se dá.
Proposição 7 (Combinação Completa) Seja A um conjunto de n elementos.
Então o número de amostras com reposição de k elementos de A, ou por outra, o
número de subconjuntos de k elementos de A com repetições permitidas é dado por�
n
k
�
:=
�
n+ k � 1
k
�
Obs.: A notação
�
n
k
�
é chamada de combinação completa (ou com repetição)
de n, k a k. Alguns autores adotam a notação CRkn.
Prova. Em aula.
Corolário 1 O número de soluções inteiras de x1 + x2 + ::: + xn = k onde cada
xi � 0 é dado por
�
n
k
�
.
Prova. Em aula.
Exemplo 22 De quantas formas diferentes podemos comprar 6 cachorros-quentes,
se há 3 variedades possíveis (mini, regular e super)?
Exemplo 23 Quantas soluções inteiras há para a equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
(a) com xi � 0?
(b) com xi � 1?
(c) com x1 � 2, x2 � �2, x3 � 4, x4 � 0?
10
Exemplo 24 Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x+ y+ z+w < 6.
Exemplo 25 Quantos arranjos das letras a, e, i, o, u, x, x, x, x, x, x, x, x (8 x’s)
existem se não pode haver duas vogais consecutivas?
Exemplo 26 A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de
30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser
formadas?
Finalmente encerraremos, nossa breve introdução à análise combinatória com o
conceito de permutação circular.
Proposição 8 (Permutação Circular) Suponha n objetos distingíveis dispostos
circularmente. Então o número de padrões circulares gerados pelos n objetos é dado
por
Pn�1 = (n� 1)!
Prova. (Em aula.)
Exemplo 27 De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda
de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não …quem juntas?
Exemplo 28 Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens deve ocupar as 8
cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado de
modo que cada homem sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo
de pessoas; entretanto por motivos de ordem estritamente pessoal não podem sentar-
se lado a lado. Duas acomodações de pessoas ao redor da mesa são consideradas
diferentes quando pelo menos uma das pessoas não tem o mesmo vizinho à direita,
nas duas acomodações. Determine o número de diferentes acomodações possíveis
dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.
11
Proposição 9 (Princípio da Inclusão e Exclusão) Sejam 
 o conjunto univer-
sal, A1, A2 , ..., An subconjuntos de 
 e
S0 = #
S1 =
nP
i=1
#(Ai)
S2 =
P
1�i<j�n
#(Ai \ Aj)
S3 =
P
1�i<j<k�n
#(Ai \ Aj \ Ak) ...
(observe que há
�
n
1
�
parcelas em S1,
�
n
2
�
parcelas em S2, etc). Então o número
de elementos do conjunto A1 [ A2 [ ::: [ An é
S1 � S2 + S3 � :::+ (�1)n+1Sn
Prova. (Em aula.)
Exemplo 29 Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 7 falam
francês. Sabendo-se que 3 falam inglês e alemão, 2 falam inglês e francês, 2 falam
alemão e francês e que 1 fala as três línguas, determinar o número de alunos que
não falam nenhuma dessas três línguas.
Exemplo 30 Quantos são os inteiros entre 1 e 42.000, que não são divisíveis por
2, por 3 e nem por 7?
Exemplo 31 Quantas são as permutações das letras da palavra BRASIL em que o
B ocupa o primeiro lugar, ou o R o segundo lugar, ou o L o sexto lugar?
Exemplo 32 Dentre os inteiros de 1 a 1.000.000 inclusive, quantos não são quadra-
dos perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas?
Exemplo 33 De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa
circular de tal forma que marido e mulher não …quem juntos?
12
Exemplo 34 De quantas formas podemos permutar 3 a’s, 3 b’s e 3 c’s de tal modo
que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes?
Exemplo 35 Encontrar o número de soluções, em inteiros positivos, de
x1 + x2 + x3 + x4 = 22
em que x1 � 7, x2 � 6, x3 � 9 e x4 � 8.
Exemplo 36 Encontrar o número de soluções de x1 + x2 + x3 + x4 = 1 em inteiros
entre �3 e 3 inclusive.
Exemplo 37 Lançam-se 3 dados. Em quantos dos 63 resultados possíveis a soma
dos pontos é 12?
1.3 Exercícios
Exercício 1 Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais
da revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não vazias de
revistas dessa banca é possível formar? Resp.: 461.
Exercício 2 No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra MATEMÁTICA,
partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo? Resp.: 512.
M
M A
M A T
M A T E
M A T E M
M A T E M A
M A T E M A T
M A T E M A T I
M A T E M A T I C
M A T E M A T I C A
Exercício 3 Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns
(ou todos) os números 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? Resp.: 48.
13
Exercício 4 Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais,sendo 5 de frente e
5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de
costas e os demais não têm preferência. De quantas maneiras os passageiros podem
se sentar, respeitando-se as preferências? Resp.: 43.200.
Exercício 5 Em um concurso há três candidatos e cinco examinadores, devendo
cada examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podem ser
distribuídos? Resp.: 243.
Exercício 6 Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720? Resp.: 2418.
Exercício 7 Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em …la. De
quantos modos isso pode ser feito, se os delegados do Brasil e de Portugal devem
sentar juntos e o do Iraque e o dos Estados Unidos não podem sentar juntos? Resp.:
564.480.
Exercício 8 Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada.
De quantos modos é possível selecionar os jogos de primeira rodada? Resp.: 10.395.
Exercício 9 Mostre que o número de diferentes pares para uma primeira rodada de
um torneio de tênis com 2n participantes é (1):(3):(5):(7):::(2n� 1).
Exercício 10 Quantos divisores ímpares tem o número 232.848? Resp.: 24.
Exercício 11 Quantas são as permutações simples dos números 1; 2; :::; n nas quais
o elemento que ocupa a k-ésima posição é inferior a k + 4 para todo k? Resp.:
6� 4n�3.
Exercício 12 Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4
…gura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes? Resp.: 12.960.
14
Exercício 13 Quantos são os p-subconjuntos (isto é, subconjuntos com p elemen-
tos) de fa1; a2; :::; ang nos quais:
(a) a1 …gura; Resp.: C
p�1
n�1
(b) a1 não …gura; Resp.: C
p
n�1
(c) a1 e a2 …guram; Resp.: C
p�2
n�2
(d) pelo menos um dos elementos a1, a2 …gura; Resp.: 2C
p�1
n�2+C
p�2
n�2 = C
p
n�Cpn�2
(e) exatamente um dos elementos a1, a2 …gura. Resp.: 2C
p�1
n�2
Exercício 14 Empregando 10 consoantes e cinco vogais, calcule o número de palavras
de 6 letras que se podem formar sem usar consoantes nem vogais adjacentes:
(a) se são permitidas repetições; Resp.: 250.000
(b) se não são permitidas repetições. Resp. 86.400
Exercício 15 Prove que um produto de p inteiros consecutivos é sempre divisível
por p!.
Exercício 16 No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças
desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no …m da festa? Resp.: 424.051
Exercício 17 Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma esmeralda, um
topázio, uma água-marinha, uma turmalina e uma ametista. De quantos modos isso
pode ser feito, supondo:
(a) que a pulseira tem um fecho e um relógio engastado no fecho; Resp.: 720
(b) que a pulseira tem fecho; Resp.: 360
(c) que a pulseira não tem fecho e o braço só pode entrar na pulseira em um
sentido; Resp.: 120
(d) que a pulseira não tem fecho e o braço pode entrar na pulseira nos dois
sentidos. Resp.: 60
15
Exercício 18 Uma partícula, estando no ponto (x; y) pode mover-se para o ponto
(x+ 1; y) ou para o ponto (x; y + 1). Quantos são os caminhos que a partícula pode
tomar para, partindo do ponto (0; 0), chegar ao ponto (a; b), onde a > 0 e b > 0?
Resp.: Caa+b
Exercício 19 De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores
diferentes? Resp.: 28
Exercício 20 De quantos modos podemos colocar em …la 7 letras A, 6 letras B e 5
letras C de modo que não haja duas letras B juntas? Resp.: 1.359.072
16
Capítulo 2
Base Teórica de Probabilidade
2.1 Modelo Matemático para um Experimento
2.1.1 Espaços de Probabilidade
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito
de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de
tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos
por 
, é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte
de…nição:
De…nição 8 O conjunto 
 de todos os resultados possíveis de um determinado ex-
perimento é chamado de espaço amostral.
Exemplo 38 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então 
 = fCa;Cog,
onde Ca é ”cara”e Co é ”coroa”.
Exemplo 39 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face su-
perior, então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Exemplo 40 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a
face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b.
17
Exemplo 41 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces
superiores, então
 =
8>>>>>><>>>>>>:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
9>>>>>>=>>>>>>;
onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no
segundo dado.
Exemplo 42 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então
um possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto
é, 
 = [0;1).
De…nição 9 Qualquer subconjunto A do espaço amostral 
, isto é A � 
, ao qual
atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.
Obviamente, como ; � 
 e 
 � 
 os conjuntos ; e 
 são eventos aleatórios. O
conjunto vazio ; é denominado evento impossível e o conjunto 
 é denominado
evento certo. Se ! 2 
 o evento f!g é dito elementar (ou simples).
De…nição 10 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-
patíveis se A \B = ;.
Observação 2 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin-
guagem de eventos: A [ B é o evento ”A ou B”; A \ B é o evento ”A e B” e
Ac é o evento ”não A”.
Observação 3 (Concepção Errônea) Uma das concepções errôneas comumente
propagada pelos livros didáticos é o estabelecimento de uma relação um a um do
experimento com o espaço amostral associado. É preciso ter em mente que, para
18
todo experimento, é possível estabelecer uma in…nidade de espaços amostrais, todos
legítimos, pois o espaço amostral deve ser o conjunto que contém todos os resultados
possíveis, mas não há necessidade de que este seja minimal. Assim, se o experi-
mento consiste em lançar um dado e se observar a sua face superior, podemos ter
1 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, 
2 = N e 
3 = (0;1) como espaços amostrais legítimos para
esse experimento. Em todos eles basta atribuir a probabilidade de 1
6
para os pontos
1; 2; 3; 4; 5 e 6 e probabilidade nula para os demais pontos se houver. Claro que não
há necessidade de se pecar por excesso, se podemos reconhecer o espaço amostral
mínimo, mas isso nem sempre é possível, como o exemplo 42, que se presta a vários
possíveis espaços amostrais e nesse caso vale a pena pecar por excesso e deixar a
medida de probabilidade fazer o trabalho de de…nir pontos (ou regiões) de maior e
menor probabilidade.
É preciso lembrar também que toda escolha do espaço amostral induz uma medida
de probabilidade diferente. Por exemplo, se temos uma urna com três bolas brancas
e 2 bolas vermelhas e o experimento consiste em se retirar uma bola e registrar a sua
cor, então poderíamos ter os seguintes espaços amostrais, dentre outros possíveis:
1 = fb; vg e 
2 = fb1; b2; b3; v1; v2g. No primeiro espaço amostral, estaríamos con-
siderando as bolas pretas e vermelhas indistinguíveis entre si e assim o ponto b teria
3
5
de chance e o ponto v teria 2
5
de chance, ou seja, um espaço amostral de elemen-
tos não equiprováveis. No segundo espaço amostral, estaríamos considerando todas
as bolas como distinguíveis e, nesse caso, cada ponto tem a mesma probabilidade
1
5
, construindo assim um espaço amostral de elementos equiprováveis. Portanto, se
o evento for "retiraruma bola branca", então esse evento será dado por fbg pelo
espaço amostral 
1, e fb1; b2; b3g pelo espaço amostral 
2. No entanto, em ambos
os modelos a probabilidade do evento em questão será a mesma de 3
5
.
19
2.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades
Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes:
(Clássica) Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis.
Seja A um evento e 
 o espaço amostral …nito, então
P (A) =
#A
#
onde #A é a cardinalidade de A e #
 a cardinalidade de 
.
Vemos, portanto, que esta de…nição de probabilidade presupõe que todos os
elementos de 
 são igualmente prováveis, ou seja, têm o mesmo peso. Este é o caso
por exemplo de um dado equilibrado.
Esta forma de de…nir a probabilidade é também conhecida pelo nome de probabil-
idade de Laplace, em homenagem ao astrônomo e matemático francês Pierre-Simon
Laplace, que estabeleceu, de uma maneira sistemática e rigorosa, os princípios e
propriedades desta forma de calcular probabilidades.
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
Exemplo 43 Sete pessoas entram juntas num elevador no andar térreo de um ed-
ifício de 10 andares. Suponha que os passageiros saiam independentemente e de
20
maneira aleatória com cada andar (1; 2; :::; 10) tendo a mesma probabilidade de ser
selecionado. Qual a probabilidade de que todos saiam em andares diferentes?
(Freqüentista) Baseia-se na freqüência relativa de um ”número grande”de realizações inde-
pendentes do experimento. Seja A um evento, então
P (A) = lim
n!1
nA
n
onde nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
Observação 4 O limite acima não pode ser entendido como um limite matemático,
pois dado " > 0 não há garantia de que existe n0 2 N tal que para todo n � n0 se
tenha ���P (A)� nA
n
��� < ".
É improvável que
���P (A)� nA
n
��� � " para n � N (grande), mas pode acontecer.
Outra di…culdade do conceito freqüentista é que o experimento nunca é realizado
in…nitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita.
Exemplo 44 (Discussão em sala de aula) Suponha a seguinte situação: Você
está participando de um programa televisivo chamado "Porta da Felicidade", da
seguinte forma: O apresentador do programa lhe mostra três portas, uma das quais
esconde um carro como prêmio e as outras duas não oferecem nada e o colocam
fora do jogo. O que acontece? Você escolhe uma porta e o apresentador abre uma
outra porta vazia não escolhida por você. Assim, ainda há a chance de você ganhar
o carro. Mas agora lhe é oferecida a oportunidade de mudar de porta! O que você
deve fazer para maximizar a chance de acerto? Ficar com a mesma porta escolhida;
mudar para a outra porta; ou qualquer das duas estratégias, por ser indiferente?
Analise a estratégia ótima à luz do conceito frequentista de probabilidade.
21
(Subjetiva) Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno
em estudo. Neste caso a probabilidade de um evento depende do observador,
isto é, do que o observador conhece sobre o fenômeno em estudo. Pode pare-
cer um tanto informal para uma de…nição de probabilidade de um evento. No
entanto, em muitas situações é necessário recorrer a um especialista para ter
pelo menos uma ideia vaga de como se comporta o fenômeno de nosso inter-
esse e saber se a probabilidade de um evento é alta o baixa. Por exemplo,
qual é a probabilidade de que o Vasco ganhe o próximo campeonato? Cer-
tas circunstâncias internas do time, as condições do time rival ou qualquer
outra condição externa, são elementos que só algumas pessoas conhecem e que
poder¬am nos dar uma ideia mais exata desta probabilidade. Esta forma sub-
jetiva de atribuir probabilidades aos diferentes eventos deve, entretanto, ser
consistente com uma série de regras naturais que estudaremos adiante.
Exemplo 45 Por exemplo, seja o evento C ”chove em Moscou”.
Então, para alguém no Rio de Janeiro, sem qualquer conhecimento prévio, podemos
ter a seguinte avaliação: P (C) = 0; 5.
Já para alguém de Leningrado, podemos ter: P (C) = 0; 8, se chove em Leningrado
e P (C) = 0; 2, se não chove em Leningrado.
Finalmente, para alguém de Moscou, tem-se: P (C) = 1, se está chovendo em
Moscou e P (C) = 0, se não está chovendo em Moscou.
(Axiomática) Na de…nição axiomática da probabilidade não se estabelece a forma explícita
de calcular as probabilidades, mas unicamente as regras que o cálculo das
probabilidades deve satisfazer. Três postulados ou axiomas para a Teoria das
Probabilidades foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrey
Nikolaevich Kolmogorov.
22
Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1987)
Não nos preocuparemos com o problema de como de…nir probabilidade para cada
experimento. Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como
foi erigida por Kolmogorov, responsável pela base matemática sólida da teoria.
Seja 
 um espaço amostral e seja A � 
 um evento aleatório. Uma medida de
probabilidade P é uma aplicação tendo os seguintes axiomas:
A1) P (A) � 0.
A2) P (
) = 1.
A3) (Aditividade …nita) Se A1; A2; :::; An � 
 são disjuntos dois a dois, isto é,
Ai \ Aj = ; para todo i 6= j, então P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai).
Uma função P satisfazendo os axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade …ni-
tamente aditiva. Entretanto, para os nossos objetivos, será mais conveniente
supor �-aditividade:
A3’) Se A1; A2; ::: � 
 são disjuntos dois a dois, então P
� 1[
i=1
Ai
�
=
1X
i=1
P (Ai).
Assim, consideraremos os axiomas A1, A2 e A3´ como os axiomas de Probabili-
dade.
23
Não é difícil veri…car que as de…nições anteriores de probabilidade satisfazem
estes três axiomas. De fato, estes postulados foram tomados diretamente da análise
cuidadosa e re‡exiva das de…nições de probabilidade mencionadas anteriormente.
Qualquer função P que satisfaça os três axiomas de Kolmogorov é chamada de
medida de probabilidade, ou simplesmente probabilidade. A partir destes postula-
dos é possível demonstrar que a probabilidade cumpre uma série de propriedades
interessantes.
Teorema 1 P (;) = 0.
Prova. (Em aula.)
Observação 5 (Concepção Errônea) Sabemos agora que se A = ; então P (A) =
0. No entanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, P (A) = 0 não implica neces-
sariamente que A = ; e nem que o evento A seja impossível. Um evento pode ter
probabilidade nula e não ser impossível.
Da mesma forma, sabemos pelo Axioma 2 que se A = 
 então P (A) = 1. No
entanto um evento pode ter probabilidade 1 e não ser o evento certo 
. É o que
chamamos em probabilidade de um evento quase-certo.
Vejamos o exemplo a seguir para ilustrar esses fatos.
Exemplo 46 Um experimento consiste em se selecionar um ponto aleatoriamente
do círculo de raio unitário centrado na origem. Então
 =
�
! = (x; y) : x2 + y2 � 1	
Como todo ponto é aleatoriamente escolhido, a probabilidade de um ponto cair numa
região do círculo deveria ser a razão entre a área dessa região e a área do círculo
unitário. Assim, se A � 
, temos
P (A) =
SA
�
,
24
com SA a área da região de…nida pelos pontos de A. Mas então, todo evento ele-
mentar desse espaço amostral tem probabilidade nula, pois se A = f(a; b)g, então
SA = 0, e consequentemente
P (A) =
0
�
= 0.
No entanto A 6= ?. Além disso, observe que todo experimento terá como um resul-
tado um ponto do círculo unitário, que tinha probabilidade nula antes de ele ocorrer.
Portanto eventos de probabilidade 0 não são necessariamente eventos impossíveis!
Seja agora o evento B como sendo o conjunto de pontos do círculo unitário tais
que a abscissa é diferente da ordenada, isto é, B = f! = (x; y) : x2 + y2 � 1 e x 6= yg.Naturalmente B é subconjunto próprio de 
. Mas
P (B) =
SB
�
=
�
�
= 1,
pois SB (a área da região de…nida pelos pontos de B) equivale à área de 
. Assim
B é um evento quase-certo, pois embora possamos obter um ponto do tipo (a; a) que
não satisfaz ao evento B, a chance de isso ocorrer é nula.
Proposição 10 O Axioma 3’implica o Axioma 3, isto é, se P é �-aditiva, então é
…nitamente aditiva.
Prova. (Em aula.)
Teorema 2 Para A � 
, temos P (Ac) = 1� P (A).
Prova. (Em aula.)
Teorema 3 Para A � 
, temos 0 � P (A) � 1.
Prova. (Em aula.)
25
Teorema 4 Sejam A e B � 
. Se A � B, então
(a) P (B � A) = P (B)� P (A);
(b) P (A) � P (B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 5 Sejam A e B � 
. Então P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 6 Para qualquer seqüência de eventos A1; A2; :::; An � 
, P
� 1[
i=1
Ai
�
�
1X
i=1
P (Ai) (desigualdade de Boole).
Prova. (Em aula.)
Teorema 7 Sejam A1; A2; :::; An � 
. Então
P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai)�
X
i<j
P (Ai \ Aj) +
X
i<j<k
P (Ai \ Aj \ Ak)
�
X
i<j<k<l
P (Ai \ Aj \ Ak \ Al) + :::+ (�1)n+1P (A1 \ A2 \ ::: \ An)
Prova. (Em aula.)
Observação 6 (Paradoxo de Bertrand) O Paradoxo de Bertrand nos mostra
que não existe um único modelo de Probabilidade para um dado experimento se
a gênese do fenômeno não é conhecida. Vejamos o paradoxo:
Seja um triângulo equilátero inscrito num círculo unitário. Uma corda do círculo
é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a corda seja maior que o
lado do triângulo?
Modelo 1: A corda é obtida através da seleção aleatória de dois pontos da
circunferência. Então p = 1
3
.
26
Modelo 2: Um ponto é escolhido aleatoriamente sobre um diâmetro do círculo.
A corda é obtida pela perpendicular ao diâmetro que passa pelo ponto. Então p = 1
2
.
Modelo 3: Um ponto é escolhido aleatoriamente do círculo. A corda é con-
struída tendo o ponto selecionado como seu ponto médio. Então p = 1
4
.
Exemplo 47 5 bolas brancas e 3 bolas vermelhas são retiradas aleatoriamente de
uma urna. Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas sejam brancas?
Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas tenham cores diferentes?
Exemplo 48 Um ponto é selecionado do círculo unitário. Qual a probabilidade de
se selecionar um ponto no setor angular de 0 a
�
4
radianos?
27
Exemplo 49 Numa sala há n alunos (n � 365). Qual a probabilidade de haver dois
ou mais alunos com a mesma data de aniversário (dia e mês idênticos)?
Exemplo 50 Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 a
10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a se retirarem simultanea-
mente. Os números dos emblemas são registrados. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o menor número seja 5?
(b) Qual a probabilidade de que o maior número seja 5?
Exemplo 51 Da população canadense 30% são da província de Quebec, 28% falam
francês e 24% são de Quebec e falam francês. Escolhido ao acaso um canadense,
qual a probabilidade de:
(a) ser de Quebec ou falar francês?
(b) não ser de Quebec nem falar francês?
(c) falar francês mas não ser de Quebec?
Exemplo 52 Qual a probabilidade de se ganhar a sena com um único cartão e
jogando apenas 6 números? E a quina? E a quadra?
Exemplo 53 Um baralho tem 52 cartas. Estas cartas consistem de 4 naipes chama-
dos paus, ouros, copas e espadas. Cada naipe tem 13 cartas com os símbolos 2, 3,
4, ..., 10, J, Q, K, A. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas extraídas do baralho,
sem reposição e sem consideração de ordem. Considera-se que constituem seqüên-
cias as mãos do seguinte tipo: A, 2, 3, 4, 5; 2, 3, 4, 5, 6;...; 10, J, Q, K, A. Calcule
a probabilidade de se obter numa mão de pôquer
(a) um Royal Flush ((10, J, Q, K, A) do mesmo naipe);
(b) um Straight Flush (cinco cartas do mesmo naipe em seqüência);
(c) um Four (valores da forma (x, x, x, x, y) onde x e y são distintos);
28
(d) um Full House (valores da forma (x, x, x, y, y) onde x e y são distintos);
(e) um Flush (cinco cartas do mesmo naipe);
(f) um Straight (cinco cartas em seqüência, sem consideração de naipes);
(g) uma Trinca (valores da forma (x, x, x, y, z) onde x, y e z são distintos);
(h) dois pares (valores da forma (x, x, y, y, z) onde x, y e z são distintos);
(i) um par (valores da forma (x, x, y, z, w) onde x, y, z e w são distintos).
Exemplo 54 Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um
grupo de 2n pessoas, a < n preferem o sabor A, b < n o sabor B e 2n� (a+ b) não
têm preferência. Se os sorvetes são distribuídos ao acaso, qual a probabilidade de
que todas as pessoas tenham suas preferências respeitadas?
Exemplo 55 Suponha que n homens presentes numa festa joguem seus chapéus no
centro da sala. Em seguida cada homem de olhos vendados seleciona um chapéu.
Mostre que a probabilidade de que nenhum dos n homens selecione o seu próprio
chapéu é
1
2!
� 1
3!
+
1
4!
� :::+ (�1)
n
n!
.
O que acontece quando n!1?
2.1.3 Probabilidade Condicional
De…nição 11 Seja 
 um espaço amostral para um dado experimento e seja P uma
medida de probabilidade. Se B � 
 e P (B) > 0, a probabilidade condicional de A
dado B é de…nida por
P (A j B) = P (A \B)
P (B)
, A � 
. (2.1)
Note que P (A j B), A � 
, é realmente uma probabilidade (veri…que os ax-
iomas!). Consequentemente todas as propriedades de probabilidade são mantidas,
29
como, por exemplo,
P (Ac j B) = 1� P (A j B).
Observe que, dado B, se de…nirmos PB(A) = P (A j B), então podemos de…nir
uma nova medida de probabilidade de…nida para subconjuntos de B.
Exemplo 56 Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,
independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabili-
dade condicional de
(a) pelo menos um dos números ser 6;
(b) a soma dos números ser 8?
Teorema 8 Sejam A;B � 
 com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então
P (A \B) = P (B):P (A j B)
= P (A):P (B j A)
Prova. (Em aula.)
Teorema 9 (a) P (A \B \ C) = P (A):P (B j A):P (C j A \B).
(b) P (A1\A2\ :::\An) = P (A1):P (A2 j A1):P (A3 j A1\A2):::P (An j A1\A2\
:::An�1), para todo A1; A2; :::; An � 
 e para todo n = 2; 3; :::, com as probabilidades
condicionais bem de…nidas.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 57 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade
de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com
o uso da análise combinatória.)
30
De…nição 12 Seja 
 um conjunto não-vazio. Uma partição de 
 é uma família
de conjuntos A1, A2, ..., An tais que
(i)
n[
i=1
Ai = 
(ii) Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é
o conjunto 
. Dizemos também que 
 foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ...,
An.
Para todo evento B � 
 temos
B =
n[
i=1
(Ai \B) .
Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai\B são disjuntos. Com isto podemos
demonstrar os seguintes teoremas:
Teorema 10 (Teorema da Probabilidade Total) Se a sequência (…nita ou enu-
merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de 
, então
P (B) =
X
i
P (Ai):P (B j Ai) (2.2)
para todo B � 
.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 58 Considere uma urna contendo 10 bolas das quais 4 são brancas. Es-
colha um inteiro n aleatoriamente do conjunto f1; 2; 3; 4; 5; 6g e em seguida retire
uma amostra de tamanho n sem reposição da urna. Ache a probabilidade de que
todas as bolas da amostra sejam brancas.
Teorema 11 (Fórmula de Bayes) Se a sequência (…nita ou enumerável) de even-
tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de 
, então
P (Ai j B) = P (Ai)P (B j Ai)X
j
P (Aj):P (B j Aj)
. (2.3)
31Prova. (Em aula.)
Thomas Bayes (1701 - 1761)
Exemplo 59 Seja uma caixa contendo 3 moedas: duas honestas e uma de duas
caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Pergunta: qual a probabilidade condi-
cional da moeda ter sido a de duas caras, dado que o resultado …nal foi cara?
Exemplo 60 Uma caixa contém 10 bolas das quais 6 são brancas e 4 vermelhas.
Removem-se três bolas sem observar suas cores. Determine:
(a) a probabilidade de que uma quarta bola removida da caixa seja vermelha;
(b) a probabilidade de que as três bolas removidas sejam brancas, sabendo-se que
pelo menos uma delas é branca.
Exemplo 61 Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O
Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em
um dia sem chuva com a probabilidade de 0,6. Se ganhou um jogo em novembro,
qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Exemplo 62 Pedro quer enviar uma carta à Marina. A probabilidade de que Pedro
escreva a carta é de 0,80. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A
32
probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a
carta, qual é a probabilidade de que Pedro não a tenha escrito?
Exemplo 63 Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos. Os
cofres 1 e 2 têm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeralda
no outro. O cofre 3 têm dois anéis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre
4 têm dois anéis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com-
partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes. Calcule a probabilidade
de que o outro compartimento contenha:
(a) um anel de esmeralda;
(b) um anel de brilhantes.
2.1.4 Independência
De…nição 13 Seja 
 um espaço amostral para um dado experimento e seja P uma
medida de probabilidade. Os eventos aleatórios A e B são (estocasticamente) inde-
pendentes se
P (A \B) = P (A):P (B).
Observação 7 (Concepção Errônea) Um erro muito comum entre os alunos é
associar independência com disjunção de eventos, interpretando erroneamente que
se A e B são independentes, então A \ B = ?. É justamente o contrário que se
dá, ou seja, se A \ B = ?, então A e B não são independentes (a menos que um
deles tenha probabilidade zero). Isso …ca claro se pensarmos que P (A) = p > 0 e
P (B) = q > 0 com A \B = ?. Assim, neste caso, teremos
P (A j B) = P (A \B)
P (B)
=
P (?)
P (B)
=
0
q
= 0 6= p = P (A) .
Assim P (A j B) 6= P (A), o que prova que A e B não são independentes!
33
Outra maneira de justi…car esse fato é pensar que se A e B não têm nada em
comum, então se um deles ocorre a probabilidade de o outro ocorrer é inevitavelmente
nula, o que reduz uma chance inicial desse outro evento ocorrer a zero. Ou seja,
para que dois conjuntos sejam independentes eles necessitam potencialmente ter algo
em comum, do contrário serão dependentes.
Outro problema de má interpretação do conceito de independência de eventos
com a disjunção decorre de uma má caracterização do espaço amostral como no
exemplo a seguir.
Exemplo 64 Um dado e uma moeda honestos são lançados sucessivamente e seus
resultados são registrados. Qual a probabilidade de se obter um número primo e uma
face cara?
Solução: O espaço amostral para o experimento pode ser
 = f! = (!1; !2) : !1 2 f1; 2:::; 6g e !2 2 fca; cogg
Como há 12 elementos equiprováveis (pois tanto o dado quanto a moeda são hon-
estos), temos que
P (f!g) = 1
12
.
Sejam os eventos A: "número primo é retirado no dado"e B: "a face cara é obtida
na moeda". Desejamos
P (A \B) = P (f2; 3; 5g � fcag)
= P (f(2; ca); (3; ca); (5; ca)g)
=
3
12
=
1
4
= P (A)P (B)
=
3
6
� 1
2
34
O erro aqui estaria em pensar que A = f2; 3; 5g, B = fcag e que A \ B = ?.
Onde está o equívoco? Na caracterização dos eventos A e B, pois o experimento
consiste no lançamento de dado e moeda, assim estabelecido o espaço amostral cor-
retamente acima, temos que
A = f(2; ca); (2; co); (3; ca); (3; co); (5; ca); (5; co)g
e
B = f(1; ca); (2; ca); (3; ca); (4; ca); (5; ca); (6; ca)g
e de fato
P (A) =
6
12
=
1
2
, P (B) =
6
12
=
1
2
e P (A \B) = P (A)P (B) = 1
4
.
Ou seja, A e B são independentes, mas não são disjuntos, pois
A \B = f(2; ca); (3; ca); (5; ca)g 6= ?.
Proposição 11 Eventos de probabilidade 0 ou 1 são independentes de qualquer
outro.
Prova. (Em aula.)
Teorema 12 A é independente de si mesmo se e somente se P (A) = 0 ou 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 13 Se A e B são independentes, então A e Bc também são independentes
(e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).
Prova. (Em aula.)
Observação 8 Se A \ B = ;, então A e B não são independentes (a menos que
um deles tenha probabilidade zero).
35
De…nição 14 Os eventos aleatórios Ai, i 2 I (I um conjunto de índices), são
independentes dois a dois (ou a pares) se
P (Ai \ Aj) = P (Ai):P (Aj)
para todo i; j 2 I, i 6= j.
De…nição 15 (a) Os eventos aleatórios A1; :::; An (n � 2) são chamados (coletiva
ou estocasticamente) independentes se
P (Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aim) = P (Ai1):P (Ai2):::P (Aim)
para todo 1 � i1 < i2 < ::: < im � n, para todo m = 2; 3; :::; n (isto é, se todas as
combinações satisfazem a regra produto).
(b) Os eventos aleatórios A1; A2; ::: independentes se para todo n � 2, A1; :::; An
são independentes.
Observação 9 (Concepção Errônea) Um erro muito comum é achar que inde-
pendência a pares implica independência coletiva. Isso não vale necessariamente.
Tampouco vale dizer que se a regra do produto vale no maior nível então ela vale
para os níveis mais baixos.
O exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo 65 Suponha um tetraedro regular com faces marcadas 1, 2, 3 e 4. Seja
o experimento de jogar o tetraedro e observar a face justaposta à mesa. Sejam
os eventos A = f1; 4g, B = f2; 4g e C = f3; 4g. Veri…que que A, B e C são
independentes dois a dois, mas não são coletivamente independentes.
Solução: O espaço amostral para o experimento é dado por 
 = f1; 2; 3; 4g e
P (fwg) = 1=4 para todo w 2 
, pois o tetraedro é regular. Assim temos
P (A) = P (B) = P (C) =
1
2
.
36
P (A \B) = P (f4g) = 1
4
=
1
2
� 1
2
= P (A) :P (B)
P (A \ C) = P (f4g) = 1
4
=
1
2
� 1
2
= P (A) :P (C)
P (B \ C) = P (f4g) = 1
4
=
1
2
� 1
2
= P (B) :P (C)
Assim A, B e C são independentes dois a dois. No entanto,
P (A \B \ C) = P (f4g) = 1
4
e
P (A):P (B):P (C) =
1
2
� 1
2
� 1
2
=
1
8
.
E assim
P (A \B \ C) = 1
4
6= 1
8
= P (A):P (B):P (C).
Logo A, B e C não são independentes.
Teorema 14 Se os eventos Ai, i 2 I, são independentes, então os eventos Bi, i 2 I,
são também independentes, onde cada Bi é igual a Ai ou Aci (ou um ou outro).
Prova. (Omitida por ser equivalente à prova do Teorema 13.)
Observação 10 Toda família de eventos independentes é independente.
Exemplo 66 Suponha que dois jogadores A e B se alternam num jorgo de dardo.
Se os jogadores A e B têm, respectivamente, 60% e 80% de chance de acertar o alvo
e se as jogadas são independentes umas das outras, qual a probabilidade de A ganhar
o jogo se ele começa o jogo? E qual a probabilidade de B ganhar nestas condições?
Exemplo 67 Suponha agora uma variante do jogo anterior da seguinte forma: A
joga sucessivamente até acertar o alvo. Em seguida B joga sucessivamente até ac-
ertar o alvo. Ganha o jogo aquele que tiver acertado o alvo num menor número
de jogadas? Nestas condições, qual a probabilidade de A ganhar o jogo? Qual a
probabilidade de empate? Qual a probabilidade de B ganhar?
37
Exemplo 68 Um dado não viciado é lançado uma vez. Se a face que aparece é
ímpar, uma moeda não viciada é lançada repetidas vezes. Se a face é par, umamoeda com probabilidade p 6= 1
2
de dar cara é lançada repetidamente. Os sucessivos
lançamentos são independentes. Se os primeiros n lançamentos resultaram em cara,
qual a probabilidade de que a moeda não viciada foi usada?
Exemplo 69 Abaixo se encontra uma rede de relés que atuam independentemente
uns dos outros. Sabendo-se que a probabilidade de que um relé esteja fechado é p e
que a probabilidade de estar aberto é 1� p, pede-se:
(a) a probabilidade de que um sinal de entrada (in) seja recebido na saída (out);
(b) a probabilidade condicional de que o relé E esteja aberto, dado que o sinal foi
recebido.
2.2 Exercícios
Exercício 21 Suponha que A, B e C sejam eventos tais que A e B sejam indepen-
dentes e que P (A \B \ C) = 0; 04, P (C j A \B) = 0; 25, P (B) = 4P (A). Calcule
P (A [B). Resp.: 84%.
Exercício 22 Se A e B são eventos independentes tais que P (A) = 1=3 e P (B) =
1=2, calcule P (A [B), P (Ac [Bc) e P (Ac \B). Resp.: 2/3, 5/6 e 1/3.
Exercício 23 A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a prob-
abilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? Resp.:
aproximadamente 0,65.
38
Exercício 24 Prove que se A e B são eventos tais que P (A) > 0, P (B) > 0 e
P (AjB) > P (A), então P (BjA) > P (B).
Exercício 25 Suponha que A, B eD sejam três eventos tais que P (AjD) � P (BjD)
e P (AjDc) � P (BjDc). Prove que P (A) � P (B).
Exercício 26 Se P (E) = 0; 9 e P (F ) = 0; 8, mostre que P (E \ F ) � 0; 7. Em
geral mostre que
P (E \ F ) � P (E) + P (F )� 1.
Este resultado é conhecido como a desigualdade de Bonferroni.
Exercício 27 Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho
comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a primeira carta ser uma dama e a
segunda ser de copas. Resp.: 1/52.
Exercício 28 Quantas pessoas você deve intrevistar para ter probabilidade igual ou
superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje? Resp.: 253
Exercício 29 Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso
para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9? Resp.: 13.
Exercício 30 Dois dados são lançados. Seja A1 = fface ímpar no primeiro dadog,
A2 = fface ímpar no segundo dadog e A3 = fa soma da faces é ímparg. Esses even-
tos são independentes dois a dois? Eles são conjuntamente independentes? Justi-
…que matematicamente. Resp.: Sim; Não.
Exercício 31 Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles
funcionará independentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada
alarme tem probabilidade de 90% de trabalhar e…cientemente, qual a probabilidade
de se ouvir o alarme quando necessário? Resp.: 99,9%.
39
Exercício 32 Se quatro dados são lançados, qual a probabilidade de que os quatro
números sejam diferentes? Resp.: 5/18.
Exercício 33 Distribuem-se ao acaso quatro cartas de um baralho de 52 cartas.
Calcule a probabilidade de se obter exatamente dois reis na distribuição
(a) se as retiradas são feitas sem reposição; Resp.: aproximadamente 0,025.
(b) se as retiradas são feitas com reposição. Resp.: aproximadamente 0,030.
Exercício 34 Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os de
novo no lago. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que
dois desses peixes haviam sido marcados por você.
(a) se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes,
encontrar dois peixes marcados? Resp.:
�
10
2
��
k � 10
18
��
k
20
��1
(b) para que valor de k essa probabilidade é máxima? Resp.: 99 ou 100.
Exercício 35 Qual a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
(a) haver alguma coincidência de signos zodiacais? Resp.: 41/96
(b) as quatro terem o mesmo signo? Resp.: 1/1728
(c) duas terem um mesmo signo, e as outras duas outro signo? Resp.: 11/576.
(d) três terem um mesmo signo, e a outra outro signo? Resp.: 11/432.
(e) todas terem signos diferentes? Resp.: 55/96.
Exercício 36 Suponha que n cartas numeradas de 1 a n sejam embaralhadas e
retiradas uma por uma, sem reposição, até todas as cartas serem retiradas.
(a) Qual a probabilidade de que nenhuma carta coincida com o número da reti-
rada? Resp.: 1
2!
� 1
3!
+ 1
4!
� :::+ (�1)n
n!
.
(b) Qual a probabilidade de que para pelo menos uma carta, o número da carta
coincida com o número da retirada? Resp.: 1� 1
2!
+ 1
3!
� 1
4!
+ :::+ (�1)
n+1
n!
.
40
Exercício 37 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu
resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos
é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2? Resp.: 7/72.
Exercício 38 Uma moeda honesta é lançada até que uma cara ocorra ou então até
que três lançamentos sejam feitos. Qual a probabilidade de que a moeda deva ser
jogada 3 vezes se se sabe que o primeiro lançamento foi coroa? Resp.: 1/2.
Exercício 39 Num certo certo país, todos os membros de comitê legislativo ou são
comunistas ou são republicanos. Há três comitês. O comitê 1 tem 5 comunistas, o
comitê 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comitê 3 consiste de 3 comunistas e
4 republicanos. Um comitê é selecionado aleatoriamente e uma pessoa é selecionada
aleatoriamente deste comitê.
(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista. Resp.:
37/63.
(b) Dado que a pessoa selecionada é comunista, qual a probabilidade de ela ter
vindo do comitê 1? Resp.:21/37.
Exercício 40 Um executivo pediu à sua secretária que …zesse uma ligação para
o escritório do Sr.X. Admitindo que: a probabilidade de a secretária conseguir a
ligação é de 50%; a probabilidade de o Sr.X se encontrar no escritório naquele
momento é de 80%; a probabilidade de o executivo não se ausentar enquanto a
secretária tenta fazer o que ele pediu é de 90%.
(a) Calcule a probabilidade de que o executivo tenha de fato conseguido falar com
o Sr.X pelo telefone. Resp.: 36%.
(b) No caso de ele não ter conseguido falar com o Sr.X, calcule a probabilidade
condicional de que isso tenha ocorrido porque a ligação não se completou. Resp.:
78,125%.
41
Exercício 41 São dadas duas urnas A e B. A urna A contém 1 bola azul e 1
vermelha. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao
acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B? Resp.: 5/12.
(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?
Resp.: 7/12.
Exercício 42 Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual
cada questão tem cinco respostas possíveis, das quais exatamente uma é correta. O
estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele
seleciona ao acaso uma resposta dentre as 5 possíveis. Suponha que o estudante
saiba 70% das questões. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o estudante escolha a resposta correta para uma
dada questão? Resp.: 76%.
(b) Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a
probabilidade de que ele sabia a resposta? Resp.: aproximadamente 92,1%.
Exercício 43 Exames de diagnóstico não são infalíveis, mas deseja-se que tenham
probabilidade pequena de erro. Um exame detecta uma certa doença, caso ela exista,
com probabilidade 0,9. Se a doença não existir, o exame corretamente aponta isso
com probabilidade 0,8. Considere que estamos aplicando esses exames em uma pop-
ulação com 10% de incidência dessa doença. Para um indivíduo escolhido ao acaso,
pergunta-se:
(a) A probabilidade de ser realmente doente se o exame indicou que era. Resp.:
1/3.
(b) Se dois indivíduos forem escolhidos e testados, qual seria a probabilidade de
errar um dos diagnósticos? Resp.: 30,78%.42
(c) Suponha que o acerto do exame, nas duas situações possíveis, têm a mesma
probabilidade p. Quanto deve ser o valor de p para que a probabilidade calculada no
item (a) seja 0,9? Resp.: 81/82.
Exercício 44 Uma instalação industrial dispõe de um sistema de segurança de-
feituoso: o alarme dispara com probabilidade 0,90 quando há incêndio, e dispara
com probabilidade 0,15 mesmo quando não há incêndio. A probabilidade de que
ocorra um incêndio neste tipo de instalação é de 0,05. Sabendo que o alarme está
soando no Corpo de Bombeiros, qual é a probabilidade de que um incêndio esteja
realmente ocorrendo? Resp.: 6/25.
Exercício 45 Suponha que uma caixa contenha 5 moedas e que cada moeda tenha
uma probabilidade diferente de dar cara. Seja pi a probabilidade de sair cara, quando
a i-ésima moeda é lançada, e que p1 = 0, p2 = 1=4, p3 = 1=2, p4 = 3=4, p5 = 1.
Suponha, …nalmente, que uma moeda é selecionada aleatoriamente da caixa e que,
ao ser lançada, dá cara. Com base nesta informação, calcule:
(a) A probabilidade de que se tenha selecionado a moeda 5. Resp.: 40%.
(b) A probabilidade de se obter outra cara ao lançar a mesma moeda novamente.
Resp.: 75%.
43
Capítulo 3
Variáveis Aleatórias
3.1 Conceito
Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de
um experimento. Por exemplo:
Exemplo 70 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras
obtido. Então 
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g. Se de…nirmos X =
número de caras observadas, e !1 = (Ca;Ca), !2 = (Ca;Co), !3 = (Co;Ca),
!4 = (Co;Co), temos
X(!1) = 2;
X(!2) = X(!3) = 1;
X(!4) = 0.
Exemplo 71 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto
obtido. Então 
 = [0; 1] e
X(!) = !2.
Exemplo 72 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância
entre o ponto escolhido e a origem. Então 
 = f(x; y) : x2 + y2 � 1g e, com
44
! = (x; y), temos
X(!) =
p
x2 + y2.
Exemplo 73 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
e
X(!) = !.
De…nição 16 Uma variável aleatória X é uma função real de…nida no espaço 
 tal
que o conjunto [! 2 
 : X(!) � x] (daqui para frente escrito de forma simpli…cada
[X � x]) é evento aleatório para todo x 2 R; isto é,
X : 
! R
é uma variável aleatória se podemos obter P (X � x) para todo x 2 R.
3.2 Função de Distribuição
De…nição 17 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X,
representada por FX , ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de…nida
por
FX(x) = P (X � x), x 2 R. (3.1)
Exemplo 74 Duas moedas honestas são lançadas. Seja a variável X que conta o
número de caras observadas. Construa a função de distribuição da variável aleatória
X e represente-a gra…camente.
Exemplo 75 Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto ao acaso do
intervalo [a; b] com a < b. Seja X a variável aleatória que representa a coordenada
do ponto. Construa a função de distribuição da variável aleatória X e represente-a
gra…camente.
45
Proposição 12 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma var-
iável aleatória, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) Se x1 � x2 então F (x1) � F (x2); isto é, F é não-decrescente.
F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita.
F3) limx!�1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1.
Prova. (Em aula.)
Tendo em mente que FX(x) = P (X � x), podemos observar que
1. P (X > a) = 1� P (X � a) = 1� FX(a)
2. P (a < X � b) = P (X � b) � P (X � a) = P (X � b) � P (X � a) =
FX(b)� FX(a)
3. P (X = a) = P (X � a) � P (X < a) = FX(a) � FX(a�). Ou seja, P (X = a)
é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for
contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.
4. P (a < X < b) = P (a < X � b)� P (X = b)
= P (X � b)� P (X � a)� P (X = b) = FX(b)� FX(a)� [FX(b)� FX(b�)]
= FX(b
�)� FX(a).
5. P (a � X < b) = P (a < X < b) + P (X = a)
= FX(b
�)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b�)� FX(a�).
6. P (a � X � b) = P (a < X � b) + P (X = a)
= FX(b)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b)� FX(a�).
46
Exemplo 76 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor-
cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa o número obtido
no lançamento do dado. Pede-se:
(a) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá…co.
(b) A probabilidade de ocorrer 5, dado que ocorreu um número ímpar?
(c) A probabilidade de ocorrer um número par, dado que ocorreu um número
menor do que 5?
Exemplo 77 Seja F (x) a função
F (x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
0, se x < 0
x+
1
2
, se 0 � x � 1
2
1, se x >
1
2
Mostre que F é de fato uma função de distribuição e calcule:
(a) P (X > 1
8
)
(b) P (1
8
< X < 2
5
)
(c) P (X < 2
5
j X > 1
8
)
3.3 Variáveis Aleatórias Discretas
De…nição 18 A variável aleatória X é discreta se toma um número …nito ou enu-
merável de valores, isto é, se existe um conjunto …nito ou enumerável fx1; x2; :::g �
R tal que X(!) 2 fx1; x2; :::g para todo ! 2 
. A função p(xi) de…nida por
p(xi) = P (X = xi), i = 1; 2; 3; ::: (3.2)
é chamada função de probabilidade de X.
Observação 11 Note que [X � x] =
[
i:xi�x
[X = xi] e assim
F (x) =
X
i:xi�x
P (X = xi) =
X
i:xi�x
p(xi).
47
Além disso, observe que
p(xi) � 0, i = 1; 2; 3; ::: (3.3)
e
1X
i=1
p(xi) = 1. (3.4)
Exemplo 78 Num grupo de n pessoas, encontram-se João e Maria. Um experi-
mento consiste em se colocar as n pessoas em …la de forma aleatória. Seja X a
variável aleatória que conta o número de pessoas que separam João e Maria na …la.
Pede-se:
(a) Um espaço de probabilidade 
 e a medida de probabilidade P para tal exper-
imento, identi…cando os símbolos.
(b) O modelo de probabilidade para variável aleatória X, identi…cando claramente
a função X : 
! R.
(c) Qual a probabilidade de João e Maria …carem juntos na …la?
Exemplo 79 A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é 2=3. Ele deve
atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a variável aleatória que representa
o número de tentativas até que ele acerte o alvo. Pede-se:
(a) Um espaço de probabilidade 
 e a medida de probabilidade P para tal exper-
imento, identi…cando os símbolos.
(b) O modelo de probabilidade para variável aleatória X, identi…cando claramente
a função X : 
! R e a função de probabilidade de X, mostrando que ela atende as
propriedades (3.3) e (3.4).
(c) A probabilidade de serem necessários cinco tiros para que ele acerte o alvo.
48
3.4 Variáveis Aleatórias Contínuas
De…nição 19 A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de
distribuição FX(x) é contínua. Isto é, se existe uma função fX(x), dita função de
densidade de probabilidade, com as seguintes propriedades
fX(x) � 0 para todo x 2 R e
1Z
�1
fX(x)dx = 1
de modo que
FX(x) =
xZ
�1
fX(t)dt.
Observação 12 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, observe que
fX(x) =
dFX(x)
dx
.
Observação 13 Como FX(x) é contínua, observe que
1. P (X = x) = FX(x)� FX(x�) = 0 para todo x 2 R.
2. P (a � X � b) = P (a < X � b) = P (a � X < b) = P (a < X < b) =
bZ
a
fX(x)dx.
3. dFX(x) = fX(x)dx.
Exemplo 80 Seja 
 = (0; 1) e de…na P (A) = b� a, para A = [a; b], ou A = (a; b),
ou A = [a; b) ou A = (a; b] com 0 < a < b < 1. P (A) é chamada a medida de
Lebesgue de A. Seja X(!) = � ln!. Encontre a função de distribuição e a função
de densidade da variável aleatória X.
49
Exemplo 81 Veri…que que
FZ(z) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0, z < 0
z2, 0 � z < 1
2
1� 3(1� z)2, 1
2
� z < 1
1, z � 1
é uma função de distribuição e obtenha a função de densidade de Z. Calcule também
P (Z > 14
jZ � 3
4
).
Exemplo 82 Veri…que que
FY (y) =
8<:
0, y < 0p
y, 0 � y � 1
1, y > 1
é uma função de distribuição e calcule a função de densidade de Y. Use-a para
calcular P (1
4
< Y < 3
4
).
De…nição 20 Uma variável aleatória é dita singular, se sua função de distribuição
é contínua, mas sua derivada é zero em quase todos os pontos, isto é, exceto em um
conjunto de medida de Lebesgue nula. (Essa linguagem mencionando "quase todos
os pontos"é muito utilizada em probabilidade avançada e signi…ca que a propriedade
só não é válida num conjunto de pontos que tem probabilidade zero, às vezes também
referido como de medida nula.) Em outras palavras, X é singular se, e somente se,
existe um conjunto B de comprimento zero tal que P (X 2 B) = 1 e FX é contínua
(isto é, P (X = x) = 0 para todo x 2 R).
De…nição 21 Uma variável aleatória X é dita mista se tem partes nas diferentes
classi…cações (parte discreta, parte contínua e parte singular). (O mais comum é a
mistura de parte contínua com parte discreta, pois, como dissemos, a parte singular
raramente ocorre.)
50
Exemplo 83 (Variável Aleatória Mista) A função de distribuição de uma variável
aleatória X é dada por:
FX(x) =
8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:
0, x < 0
x
2
, 0 � x < 1
2
3
, 1 � x < 2
11
12
, 2 � x < 3
1, x � 3
Obtenha:
(a) o grá…co de FX(x);
(b) P (X < 3);
(c) P (X = 1);
(d) P (X > 1=2);
(e) P (2 < X < 4).
Observação 14 Assim toda função de distribuição F de uma variável aleatória X
admite a decomposição
F = Fd + Fac + Fs
onde Fd é uma função degrau não-decrescente (a parte discreta de F), Fac é a parte
absolutamente contínua de F e Fs é a parte singular de F.
Exemplo 84 Seja X uma variável com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
0, x < �2
1
4
+
x+ 2
8
, � 2 � x < 0
3
4
+
1
4
(1� e�x), x � 0
(a) Classi…que X e faça um grá…co de F .
51
(b) Calcule P (X > �1) e P (X � 4jX > 0).
(c) Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua.
3.5 Exercícios
Exercício 46 Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
P (X = x) = cx2, onde c é uma constante e c = 1; 2; 3; 4; 5. Calcule F (x) e
P (X ser ímpar).
Exercício 47 Seja X o número de caras obtidas em 4 lançamentos de uma moeda
honesta. Construa a função de probabilidade e a função de distribuição de X es-
boçando os seus grá…cos.
Exercício 48 Considere três lançamentos de uma moeda honesta. De…na K como
cara e �K como coroa. Se ocorre o evento KKK, dizemos que temos uma seqüência,
ao passo que se ocorre K �KK temos três seqüências. De…na a variável aleatória Y
como o número de seqüências resultantes dos três lançamentos. Pede-se:
(a) A função de probabilidade de Y .
(b) A função de distribuição de Y , esboçando o seu grá…co.
(c) P (Y = 2jY � 2).
Exercício 49 Seja FX a função de distribuição de uma variável aleatóriaX, de…nida
por
FX(x) = C1 + C2
x
(jxj+ 1) para �1 < x <1
Pede-se:
(a) O valor das constantes C1 e C2.
(b) A função de densidade de probabilidade de X.
(c) P (X � 1j X > �1).
52
Exercício 50 Mostre que se X é uma v. a . do tipo contínuo com função de
densidade par, ou seja, simétrica em torno de x = 0, isto é, fX(x) = fX(�x),
então:
(a) FX(x) = 1� FX(�x);
(b) FX(0) = 12 ;
(c) P (�x < X < x) = 2FX(x)� 1, x > 0;
(d) P (X > x) = 1
2
�
xZ
0
fX(t)dt, x > 0.
Exercício 51 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
fX(x) =
1
2(1 + jxj)2 , �1 < x <1
(a) Obtenha a função de distribuição de X.
(b) Ache P (�1 < X < 2).
(c) Ache P (jXj > 1).
Exercício 52 Z é uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade
fZ(z) =
�
10e�10z, z > 0
0, z � 0
Obtenha a função de distribuição de Z e esboce o seu grá…co.
3.6 Funções de Variáveis Aleatórias
Suponha que a entrada de um sistema é modelado por um variável aleatória X e
nosso objetivo seja caracterizar a saída do sistema Y = g(X), onde g : R ! R
depende das propriedades do sistema. A aplicação
(
; P )
X�! (R; PX) g�! (R; PY )
de (
; P ) a (R; PY ) de…ne uma saída (output).
53
3.6.1 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias
Seja X uma variável aleatória em (
; P ), e considere o problema de determinar a
distribuição de Y = g(X), com g uma função bem de…nida. Então, temos
FY (y) = P fY � yg = P fg(X) � yg
De…nindo By = fx : g(x) � yg, temos
FY (y) = P fX 2 Byg
= PX fByg
ou seja, conhecendo a distribuição X, podemos obter a distribuição de qualquer
função mensurável de X.
Observação 15 (a) Quando X é v.a. discreta, Y é também v.a. discreta e o
problema se torna simples, pois
pY (y) =
X
i:g(xi)=y
pX(xi)
(b) Quando X é v.a. contínua, o problema é mais complexo pois Y pode ser
discreto ou contínuo.
Exemplo 85 Seja X uma variável com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0, x < �10
1
4
, � 10 � x < 0
3
4
, 0 � x < 10
1, x � 10
Encontre a função de distribuição e a função de probabilidade da variável aleatória
Y = 7X � 50.
54
Exemplo 86 Seja X uma variável aleatória com função de densidade
fX(x) =
�
e�x, x > 0
0, caso contrário
Encontre a distribuição da variável aleatória Y = bXc, a parte inteira de X. (Isto
é, se 2 � x < 3, então y = bxc = 2.)
Exemplo 87 Seja X uma variável contínua com densidade uniforme em [�2; 5].
Encontre a densidade de Y = X2.
Exemplo 88 Seja X uma variável contínua com densidade
fX(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
1
4
x, 0 � x < 2
1
8
, 2 � x � 6
0, caso contrário
(a) Determine a função de distribuição de Y = min(3; X).
(b) Faça a decomposição de FY nas suas partes discreta, contínua e singular.
3.7 Exercícios
Exercício 53 Seja X uma variável contínua com densidade fX(x) = 12e
�jxj, �1 <
x <1. Mostre que a densidade de Y = X2 é dada por
fY (y) =
1
2
p
y
e�
p
y1(0;1)(y).
Exercício 54 X uma variável aleatória com função de densidade dada por
fX(x) =
�
2e�2x, x > 0
0, caso contrário
Determine a função de densidade de probabilidade da variável aleatória Z =
3
(X + 1)2
.
55
Exercício 55 Alguém propôs a você o seguinte jogo: Você deve lançar um dado
sucessivamente a …m de obter o número 6. Cada lançamento do dado vai lhe custar
R$ 10; 00. Se você conseguir obter um 6 em no máximo três tentativas, ganhará um
prêmio de R$ 100; 00. O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro
6 ou quando você completar sem sucesso as três tentativas. Seja X a v.a. que
representa o seu ganho líquido ao participar do jogo. Ache a distribuição de X.
Exercício 56 Seja uma variável aleatória X com densidade f(x) =
c
x4
para x > 1
e f(x) = 0, caso contrário, onde c é uma constante.
(a) Obtenha o valor de c.
(b) Obtenha a função de distribuição de X e esboce o seu grá…co.
(c) Obtenha a distribuição da variável aleatória Y = X � 1
2
.
(d) Obtenha a distribuição da variável aleatória Z = X + 8.
Exercício 57 Seja X uma variável aleatória positiva com f:d:p: dada por
fX(x) = 3e
�3x; x > 0
Ache a função de densidade de probabilidade de Y =
1
X + 1
.
Exercício 58 Suponha que a variável aleatória contínua X tenha a função de den-
sidade de probabilidade dada por
f(x) = Cxe�x
2
, x > 0
(a) Calcule o valor de C.
(b) Ache a função de distribuição da variável aleatória X.
(c) Calcule P (X � 2 j X � 1).
(d) Ache a fdp de Y = lnX.
56
Exercício 59 Seja X uma v.a. com função de distribuição dada por
FX(x) =
8>>>><>>>>:
0, se x < 1
c(1� e�(x�1)), se 1 � x < 2
c(1� e�1 + e�2 � e�2(x�1)), se x � 2
Pede-se:
(a) Obter o valor de c.
(b) Classi…que a v.a. X conforme seja discreta, contínua ou mista e obtenha
a função de probabilidade