Cálculo das Probabilidades I

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TEORIA DAS PROBABILIDADES I
Prof. Nei Rocha
Instituto de Matemática - UFRJ
Rio de Janeiro
2013-1
Sumário
1 Revisão de Análise Combinatória 1
1.1 Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Noções Básicas de Técnicas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Base Teórica de Probabilidade 17
2.1 Modelo Matemático para um Experimento . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Espaços de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Variáveis Aleatórias 44
3.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . 54
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Esperança Matemática 58
4.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 A Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Modelos de Variáveis Aleatórias Discretas 70
5.1 O Modelo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 O Ensaio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 A Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 A Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 A Distribuição Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 A Distribuição Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
5.7 O Processo de Poisson e a Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . 79
5.7.1 Aproximação da Binomial pela Poisson . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Modelos de Variáveis Aleatórias Contínuas 90
6.1 A Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 A Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 A Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 A Distribuição Normal Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 A Distribuição Normal com média � e variância �2 . . . . . . 93
6.4 A Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 A Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.2 A Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5 A Distribuição Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 A Distribuição Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7 A Distribuição de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.8 A Distribuição t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.9 A Distribuição F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Vetores Aleatórios 112
7.1 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios . . . . . . 122
7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
i
OBJETIVOS GERAIS: Habilitar o aluno a pensar probabilisticamente o
mundo e a modelar fenômenos aleatórios por meio de modelos de probabilidade,
resolvendo problemas reais usando raciocínio probabilístico.
PROGRAMA
UNIDADE I - PROBABILIDADE.
Interpretações de Probabilidade. Experimentos e eventos. De…nição de proba-
bilidade. Propriedades da probabilidade. Espaços amostrais …nitos –Métodos de
Contagem. Probabilidade da União Finita de Eventos.
UNIDADE II –PROBABILIDADE CONDICIONAL.
De…nição de Probabilidade Condicional. Independência. Teorema de Bayes.
Cadeias de Markov: primeiras noções.
UNIDADE III –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
De…nição. Função de Distribuição e Propriedades. Tipos de Variáveis Aleatórias.
UNIDADE IV –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
De…nição e exemplos. Função de Probabilidade. Valor esperado e variância de
uma variável aleatória discreta. Propriedades do valor esperado e da variância.
Principais modelos discretos: de…nição e propriedades. Bernoulli, Binomial, Ge-
ométrico, Binomial Negativo, Hipergeométrico e Poisson.
UNIDADE V –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
De…nição. Função de densidade de probabilidade.
Valor esperado e variância. Propriedades do valor esperado e da variância.
Principais modelos contínuos: de…nição e propriedades. Uniforme, Normal, Ex-
ponencial, Gama, Beta. Outros modelos contínuos.
A distribuição de uma função de uma variável aleatória.
ii
UNIDADE VI – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO CON-
JUNTA
Duas variáveis aleatórias discretas: função de probabilidade conjunta, funções
de probabilidade marginais e função de probabilidade condicional.
Duas variáveis aleatórias contínuas: densidade conjunta, densidades marginais e
condicionais. Extensão para o caso n-variado. Variáveis aleatórias independentes.
Covariância e correlação.
UNIDADE VII –A FUNÇÃO GERATRIZ DE MOMENTOS
Função geratriz de momentos: de…nição e propriedades.
Somas de variáveis aleatórias independentes via função geratriz de momentos.
Função geratriz de momentos conjunta.
UNIDADE VIII - TEOREMAS LIMITES –NOÇÕES BÁSICAS
Desigualdade de Tchebyshev, Lei dos Grandes Números, Teorema Central do
Limite: enunciado e exemplos de aplicação.
iii
BIBLIOGRAFIA
[1] Ross, S. (1998). A First Course in Probability . Prentice Hall.
[2] DeGroot, M., (2002). Probability and Statistics. Addison Wesley.
[3] Hoel, P.G., Port, S.C. e Stone, C.J. (1978). Introdução à Teoria da Probabil-
idade Tradução deChiyoshi, F.Y., Editora Interciência.
[4] Magalhães, M. N. (2004) Probabilidade e Variáveis Aleatórias - Ed. Univer-
sidade de São Paulo.
AVALIAÇOES
Prova 1 - 28 de maio de 2013.
Prova 2 - 26 de julho de 2013.
Reposição - 1 de agosto de 2013.
Prova Final - 2 de agosto de 2013.
iv
Capítulo 1
Revisão de Análise Combinatória
1.1 Álgebra de Conjuntos
Letras maiúsculas, como por exemplo A, B, ..., Y , Z, representarão conjuntos.
A letra grega 
 representará o conjunto universal em uma situação determinada.
Letras minúsculas a, b, ..., y, z, indicarão elementos desses conjuntos.
A relação de pertinência será grafada pelo símbolo e escrevemos, por exemplo
a 2 A para indicar que a é membro de A (ou a pertence a A).
O conjunto vazio é representado pelo símbolo ;.
Um conjunto também pode ser descrito por uma propriedade p, comum a todos
os seus elementos, e escrevemos
A = fx j x tem a propriedade pg
Exemplo 1 A = fx j x = 2k, k = 1; 2; :::g descreve o conjunto dos números in-
teiros pares positivos.
Usaremos o símbolo #Apara indicar o número de elementos de um determinado
conjunto A (ou cardinalidade de A).
Diremos que A � B (A está contido em B) se todo elemento de A é também um
elemento de B, e diremos também que A é subconjunto de B.
1
Se A � B mas existe um elemento b 2 B tal que b =2 A, (b não pertence a A),
diremos que A é um subconjunto próprio de B.
Para mostrar que A não está contido em B, basta exibir um elemento a 2 A tal
que a =2 B.
Dizemos que A = B se A � B e B � A.
Proposição 1 ; � A, para qualquer conjunto A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 1 Dados dois conjuntos A � 
 e B � 
 indicaremos por A [ B o
conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é o conjunto dos elementos
que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Este conjunto é chamado
união de A com B.
A [B = f! 2 
 j ! 2 A ou ! 2 Bg
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai � 
, para todo
i = 1; 2; :::; n). Então
n[
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 A1 ou ! 2 A2 ... ou ! 2 Ang
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai � 
, para todo i 2 N).
Então
1[
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 Ai para algum i 2 Ng
De…nição 2 Dados dois conjuntos A e B, de…nimos o conjunto interseção de A
e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, isto é
A \B = f! 2 
 j ! 2 A e ! 2 Bg
2
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai � 
, para todo i =
1; 2; :::; n). Então
n\
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 A1 e ! 2 A2 ... e ! 2 Ang
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai � 
, para todo i 2 N).
Então
1\
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 Ai para todo i 2 Ng
De…nição 3 Dados dois conjuntos A e B, diz-se que eles são disjuntos, se não
têm elementos comuns, isto é, se A \ B = ;. Por extensão, dada uma coleção de
conjuntos A1, ..., An, dizemos que eles são (mutuamente) disjuntos, ou disjuntos
dois a dois, se Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
De…nição 4 Dado um conjunto A, de…nimos o conjunto complementar de A o
conjunto dos elementos de 
 que não pertencem a A. Simbolicamente
Ac = f! 2 
 j ! =2 Ag
De…nição 5 Dados dois conjuntos A e B, de…ne-se o conjunto diferença de A e
B como o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, isto é
A�B = f! 2 
 j ! 2 A e ! =2 Bg
Observe que A�B = A \Bc.
A proposição seguinte lista as propriedades mais importantes que relacionam os
conceitos de…nidos anteriormente.
Proposição 2 Dado um conjunto universal 
 e conjuntos A, B e C, os seguintes
itens se veri…cam:
3
(i) Para todo conjunto A � 
, A [ ; = A, A \ ; = ;.
(ii) A � B se e somente se A [B = B.
(iii) A � B se e somente se A \B = A.
(iv) A [ (B [ C) = (A [B) [ C.
(v) A \ (B \ C) = (A \B) \ C.
(vi) A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C).
(vii) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C).
(viii) A [ Ac = 
, A \ Ac = ;, ;c = 
, 
c = ;.
(ix) (Ac)c = A.
(x) A � B se e somente se Bc � Ac.
(xi) (A [B)c = Ac \Bc,
�
n[
i=1
Ai
�c
=
�
n\
i=1
Aci
�
e
� 1[
i=1
Ai
�c
=
� 1\
i=1
Aci
�
.
(xii) (A \B)c = Ac [Bc,
�
n\
i=1
Ai
�c
=
�
n[
i=1
Aci
�
e
� 1\
i=1
Ai
�c
=
� 1[
i=1
Aci
�
.
Prova. (Deixada como exercício.)
De…nição 6 Dados dois conjuntos A e B, chamaremos de produto cartesiano de
A por B o conjunto de pares ordenados (a; b) onde a é um elemento de A e b é um
elemento de B. Simbolicamente
A�B = f(a; b) j a 2 A, b 2 Bg
Extensão 1: Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, o produto cartesiano
A1� A2 � ::: � An é de…nido como o conjunto das n-uplas (a1; a2; :::; an), onde
ai 2 Ai, para i = 1; :::; n.
Extensão 2: Dada uma seqüência de conjuntos A1, A2, ..., o produto cartesiano
A1� A2� ::: é de…nido como o conjunto das1-uplas (a1; a2; :::; ) (ou das seqüências
fan; n � 1g) onde ai 2 Ai, para todo i 2 N.
4
Exemplo 2 Se A = f1; 2g e B = f1; 2; 3g, temos
A�B = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3)g
Observe que, em geral, A�B 6= B � A.
1.2 Noções Básicas de Técnicas de Contagem
Neste capítulo, exporemos todos os objetos presentes na análise combinatória, fazendo
uma re‡exão minuciosa sobre eles, quando for necessária.
Princípio da Adição: Sejam A1, ..., An, conjuntos diferentes e disjuntos dois a
dois, tendo, respectivamente, r1, ..., rn elementos diferentes, isto é, #A1 = r1,
..., #An = rn. Então o número de formas de selecionar um objeto de um dos
n conjuntos é r1 + :::+ rn.
Princípio da Multiplicação: Suponha que um experimento possa ser realizado
em n fases. Suponha que a fase Fi (i = 1; :::; n) tenha ri receitas diferentes
para cumpri-la. Se o número de receitas em cada fase é independente das
escolhas nas fases anteriores, e se os resultados compostos são todos distintos,
então o número de formas de se realizar o experimento nas n fases é r1�:::�rn.
Exemplo 3 Prof. Cláudio tem 40 estudantes no curso de álgebra e 35 no curso de
geometria. Quantos estudantes diferentes há nessas duas classes, supondo que não
há estudantes em ambas as classes?
Exemplo 4 De quantas formas podemos extrair uma carta de copas ou de espadas
de um baralho de 52 cartas? Uma carta ás ou rei?
5
Exemplo 5 De quantas formas podemos obter uma soma 4 ou 8 quando dois dados
distinguíveis (por exemplo, têm cores diferentes) são lançados? De quantas formas
obtemos uma soma par?
Observação 1 É urgente a discussão sobre a diferença semântica entre os adjetivos
distinto e distinguível. No exemplo acima, os dois dados são distintos porque
temos dois dados e não apenas um dado. Além disso, os dados eram também distin-
guíveis com respeito à cor, de forma que o par (1,5) pode ser diferenciado de (5,1).
Entretanto, se os dois dados distintos não tivessem características distinguíveis, en-
tão não poderíamos fazer tal diferenciação.
Exemplo 6 De quantas formas podemos obter uma soma 8 quando dois dados in-
distinguíveis são lançados? De quantas formas obtemos uma soma par?
Exemplo 7 Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados. Quantos resulta-
dos diferentes existem neste experimento?
Exemplo 8 Há 5 livros diferentes de Espanhol, 6 livros diferentes de Francês e 8
livros diferentes de Inglês. Quantas formas há de tomar um par (não ordenado) de
livros de línguas diferentes?
Exemplo 9 Quantas maneiras existem de formar uma seqüência de três letras,
usando as letras a, b, c, d, e, f:
(a) com a repetição de letras permitida?
(b) sem a repetição de qualquer letra?
(c) sem a repetição e contendo a letra ”e”?
(d) com repetição e contendo a letra ”e”?
Exemplo 10 Quantas coleções diferentes e não-vazias podem ser formadas com 5
maçãs idênticas e 8 laranjas idênticas?
6
Exemplo 11 Uma indústria fabrica 100 produtos diferentes, que já estão no mer-
cado. Para facilitar a identi…cação via computador será criado um código de barras
onde cada barra é j ou �. Qual o número de barras necessárias para que se possa
identi…car cada um dos 100 produtos?
De…nição 7 Dado um número natural n, de…ne-se o fatorial de n, representado
por n!, como
n! = n(n� 1)(n� 2):::3:2:1
= 1:2:3:::(n� 2)(n� 1)n
Por convenção, 0! = 1. Esta convenção está amparada no mundo físico, como
veremos a seguir.
Proposição 3 (Permutação) Sejam n objetos distinguíveis, ordenados em …la.
Então o número de con…gurações das ordenações possíveis, ou por outra, o número
de permutações dos objetos é dado por
Pn = n!
Pn é chamado de permutação de n objetos distintos.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 12 Suponha que um carteiro bêbado tenha n cartas a serem distribuídas
aleatoriamente em n casas diferentes. Suponha que ele o faça colocando uma carta
em cada caixa de correio. De quantas formas ele pode distribuir as cartas?
Exemplo 13 Suponha agora o carteiro bêbado tenha n cartas a serem distribuídas
aleatoriamente em k casas diferentes (k �n). Suponha que ele o faça colocando
uma carta em cada caixa de correio.
7
(a) De quantas formas ele pode distribuir as cartas?
(b) Justi…que, com base nos dois últimos exemplos, o fato de 0! = 1.
O resultado do exemplo anterior é chamado de arranjo de n objetos em k com-
partimentos, ou simplesmente arranjo de n, k a k, como veremos na proposição a
seguir.
Proposição 4 (Arranjo) Suponha que n objetos distinguíveis devam ser alocados
em k compartimentos (k � n), de forma ordenada, com cada compartimento tendo
um único elemento. O número de alocações possíveis é dado por
An;k =
n!
(n� k)!
Prova. (Em aula.)
Exemplo 14 Suponha que 20 corredores disputam uma corrida de Fórmula 1. Quan-
tos resultados de pódium (primeiro, segundo e terceiro lugares) são possíveis?
Exemplo 15 Suponha que 5 pessoas entrem num elevador que conduz aos 10 an-
dares de um edifício. De quantas maneiras podemos ter pessoas saindo sozinhas em
andares diferentes?
Proposição 5 (Combinação) Suponha que n objetos devam ser alocados em k
compartimentos (k � n), de forma não-ordenada, com cada compartimento tendo
um único elemento. O número de alocações possíveis é dado por�
n
k
�
=
An;k
k!
=
n!
k!(n� k)!�
n
k
�
(ou Cn;k ou Ckn) é chamado de combinação de n, k a k, e sua distinção básica com
o conceito de arranjo de n, k a k reside no fato de que, na combição, a ordenação
dos objetos não é relevante, embora o seja no contexto de arranjo.
8
Prova. (Em aula.)
Exemplo 16 Suponha que desejemos formar uma comissão de 4 pessoas retiradas
aleatoriamente de 10 pessoas. Quantas comissões são possíveis?
Exemplo 17 Quantos padrões distintos usando-se k letras A e n� k letras B são
possíveis de serem criados? (As ”palavras”assim formadas são chamadas de ana-
gramas.)
Exemplo 18 Numa recepção há 50 homens e 30 mulheres. Qual o número de
apertos de mão possíveis, sabendo que 70% das mulheres não se cumprimentam
entre si?
Vejamos agora a construção do conceito de permutação com repetição, que gen-
eraliza o conceito de combinação.
Proposição 6 (Permutação com Repetição) Se há n objetos, com r1 objetos
do tipo 1, r2 objetos do tipo 2, ..., e rm objetos do tipo m, onde r1 + r2:::+ rm = n,
então o número de permutações distintas geradas pelos objetos é dado por
P (n; r1; r2; :::; rm) =
�
n
r1
��
n� r1
r2
��
n� r1 � r2
r3
�
:::
�
n� r1 � r2:::� rm�1
rm
�
=
n!
r1!r2!:::rm!
Prova. (Em aula.)
Exemplo 19 Numa universidade há 7 professores de Matemática e 4 de Física. De
quantas formas uma equipe composta de 4 matemáticos e 2 físicos pode ser feita?
Exemplo 20 Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000, podem ser for-
mados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8?
9
Exemplo 21 Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não pos-
suem duas letras A juntas?
Os próximos exemplos ilustram o conceito de Combinações Completas, onde o
conceito de distinguibilidade de objetos não mais se dá.
Proposição 7 (Combinação Completa) Seja A um conjunto de n elementos.
Então o número de amostras com reposição de k elementos de A, ou por outra, o
número de subconjuntos de k elementos de A com repetições permitidas é dado por�
n
k
�
:=
�
n+ k � 1
k
�
Obs.: A notação
�
n
k
�
é chamada de combinação completa (ou com repetição)
de n, k a k. Alguns autores adotam a notação CRkn.
Prova. Em aula.
Corolário 1 O número de soluções inteiras de x1 + x2 + ::: + xn = k onde cada
xi � 0 é dado por
�
n
k
�
.
Prova. Em aula.
Exemplo 22 De quantas formas diferentes podemos comprar 6 cachorros-quentes,
se há 3 variedades possíveis (mini, regular e super)?
Exemplo 23 Quantas soluções inteiras há para a equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
(a) com xi � 0?
(b) com xi � 1?
(c) com x1 � 2, x2 � �2, x3 � 4, x4 � 0?
10
Exemplo 24 Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x+ y+ z+w < 6.
Exemplo 25 Quantos arranjos das letras a, e, i, o, u, x, x, x, x, x, x, x, x (8 x’s)
existem se não pode haver duas vogais consecutivas?
Exemplo 26 A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de
30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser
formadas?
Finalmente encerraremos, nossa breve introdução à análise combinatória com o
conceito de permutação circular.
Proposição 8 (Permutação Circular) Suponha n objetos distingíveis dispostos
circularmente. Então o número de padrões circulares gerados pelos n objetos é dado
por
Pn�1 = (n� 1)!
Prova. (Em aula.)
Exemplo 27 De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda
de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não …quem juntas?
Exemplo 28 Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens deve ocupar as 8
cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado de
modo que cada homem sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo
de pessoas; entretanto por motivos de ordem estritamente pessoal não podem sentar-
se lado a lado. Duas acomodações de pessoas ao redor da mesa são consideradas
diferentes quando pelo menos uma das pessoas não tem o mesmo vizinho à direita,
nas duas acomodações. Determine o número de diferentes acomodações possíveis
dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.
11
Proposição 9 (Princípio da Inclusão e Exclusão) Sejam 
 o conjunto univer-
sal, A1, A2 , ..., An subconjuntos de 
 e
S0 = #
S1 =
nP
i=1
#(Ai)
S2 =
P
1�i<j�n
#(Ai \ Aj)
S3 =
P
1�i<j<k�n
#(Ai \ Aj \ Ak) ...
(observe que há
�
n
1
�
parcelas em S1,
�
n
2
�
parcelas em S2, etc). Então o número
de elementos do conjunto A1 [ A2 [ ::: [ An é
S1 � S2 + S3 � :::+ (�1)n+1Sn
Prova. (Em aula.)
Exemplo 29 Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 7 falam
francês. Sabendo-se que 3 falam inglês e alemão, 2 falam inglês e francês, 2 falam
alemão e francês e que 1 fala as três línguas, determinar o número de alunos que
não falam nenhuma dessas três línguas.
Exemplo 30 Quantos são os inteiros entre 1 e 42.000, que não são divisíveis por
2, por 3 e nem por 7?
Exemplo 31 Quantas são as permutações das letras da palavra BRASIL em que o
B ocupa o primeiro lugar, ou o R o segundo lugar, ou o L o sexto lugar?
Exemplo 32 Dentre os inteiros de 1 a 1.000.000 inclusive, quantos não são quadra-
dos perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas?
Exemplo 33 De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa
circular de tal forma que marido e mulher não …quem juntos?
12
Exemplo 34 De quantas formas podemos permutar 3 a’s, 3 b’s e 3 c’s de tal modo
que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes?
Exemplo 35 Encontrar o número de soluções, em inteiros positivos, de
x1 + x2 + x3 + x4 = 22
em que x1 � 7, x2 � 6, x3 � 9 e x4 � 8.
Exemplo 36 Encontrar o número de soluções de x1 + x2 + x3 + x4 = 1 em inteiros
entre �3 e 3 inclusive.
Exemplo 37 Lançam-se 3 dados. Em quantos dos 63 resultados possíveis a soma
dos pontos é 12?
1.3 Exercícios
Exercício 1 Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais
da revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não vazias de
revistas dessa banca é possível formar? Resp.: 461.
Exercício 2 No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra MATEMÁTICA,
partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo? Resp.: 512.
M
M A
M A T
M A T E
M A T E M
M A T E M A
M A T E M A T
M A T E M A T I
M A T E M A T I C
M A T E M A T I C A
Exercício 3 Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns
(ou todos) os números 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? Resp.: 48.
13
Exercício 4 Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais,sendo 5 de frente e
5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de
costas e os demais não têm preferência. De quantas maneiras os passageiros podem
se sentar, respeitando-se as preferências? Resp.: 43.200.
Exercício 5 Em um concurso há três candidatos e cinco examinadores, devendo
cada examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podem ser
distribuídos? Resp.: 243.
Exercício 6 Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720? Resp.: 2418.
Exercício 7 Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em …la. De
quantos modos isso pode ser feito, se os delegados do Brasil e de Portugal devem
sentar juntos e o do Iraque e o dos Estados Unidos não podem sentar juntos? Resp.:
564.480.
Exercício 8 Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada.
De quantos modos é possível selecionar os jogos de primeira rodada? Resp.: 10.395.
Exercício 9 Mostre que o número de diferentes pares para uma primeira rodada de
um torneio de tênis com 2n participantes é (1):(3):(5):(7):::(2n� 1).
Exercício 10 Quantos divisores ímpares tem o número 232.848? Resp.: 24.
Exercício 11 Quantas são as permutações simples dos números 1; 2; :::; n nas quais
o elemento que ocupa a k-ésima posição é inferior a k + 4 para todo k? Resp.:
6� 4n�3.
Exercício 12 Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4
…gura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes? Resp.: 12.960.
14
Exercício 13 Quantos são os p-subconjuntos (isto é, subconjuntos com p elemen-
tos) de fa1; a2; :::; ang nos quais:
(a) a1 …gura; Resp.: C
p�1
n�1
(b) a1 não …gura; Resp.: C
p
n�1
(c) a1 e a2 …guram; Resp.: C
p�2
n�2
(d) pelo menos um dos elementos a1, a2 …gura; Resp.: 2C
p�1
n�2+C
p�2
n�2 = C
p
n�Cpn�2
(e) exatamente um dos elementos a1, a2 …gura. Resp.: 2C
p�1
n�2
Exercício 14 Empregando 10 consoantes e cinco vogais, calcule o número de palavras
de 6 letras que se podem formar sem usar consoantes nem vogais adjacentes:
(a) se são permitidas repetições; Resp.: 250.000
(b) se não são permitidas repetições. Resp. 86.400
Exercício 15 Prove que um produto de p inteiros consecutivos é sempre divisível
por p!.
Exercício 16 No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças
desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no …m da festa? Resp.: 424.051
Exercício 17 Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma esmeralda, um
topázio, uma água-marinha, uma turmalina e uma ametista. De quantos modos isso
pode ser feito, supondo:
(a) que a pulseira tem um fecho e um relógio engastado no fecho; Resp.: 720
(b) que a pulseira tem fecho; Resp.: 360
(c) que a pulseira não tem fecho e o braço só pode entrar na pulseira em um
sentido; Resp.: 120
(d) que a pulseira não tem fecho e o braço pode entrar na pulseira nos dois
sentidos. Resp.: 60
15
Exercício 18 Uma partícula, estando no ponto (x; y) pode mover-se para o ponto
(x+ 1; y) ou para o ponto (x; y + 1). Quantos são os caminhos que a partícula pode
tomar para, partindo do ponto (0; 0), chegar ao ponto (a; b), onde a > 0 e b > 0?
Resp.: Caa+b
Exercício 19 De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores
diferentes? Resp.: 28
Exercício 20 De quantos modos podemos colocar em …la 7 letras A, 6 letras B e 5
letras C de modo que não haja duas letras B juntas? Resp.: 1.359.072
16
Capítulo 2
Base Teórica de Probabilidade
2.1 Modelo Matemático para um Experimento
2.1.1 Espaços de Probabilidade
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito
de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de
tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos
por 
, é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte
de…nição:
De…nição 8 O conjunto 
 de todos os resultados possíveis de um determinado ex-
perimento é chamado de espaço amostral.
Exemplo 38 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então 
 = fCa;Cog,
onde Ca é ”cara”e Co é ”coroa”.
Exemplo 39 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face su-
perior, então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Exemplo 40 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a
face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b.
17
Exemplo 41 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces
superiores, então
 =
8>>>>>><>>>>>>:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
9>>>>>>=>>>>>>;
onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no
segundo dado.
Exemplo 42 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então
um possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto
é, 
 = [0;1).
De…nição 9 Qualquer subconjunto A do espaço amostral 
, isto é A � 
, ao qual
atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.
Obviamente, como ; � 
 e 
 � 
 os conjuntos ; e 
 são eventos aleatórios. O
conjunto vazio ; é denominado evento impossível e o conjunto 
 é denominado
evento certo. Se ! 2 
 o evento f!g é dito elementar (ou simples).
De…nição 10 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-
patíveis se A \B = ;.
Observação 2 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin-
guagem de eventos: A [ B é o evento ”A ou B”; A \ B é o evento ”A e B” e
Ac é o evento ”não A”.
Observação 3 (Concepção Errônea) Uma das concepções errôneas comumente
propagada pelos livros didáticos é o estabelecimento de uma relação um a um do
experimento com o espaço amostral associado. É preciso ter em mente que, para
18
todo experimento, é possível estabelecer uma in…nidade de espaços amostrais, todos
legítimos, pois o espaço amostral deve ser o conjunto que contém todos os resultados
possíveis, mas não há necessidade de que este seja minimal. Assim, se o experi-
mento consiste em lançar um dado e se observar a sua face superior, podemos ter
1 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, 
2 = N e 
3 = (0;1) como espaços amostrais legítimos para
esse experimento. Em todos eles basta atribuir a probabilidade de 1
6
para os pontos
1; 2; 3; 4; 5 e 6 e probabilidade nula para os demais pontos se houver. Claro que não
há necessidade de se pecar por excesso, se podemos reconhecer o espaço amostral
mínimo, mas isso nem sempre é possível, como o exemplo 42, que se presta a vários
possíveis espaços amostrais e nesse caso vale a pena pecar por excesso e deixar a
medida de probabilidade fazer o trabalho de de…nir pontos (ou regiões) de maior e
menor probabilidade.
É preciso lembrar também que toda escolha do espaço amostral induz uma medida
de probabilidade diferente. Por exemplo, se temos uma urna com três bolas brancas
e 2 bolas vermelhas e o experimento consiste em se retirar uma bola e registrar a sua
cor, então poderíamos ter os seguintes espaços amostrais, dentre outros possíveis:
1 = fb; vg e 
2 = fb1; b2; b3; v1; v2g. No primeiro espaço amostral, estaríamos con-
siderando as bolas pretas e vermelhas indistinguíveis entre si e assim o ponto b teria
3
5
de chance e o ponto v teria 2
5
de chance, ou seja, um espaço amostral de elemen-
tos não equiprováveis. No segundo espaço amostral, estaríamos considerando todas
as bolas como distinguíveis e, nesse caso, cada ponto tem a mesma probabilidade
1
5
, construindo assim um espaço amostral de elementos equiprováveis. Portanto, se
o evento for "retiraruma bola branca", então esse evento será dado por fbg pelo
espaço amostral 
1, e fb1; b2; b3g pelo espaço amostral 
2. No entanto, em ambos
os modelos a probabilidade do evento em questão será a mesma de 3
5
.
19
2.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades
Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes:
(Clássica) Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis.
Seja A um evento e 
 o espaço amostral …nito, então
P (A) =
#A
#
onde #A é a cardinalidade de A e #
 a cardinalidade de 
.
Vemos, portanto, que esta de…nição de probabilidade presupõe que todos os
elementos de 
 são igualmente prováveis, ou seja, têm o mesmo peso. Este é o caso
por exemplo de um dado equilibrado.
Esta forma de de…nir a probabilidade é também conhecida pelo nome de probabil-
idade de Laplace, em homenagem ao astrônomo e matemático francês Pierre-Simon
Laplace, que estabeleceu, de uma maneira sistemática e rigorosa, os princípios e
propriedades desta forma de calcular probabilidades.
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
Exemplo 43 Sete pessoas entram juntas num elevador no andar térreo de um ed-
ifício de 10 andares. Suponha que os passageiros saiam independentemente e de
20
maneira aleatória com cada andar (1; 2; :::; 10) tendo a mesma probabilidade de ser
selecionado. Qual a probabilidade de que todos saiam em andares diferentes?
(Freqüentista) Baseia-se na freqüência relativa de um ”número grande”de realizações inde-
pendentes do experimento. Seja A um evento, então
P (A) = lim
n!1
nA
n
onde nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
Observação 4 O limite acima não pode ser entendido como um limite matemático,
pois dado " > 0 não há garantia de que existe n0 2 N tal que para todo n � n0 se
tenha ���P (A)� nA
n
��� < ".
É improvável que
���P (A)� nA
n
��� � " para n � N (grande), mas pode acontecer.
Outra di…culdade do conceito freqüentista é que o experimento nunca é realizado
in…nitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita.
Exemplo 44 (Discussão em sala de aula) Suponha a seguinte situação: Você
está participando de um programa televisivo chamado "Porta da Felicidade", da
seguinte forma: O apresentador do programa lhe mostra três portas, uma das quais
esconde um carro como prêmio e as outras duas não oferecem nada e o colocam
fora do jogo. O que acontece? Você escolhe uma porta e o apresentador abre uma
outra porta vazia não escolhida por você. Assim, ainda há a chance de você ganhar
o carro. Mas agora lhe é oferecida a oportunidade de mudar de porta! O que você
deve fazer para maximizar a chance de acerto? Ficar com a mesma porta escolhida;
mudar para a outra porta; ou qualquer das duas estratégias, por ser indiferente?
Analise a estratégia ótima à luz do conceito frequentista de probabilidade.
21
(Subjetiva) Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno
em estudo. Neste caso a probabilidade de um evento depende do observador,
isto é, do que o observador conhece sobre o fenômeno em estudo. Pode pare-
cer um tanto informal para uma de…nição de probabilidade de um evento. No
entanto, em muitas situações é necessário recorrer a um especialista para ter
pelo menos uma ideia vaga de como se comporta o fenômeno de nosso inter-
esse e saber se a probabilidade de um evento é alta o baixa. Por exemplo,
qual é a probabilidade de que o Vasco ganhe o próximo campeonato? Cer-
tas circunstâncias internas do time, as condições do time rival ou qualquer
outra condição externa, são elementos que só algumas pessoas conhecem e que
poder¬am nos dar uma ideia mais exata desta probabilidade. Esta forma sub-
jetiva de atribuir probabilidades aos diferentes eventos deve, entretanto, ser
consistente com uma série de regras naturais que estudaremos adiante.
Exemplo 45 Por exemplo, seja o evento C ”chove em Moscou”.
Então, para alguém no Rio de Janeiro, sem qualquer conhecimento prévio, podemos
ter a seguinte avaliação: P (C) = 0; 5.
Já para alguém de Leningrado, podemos ter: P (C) = 0; 8, se chove em Leningrado
e P (C) = 0; 2, se não chove em Leningrado.
Finalmente, para alguém de Moscou, tem-se: P (C) = 1, se está chovendo em
Moscou e P (C) = 0, se não está chovendo em Moscou.
(Axiomática) Na de…nição axiomática da probabilidade não se estabelece a forma explícita
de calcular as probabilidades, mas unicamente as regras que o cálculo das
probabilidades deve satisfazer. Três postulados ou axiomas para a Teoria das
Probabilidades foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrey
Nikolaevich Kolmogorov.
22
Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1987)
Não nos preocuparemos com o problema de como de…nir probabilidade para cada
experimento. Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como
foi erigida por Kolmogorov, responsável pela base matemática sólida da teoria.
Seja 
 um espaço amostral e seja A � 
 um evento aleatório. Uma medida de
probabilidade P é uma aplicação tendo os seguintes axiomas:
A1) P (A) � 0.
A2) P (
) = 1.
A3) (Aditividade …nita) Se A1; A2; :::; An � 
 são disjuntos dois a dois, isto é,
Ai \ Aj = ; para todo i 6= j, então P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai).
Uma função P satisfazendo os axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade …ni-
tamente aditiva. Entretanto, para os nossos objetivos, será mais conveniente
supor �-aditividade:
A3’) Se A1; A2; ::: � 
 são disjuntos dois a dois, então P
� 1[
i=1
Ai
�
=
1X
i=1
P (Ai).
Assim, consideraremos os axiomas A1, A2 e A3´ como os axiomas de Probabili-
dade.
23
Não é difícil veri…car que as de…nições anteriores de probabilidade satisfazem
estes três axiomas. De fato, estes postulados foram tomados diretamente da análise
cuidadosa e re‡exiva das de…nições de probabilidade mencionadas anteriormente.
Qualquer função P que satisfaça os três axiomas de Kolmogorov é chamada de
medida de probabilidade, ou simplesmente probabilidade. A partir destes postula-
dos é possível demonstrar que a probabilidade cumpre uma série de propriedades
interessantes.
Teorema 1 P (;) = 0.
Prova. (Em aula.)
Observação 5 (Concepção Errônea) Sabemos agora que se A = ; então P (A) =
0. No entanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, P (A) = 0 não implica neces-
sariamente que A = ; e nem que o evento A seja impossível. Um evento pode ter
probabilidade nula e não ser impossível.
Da mesma forma, sabemos pelo Axioma 2 que se A = 
 então P (A) = 1. No
entanto um evento pode ter probabilidade 1 e não ser o evento certo 
. É o que
chamamos em probabilidade de um evento quase-certo.
Vejamos o exemplo a seguir para ilustrar esses fatos.
Exemplo 46 Um experimento consiste em se selecionar um ponto aleatoriamente
do círculo de raio unitário centrado na origem. Então
 =
�
! = (x; y) : x2 + y2 � 1	
Como todo ponto é aleatoriamente escolhido, a probabilidade de um ponto cair numa
região do círculo deveria ser a razão entre a área dessa região e a área do círculo
unitário. Assim, se A � 
, temos
P (A) =
SA
�
,
24
com SA a área da região de…nida pelos pontos de A. Mas então, todo evento ele-
mentar desse espaço amostral tem probabilidade nula, pois se A = f(a; b)g, então
SA = 0, e consequentemente
P (A) =
0
�
= 0.
No entanto A 6= ?. Além disso, observe que todo experimento terá como um resul-
tado um ponto do círculo unitário, que tinha probabilidade nula antes de ele ocorrer.
Portanto eventos de probabilidade 0 não são necessariamente eventos impossíveis!
Seja agora o evento B como sendo o conjunto de pontos do círculo unitário tais
que a abscissa é diferente da ordenada, isto é, B = f! = (x; y) : x2 + y2 � 1 e x 6= yg.Naturalmente B é subconjunto próprio de 
. Mas
P (B) =
SB
�
=
�
�
= 1,
pois SB (a área da região de…nida pelos pontos de B) equivale à área de 
. Assim
B é um evento quase-certo, pois embora possamos obter um ponto do tipo (a; a) que
não satisfaz ao evento B, a chance de isso ocorrer é nula.
Proposição 10 O Axioma 3’implica o Axioma 3, isto é, se P é �-aditiva, então é
…nitamente aditiva.
Prova. (Em aula.)
Teorema 2 Para A � 
, temos P (Ac) = 1� P (A).
Prova. (Em aula.)
Teorema 3 Para A � 
, temos 0 � P (A) � 1.
Prova. (Em aula.)
25
Teorema 4 Sejam A e B � 
. Se A � B, então
(a) P (B � A) = P (B)� P (A);
(b) P (A) � P (B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 5 Sejam A e B � 
. Então P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 6 Para qualquer seqüência de eventos A1; A2; :::; An � 
, P
� 1[
i=1
Ai
�
�
1X
i=1
P (Ai) (desigualdade de Boole).
Prova. (Em aula.)
Teorema 7 Sejam A1; A2; :::; An � 
. Então
P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai)�
X
i<j
P (Ai \ Aj) +
X
i<j<k
P (Ai \ Aj \ Ak)
�
X
i<j<k<l
P (Ai \ Aj \ Ak \ Al) + :::+ (�1)n+1P (A1 \ A2 \ ::: \ An)
Prova. (Em aula.)
Observação 6 (Paradoxo de Bertrand) O Paradoxo de Bertrand nos mostra
que não existe um único modelo de Probabilidade para um dado experimento se
a gênese do fenômeno não é conhecida. Vejamos o paradoxo:
Seja um triângulo equilátero inscrito num círculo unitário. Uma corda do círculo
é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a corda seja maior que o
lado do triângulo?
Modelo 1: A corda é obtida através da seleção aleatória de dois pontos da
circunferência. Então p = 1
3
.
26
Modelo 2: Um ponto é escolhido aleatoriamente sobre um diâmetro do círculo.
A corda é obtida pela perpendicular ao diâmetro que passa pelo ponto. Então p = 1
2
.
Modelo 3: Um ponto é escolhido aleatoriamente do círculo. A corda é con-
struída tendo o ponto selecionado como seu ponto médio. Então p = 1
4
.
Exemplo 47 5 bolas brancas e 3 bolas vermelhas são retiradas aleatoriamente de
uma urna. Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas sejam brancas?
Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas tenham cores diferentes?
Exemplo 48 Um ponto é selecionado do círculo unitário. Qual a probabilidade de
se selecionar um ponto no setor angular de 0 a
�
4
radianos?
27
Exemplo 49 Numa sala há n alunos (n � 365). Qual a probabilidade de haver dois
ou mais alunos com a mesma data de aniversário (dia e mês idênticos)?
Exemplo 50 Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 a
10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a se retirarem simultanea-
mente. Os números dos emblemas são registrados. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o menor número seja 5?
(b) Qual a probabilidade de que o maior número seja 5?
Exemplo 51 Da população canadense 30% são da província de Quebec, 28% falam
francês e 24% são de Quebec e falam francês. Escolhido ao acaso um canadense,
qual a probabilidade de:
(a) ser de Quebec ou falar francês?
(b) não ser de Quebec nem falar francês?
(c) falar francês mas não ser de Quebec?
Exemplo 52 Qual a probabilidade de se ganhar a sena com um único cartão e
jogando apenas 6 números? E a quina? E a quadra?
Exemplo 53 Um baralho tem 52 cartas. Estas cartas consistem de 4 naipes chama-
dos paus, ouros, copas e espadas. Cada naipe tem 13 cartas com os símbolos 2, 3,
4, ..., 10, J, Q, K, A. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas extraídas do baralho,
sem reposição e sem consideração de ordem. Considera-se que constituem seqüên-
cias as mãos do seguinte tipo: A, 2, 3, 4, 5; 2, 3, 4, 5, 6;...; 10, J, Q, K, A. Calcule
a probabilidade de se obter numa mão de pôquer
(a) um Royal Flush ((10, J, Q, K, A) do mesmo naipe);
(b) um Straight Flush (cinco cartas do mesmo naipe em seqüência);
(c) um Four (valores da forma (x, x, x, x, y) onde x e y são distintos);
28
(d) um Full House (valores da forma (x, x, x, y, y) onde x e y são distintos);
(e) um Flush (cinco cartas do mesmo naipe);
(f) um Straight (cinco cartas em seqüência, sem consideração de naipes);
(g) uma Trinca (valores da forma (x, x, x, y, z) onde x, y e z são distintos);
(h) dois pares (valores da forma (x, x, y, y, z) onde x, y e z são distintos);
(i) um par (valores da forma (x, x, y, z, w) onde x, y, z e w são distintos).
Exemplo 54 Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um
grupo de 2n pessoas, a < n preferem o sabor A, b < n o sabor B e 2n� (a+ b) não
têm preferência. Se os sorvetes são distribuídos ao acaso, qual a probabilidade de
que todas as pessoas tenham suas preferências respeitadas?
Exemplo 55 Suponha que n homens presentes numa festa joguem seus chapéus no
centro da sala. Em seguida cada homem de olhos vendados seleciona um chapéu.
Mostre que a probabilidade de que nenhum dos n homens selecione o seu próprio
chapéu é
1
2!
� 1
3!
+
1
4!
� :::+ (�1)
n
n!
.
O que acontece quando n!1?
2.1.3 Probabilidade Condicional
De…nição 11 Seja 
 um espaço amostral para um dado experimento e seja P uma
medida de probabilidade. Se B � 
 e P (B) > 0, a probabilidade condicional de A
dado B é de…nida por
P (A j B) = P (A \B)
P (B)
, A � 
. (2.1)
Note que P (A j B), A � 
, é realmente uma probabilidade (veri…que os ax-
iomas!). Consequentemente todas as propriedades de probabilidade são mantidas,
29
como, por exemplo,
P (Ac j B) = 1� P (A j B).
Observe que, dado B, se de…nirmos PB(A) = P (A j B), então podemos de…nir
uma nova medida de probabilidade de…nida para subconjuntos de B.
Exemplo 56 Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,
independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabili-
dade condicional de
(a) pelo menos um dos números ser 6;
(b) a soma dos números ser 8?
Teorema 8 Sejam A;B � 
 com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então
P (A \B) = P (B):P (A j B)
= P (A):P (B j A)
Prova. (Em aula.)
Teorema 9 (a) P (A \B \ C) = P (A):P (B j A):P (C j A \B).
(b) P (A1\A2\ :::\An) = P (A1):P (A2 j A1):P (A3 j A1\A2):::P (An j A1\A2\
:::An�1), para todo A1; A2; :::; An � 
 e para todo n = 2; 3; :::, com as probabilidades
condicionais bem de…nidas.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 57 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade
de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com
o uso da análise combinatória.)
30
De…nição 12 Seja 
 um conjunto não-vazio. Uma partição de 
 é uma família
de conjuntos A1, A2, ..., An tais que
(i)
n[
i=1
Ai = 
(ii) Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é
o conjunto 
. Dizemos também que 
 foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ...,
An.
Para todo evento B � 
 temos
B =
n[
i=1
(Ai \B) .
Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai\B são disjuntos. Com isto podemos
demonstrar os seguintes teoremas:
Teorema 10 (Teorema da Probabilidade Total) Se a sequência (…nita ou enu-
merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de 
, então
P (B) =
X
i
P (Ai):P (B j Ai) (2.2)
para todo B � 
.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 58 Considere uma urna contendo 10 bolas das quais 4 são brancas. Es-
colha um inteiro n aleatoriamente do conjunto f1; 2; 3; 4; 5; 6g e em seguida retire
uma amostra de tamanho n sem reposição da urna. Ache a probabilidade de que
todas as bolas da amostra sejam brancas.
Teorema 11 (Fórmula de Bayes) Se a sequência (…nita ou enumerável) de even-
tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de 
, então
P (Ai j B) = P (Ai)P (B j Ai)X
j
P (Aj):P (B j Aj)
. (2.3)
31Prova. (Em aula.)
Thomas Bayes (1701 - 1761)
Exemplo 59 Seja uma caixa contendo 3 moedas: duas honestas e uma de duas
caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Pergunta: qual a probabilidade condi-
cional da moeda ter sido a de duas caras, dado que o resultado …nal foi cara?
Exemplo 60 Uma caixa contém 10 bolas das quais 6 são brancas e 4 vermelhas.
Removem-se três bolas sem observar suas cores. Determine:
(a) a probabilidade de que uma quarta bola removida da caixa seja vermelha;
(b) a probabilidade de que as três bolas removidas sejam brancas, sabendo-se que
pelo menos uma delas é branca.
Exemplo 61 Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O
Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em
um dia sem chuva com a probabilidade de 0,6. Se ganhou um jogo em novembro,
qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Exemplo 62 Pedro quer enviar uma carta à Marina. A probabilidade de que Pedro
escreva a carta é de 0,80. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A
32
probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a
carta, qual é a probabilidade de que Pedro não a tenha escrito?
Exemplo 63 Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos. Os
cofres 1 e 2 têm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeralda
no outro. O cofre 3 têm dois anéis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre
4 têm dois anéis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com-
partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes. Calcule a probabilidade
de que o outro compartimento contenha:
(a) um anel de esmeralda;
(b) um anel de brilhantes.
2.1.4 Independência
De…nição 13 Seja 
 um espaço amostral para um dado experimento e seja P uma
medida de probabilidade. Os eventos aleatórios A e B são (estocasticamente) inde-
pendentes se
P (A \B) = P (A):P (B).
Observação 7 (Concepção Errônea) Um erro muito comum entre os alunos é
associar independência com disjunção de eventos, interpretando erroneamente que
se A e B são independentes, então A \ B = ?. É justamente o contrário que se
dá, ou seja, se A \ B = ?, então A e B não são independentes (a menos que um
deles tenha probabilidade zero). Isso …ca claro se pensarmos que P (A) = p > 0 e
P (B) = q > 0 com A \B = ?. Assim, neste caso, teremos
P (A j B) = P (A \B)
P (B)
=
P (?)
P (B)
=
0
q
= 0 6= p = P (A) .
Assim P (A j B) 6= P (A), o que prova que A e B não são independentes!
33
Outra maneira de justi…car esse fato é pensar que se A e B não têm nada em
comum, então se um deles ocorre a probabilidade de o outro ocorrer é inevitavelmente
nula, o que reduz uma chance inicial desse outro evento ocorrer a zero. Ou seja,
para que dois conjuntos sejam independentes eles necessitam potencialmente ter algo
em comum, do contrário serão dependentes.
Outro problema de má interpretação do conceito de independência de eventos
com a disjunção decorre de uma má caracterização do espaço amostral como no
exemplo a seguir.
Exemplo 64 Um dado e uma moeda honestos são lançados sucessivamente e seus
resultados são registrados. Qual a probabilidade de se obter um número primo e uma
face cara?
Solução: O espaço amostral para o experimento pode ser
 = f! = (!1; !2) : !1 2 f1; 2:::; 6g e !2 2 fca; cogg
Como há 12 elementos equiprováveis (pois tanto o dado quanto a moeda são hon-
estos), temos que
P (f!g) = 1
12
.
Sejam os eventos A: "número primo é retirado no dado"e B: "a face cara é obtida
na moeda". Desejamos
P (A \B) = P (f2; 3; 5g � fcag)
= P (f(2; ca); (3; ca); (5; ca)g)
=
3
12
=
1
4
= P (A)P (B)
=
3
6
� 1
2
34
O erro aqui estaria em pensar que A = f2; 3; 5g, B = fcag e que A \ B = ?.
Onde está o equívoco? Na caracterização dos eventos A e B, pois o experimento
consiste no lançamento de dado e moeda, assim estabelecido o espaço amostral cor-
retamente acima, temos que
A = f(2; ca); (2; co); (3; ca); (3; co); (5; ca); (5; co)g
e
B = f(1; ca); (2; ca); (3; ca); (4; ca); (5; ca); (6; ca)g
e de fato
P (A) =
6
12
=
1
2
, P (B) =
6
12
=
1
2
e P (A \B) = P (A)P (B) = 1
4
.
Ou seja, A e B são independentes, mas não são disjuntos, pois
A \B = f(2; ca); (3; ca); (5; ca)g 6= ?.
Proposição 11 Eventos de probabilidade 0 ou 1 são independentes de qualquer
outro.
Prova. (Em aula.)
Teorema 12 A é independente de si mesmo se e somente se P (A) = 0 ou 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 13 Se A e B são independentes, então A e Bc também são independentes
(e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).
Prova. (Em aula.)
Observação 8 Se A \ B = ;, então A e B não são independentes (a menos que
um deles tenha probabilidade zero).
35
De…nição 14 Os eventos aleatórios Ai, i 2 I (I um conjunto de índices), são
independentes dois a dois (ou a pares) se
P (Ai \ Aj) = P (Ai):P (Aj)
para todo i; j 2 I, i 6= j.
De…nição 15 (a) Os eventos aleatórios A1; :::; An (n � 2) são chamados (coletiva
ou estocasticamente) independentes se
P (Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aim) = P (Ai1):P (Ai2):::P (Aim)
para todo 1 � i1 < i2 < ::: < im � n, para todo m = 2; 3; :::; n (isto é, se todas as
combinações satisfazem a regra produto).
(b) Os eventos aleatórios A1; A2; ::: independentes se para todo n � 2, A1; :::; An
são independentes.
Observação 9 (Concepção Errônea) Um erro muito comum é achar que inde-
pendência a pares implica independência coletiva. Isso não vale necessariamente.
Tampouco vale dizer que se a regra do produto vale no maior nível então ela vale
para os níveis mais baixos.
O exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo 65 Suponha um tetraedro regular com faces marcadas 1, 2, 3 e 4. Seja
o experimento de jogar o tetraedro e observar a face justaposta à mesa. Sejam
os eventos A = f1; 4g, B = f2; 4g e C = f3; 4g. Veri…que que A, B e C são
independentes dois a dois, mas não são coletivamente independentes.
Solução: O espaço amostral para o experimento é dado por 
 = f1; 2; 3; 4g e
P (fwg) = 1=4 para todo w 2 
, pois o tetraedro é regular. Assim temos
P (A) = P (B) = P (C) =
1
2
.
36
P (A \B) = P (f4g) = 1
4
=
1
2
� 1
2
= P (A) :P (B)
P (A \ C) = P (f4g) = 1
4
=
1
2
� 1
2
= P (A) :P (C)
P (B \ C) = P (f4g) = 1
4
=
1
2
� 1
2
= P (B) :P (C)
Assim A, B e C são independentes dois a dois. No entanto,
P (A \B \ C) = P (f4g) = 1
4
e
P (A):P (B):P (C) =
1
2
� 1
2
� 1
2
=
1
8
.
E assim
P (A \B \ C) = 1
4
6= 1
8
= P (A):P (B):P (C).
Logo A, B e C não são independentes.
Teorema 14 Se os eventos Ai, i 2 I, são independentes, então os eventos Bi, i 2 I,
são também independentes, onde cada Bi é igual a Ai ou Aci (ou um ou outro).
Prova. (Omitida por ser equivalente à prova do Teorema 13.)
Observação 10 Toda família de eventos independentes é independente.
Exemplo 66 Suponha que dois jogadores A e B se alternam num jorgo de dardo.
Se os jogadores A e B têm, respectivamente, 60% e 80% de chance de acertar o alvo
e se as jogadas são independentes umas das outras, qual a probabilidade de A ganhar
o jogo se ele começa o jogo? E qual a probabilidade de B ganhar nestas condições?
Exemplo 67 Suponha agora uma variante do jogo anterior da seguinte forma: A
joga sucessivamente até acertar o alvo. Em seguida B joga sucessivamente até ac-
ertar o alvo. Ganha o jogo aquele que tiver acertado o alvo num menor número
de jogadas? Nestas condições, qual a probabilidade de A ganhar o jogo? Qual a
probabilidade de empate? Qual a probabilidade de B ganhar?
37
Exemplo 68 Um dado não viciado é lançado uma vez. Se a face que aparece é
ímpar, uma moeda não viciada é lançada repetidas vezes. Se a face é par, umamoeda com probabilidade p 6= 1
2
de dar cara é lançada repetidamente. Os sucessivos
lançamentos são independentes. Se os primeiros n lançamentos resultaram em cara,
qual a probabilidade de que a moeda não viciada foi usada?
Exemplo 69 Abaixo se encontra uma rede de relés que atuam independentemente
uns dos outros. Sabendo-se que a probabilidade de que um relé esteja fechado é p e
que a probabilidade de estar aberto é 1� p, pede-se:
(a) a probabilidade de que um sinal de entrada (in) seja recebido na saída (out);
(b) a probabilidade condicional de que o relé E esteja aberto, dado que o sinal foi
recebido.
2.2 Exercícios
Exercício 21 Suponha que A, B e C sejam eventos tais que A e B sejam indepen-
dentes e que P (A \B \ C) = 0; 04, P (C j A \B) = 0; 25, P (B) = 4P (A). Calcule
P (A [B). Resp.: 84%.
Exercício 22 Se A e B são eventos independentes tais que P (A) = 1=3 e P (B) =
1=2, calcule P (A [B), P (Ac [Bc) e P (Ac \B). Resp.: 2/3, 5/6 e 1/3.
Exercício 23 A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a prob-
abilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? Resp.:
aproximadamente 0,65.
38
Exercício 24 Prove que se A e B são eventos tais que P (A) > 0, P (B) > 0 e
P (AjB) > P (A), então P (BjA) > P (B).
Exercício 25 Suponha que A, B eD sejam três eventos tais que P (AjD) � P (BjD)
e P (AjDc) � P (BjDc). Prove que P (A) � P (B).
Exercício 26 Se P (E) = 0; 9 e P (F ) = 0; 8, mostre que P (E \ F ) � 0; 7. Em
geral mostre que
P (E \ F ) � P (E) + P (F )� 1.
Este resultado é conhecido como a desigualdade de Bonferroni.
Exercício 27 Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho
comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a primeira carta ser uma dama e a
segunda ser de copas. Resp.: 1/52.
Exercício 28 Quantas pessoas você deve intrevistar para ter probabilidade igual ou
superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje? Resp.: 253
Exercício 29 Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso
para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9? Resp.: 13.
Exercício 30 Dois dados são lançados. Seja A1 = fface ímpar no primeiro dadog,
A2 = fface ímpar no segundo dadog e A3 = fa soma da faces é ímparg. Esses even-
tos são independentes dois a dois? Eles são conjuntamente independentes? Justi-
…que matematicamente. Resp.: Sim; Não.
Exercício 31 Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles
funcionará independentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada
alarme tem probabilidade de 90% de trabalhar e…cientemente, qual a probabilidade
de se ouvir o alarme quando necessário? Resp.: 99,9%.
39
Exercício 32 Se quatro dados são lançados, qual a probabilidade de que os quatro
números sejam diferentes? Resp.: 5/18.
Exercício 33 Distribuem-se ao acaso quatro cartas de um baralho de 52 cartas.
Calcule a probabilidade de se obter exatamente dois reis na distribuição
(a) se as retiradas são feitas sem reposição; Resp.: aproximadamente 0,025.
(b) se as retiradas são feitas com reposição. Resp.: aproximadamente 0,030.
Exercício 34 Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os de
novo no lago. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que
dois desses peixes haviam sido marcados por você.
(a) se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes,
encontrar dois peixes marcados? Resp.:
�
10
2
��
k � 10
18
��
k
20
��1
(b) para que valor de k essa probabilidade é máxima? Resp.: 99 ou 100.
Exercício 35 Qual a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
(a) haver alguma coincidência de signos zodiacais? Resp.: 41/96
(b) as quatro terem o mesmo signo? Resp.: 1/1728
(c) duas terem um mesmo signo, e as outras duas outro signo? Resp.: 11/576.
(d) três terem um mesmo signo, e a outra outro signo? Resp.: 11/432.
(e) todas terem signos diferentes? Resp.: 55/96.
Exercício 36 Suponha que n cartas numeradas de 1 a n sejam embaralhadas e
retiradas uma por uma, sem reposição, até todas as cartas serem retiradas.
(a) Qual a probabilidade de que nenhuma carta coincida com o número da reti-
rada? Resp.: 1
2!
� 1
3!
+ 1
4!
� :::+ (�1)n
n!
.
(b) Qual a probabilidade de que para pelo menos uma carta, o número da carta
coincida com o número da retirada? Resp.: 1� 1
2!
+ 1
3!
� 1
4!
+ :::+ (�1)
n+1
n!
.
40
Exercício 37 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu
resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos
é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2? Resp.: 7/72.
Exercício 38 Uma moeda honesta é lançada até que uma cara ocorra ou então até
que três lançamentos sejam feitos. Qual a probabilidade de que a moeda deva ser
jogada 3 vezes se se sabe que o primeiro lançamento foi coroa? Resp.: 1/2.
Exercício 39 Num certo certo país, todos os membros de comitê legislativo ou são
comunistas ou são republicanos. Há três comitês. O comitê 1 tem 5 comunistas, o
comitê 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comitê 3 consiste de 3 comunistas e
4 republicanos. Um comitê é selecionado aleatoriamente e uma pessoa é selecionada
aleatoriamente deste comitê.
(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista. Resp.:
37/63.
(b) Dado que a pessoa selecionada é comunista, qual a probabilidade de ela ter
vindo do comitê 1? Resp.:21/37.
Exercício 40 Um executivo pediu à sua secretária que …zesse uma ligação para
o escritório do Sr.X. Admitindo que: a probabilidade de a secretária conseguir a
ligação é de 50%; a probabilidade de o Sr.X se encontrar no escritório naquele
momento é de 80%; a probabilidade de o executivo não se ausentar enquanto a
secretária tenta fazer o que ele pediu é de 90%.
(a) Calcule a probabilidade de que o executivo tenha de fato conseguido falar com
o Sr.X pelo telefone. Resp.: 36%.
(b) No caso de ele não ter conseguido falar com o Sr.X, calcule a probabilidade
condicional de que isso tenha ocorrido porque a ligação não se completou. Resp.:
78,125%.
41
Exercício 41 São dadas duas urnas A e B. A urna A contém 1 bola azul e 1
vermelha. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao
acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B? Resp.: 5/12.
(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?
Resp.: 7/12.
Exercício 42 Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual
cada questão tem cinco respostas possíveis, das quais exatamente uma é correta. O
estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele
seleciona ao acaso uma resposta dentre as 5 possíveis. Suponha que o estudante
saiba 70% das questões. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o estudante escolha a resposta correta para uma
dada questão? Resp.: 76%.
(b) Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a
probabilidade de que ele sabia a resposta? Resp.: aproximadamente 92,1%.
Exercício 43 Exames de diagnóstico não são infalíveis, mas deseja-se que tenham
probabilidade pequena de erro. Um exame detecta uma certa doença, caso ela exista,
com probabilidade 0,9. Se a doença não existir, o exame corretamente aponta isso
com probabilidade 0,8. Considere que estamos aplicando esses exames em uma pop-
ulação com 10% de incidência dessa doença. Para um indivíduo escolhido ao acaso,
pergunta-se:
(a) A probabilidade de ser realmente doente se o exame indicou que era. Resp.:
1/3.
(b) Se dois indivíduos forem escolhidos e testados, qual seria a probabilidade de
errar um dos diagnósticos? Resp.: 30,78%.42
(c) Suponha que o acerto do exame, nas duas situações possíveis, têm a mesma
probabilidade p. Quanto deve ser o valor de p para que a probabilidade calculada no
item (a) seja 0,9? Resp.: 81/82.
Exercício 44 Uma instalação industrial dispõe de um sistema de segurança de-
feituoso: o alarme dispara com probabilidade 0,90 quando há incêndio, e dispara
com probabilidade 0,15 mesmo quando não há incêndio. A probabilidade de que
ocorra um incêndio neste tipo de instalação é de 0,05. Sabendo que o alarme está
soando no Corpo de Bombeiros, qual é a probabilidade de que um incêndio esteja
realmente ocorrendo? Resp.: 6/25.
Exercício 45 Suponha que uma caixa contenha 5 moedas e que cada moeda tenha
uma probabilidade diferente de dar cara. Seja pi a probabilidade de sair cara, quando
a i-ésima moeda é lançada, e que p1 = 0, p2 = 1=4, p3 = 1=2, p4 = 3=4, p5 = 1.
Suponha, …nalmente, que uma moeda é selecionada aleatoriamente da caixa e que,
ao ser lançada, dá cara. Com base nesta informação, calcule:
(a) A probabilidade de que se tenha selecionado a moeda 5. Resp.: 40%.
(b) A probabilidade de se obter outra cara ao lançar a mesma moeda novamente.
Resp.: 75%.
43
Capítulo 3
Variáveis Aleatórias
3.1 Conceito
Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de
um experimento. Por exemplo:
Exemplo 70 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras
obtido. Então 
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g. Se de…nirmos X =
número de caras observadas, e !1 = (Ca;Ca), !2 = (Ca;Co), !3 = (Co;Ca),
!4 = (Co;Co), temos
X(!1) = 2;
X(!2) = X(!3) = 1;
X(!4) = 0.
Exemplo 71 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto
obtido. Então 
 = [0; 1] e
X(!) = !2.
Exemplo 72 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância
entre o ponto escolhido e a origem. Então 
 = f(x; y) : x2 + y2 � 1g e, com
44
! = (x; y), temos
X(!) =
p
x2 + y2.
Exemplo 73 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
e
X(!) = !.
De…nição 16 Uma variável aleatória X é uma função real de…nida no espaço 
 tal
que o conjunto [! 2 
 : X(!) � x] (daqui para frente escrito de forma simpli…cada
[X � x]) é evento aleatório para todo x 2 R; isto é,
X : 
! R
é uma variável aleatória se podemos obter P (X � x) para todo x 2 R.
3.2 Função de Distribuição
De…nição 17 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X,
representada por FX , ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de…nida
por
FX(x) = P (X � x), x 2 R. (3.1)
Exemplo 74 Duas moedas honestas são lançadas. Seja a variável X que conta o
número de caras observadas. Construa a função de distribuição da variável aleatória
X e represente-a gra…camente.
Exemplo 75 Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto ao acaso do
intervalo [a; b] com a < b. Seja X a variável aleatória que representa a coordenada
do ponto. Construa a função de distribuição da variável aleatória X e represente-a
gra…camente.
45
Proposição 12 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma var-
iável aleatória, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) Se x1 � x2 então F (x1) � F (x2); isto é, F é não-decrescente.
F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita.
F3) limx!�1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1.
Prova. (Em aula.)
Tendo em mente que FX(x) = P (X � x), podemos observar que
1. P (X > a) = 1� P (X � a) = 1� FX(a)
2. P (a < X � b) = P (X � b) � P (X � a) = P (X � b) � P (X � a) =
FX(b)� FX(a)
3. P (X = a) = P (X � a) � P (X < a) = FX(a) � FX(a�). Ou seja, P (X = a)
é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for
contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.
4. P (a < X < b) = P (a < X � b)� P (X = b)
= P (X � b)� P (X � a)� P (X = b) = FX(b)� FX(a)� [FX(b)� FX(b�)]
= FX(b
�)� FX(a).
5. P (a � X < b) = P (a < X < b) + P (X = a)
= FX(b
�)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b�)� FX(a�).
6. P (a � X � b) = P (a < X � b) + P (X = a)
= FX(b)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b)� FX(a�).
46
Exemplo 76 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor-
cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa o número obtido
no lançamento do dado. Pede-se:
(a) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá…co.
(b) A probabilidade de ocorrer 5, dado que ocorreu um número ímpar?
(c) A probabilidade de ocorrer um número par, dado que ocorreu um número
menor do que 5?
Exemplo 77 Seja F (x) a função
F (x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
0, se x < 0
x+
1
2
, se 0 � x � 1
2
1, se x >
1
2
Mostre que F é de fato uma função de distribuição e calcule:
(a) P (X > 1
8
)
(b) P (1
8
< X < 2
5
)
(c) P (X < 2
5
j X > 1
8
)
3.3 Variáveis Aleatórias Discretas
De…nição 18 A variável aleatória X é discreta se toma um número …nito ou enu-
merável de valores, isto é, se existe um conjunto …nito ou enumerável fx1; x2; :::g �
R tal que X(!) 2 fx1; x2; :::g para todo ! 2 
. A função p(xi) de…nida por
p(xi) = P (X = xi), i = 1; 2; 3; ::: (3.2)
é chamada função de probabilidade de X.
Observação 11 Note que [X � x] =
[
i:xi�x
[X = xi] e assim
F (x) =
X
i:xi�x
P (X = xi) =
X
i:xi�x
p(xi).
47
Além disso, observe que
p(xi) � 0, i = 1; 2; 3; ::: (3.3)
e
1X
i=1
p(xi) = 1. (3.4)
Exemplo 78 Num grupo de n pessoas, encontram-se João e Maria. Um experi-
mento consiste em se colocar as n pessoas em …la de forma aleatória. Seja X a
variável aleatória que conta o número de pessoas que separam João e Maria na …la.
Pede-se:
(a) Um espaço de probabilidade 
 e a medida de probabilidade P para tal exper-
imento, identi…cando os símbolos.
(b) O modelo de probabilidade para variável aleatória X, identi…cando claramente
a função X : 
! R.
(c) Qual a probabilidade de João e Maria …carem juntos na …la?
Exemplo 79 A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é 2=3. Ele deve
atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a variável aleatória que representa
o número de tentativas até que ele acerte o alvo. Pede-se:
(a) Um espaço de probabilidade 
 e a medida de probabilidade P para tal exper-
imento, identi…cando os símbolos.
(b) O modelo de probabilidade para variável aleatória X, identi…cando claramente
a função X : 
! R e a função de probabilidade de X, mostrando que ela atende as
propriedades (3.3) e (3.4).
(c) A probabilidade de serem necessários cinco tiros para que ele acerte o alvo.
48
3.4 Variáveis Aleatórias Contínuas
De…nição 19 A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de
distribuição FX(x) é contínua. Isto é, se existe uma função fX(x), dita função de
densidade de probabilidade, com as seguintes propriedades
fX(x) � 0 para todo x 2 R e
1Z
�1
fX(x)dx = 1
de modo que
FX(x) =
xZ
�1
fX(t)dt.
Observação 12 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, observe que
fX(x) =
dFX(x)
dx
.
Observação 13 Como FX(x) é contínua, observe que
1. P (X = x) = FX(x)� FX(x�) = 0 para todo x 2 R.
2. P (a � X � b) = P (a < X � b) = P (a � X < b) = P (a < X < b) =
bZ
a
fX(x)dx.
3. dFX(x) = fX(x)dx.
Exemplo 80 Seja 
 = (0; 1) e de…na P (A) = b� a, para A = [a; b], ou A = (a; b),
ou A = [a; b) ou A = (a; b] com 0 < a < b < 1. P (A) é chamada a medida de
Lebesgue de A. Seja X(!) = � ln!. Encontre a função de distribuição e a função
de densidade da variável aleatória X.
49
Exemplo 81 Veri…que que
FZ(z) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0, z < 0
z2, 0 � z < 1
2
1� 3(1� z)2, 1
2
� z < 1
1, z � 1
é uma função de distribuição e obtenha a função de densidade de Z. Calcule também
P (Z > 14
jZ � 3
4
).
Exemplo 82 Veri…que que
FY (y) =
8<:
0, y < 0p
y, 0 � y � 1
1, y > 1
é uma função de distribuição e calcule a função de densidade de Y. Use-a para
calcular P (1
4
< Y < 3
4
).
De…nição 20 Uma variável aleatória é dita singular, se sua função de distribuição
é contínua, mas sua derivada é zero em quase todos os pontos, isto é, exceto em um
conjunto de medida de Lebesgue nula. (Essa linguagem mencionando "quase todos
os pontos"é muito utilizada em probabilidade avançada e signi…ca que a propriedade
só não é válida num conjunto de pontos que tem probabilidade zero, às vezes também
referido como de medida nula.) Em outras palavras, X é singular se, e somente se,
existe um conjunto B de comprimento zero tal que P (X 2 B) = 1 e FX é contínua
(isto é, P (X = x) = 0 para todo x 2 R).
De…nição 21 Uma variável aleatória X é dita mista se tem partes nas diferentes
classi…cações (parte discreta, parte contínua e parte singular). (O mais comum é a
mistura de parte contínua com parte discreta, pois, como dissemos, a parte singular
raramente ocorre.)
50
Exemplo 83 (Variável Aleatória Mista) A função de distribuição de uma variável
aleatória X é dada por:
FX(x) =
8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:
0, x < 0
x
2
, 0 � x < 1
2
3
, 1 � x < 2
11
12
, 2 � x < 3
1, x � 3
Obtenha:
(a) o grá…co de FX(x);
(b) P (X < 3);
(c) P (X = 1);
(d) P (X > 1=2);
(e) P (2 < X < 4).
Observação 14 Assim toda função de distribuição F de uma variável aleatória X
admite a decomposição
F = Fd + Fac + Fs
onde Fd é uma função degrau não-decrescente (a parte discreta de F), Fac é a parte
absolutamente contínua de F e Fs é a parte singular de F.
Exemplo 84 Seja X uma variável com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
0, x < �2
1
4
+
x+ 2
8
, � 2 � x < 0
3
4
+
1
4
(1� e�x), x � 0
(a) Classi…que X e faça um grá…co de F .
51
(b) Calcule P (X > �1) e P (X � 4jX > 0).
(c) Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua.
3.5 Exercícios
Exercício 46 Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
P (X = x) = cx2, onde c é uma constante e c = 1; 2; 3; 4; 5. Calcule F (x) e
P (X ser ímpar).
Exercício 47 Seja X o número de caras obtidas em 4 lançamentos de uma moeda
honesta. Construa a função de probabilidade e a função de distribuição de X es-
boçando os seus grá…cos.
Exercício 48 Considere três lançamentos de uma moeda honesta. De…na K como
cara e �K como coroa. Se ocorre o evento KKK, dizemos que temos uma seqüência,
ao passo que se ocorre K �KK temos três seqüências. De…na a variável aleatória Y
como o número de seqüências resultantes dos três lançamentos. Pede-se:
(a) A função de probabilidade de Y .
(b) A função de distribuição de Y , esboçando o seu grá…co.
(c) P (Y = 2jY � 2).
Exercício 49 Seja FX a função de distribuição de uma variável aleatóriaX, de…nida
por
FX(x) = C1 + C2
x
(jxj+ 1) para �1 < x <1
Pede-se:
(a) O valor das constantes C1 e C2.
(b) A função de densidade de probabilidade de X.
(c) P (X � 1j X > �1).
52
Exercício 50 Mostre que se X é uma v. a . do tipo contínuo com função de
densidade par, ou seja, simétrica em torno de x = 0, isto é, fX(x) = fX(�x),
então:
(a) FX(x) = 1� FX(�x);
(b) FX(0) = 12 ;
(c) P (�x < X < x) = 2FX(x)� 1, x > 0;
(d) P (X > x) = 1
2
�
xZ
0
fX(t)dt, x > 0.
Exercício 51 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
fX(x) =
1
2(1 + jxj)2 , �1 < x <1
(a) Obtenha a função de distribuição de X.
(b) Ache P (�1 < X < 2).
(c) Ache P (jXj > 1).
Exercício 52 Z é uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade
fZ(z) =
�
10e�10z, z > 0
0, z � 0
Obtenha a função de distribuição de Z e esboce o seu grá…co.
3.6 Funções de Variáveis Aleatórias
Suponha que a entrada de um sistema é modelado por um variável aleatória X e
nosso objetivo seja caracterizar a saída do sistema Y = g(X), onde g : R ! R
depende das propriedades do sistema. A aplicação
(
; P )
X�! (R; PX) g�! (R; PY )
de (
; P ) a (R; PY ) de…ne uma saída (output).
53
3.6.1 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias
Seja X uma variável aleatória em (
; P ), e considere o problema de determinar a
distribuição de Y = g(X), com g uma função bem de…nida. Então, temos
FY (y) = P fY � yg = P fg(X) � yg
De…nindo By = fx : g(x) � yg, temos
FY (y) = P fX 2 Byg
= PX fByg
ou seja, conhecendo a distribuição X, podemos obter a distribuição de qualquer
função mensurável de X.
Observação 15 (a) Quando X é v.a. discreta, Y é também v.a. discreta e o
problema se torna simples, pois
pY (y) =
X
i:g(xi)=y
pX(xi)
(b) Quando X é v.a. contínua, o problema é mais complexo pois Y pode ser
discreto ou contínuo.
Exemplo 85 Seja X uma variável com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0, x < �10
1
4
, � 10 � x < 0
3
4
, 0 � x < 10
1, x � 10
Encontre a função de distribuição e a função de probabilidade da variável aleatória
Y = 7X � 50.
54
Exemplo 86 Seja X uma variável aleatória com função de densidade
fX(x) =
�
e�x, x > 0
0, caso contrário
Encontre a distribuição da variável aleatória Y = bXc, a parte inteira de X. (Isto
é, se 2 � x < 3, então y = bxc = 2.)
Exemplo 87 Seja X uma variável contínua com densidade uniforme em [�2; 5].
Encontre a densidade de Y = X2.
Exemplo 88 Seja X uma variável contínua com densidade
fX(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
1
4
x, 0 � x < 2
1
8
, 2 � x � 6
0, caso contrário
(a) Determine a função de distribuição de Y = min(3; X).
(b) Faça a decomposição de FY nas suas partes discreta, contínua e singular.
3.7 Exercícios
Exercício 53 Seja X uma variável contínua com densidade fX(x) = 12e
�jxj, �1 <
x <1. Mostre que a densidade de Y = X2 é dada por
fY (y) =
1
2
p
y
e�
p
y1(0;1)(y).
Exercício 54 X uma variável aleatória com função de densidade dada por
fX(x) =
�
2e�2x, x > 0
0, caso contrário
Determine a função de densidade de probabilidade da variável aleatória Z =
3
(X + 1)2
.
55
Exercício 55 Alguém propôs a você o seguinte jogo: Você deve lançar um dado
sucessivamente a …m de obter o número 6. Cada lançamento do dado vai lhe custar
R$ 10; 00. Se você conseguir obter um 6 em no máximo três tentativas, ganhará um
prêmio de R$ 100; 00. O jogo termina no momento em que você obtiver o primeiro
6 ou quando você completar sem sucesso as três tentativas. Seja X a v.a. que
representa o seu ganho líquido ao participar do jogo. Ache a distribuição de X.
Exercício 56 Seja uma variável aleatória X com densidade f(x) =
c
x4
para x > 1
e f(x) = 0, caso contrário, onde c é uma constante.
(a) Obtenha o valor de c.
(b) Obtenha a função de distribuição de X e esboce o seu grá…co.
(c) Obtenha a distribuição da variável aleatória Y = X � 1
2
.
(d) Obtenha a distribuição da variável aleatória Z = X + 8.
Exercício 57 Seja X uma variável aleatória positiva com f:d:p: dada por
fX(x) = 3e
�3x; x > 0
Ache a função de densidade de probabilidade de Y =
1
X + 1
.
Exercício 58 Suponha que a variável aleatória contínua X tenha a função de den-
sidade de probabilidade dada por
f(x) = Cxe�x
2
, x > 0
(a) Calcule o valor de C.
(b) Ache a função de distribuição da variável aleatória X.
(c) Calcule P (X � 2 j X � 1).
(d) Ache a fdp de Y = lnX.
56
Exercício 59 Seja X uma v.a. com função de distribuição dada por
FX(x) =
8>>>><>>>>:
0, se x < 1
c(1� e�(x�1)), se 1 � x < 2
c(1� e�1 + e�2 � e�2(x�1)), se x � 2
Pede-se:
(a) Obter o valor de c.
(b) Classi…que a v.a. X conforme seja discreta, contínua ou mista e obtenha
a função de probabilidadee/ou função de densidade de probabilidade conforme a
natureza de X.
(c) Calcular P (X � 3
2
jX < 4).
(d) Seja Y = X3. Ache a lei de Y .
57
Capítulo 4
Esperança Matemática
4.1 De…nição
De…nição 22 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição FX . A
esperança de X, denotada E(X), é de…nida como
E(X) =
1Z
�1
xdFX(x) (4.1)
quando a integral está bem de…nida.
Observação 16 (a) '(x) = x é contínua. A integral (4.1) é de Riemann-Stieltjes.
(b) A esperança está bem de…nida se pelo menos uma das integrais
1Z
0
xdFX(x)
ou
0Z
�1
xdFX(x) for …nita.
(c) Se ambas as integrais
1Z
0
xdFX(x) e
0Z
�1
xdFX(x) forem …nitas, dizemos que X
é integrável, ou seja, X é integrável se
E(jXj) =
1Z
�1
jxj dFX(x) <1.
(d) SeX é uma variável aleatória discreta tomando valores no conjunto fx1; x2; x3; :::g
e com função de probabilidade p(xi) = P (X = xi), então
E(X) =
1X
i=1
xip(xi).
58
(e) Se X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade
fX(x), então
E(X) =
1Z
�1
xfX(x)dx
(f) Se X é tal que sua função de distribuição se decompõe F = Fd + Fac + Fs,
então
E(X) =
1X
i=1
xip(xi) +
1Z
�1
xfX(x)dx+
1Z
�1
xdFs(x).
Exemplo 89 Um dado é lançado sucessivamente, até que a face 6 ocorra pela
primeira vez. Seja X a variável que conta o número de lançamentos até a ocor-
rência do primeiro 6. Calcule a esperança de X.
Exemplo 90 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
f(x) =
�
C(9� x2), � 3 � x � 3
0, caso contrário
(a) Obtenha o valor de C.
(b) Obtenha a esperança de X.
(c) Ache P (jXj � 1).
Exemplo 91 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição dada por
F (x) =
8>>>><>>>>:
0, x < 0
1=4, 0 � x < 1
2=5, 1 � x < 2
(2x� 3) =2, 2 � x < 5=2
1, x � 5=2
Calcule o valor esperado de X.
Exemplo 92 Seja X uma variável aleatória com densidade dada por
f(x) =
b
�[b2 + (x�M)2]
para todo x 2 R, b > 0 e M 2 R. (X é dita uma variável aleatória Cauchy com
parâmetros M e b.)
Mostre que M é ponto de simetria de X, mas E(X) não existe.
59
Proposição 13 (Propriedades da Esperança Matemática) As seguintes pro-
priedades referentes à esperança matemática se veri…cam:
(i) E(C) = C, onde C é uma constante.
(ii) Se a � X � b, então a � E(X) � b.
(iii) E(aX � b) = aE(X)� b.
(iv) E[X � E(X)] = 0.
(v) Se X � Y , então E(X) � E(Y ).
(vi) Se X é uma variável aleatória tal que 0 � jXj � Y , onde Y é variável
aleatória integrável, então X é integrável.
Prova. (Em aula.)
Proposição 14 (Desigualdade de Jensen) Seja ' uma função convexa de…nida
na reta. Se a variável aleatória X é integrável, então
E['(X)] � '[E(X)].
Prova. (Em aula.)
Corolário 2 Se ' é uma função côncava, então E['(X)] � '[E(X)].
Prova. (Deixada como exercício.)
Exemplo 93 Pela desigualdade de Jensen, temos, por exemplo, que
(a) E [jXj] � jE(X)j.
(b) E(X2) � E2(X).
(c) E jXjp � (E jXj)p � jEXjp. onde p � 1.
(d) E
�
1
X
�
� 1
EX
, se X > 0.
60
4.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias
De…nição 23 Seja X uma variável aleatória e �(x) uma função real mensurável.
Então a esperança da variável aleatória Y = �(X) é dada por
E(Y ) =
1Z
�1
ydF�(X)(y)
A fórmula acima nem sempre é muito fácil de ser usada, pois devemos obter
a distribuição de Y a partir da distribuição da variável X e só então obter E(Y ).
No entanto é possível mostrar pela Teoria da Medida que a esperança da variável
aleatória Y = �(X) é dada por
E�(X) =
1Z
�1
ydF�(X)(y) =
1Z
�1
�(x)dFX(x)
onde a existência de uma das integrais implica a existência da outra bem como a
igualdade das duas. Ou seja,
E[�(X)] =
1X
i=1
�(xi)p(xi) , se X é discreta.
E[�(X)] =
1Z
�1
�(x)fX(x)dx , se X é contínua.
E[�(X)] =
1X
i=1
�(xi)p(xi) +
1Z
�1
�(x)fX(x)dx , se X é mista.
4.3 Momentos
De…nição 24 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se o k-ésimo momento or-
dinário da variável aleatória X, mk, como
mk = E(X
k) =
1Z
�1
xkdFX(x).
61
Assim,
mk =
1X
i=1
xkiP (X = xi) se X é v.a.d.
mk =
1Z
�1
xkfX(x)dx se X é v.a.c.
mk =
1X
i=1
xkiP (X = xi) +
1Z
�1
xkfX(x)dx se X é v.a. mista
De…nição 25 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se o k-ésimo momento de
X em torno de b, Mk, como
E[(X � b)k] =
1Z
�1
(x� b)kdFX(x).
De…nição 26 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se o k-ésimo momento cen-
tral da variável aleatória X, Mk, como
Mk = E[(X � E(X))k].
Assim,
Mk =
1X
i=1
[xi � E(X)]kP (X = xi) se X é v.a.d.
Mk =
1Z
�1
[x� E(X)]kfX(x)dx se X é v.a.c.
Mk =
1X
i=1
[xi � E(X)]kP (X = xi) +
1Z
�1
[x� E(X)]kfX(x)dx se X é v.a. mista
De…nição 27 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se a variância da variável
aleatória X, denotada por V ar(X) ou �2X , como
V ar(X) = E[(X � E(X))2].
Observação 17 (i) Observe que V ar(X) = E[(X �E(X))2] = E[X2� 2XE(X)+
E2(X)] = E[X2]� 2E2(X) + E2(X) = E(X2)� E2(X).
62
(ii) Pelas de…nições acima, vemos que
m1 = E(X)
M1 = 0
M2 = V ar(X) = m2 �m21.
Proposição 15 (Propriedades da Variância) As seguintes propriedades refer-
entes à variância se veri…cam:
(i) V ar(C) = 0, onde C é uma constante.
(ii) V ar(aX � b) = a2V ar(X), para quaisquer a e b reais.
Prova. (Em aula.)
De…nição 28 De…ne-se o desvio-padrão da variável aleatória X, denotado por
DP (X) ou �X , como
DP (X) =
p
V ar(X).
Proposição 16 (Propriedades do Desvio Padrão) As seguintes propriedades ref-
erentes ao desvio padrão se veri…cam:
(i) DP (C) = 0, onde C é uma constante.
(ii) DP (aX � b) = jaj�X , para quaisquer a e b reais.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 94 Um explorador está perdido numa tempestade de neve no Polo Norte
e tem 3 caminhos a escolher ao acaso. Um deles o leva a lugar seguro após uma
hora, um outro o leva a lugar seguro após três horas e o outro o leva de volta ao
ponto de partida após duas horas. Encontre:
(a) a distribuição do tempo que ele leva até encontrar o lugar seguro;
63
(b) o tempo esperado que ele leva até encontrar o lugar seguro;
(c) a variância do tempo que ele leva até encontrar o lugar seguro.
Exemplo 95 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
f(x) =
8<:
x, 0 � x � 1
2� x, 1 < x � 2
0, caso contrário
Obter:
(a) A função de distribuição de X.
(b) A esperança de X.
(c) A variância de X.
(d) P (X < 1; 2j0; 5 � X � 1; 8).
Proposição 17 (Desigualdade básica de Markov) SejaX uma variável aleatória
não-negativa e seja � > 0 uma constante. Então
P (X � �) � E(X)
�
.
Prova. (Em aula.)
Proposição 18 (Desigualdade de Markov) SejaX uma variável aleatória qual-
quer e seja � > 0 uma constante. Então para todo t > 0,
P (jXj � �) � E jXj
t
�t
.
Prova. (Em aula.)
Proposição 19 (Desigualdade Clássica de Tchebychev) SejaX uma variável
aleatória integrável e seja � > 0 uma constante. Então
P (jX � E(X)j � �) � V ar(X)
�2
.
64
Prova. (Em aula.)
Exemplo 96 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que P (X � 0) = 1 e
P (X � 10) = 1
5
. Mostre que E(X) � 2.
Exemplo 97 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que E(X) = 10, P (X �
7) = 0; 2 e P (X � 13) = 0; 3. Prove que V ar(X) � 9
2
.
Proposição 20 Se Z � 0 e EZ = 0, então P fZ = 0g = 1, ou seja, Z = 0 quase
certamente.
Prova. (Em aula.)
Observação 18 A proposição acima implica que, quando V arX = 0, então X é
constante quase certamente, pois P fX = EXg = 1.
Proposição 21 Seja X integrável e seja � = EX. Então � minimiza E (X � c)2,
c 2 R, isto é,
V arX = E (X � �)2 = min
c2R
E (X � c)2 .
Prova. (Em aula.)
4.4 A Função Geratriz de Momentos
A função geratriz de momentosdesempenha um papel importante em vários teo-
remas de convergência de variáveis aleatórias e é também muito útil no cálculo de
esperança e variância de variáveis aleatórias.
De…nição 29 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se a função geratriz de
momentos de X, mX(t), como
mX(t) = E[e
tX ], com t 2 R.
65
Assim,
mX(t) =
1X
i=1
etxiP (X = xi) se X é v.a.d.
mX(t) =
1Z
�1
etxfX(x)dx se X é v.a.c.
mX(t) =
1X
i=1
etxiP (X = xi) +
1Z
�1
etxfX(x)dx se X é v.a. mista.
Proposição 22 (Propriedades da Função Geratriz de Momentos) As seguintes
propriedades a respeito da função geratriz de momentos mX(t) se veri…cam:
(i) mX(0) = 1.
(ii) Se X tem função geratriz de momentos mX(t) e se Y = aX + b, então
mY (t) = e
btmX(at).
(iii) Se X tem função geratriz de momentos mX(t), então
dk
dtk
mX(t)
����
t=0
= E[Xk].
ou seja
dk
dtk
mX(0) = mk (o k-ésimo momento ordinário de X).
Prova. (Em aula.)
Exemplo 98 Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos de
uma moeda honesta até que ocorra a primeira cara. Ache a função geratriz de
momentos de X e use-a para calcular E(X) e V ar(X).
Exemplo 99 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade dada por
fX(x) =
( 1
5
e�
x
5 , se x � 0
0, caso contrário
Ache a função geratriz de momentos de X e use-a para calcular E(X) e V ar(X).
66
Exemplo 100 Suponha que X seja uma variável aleatória com função geratriz de
momentos dada por
mX(t) = e
t2+3t, �1 < t <1.
Ache a esperança e a variância de X.
4.5 Exercícios
Exercício 60 Uma urna contém cinco bolas idênticas numeradas de 1 a 5. Outra
urna tem quatro bolas idênticas numeradas de 1 a 4. Escolhemos ao acaso uma bola
de cada urna. Se X representa o valor absoluto da diferença entre os dois números,
determine:
(a) a função de probabilidade de X e a função de distribuição acumulada de X;
(b) a média de X e a variância de X.
Exercício 61 Seja Y uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade dada por
fY (y) =
�
ye�y, se y > 0
0, caso contrário
Ache a função geratriz de momentos de Y e use-a para calcular E(Y ) e V ar(Y ).
Exercício 62 O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa
peça é uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
t 2 3 4 5 6 7
p(t) 0; 1 0; 1 0; 3 0; 2 0; 2 0; 1
O operário ganha R$10,00 por peça produzida, mas se ele produz a peça em menos
de cinco minutos, ganha um adicional de R$2,00 por cada minuto economizado.
(a) Obtenha a distribuição do ganho do operário por peça produzida. Resp.:
P (G = 10) = 0; 5;P (G = 12) = 0; 3;P (G = 14) = 0; 1;P (G = 16) = 0; 1
(b) Obtenha a média do ganho do operário por peça produzida. Resp.: R$ 11; 60.
67
Exercício 63 Considere a variável aleatória X com função de densidade de prob-
abilidade dada por
f(x) =
�
c jx� 2j , 0 � x < 4
0, caso contrário
(a) Ache o valor de c. Resp.: 1
4
.
(b) Obtenha a esperança e a variância de X. Resp.: E (X) = V ar(X) = 2.
Exercício 64 Seja X uma variável aleatória com f.d.p. dada por
fX(x) =
�
4xe�2x, se x � 0
0, se x < 0
(a) Obtenha a função geratriz de momentos de X. Resp.: mX(t) =
�
2
2�t
�2
, para
t < 2.
(b) Calcule a esperança e a variância de X por meio da função geratriz de
momentos. Resp.: E (X) = 1 e V ar(X) = 1
2
.
Exercício 65 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0, se x < 0
1
4
+
1
8
x(x+ 2), se 0 � x < 1
3
4
, se 1 � x < 4
3
1, se x � 4
3
Pede-se:
(a) Classi…car a v.a. X, segundo o critério discreto, contínuo ou misto, justi…-
cando. Resp.: A v.a. X é do tipo mista (tem parte discreta e parte contínua).
(b) Obter a função de probabilidade e/ou a função de densidade da v.a. X.
Resp.: Parte Discreta: P (X = x) =
8>>><>>>:
1
4
, se x = 0; 4
3
1
8
, se x = 1
e Parte Contínua: fX(x) =
( x+ 1
4
, se 0 < x < 1
0, caso contrário
.
68
(c) A esperança da variável aleatória X. Resp.: E(X) = 2
3
.
Exercício 66 Considere a variável aleatória X seguindo o modelo Laplace (ou Ex-
ponencial Dupla), isto é, a sua densidade é dada por
fX(x) =
�
2
e��jx��j, para �1 < x <1,
com � > 0 e � 2 R. Determine a função geratriz de momentos de X e calcule
a média e variância de X a partir dela. Resp.: mX(t) = �
2
�2�t2 e
�t; E[X] = �;
V ar(X) = 2
�2
.
Exercício 67 Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou
dois clientes, com probabilidade de
1
3
e
2
3
, respectivamente. De cada contrato, pode
resultar a venda de um equipamento por R$ 50:000; 00 (com probabilidade
1
10
) ou
nenhuma venda (com probabilidade
9
10
). Indicando a variável aleatória Y como o
valor total de vendas diárias desse vendedor, pede-se:
(a) A função de probabilidade de Y . Resp.: P (Y = y) =
8>>>><>>>>:
126
150
, se y = 0
23
150
, se y = 5� 104
1
150
, se y = 10� 104
(b) A função de distribuição de Y . Resp.:
FY (y) =
8>>>>>>>><>>>>>>>>:
0, se y < 0
126
150
, se 0 � y < 5� 104
149
150
, se 5� 104 � y < 10� 104
1, y � 10� 104
(c) O valor esperado do total de vendas diárias. Resp.: E (Y ) = 8:333; 33.
(d) O desvio-padrão do total de vendas diárias. Resp.: DP (Y ) = 19:507; 83.
69
Capítulo 5
Modelos de Variáveis Aleatórias
Discretas
Neste capítulo trataremos dos principais modelos de variáveis aleatórias discretas,
que serão úteis na modelagem de certos fenômenos aleatórios comuns ao trabalho
do Estatístico e do Atuário.
5.1 O Modelo Uniforme
Seja X uma variável aleatória com espaço de estados no conjunto fx1; x2; :::; xng.
Dizemos que X é uma variável aleatória com Distribuição Uniforme de…nida em
fx1; x2; :::; xng, representado por X � U fx1; x2; :::; xng, se
P (X = xi) =
1
n
para i = 1; 2; :::; n.
Proposição 23 Se X � U fx1; x2; :::; xng, então
E(X) = �xn =
1
n
nX
i=1
xi,
V ar(X) = �2 =
1
n
nX
i=1
(xi � �xn)2 .
Prova. (Em aula.)
70
5.2 O Ensaio de Bernoulli
Suponha um experimento realizado uma única vez tendo probabilidade p de sucesso
e q = 1 � p de fracasso. Denote a variável aleatória X = 0 se fracasso ocorre e
X = 1 se sucesso ocorre. Então a variável aleatória X é dita ter Distribuição
de Bernoulli com parâmetro p, representado por X � Ber(p), e sua função de
probabilidade é dada por
P (X = k) = pk(1� p)1�k, k = 0; 1.
Proposição 24 Se X � Ber(p), então
mX(t) = pe
t + q,
E(X) = p,
V ar(X) = pq.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 101 Seja X uma variável aleatória que assume o valor a se fracasso
ocorre e b se sucesso ocorre. Estabeleça o modelo de probabilidade para a v.a. X
e utilize-o para obter sua função geratriz de momentos, obtendo com ele a média e
a variância da v.a.
5.3 A Distribuição Binomial
Sejam n ensaios independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma probabilidade
p de sucesso e q = 1�p de fracasso. SejaX a variável aleatória que conta o número de
sucessos nas n realizações. A variável aleatóriaX é dita terDistribuição Binomial
com parâmetros n e p, denotado por X � B(n; p), e sua função de probabilidade é
dada por
P (X = k) =
�
n
k
�
pkqn�k, k = 0; 1; 2; 3; :::; n.
71
Proposição 25 Se X � B(n; p), então
mX(t) = (pe
t + q)n,
E(X) = np,
V ar(X) = npq.
Prova. (Em aula.)
Observação 19 Os resultados acima são intuitivos, uma vez que a v.a. X binomial
pode ser vista como n replicações de ensaios de Bernoulli. Assim, se Xi � Ber(p),
para i = 1; 2; :::; n, independentes então X = X1 +X2 + :::+Xn � B(n; p),
E(X) = E(X1) + E(X2) + :::+ E(Xn)
= p+ p+ :::+ p
= np
e
V ar(X) = V ar(X1) + V ar(X2) + :::+ V ar(Xn)= pq + pq + :::+ pq
= npq,
resultados que con…rmam a proposição anterior. (Posteriormente justi…caremos os
cálculos acima, pois eles dependem de estruturas de vetores aleatórios e distribuições
conjuntas.)
Exemplo 102 Das variáveis abaixo, assinale quais são binomiais, e para essas dê
os respectivos espaços de estado e função de probabilidade. Quando julgar que a
variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.
72
(a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição,
5 bolas. X é o número de bolas brancas nas 5 extrações.
(b) Refaça o problema anterior, mas dessa vez as 5 extrações são sem reposição.
(c) Temos 5 urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada
urna. Seja X o número de bolas brancas obtidas no …nal.
(d) Vamos realizar uma pesquisa em 10 cidades brasileiras, escolhendo ao acaso
um habitante de cada uma delas e classi…cando-o em pró ou contra um certo projeto
federal. Seja X o número de indivíduos contra a projeto …nal da pesquisa.
(e) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça.
Cada peça é classi…cada como boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante
de tempo e veri…camos uma peça de cada uma das máquinas. Suponha que X seja
o número de defeituosas.
Exemplo 103 Um certo sistema eletrônico contém 10 componentes. Suponha que
a probabilidade de falha de qualquer componente individual seja de 0; 2 e que eles fal-
hem independentemente uns dos outros. Dado que pelo menos um dos componentes
falhou, qual a probabilidade de que pelo menos dois falharam?
Exemplo 104 Se X � B(n; p), sabendo-se que E(X) = 12 e V (X) = 3, determi-
nar:
(a) P (X < 12);
(b) P (X � 14);
(c) E(Z) e V (Z), onde Z = (X � 12)=p3;
(d) P (Y � 12=16), onde Y = X=n.
Exemplo 105 Suponha que o motor de um avião falhará, quando em voo, com
probabilidade 1� p, independentemente de motor para motor. Suponha que o avião
73
realizará um voo com sucesso se pelo menos 50% de seus motores permanecerem
em operação. Para que valores de p um avião quadrimotor é preferível a um avião
bimotor?
5.4 A Distribuição Geométrica
Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma
probabilidade p de sucesso e q = 1 � p de fracasso. Seja X a variável aleatória
que conta o número de realizações até que o primeiro sucesso ocorra. A variável
aleatória X é dita ter Distribuição Geométrica com parâmetro p, denotado por
X � Geo(p), e sua função de probabilidade é dada por
P (X = k) = qk�1p, k = 1; 2; 3; 4; :::
Proposição 26 Se X � Geo(p), então
mX(t) =
pet
1� qet , para t < � ln q
E(X) =
1
p
,
V ar(X) =
q
p2
.
Prova. (Em aula.)
Observação 20 Se X � Geo(p), então para todos os inteiros não negativos m e n
temos
P (X = m+ n j X � m) = P (X = n) .
Esse resultado é conhecido na Teoria das Probabilidades como “propriedade sem
memória”da variável aleatória.
Exemplo 106 Uma urna contém b bolas brancas e v bolas vermelhas. Bolas são
retiradas ao acaso, com reposição, até que uma bola branca seja encontrada. Seja
74
X a variável aleatória que representa o número de tentativas até a extração da
primeira bola branca. Encontre a lei de X, a esperança e a variância de X e calcule
a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos n retiradas para a extração da
primeira bola branca.
Exemplo 107 As cinco primeiras repetições de um experimento custam R$ 10; 00
cada. Todas as repetições subseqüentes custam R$ 5; 00 cada. Suponha que o experi-
mento seja repetido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso
de uma repetição é igual a 0; 9, e se as repetições são independentes, qual é custo
esperado da operação?
5.5 A Distribuição Binomial Negativa
Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma
probabilidade p de sucesso e q = 1 � p de fracasso. Seja X a variável aleatória
que conta o número de realizações até que o r-ésimo sucesso ocorra. A variável
aleatória X é dita terDistribuição Binomial Negativa (também conhecida como
Distribuição de Pascal) com parâmetro r e p, denotado por X � BN(r; p), e sua
função de probabilidade é dada por
P (X = k) =
�
k � 1
r � 1
�
prqk�r, k = r; r + 1; r + 2; r + 3; :::;
Observação 21 A distribuição é de…nida para valores maiores ou igual a r, já que
são necessários pelo menos r realizações para se obter r sucessos.
Observação 22 De…nindo Y = X � r, então Y representa o número de fracassos
até a ocorrência do r-ésimo sucesso. Assim, Y 2 f0; 1; 2; 3; :::g e
P (Y = y) = P (X � r = y) = P (X = y + r)
=
�
y + r � 1
r � 1
�
prqy
75
P (Y = y) =
�
y + r � 1
y
�
prqy, y = 0; 1; 2; 3; :::
Mas vimos que� �r
y
�
=
(�r) (�r � 1) (�r � 2) ::: (�r � y + 1)
y!
= (�1)y
�
y + r � 1
y
�
Assim �
y + r � 1
y
�
= (�1)y
� �r
y
�
e, portanto,
P (Y = y) = (�1)y
� �r
y
�
prqy
P (Y = y) =
� �r
y
�
pr (�q)y , y = 0; 1; 2; 3; :::
o que justi…ca o seu nome “binomial negativa”.
Observação 23 Vimos também que a expansão por Taylor de (1 + x)�r =
1
(1 + x)r
é dada por
(1 + x)�r =
1X
k=0
� �r
k
�
xk para � 1 < x < 1.
Portanto
1X
y=0
P (Y = y) =
1X
y=0
� �r
y
�
pr (�q)y
= pr
1X
y=0
� �r
y
�
(�q)y
= pr (1� q)�r
= prp�r
= 1
76
Proposição 27 Se X � BN(r; p), então
mX(t) =
�
pet
1� qet
�r
, para t < � ln q
E(X) =
r
p
,
V ar(X) =
rq
p2
.
Prova. (Em aula.)
Observação 24 Os resultados acima são intuitivos, uma vez que a v.a. X bino-
mial negativa pode ser vista como r replicações de variáveis aleatórias Geométricas.
Assim, se Xi � Geo(p), para i = 1; 2; :::; n, independentes então X = X1 + X2 +
:::+Xr � BN(r; p),
E(X) = E(X1) + E(X2) + :::+ E(Xr)
=
1
p
+
1
p
+ :::+
1
p
=
r
p
e
V ar(X) = V ar(X1) + V ar(X2) + :::+ V ar(Xr)
=
q
p2
+
q
p2
+ :::+
q
p2
=
rq
p2
,
resultados que con…rmam a proposição anterior. (Posteriormente justi…caremos os
cálculos acima, pois eles dependem de estruturas de vetores aleatórios e distribuições
conjuntas.)
Observação 25 Claramente, se X � BN(1; p) então X � Geo(p).
Exemplo 108 Uma peça produzida em série numa fábrica tem 10% de probabilidade
de ser defeituosa e as ocorrências de defeitos são independentes. Suponha que você
77
vá retirando aleatoriamente peças da produção até encontrar a 5a peça defeituosa.
Seja X a v.a. que representa o número de inspeções até que isso ocorra. Obtenha a
lei de X, a média e a variância de X.
5.6 A Distribuição Hipergeométrica
Seja uma população …nita de N elementos, contendo a elementos com o atributo A
e b = N�a elementos sem o atributo A. Uma amostra de tamanho n é retirada sem
reposição da população. Seja X a variável aleatória que representa o número de ele-
mentos com o atributo A na amostra. A variável aleatóriaX é dita terDistribuição
Hipergeométrica de paramânetros N , a e n, denotado por X � Hip(N; a; n) e
sua função de probabilidade é dada por
P (X = k) =
�
a
k
��
N � a
n� k
�
�
N
n
� , para k = 0; 1; 2; :::; n
com maxf0; n� bg � k � minfn; ag.
Proposição 28 Se X � Hip(N; a; n), então, denotando p = a
N
e q = b
N
temos
E(X) = np,
V ar(X) = npq
N � n
N � 1 .
Prova. (Em aula.)
Exemplo 109 Uma classe contém 40 homens e 20 mulheres. Um comitê deverá ser
formado por 6 alunos selecionados aleatoriamente da classe sem reposição. Qual a
probabilidade de que o comitê seja formado por uma maioria de homens?
Exemplo 110 Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades.
Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 desses motores e os
78
inspeciona. Se nenhum dosmotores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado.
Se um ou mais forem veri…cados defeituosos, todos os motores da remessa são in-
specionados. Suponha que existam, de fato, três motores defeituosos no lote. Qual
é a probabilidade de que a inspeção total seja necessária?
Exemplo 111 De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são
escolhidas 4 ao acaso. Seja X a variável aleatória que conta o número de defeituosas
na amostra. Determine a função de probabilidade de X, quando:
(a) as peças forem escolhidas com reposição;
(b) as peças forem escolhidas sem reposição.
5.7 O Processo de Poisson e a Distribuição de
Poisson
Nessa seção veremos como o matemático francês Siméon-Denis Poisson constrói um
belo processo que dá inteligibilidade matemática a fenômenos raros estudados ao
longo do tempo contínuo.
Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840)
De…na um processo Nt, representando o número de ocorrências de um determi-
nado fenômeno em [0; t], tendo as seguintes hipóteses:
79
(i) N0 = 0.
(ii) Os incrementos são estacionários, isto é, a probabilidade de k ocorrências no
intervalo (s; t] é igual à probabilidade de k ocorrências no intervalo (s + u; t + u],
para todo k, s, t e u.
(iii) Os incrementos são independentes, isto é, se (s; t] \ (u; v] = ?, então o
número de ocorrências no intervalo (s; t] é independente do número de ocorrências
no intervalo (u; v].
(iv) Para h pequeno
P (Nh = k) =
8<:
�h+ o(h), se k = 1
1� �h+ o(h), se k = 0
o(h), se k � 2
onde o(h) é uma função tal que limh!0
o(h)
h
= 0.
Sob as hipóteses acima prova-se o seguinte resultado.
Proposição 29 Sob as hipóteses (i)-(iv), temos
P (Nt = k) =
e��t (�t)k
k!
, k = 0; 1; 2; 3; ::::
Prova. (Em aula.)
De…nição 30 SejaX uma variável aleatória de…nida em f0; 1; 2; 3; :::g tendo função
de probabilidade dada por
P (X = k) =
e���k
k!
, para k = 0; 1; 2; 3; ::: e � > 0.
Então X é dita ter distribuição de Poisson de parâmetro �, X � P(�).
Proposição 30 Se X � P(�), então
mX(t) = e
�(et�1),
E(X) = �,
V ar(X) = �.
80
Prova. (Em aula.)
Exemplo 112 Suponha que uma fonte radioativa emita partículas a uma taxa de
20 por hora. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que exatamente 5 partículas sejam emitidas durante
o período de 15 minutos?
(b) Supondo que comecemos a registrar as partículas às 9:00h, qual a probabili-
dade de que a primeira partícula registrada ocorra entre 9:04h e 9:10h?
Exemplo 113 Acidentes ocorrem numa plataforma de petróleo a uma taxa média
de 1; 5 por mês. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de nenhum acidente em janeiro?
(b) Qual a probabilidade de ocorrer 4 acidentes no período de março a abril?
(c) Qual a probabilidade de haver pelo menos um acidente em cada mês do ano
de 1998?
Exemplo 114 O número de petroleiros que chegam a uma re…naria em cada dia
ocorre a uma taxa média de 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a
três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a
outro porto.
(a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a
todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?
5.7.1 Aproximação da Binomial pela Poisson
Obtivemos a distribuição de Poisson tomando o limite da distribuição Binomial com
parâmetros n e p = �t
n
quando n!1. Assim conforme n cresce, p torna-se cada vez
menor. Portanto, se o número de realizações n de uma variável aleatória Binomial
81
for grande e a probabilidade de sucesso for pequena, podemos calcular P (X = k)
através da função de probabilidade de Poisson com boa aproximação. Vejamos um
exemplo.
Exemplo 115 Um certo tipo de sinistro ocorre com uma probabilidade de 0; 001.
Suponha 100 segurados para esse tipo de sinistro. Calcule as probabilidades exata
(via modelo Binomial) e aproximada (via modelo de Poisson) de haver no máximo
1 sinistro dentre os segurados.
5.8 Exercícios
Exercício 68 Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas
peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a exper-
iência tem mostrado que esse processo de fabricação produz 5% de peças defeituosas,
qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de peças defeituosas na caixa com
18 peças. Então P (X = x) =
�
18
x
�
(0; 05)x (0; 95)18�x, x = 0; 1; 2; 3; :::; 18.
Desejamos P (X � 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2).
Exercício 69 Um homem dispara 12 tiros independentes num alvo. Se a probabili-
dade de acerto do atirador é de 90%, qual a probabilidade de que o alvo seja atingido
pelo menos duas vezes, sabendo-se que o mesmo foi atingido pelo menos uma vez?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de acertos do homem. Então P (X =
x) =
�
12
x
�
(0; 9)x (0; 1)12�x, x = 0; 1; 2; 3; :::; 12. Desejamos P (X � 2jX � 1) =
P (X � 2)
P (X � 1) =
1� P (X < 2)
1� P (X < 1) =
1� P (X = 0)� P (X = 1)
1� P (X = 0) .
Exercício 70 Suponha que a probabilidade de que um certo experimento seja sucesso
é de 0; 4, e denote X o número de sucessos que são obtidos em 15 realizações inde-
pendentes do experimento. Qual a lei da variável aleatória X?
82
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de sucessos nas 15 tentativas. Então
P (X = x) =
�
15
x
�
(0; 4)x (0; 6)15�x, x = 0; 1; 2; 3; :::; 15.
Exercício 71 Uma moeda viciada onde a probabilidade de cara é 0,6 é lançada nove
vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer um número par de caras.
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de caras nas 9 tentativas. Então P (X =
x) =
�
9
x
�
(0; 6)x (0; 4)9�x, x = 0; 1; 2; 3; :::; 9. Desejamos
4P
k=0
P (X = 2k) =
4P
k=0
�
9
2k
�
(0; 6)2k (0; 4)9�2k.
Exercício 72 Um contador de partículas tem probabilidade de 0,7 de contar cada
partícula que entra em sua abertura, independentemente de uma partícula para outra.
Qual a distribuição do número de partículas que ele não registra, antes da primeira
partícula a ser contada. Qual a esperança e a variância desta distribuição?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de partículas que ele não registra,
antes da primeira partícula a ser contada. Então P (X = x) = (0; 3)x (0; 7), x =
0; 1; 2; 3; ::: ou seja X = Y � 1 onde Y � Geo(0; 7). Assim E (X) = E (Y ) � 1 =
1
0;7
� 1 = 3
7
e V ar (X) = V ar (Y ) = 0:3
(0;7)2
= 30
49
.
Exercício 73 Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson, repre-
sentando o aparecimento de defeitos por hora numa linha de montagem de um com-
ponente eletrônico. Sabendo-se que a probabilidade de não ocorrer defeito em uma
hora qualquer é de 0,2, pede-se:
(a) A probabilidade de que numa certa hora ocorram não mais que dois defeitos.
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeitos por hora, então X �
P(�). Como P (X = 0) = e�� = 1
5
, temos � = ln 5. Assim P (X = k) =
(ln 5)k
5k!
; k = 0; 1; 2; ::: Logo P (X � 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
1
5
�
1 + ln 5 + (ln 5)
2
2
�
.
83
(b) Supondo um regime de trabalho de oito horas diárias, quantos defeitos deve-
mos esperar em um mês?
Resp: 240E(X) = 240 ln 5.
Exercício 74 Uma companhia de seguros pretende criar apólices de seguro indi-
viduais contra certos tipos de acidentes. Uma pesquisa piloto do serviço estatístico
permitiu estimar que, num período de um ano, cada pessoa tem uma chance em cada
cinco mil, aproximadamente, de se tornar vítima de um acidente coberto por este
tipo de apólice, e que a companhia poderá vender em média mil apólices de seguro
deste tipo por ano. Determinar a probabilidade de que o número de acidentados não
ultrapasse a três por ano (número a partirdo qual a operação não é mais considerada
como rentável).
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de acidentados no ano. Então X �
P(�), com � = 1
5
. Assim P (X = k) =
e�
1
5
�
1
5
�k
k!
; k = 0; 1; 2; ::: Logo P (X � 3) =
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = e�
1
5
�
1 + 1
5
+ 1
50
+ 1
750
�
.
Exercício 75 Livros produzidos por uma certa editora têm uma média de 1 defeito
de impressão por página. Qual é a probabilidade de que pelo menos em uma página
de um livro de 300 páginas desta editora haja pelo menos 5 defeitos?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeito de impressão por página.
Então X � P(1). Assim P (X = k) = e
�1
k!
; k = 0; 1; 2; ::: Logo p = P (X � 5) =
1 � P (X < 5) = 1 �
4P
k=0
e�1
k!
. Seja Y a v.a. que conta o número de páginas com
pelo menos 5 defeitos num livro de 300 páginas. Então Y � B(300; p). Desejamos
P (Y � 1) = 1 � P (Y = 0) = 1 �
�
300
0
�
p0 (1� p)300 = 1 � (1� p)300 = 1 ��
4P
k=0
e�1
k!
�300
.
Exercício 76 Gotas de chuva caem a uma taxa média de 30 gotas por cm2 e por
84
minuto. Qual a chance de um particular cm2 não ser atingido por qualquer gota de
chuva durante um período de 10 segundos?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de gotas por cm2 e por 10 segundos.
Então X � P(5). Assim P (X = 0) = e�5.
Exercício 77 Folhas de ‡andres de 2 metros de largura são produzidas em uma
fábrica e cortadas em lâminas a cada 5 metros de comprimento. Por estudos ante-
riores, sabe-se que os defeitos têm distribuição de Poisson com uma média de 0,2
defeitos por metro quadrado. Se uma amostra aleatória de 10 lâminas é retirada da
produção, pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de haver mais do que uma lâmina na amostra com mais
de 1 defeito na superfície?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeitos na superfície de uma lâmina.
Então X � P(2). Assim P (X = x) = e
�22x
x!
; x = 0; 1; 2; ::: Assim p = P (X > 1) =
1 � P (X � 1) = 1 � 3e�2. Seja Y a v.a. que conta o número de lâminas com pelo
menos 1 defeitos numa amostra de 10. Então Y � B(10; p). Desejamos P (Y > 1) =
1 � P (Y = 0) � P (Y = 1) = 1 �
�
10
0
�
p0 (1� p)10 �
�
10
1
�
p1 (1� p)9 = 1 �
(1� p)10 � 10p (1� p)9, com p = 1� 3e�2.
(b) Qual o número esperado de lâminas na amostra com mais de 1 defeito na
superfície? E a variância?
Resp: Desejamos E(Y ) = 10p e V ar(Y ) = 10p (1� p), com p = 1� 3e�2.
Exercício 78 Numa central telefônica, o número de chamadas chega com uma mé-
dia de 8 por minuto. Determinar a probabilidade de que num minuto se tenha:
(a) dez ou mais chamadas;
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de chamadas por minuto. Então X �
P(8). Assim P (X = x) = e
�88x
x!
; x = 0; 1; 2; ::: Assim P (X � 10) = 1 � P (X <
85
10) = 1�
9P
x=0
e�88x
x!
.
(b) menos que nove chamadas;
Resp: P (X � 8) =
8P
x=0
e�88x
x!
.
(c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
Resp: P (7 � X < 9) = P (X = 7) + P (X = 8) = e�8
�
87
7!
+
88
8!
�
.
Exercício 79 Num certo tipo de fabricação de …ta magnética, ocorrem cortes a uma
taxa de um por 2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés de …ta
magnética tenha:
(a) nenhum corte;
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de cortes num rolo de 2000 pés. Então
X � P(1). Assim P (X = k) = e
�1
k!
; k = 0; 1; 2; ::: Assim P (X = 0) = e�1.
(b) no máximo dois cortes;
Resp: P (X � 2) = 5e
�1
2
.
(c) pelo menos dois cortes.
Resp: P (X � 2) = 1� 2e�1.
Exercício 80 Uma fonte radioativa é observada durante 7 intervalos de tempo,
cada um de dez segundos de duração. O número de partículas emitidas durante
cada período é contado. Suponha que o número de partículas emitidas X tenha dis-
tribuição de Poisson com taxa de 0,5 por segundo. Qual é a probabilidade de que
em cada um dos 7 intervalos de tempo, 4 ou mais partículas sejam emitidas?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de partículas emitidas em 10 segundos.
Então X � P(5). Assim P (X = x) = e
�55x
x!
; x = 0; 1; 2; ::: Assim p = P (X � 4) =
1�
3P
x=0
e�55x
x!
. Seja Y a v.a. que conta o número de intervalos com 4 ou mais partícu-
las emitidas. Então Y � B(7; p). Desejamos P (Y = 7) =
�
7
7
�
p7 (1� p)0 = p7,
86
com p = 1�
3P
x=0
e�55x
x!
.
Exercício 81 O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante
um período especí…co, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se a
probabilidade de não haver emissões for igual a 1/3, qual é a probabilidade de que
duas ou mais emissões ocorram?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de emissões durante um período es-
pecí…co, então X � P(�). Como P (X = 0) = e�� = 1
3
, temos � = ln 3. Assim
P (X = k) =
(ln 3)k
3k!
; k = 0; 1; 2; ::: Logo P (X � 2) = 1� P (X = 0)� P (X = 1) =
1� 2
3
ln 3.
Exercício 82 Em certa rodovia, a intensidade média do ‡uxo de tráfego é de 30
carros por minuto. Um medidor é colocado na rua para registrar o número de carros
passando por cima. Após justi…car o uso de um modelo de probabilidade adequado
a tal experimento, calcule:
(a) a probabilidade de que 2 ou mais carros sejam registrados durante determi-
nado intervalo de 2 segundos;
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de carros registrados durante um inter-
valo de 2 segundos, então X � P(1). Assim P (X = k) = e
�1
k!
; k = 0; 1; 2; ::: Assim
P (X � 2) = 1� 2e�1.
(b) a probabilidade de passar mais de um minuto até registrar o primeiro carro.
Resp: Seja Y a v.a. que conta o número de carros registrados durante um in-
tervalo de 1 minuto, então Y � P(30). Assim P (X = k) = e
�3030k
k!
; k = 0; 1; 2; :::
Assim P (Y = 0) = e�30.
Exercício 83 Suponha que num dado …nal de semana o número de acidentes num
certo cruzamento tem distribuição de Poisson com média 0,7. Qual a probabilidade
de que haverá pelo menos três acidentes no cruzamento durante o …nal de semana?
87
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de acidentes num …nal de semana,
então X � P(0; 7). P (X � 3) = 1� P (X � 2) = 1�
2P
x=0
e�0;7 (0; 7)x
x!
.
Exercício 84 Suponha que o número de defeitos num metro quadrado de tecido
tenha distribuição de Poisson com média 0,4. Se uma amostra aleatória de 5 m2 de
tecido é inspecionada, qual a probabilidade de que o número total de defeitos nesta
amostra seja de pelo menos 6?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeitos numa amostra de 5 m2 de
tecido. Então X � P(2). P (X � 6) = 1� P (X � 5) = 1�
5P
x=0
e�22x
x!
.
Exercício 85 Suponha que uma certa …ta magnética contenha, em média, 3 defeitos
por 1000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo de …ta de 1200 pés não contenha
defeitos?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeitos num rolo de …ta de 1200
pés.Então X � P(3; 6). P (X = 0) = e�3;6.
Exercício 86 Suponha que, em média, uma certa loja sirva 15 clientes por hora.
Qual a probabilidade de que a loja não servirá mais do que 20 clientes num particular
período de 2 horas?
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de clientes que chegam num período de
2 horas. Então X � P(30). P (X � 20) =
20P
x=0
e�3030x
x!
.
Exercício 87 Suponha que num grande lote contendo T produtos manufaturados,
30% dos produtos são defeituosos e 70% são bons. Suponha também que 10 produtos
são selecionados aleatoriamente sem reposição do lote. Determine:
(a) uma expressão exata para a probabilidade de que não mais do que um produto
defeituoso seja obtido, e
88
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeituosos no lote de T produtos.
Então X � Hip(T ; 0; 3T ; 10). Assim P (X = x) =
0@ 0; 3T
x
1A0@ 0; 7T
10� x
1A
0@ T
10
1A , para
maxf0; 10�0; 7Tg � x � minf10; 0; 3Tg.Assim supondo que T � 15 para que 10�
0; 7T < 0, temos que P (X � 1) = 10@ T
10
1A
��
0; 7T
10
�
+
�
0; 3T
1
��
0; 7T
9
��
.
(b) uma expressão aproximada para esta probabilidade, baseada na distribuição
binomial.
Resp: Seja X a v.a. que conta o número de defeituosos no lote de T produtos, com
T grande. Então X � B(10; 0; 3). Assim P (X = x) =
�
10
x
�
(0; 3)x (0; 7)10�x, x =
0; 1; 2; 3; :::; 10. Assim P (X � 1) = P (X = 0)+P (X = 1) =
�
10
0
�
(0; 3)0 (0; 7)10+�
10
1
�
(0; 3)1 (0; 7)9 = (0; 7)10 + 3 (0; 7)9.
89
Capítulo 6
Modelos de Variáveis Aleatórias
Contínuas
6.1 A Distribuição Uniforme
Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a; b], de-
notado por X � U [a; b] se sua função de densidade de probabilidade é dada por
fX(x) =
( 1
b� a , se a � x � b
0, caso contrário.
Assim a função de distribuição de X é dada por
FX(x) =
8><>:
0, se x < a
x� a
b� a , se a � x < b
1, se x � b
Proposição 31 Se X � U [a; b] então
E(X) =
a+ b
2
V ar(x) =
(b� a)2
12
Prova. (Em aula.)
Exemplo 116 Suponha que X tenha distribuição uniforme no intervalo (�2; 8).
Ache a f.d.p. de X e encontre P (0 < X < 7).
90
Exemplo 117 Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição
FX(x). Seja Y uma variável aleatória de…nida como Y = FX(X). Mostre que
Y � U [0; 1].
6.2 A Distribuição Exponencial
Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro �,
denotado por X � Exp(�), se a função de densidade de probabilidade de X é dada
por
fX(x) =
�
�e��x, x � 0
0, caso contrário
Assim a função de distribuição de X é dada por
FX(x) =
�
0, se x < 0
1� e��x, se x � 0
Proposição 32 (Propriedade Sem Memória) Seja X � Exp(�). Então, para
todo t > 0 e s > 0, temos
P (X � t+ sjX � t) = P (X � s) .
Prova. (Em aula.)
Proposição 33 Se X � Exp(�) então
mX(t) =
�
�� t , para t < �,
E(X) =
1
�
e
V ar(X) =
1
�2
.
Prova. (Em aula.)
Proposição 34 Seja Nt, representando o número de ocorrências de um determi-
nado fenômeno em [0; t], segundo um processo de Poisson de parâmetro �. Seja T
91
a v.a. que representa o tempo de espera até a ocorrência do primeiro fenômeno.
Então T � Exp(�).
Prova. (Em aula.)
Corolário 3 Seja Nt, representando o número de ocorrências de um determinado
fenômeno em [0; t], segundo um processo de Poisson de parâmetro �. Seja T a
v.a. que representa o tempo de espera entre as ocorrências do fenômeno. Então
T � Exp(�).
Prova. (Em aula.)
Exemplo 118 Para um certo tipo de componente eletrônico, a vida útil X (em mil
horas) tem distribuição exponencial com média 2. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que um novo componente dure mais do que 1000
horas?
(b) Se um componente já durou 1000 horas, qual a probabilidade de que ele dure
pelo menos 1000 horas mais?
Exemplo 119 Suponha que o tempo até o próximo terremoto num particular lugar
seja exponencialmente distribuído com uma taxa de 1 terremoto por ano. Qual a
probabilidade de que o próximo terremoto ocorra dentro de 6 meses?
Exemplo 120 O tempo de vida de lâmpadas produzidas pelo fabricante X tem dis-
tribuição exponencial com média de 20 dias. Se 10 lâmpadas são ligadas simultane-
amente, qual a probabilidade de que pelo menos 3 delas durem mais de 25 dias?
92
6.3 A Distribuição Normal
6.3.1 A Distribuição Normal Padrão
Diz-se que a variável aleatória Z tem distribuição normal (ou Gaussiana) padrão
com média zero e variância 1, denotado por Z � N (0; 1), se a função de densidade
de probabilidade de Z é dada por
fZ(z) =
1p
2�
e�
z2
2 , �1 < z <1
De…nina �(z) = P (Z � z) a função de distribuição da variável aleatória Z.
Como �(z) não pode ser obtida analiticamente, o valor de �(z) é dado por integração
numérica e seus valores são tabelados.
Proposição 35 Se Z � N (0; 1), então
mZ(t) = e
t2
2
E(Z) = 0
V ar(Z) = 1
Prova. (Em aula.)
Exemplo 121 Seja Z � N (0; 1). Calcule:
(a) P (Z � �1; 73)
(b) P (Z � 2; 13)
(c) P (0; 47 � Z < 1; 73)
(d) P (�0; 25 � Z � 0; 5)
6.3.2 A Distribuição Normal com média � e variância �2
Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição normal (ou Gaussiana) com mé-
dia � e variância �2, denotado por X � N (�; �2), se a função de densidade de
93
probabilidade de X é dada por
fX(x) =
1
�
p
2�
e�
(x��)2
2�2 , �1 < x <1
Proposição 36 Se X � N (�; �2), então Y = �X + � � N (�� + �; �2�2), para
� 6= 0 e � constantes reais.
Prova. (Em aula.)
Corolário 4 Se X � N (�; �2), então Z = X � �
�
� N (0; 1).
Prova. (Em aula.)
Proposição 37 Se X � N (�; �2), então
mX(t) = e
�t+ 1
2
�2t2,
E(X) = � e
V ar(X) = �2.
Prova. (Em aula.)
Observação 26 A distribuição Normal é sem dúvida a distribuição mais impor-
tante da Probabilidade e Estatística por suas ricas propriedades. Eis algumas de
suas propriedades que serão justi…cadas matematicamente mais tarde no tratamento
de vetores aleatórios.
(i) Se Xi � N (�i; �2i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então
X = X1 +X2 + :::+Xn � N (
nX
i=1
�i;
nX
i=1
�2i ).
Ou seja, soma de normais independentes é também normal com média dada pela
soma das médias e a variância dada pela soma das variâncias.
94
(ii) Se Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então
X = X1 +X2 + :::+Xn � N (n�; n�2).
(iii) Se Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então
�Xn =
X1 +X2 + :::+Xn
n
� N (�; �
2
n
).
(iv) Se Xi � N (�i; �2i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então
X = a1X1 + a2X2 + :::+ anXn + b � N (
nX
i=1
ai�i + b;
nX
i=1
a2i�
2
i ).
(v) Seja X1; X2; :::; Xn uma amostra aleatória retirada de uma população com
distribuição normal com média � e variância �2. Então se � é desconhecida e
�2 é conhecida, o intervalo de con…ança para a média populacional com 1 � � de
probabilidade (� é dito o nível de signi…cância) é dado por
P
�
�Xn � �p
n
z�=2 � � � �Xn + �p
n
z�=2
�
= 1� �.
onde z�=2 é o valor encontrado na tabela da normal padrão tal que 1��=2 = P (Z �
z�=2).
Exemplo 122 Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de janeiro
são distribuídos normalmente, com média de R$ 10:000; 00 e desvio-padrão de R$
1:500; 00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos referentes ao mês em
questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito seja:
(a) R$ 10:000; 00 ou menos;
(b) pelo menos R$ 10:000; 00;
(c) um valor entre R$ 12:000; 00 e R$ 15:000; 00;
(d) maior do que R$ 20:000; 00.
95
Exemplo 123 As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximada-
mente normal, com média 500 e desvio-padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600
unidades no mês em estudo, qual a probabilidade de que não possa atender a todos
os pedidos, por estar com a produção esgotada?
Exemplo 124 Num certo lugar, a temperatura, em graus Celsius, é normalmente
distribuída com média 20 graus e desvio-padrão de 4 graus. Qual a proporção do
tempo em que a temperatura se encontra entre 15 graus e 22 graus?
Exemplo 125 Suponha que V , a velocidade em cm/seg de um objeto de massa 1
kg, seja uma variável aleatória com distribuição normal com média 0 e variância 25.
Admita-se que K = 1000V
2
2
= 500V 2 represente a energia cinética do objeto. Calcule
P (K > 800).
Exemplo 126 Assuma que o tempo X requerido para que um corredor à distância
corra uma milha é uma variável aleatória normal com média de 4 minutos e 1
segundo e desvio-padrão de 2 segundos. Qual a probabilidade de que este atleta corra
uma milha em menos de 4 minutos? Em mais do que 3 minutos e 55 segundos?
Exemplo 127 O comprimento X de um determinado peixe adultocapturado na
Baía de Monterey é uma variável aleatória normal com média de 30 polegadas e
desvio-padrão de 2 polegadas. Se uma pessoa pega um desses peixes, qual a proba-
bilidade de que ele tenha no mínimo 31 polegadas de comprimento? De que ele não
tenha mais do que 32 polegadas de comprimento? De que ele tenha comprimnento
entre 24 e 28 polegadas?
Exemplo 128 Assuma que o preço de uma commodity amanhã seja normalmente
distribuído com média US$ 10; 00 e desvio-padrão de US$ 0; 25. Qual o menor
96
intervalo de con…ança a partir do qual você pode a…rmar com 95% de certeza sobre
qual será o preço da commodity amanhã?
Exemplo 129 A altura que um saltador é capaz de pular é uma variável normal
com média de 2 metros e desvio-padrão de 2 centímetros.
(a) Qual a maior altura que ele saltará com probabilidade de 95%?
(b) Qual a altura que ele saltará somente em 10% das vezes?
Exemplo 130 A distribuição dos comprimentos dos elos da corrente de bicicleta é
normal, com média 2 cm e variância 0; 01 cm2. Para que uma corrente se ajuste à
bicicleta, deve ter comprimento total entre 58 e 61 cm. Qual é a probabilidade de
uma corrente com 30 elos não se ajustar à bicicleta?
Exemplo 131 As durações de gravidez têm distribuição normal com média de 268
dias e desvio-padrão de 15 dias.
(a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade
de que a duração de sua gravidez seja inferior a 260 dias.
(b) Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta es-
pecial a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos
de duração de suas gravidezes terem média inferior a 260 dias (admitindo-se que a
dieta não produza efeito).
(c) Se as 25 mulheres têm realmente média inferior a 260 dias, há razão de
preocupação para os médicos de pré-natal? Justi…que adequadamente.
Exemplo 132 O peso de uma determinada fruta é uma variável aleatória com dis-
tribuição normal com média de 200 gramas e desvio-padrão de 50 gramas. Determine
a probabilidade de um lote contendo 100 unidades dessa fruta pesar mais que 21 kg.
97
Exemplo 133 Um elevador pode suportar uma carga de 10 pessoas ou um peso total
de 1750 libras. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seus pesos
são normalmente distribuídos com média 165 libras e desvio-padrão de 10 libras,
qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de 10 homens
escolhidos aleatoriamente?
6.4 A Distribuição Gama
6.4.1 A Função Gama
Para todo número real � positivo, de…nimos a função �(�) como
�(�) =
Z 1
0
x��1e�xdx.
Proposição 38 Se � > 1, então temos �(�) = (�� 1)�(�� 1).
Prova. (Em aula.)
Corolário 5 Se n 2 N, então �(n) = (n� 1)!
Prova. (Em aula.)
Corolário 6 Se n 2 N, então �(n+ 1
2
) = (n� 1
2
)(n� 3
2
):::(1
2
)�(1
2
), com �(1
2
) =
p
�.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 134 Pelo último corolário temos, por exemplo, que
�
�
7
2
�
=
�
5
2
��
3
2
��
1
2
�p
� =
15
p
�
8
.
98
6.4.2 A Distribuição Gama
Diz-se que a v.a. X tem distribuição Gama com parâmetros � > 0 e � > 0, denotada
por X � Gama(�; �), se sua f.d.p. é dada por
fX(x) =
8>><>>:
��
�(�)
x��1 exp (��x) , se x > 0
0, se x � 0
Proposição 39 Se X � Gama(�; �), então
mX(t) =
�
�
� � t
��
, para t < �
E(X) =
�
�
V ar(x) =
�
�2
Prova. (Em aula.)
Observação 27 Se X � Gama(1; �), então X � Exp(�), ou seja, a distribuição
Exponencial é um caso particular da distribuição Gama.
Observação 28 Se Xi � Gama(�i; �), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então
X = X1 + X2 + ::: + Xn � Gama(
Pn
i=1 �i; �). Esse resultado será derivado mais
tarde no tratamento de vetores aleatórios.
Observação 29 Se Xi � Exp(�), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X =
X1 + X2 + ::: + Xn � Gama(n; �). Esse resultado decorre das duas observações
anteriores.
6.5 A Distribuição Qui-Quadrado
Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição Qui-Quadrado com n graus de
liberdade, denotada por X � �2n, se X � Gama(n2 ; 12). Assim a função de densidade
99
de X é dada por
fX(x) =
8>><>>:
1
2n=2�(n=2)
x
n
2
�1 exp
��x
2
�
, se x > 0
0, se x � 0
Proposição 40 Se X � �2n, então
mX(t) =
�
1
1� 2t
�n
2
, para t <
1
2
E(X) = n
V ar(x) = 2n.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 135 Seja X � N (0; 1). Então Y = X2 � �21.
Observação 30 Se Xi � �21, para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 +
X2 + :::+Xn � �2n.
Exemplo 136 Além disso, se X+Y = Z, com X e Y independentes com X � �2n1
e Z � �2n1+n2, então Y � �2n2.
Esses resultados serão justi…cados matematicamente mais tarde no tratamento
de vetores aleatórios.
Observação 31 A distribuição Qui-Quadrado desempenha um papel importante na
Inferência Estatística, em especial na construção de intervalos de con…ança para
a variância populacional a partir da variância amostral em populações normais ou
aproximadamente normais, pois se Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, indepen-
dentes, então pode-se mostrar que
(n� 1)S2
�2
� �2n�1, onde S2 =
Pn
i=1
�
Xi � �Xn
�2
n� 1
(a variância amostral). Esse resultado será justi…cado matematicamente mais tarde
no tratamento de vetores aleatórios.
100
Observe também que E (S2) = �2, daí a correção da variância amostral para a
divisão dos desvios-quadráticos por n� 1 ao invés de n, para que o estimador S2 da
variância populacional �2 acerte em média o seu verdadeiro valor desconhecido.
Observação 32 O resultado
(n� 1)S2
�2
� �2n�1 também nos permite construir um
intervalo de con…ança para �2 com base na variância amostral com um nível de
con…abilidade de 1� �. Ele é dado por
P
 
(n� 1)S2
�2n�1;1��=2
� �2 � (n� 1)S
2
�2n�1;�=2
!
= 1� �.
onde �2n�1;�=2 é o valor encontrado na tabela da Qui-Quadrado com n � 1 graus de
liberdade tal que �=2 = P (� � �2n�1;�=2).
6.6 A Distribuição Beta
Diz-se que a variável aleatóriaX tem distribuição Beta com parâmetros � e � (� > 0
e � > 0), denotado por X � Beta(�; �), se a função de densidade de probabilidade
de X é dada por
fX(x) =
8<:
�(�+ �)
�(�)�(�)
x��1(1� x)��1, 0 < x < 1
0, c.c.
Por ser uma classe de curvas de…nidas no intervalo (0; 1), a distribuição Beta é muito
útil na modelagem da distribuição a priori de proporções populacionais na Inferência
Bayesiana.
Observação 33 Assim, pode-se mostrar que
R 1
0
x��1(1� x)��1dx = �(�)�(�)
�(�+ �)
.
Observação 34 Se X � Beta(�; �), então, pode-se mostrar que
E(X) =
�
�+ �
V ar(X) =
��
(�+ �)2 (�+ � + 1)
.
(A função geratriz de momentos não é útil nesse caso.)
101
Observação 35 Se X � Beta(1; 1), então X � U (0; 1).
6.7 A Distribuição de Cauchy
Diz-se que a v.a. X tem distribuição de Cauchy (padrão), denotada por X �
Cauchy, se a f.d.p. de X é dada por
fX(x) =
1
�(1 + x2)
, para �1 < x <1.
Observação 36 Já vimos anteriormente que se X � Cauchy, então X não possui
média, embora a distribuição seja simétrica em torno de 0. Obviamente, por este
fato, não possuirá tampouco variância ou desvio-padrão.
Exemplo 137 Um emissor de raio laser situado preso a um teto a 1 metro de altura
do solo, gira num eixo para direita e para esquerda de maneira uniforme. Seja X
a v.a. que representa a coordenada do ponto no solo atingido pelo raio, tomando-se
a origem 0 como o pé da perpendicular baixada pelo ponto onde se situa o emissor.
Mostre que X � Cauchy.
6.8 A Distribuição t-Student
Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição t-Student com n graus de liber-
dade, denotado por X � tn�Student,se a função de densidade de probabilidade de
X é dada por
fX(x) =
�(n+1
2
)
(n�)1=2 �(n
2
)
(1 +
x2
n)�(n+1)=2, para x 2 R
Observação 37 Se X � t1 � Student, então X � Cauchy. Já vimos que se
X � Cauchy, então X não possui média. Logo não existe esperança matemática
para a distribuição t-Student com 1 grau de liberdade.
102
Observação 38 Se X � tn�Student, com n > 1, então E
h
jXjk
i
<1 para k < n
e E
h
jXjk
i
= 1 para k � n. Em outras palavras, os primeiros n � 1 momentos
existem, mas os momentos de ordem superior a n � 1 não existem. Com isso, X
não possui função geratriz de momentos. Além disso, pode-se mostrar que
E [X] = 0, para n > 1 e
V ar [X] =
n
n� 2 , para n > 2.
Observação 39 A distribuição t-Student desempenha um papel fundamental na In-
ferência Estatística, pois nos permite estimar médias populacionais, desconhecendo-
se a variância populacional, mas tendo acesso à variância amostral. Isso se dá,
porque mostraremos mais tarde no tratamento de vetores aleatórios que, se Z �
N (0; 1) e W � �2n são variáveis aleatórias independentes, então
X =
Z�
W
n
�1=2 � tn � Student.
Assim, sejam Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então como �Xn �
N (�; �
2
n
) e
(n� 1)S2
�2
� �2n�1, onde �Xn = X1+X2+:::+Xnn e S2 =
Pn
i=1
�
Xi � �Xn
�2
n� 1 ,
pode-se mostrar que �Xn e S2 são independentes. Com isso, tendo em mente que
�Xn � �
�p
n
� N (0; 1) e (n� 1)S
2
�2
� �2n�1
temos
T =
�Xn��
�p
n0B@ (n� 1)S
2
�2
n� 1
1CA
1=2
=
�Xn � �
�p
n
:
�
S
=
�Xn � �
Sp
n
Assim
T =
�Xn � �
Sp
n
� tn�1 � Student.
103
Se � é desconhecida e �2 é desconhecida, o intervalo de con…ança para a média
populacional com 1� � de probabilidade (� é dito o nível de con…ança) é dado por
P
�
�Xn � Sp
n
tn�1;�=2 � � � �Xn + Sp
n
tn�1;�=2
�
= 1� �.
onde tn�1;�=2 é o valor encontrado na tabela da t-Student com n�1 graus de liberdade
tal que 1� �=2 = P (T � tn�1;�=2).
6.9 A Distribuição F-Snedecor
Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição F -Snedecor com m graus de
liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, denotado por X �
F (m;n), se a função de densidade de probabilidade de X é dada por
fX(x) =
8<:
�
�
1
2
(m+ n)
�
�(m
2
)�(n
2
)
mm=2nn=2
x(m=2)�1
(mx+ n)(m+n)=2
, se x > 0
0, se x � 0
Observação 40 Pode-se mostrar que se X � F (m;n), então
E [X] =
n
n� 2 , se n > 2.
V ar [X] =
2n2(m+ n� 2)
m(n� 2)2(n� 4) , se n > 4.
Observação 41 A distribuição F-Snedecor desempenhará um papel muito impor-
tante na Inferência Estatística, sobretudo em Análise de Variância, ou em Teste de
Igualdade de Variância, pois ela pode ser obtida como uma razão entre duas var-
iáveis com distribuição Qui-Quadrado divididas por seus graus de liberdade, isto é,
se U � �2m e V � �2n são variáveis independentes, então
X =
U=m
V=n
� F (m;n).
Esse resultado será veri…cado posteriormente no tratamento de vetores aleatórios.
Observação 42 Se X � F (m;n), então Y = 1
X
� F (n;m).
104
Observação 43 Se X � tn � Student, então Y = X2 � F (1; n). Para ver isto,
basta ter em mente que X =
Z�
W
n
�1=2 onde Z � N (0; 1) e W � �2n independentes
e que X2 =
Z2
1
W
n
com Z2 � �21 e W � �2n também independentes.
Observação 44 Se X1; X2; :::; Xn1 é uma amostra aleatória retirada de uma pop-
ulação com distribuição normal com média �1 e variância �
2
1 ambas desconhecidas
e se Y1; Y2; :::; Yn2 é uma amostra aleatória retirada de uma outra população com
distribuição normal com média �2 e variância �
2
2 também ambas desconhecidas, e
se as duas amostras são independentes então sabemos que
(n1 � 1)S21
�21
� �2n1�1 e
(n2 � 1)S22
�22
� �2n2�1
onde S21 =
Pn1
i=1
�
Xi � �Xn1
�2
n1 � 1 e S
2
2 =
Pn2
i=1
�
Yi � �Yn2
�2
n2 � 1 independentes. Assim
(n1 � 1)S21
�21
n1�1
(n2 � 1)S22
�22
n2�1
=
S21
S22
:
�22
�21
� F (n1 � 1; n2 � 1)
Esse resultado nos permite construir o intervalo de con…ança para a razão
�22
�21
entre as duas variâncias populacionais com 1 � � de probabilidade. Assim, se
X1; X2; :::; Xn1 é uma amostra aleatória retirada de uma população com distribuição
normal com média �1 e variância �
2
1 ambas desconhecidas e se Y1; Y2; :::; Yn2 é uma
amostra aleatória retirada de uma outra população com distribuição normal com
média �2 e variância �
2
2 também ambas desconhecidas, e se as duas amostras são
independentes então o intervalo de con…ança para a razão
�22
�21
entre as variâncias
populacionais com 1� � de probabilidade é dado por
P
�
S22
S21
F(n1�1;n2�1);�=2 �
�22
�21
� S
2
2
S21
F(n1�1;n2�1);1��=2
�
= 1� �.
105
6.10 Exercícios
Exercício 88 Seja X uma v.a. uniformemente distribuída em (0; 1). Encontre a
densidade de Y = X
1
� , onde � 6= 0. Resp.: Se � > 0, então fY (y) = �y��1:1(0;1)(y);
se � < 0, então fY (y) = ��y��1:1(1;1)(y).
Exercício 89 Seja X uma v.a. exponencialmente distribuída com parâmetro �.
Encontre a densidade de Y = cX, com c > 0. Resp.: Y � Exp ��
c
�
.
Exercício 90 Seja X uma v.a. contínua tendo densidade f simétrica em torno de
0. Se tem distribuíção exponencial de parâmetro �, encontre f. Resp.: f(x) =
� jxj e��x2, para �1 < x <1.
Exercício 91 Seja T uma v.a. contínua representando o tempo de falha de algum
sistema. Seja F a função de distribuição de T e suponha que F (t) < 1 para 0 <
t < 1. Portanto, podemos escrever F (t) = 1 � e�G(t), para t > 0. Suponha que
G0(t) = g(t) exista para t > 0.
(a) Mostre que T tem densidade f dada por
f(t)
1� F (t) = g(t), 0 < t <1.
A função g é conhecida como a “taxa de falha”, pois, heuristicamente,
P (t � T � t+ dtjT > t) = f(t)dt
1� F (t) = g(t)dt.
(b) Mostre que, para s > 0 e t > 0,
P (T > t+ sjT > t) = exp
�
�
Z t+s
t
g(u)du
�
.
(c) Mostre que o sistema melhora com tempo (isto é, para s …xado, a expressão
em (b) cresce com t) se g é função decrescente; e o sistema deteriora com o tempo
se g é uma função crescente.
106
(d) Mostre que Z 1
0
g(u)du =1.
(e) Como g se comporta se T é exponencialmente distribuído?
(f) Se G(t) = �t�, t > 0, para que valores de � o sistema melhora, deteriora, ou
permanece igual com o tempo?
Exercício 92 O tempo gasto no atendimento dos clientes de uma loja de roupas
segue uma distribuição exponencial com média de 15 minutos.
(a) Qual a probabilidade de que o tempo de atendimento de um determinado
cliente selecionado ao acaso seja de pelo menos 30 minutos? Resp.: e�2 �= 0; 135335.
(b) Qual o valor de � para que um cliente seja atendido em no máximo � minutos
com 98% de probabilidade? Resp.: � �= 58; 68 minutos.
Exercício 93 Suponha que a vida útil de um certo tipo de lâmpada tenha dis-
tribuição exponencial com média de 8 horas. Uma lâmpada solitária é ligada em
uma sala no instante t = 0. Um dia depois, você entra na sala e …ca ali durante 8
horas, saindo no …nal desse período.
(a) Qual a probabilidade de que você entre na sala quando já está escura? Resp.:
0; 9502.
(b) Qual a probabilidade de você entrar na sala com a lâmpada ainda acesa e sair
da sala depois da lâmpada queimar? Resp.: 0; 03147.
Exercício 94 Admita que a distribuição de alturas de jogadores de basquetebol seja
normal com desvio-padrão 20 cm. Sabe-se que 40% desses jogadores têm mais de 2
m de altura.
(a) Determine a média dessa distribuição. Resp.: � = 195.
(b) Qual o percentual de jogadores com menos de 1,80 m de altura? Resp.:
22; 66%.
107
Exercício 95 Suponha que o tempo T em minutos que uma pessoa leva para exe-
cutar uma determinada tarefa varia segundo uma distribuição normal com média �
e desvio-padrão �. Suponha também que estudos anteriores têm mostrado que 75%
das tarefas são executadas em no máximo 70 minutose que 25% das tarefas são
executadas em no máximo 50 minutos.
(a) Determine os valores de � e �. Resp.: � = 60 e � = 14; 9.
(b) De todas as pessoas que necessitam de pelo menos 75 minutos para executá-la,
que percentagem precisará de mais de 85 minutos? Resp.: 0; 2977.
Exercício 96 A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indús-
tria tem peso distribuído normalmente, com média de 990 g e desvio-padrão de 10g.
Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso inferior a 976 g.
(a) Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção,
qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira a ser rejeitada?
Resp.: 0; 03785.
(b) Retirada uma amostra de 20 latas da linha de produção, qual a probabilidade
de que três latas sejam rejeitadas? Resp.: 0; 1435.
Exercício 97 Numa população, os conteúdos de glicose no sangue de pessoas nor-
mais têm distribuição normal com média 120mg/100ml e desvio padrão de 8mg/100ml.
(a) Dentre as pessoas normais que apresentam conteúdos de glicose entre 90mg/100ml
e 110mg/100ml, qual a porcentagem de pessoas com mais de 100mg/100ml de glicose
no sangue? Resp.: 0; 941287879.
(b) Se uma amostra de cem pessoas normais for observada, qual a probabilidade
de que o conteúdo de médio de glicose nessa amostra seja superior a 121,4mg/100ml?
Resp.: 0; 0401.
108
Exercício 98 O peso de um saco de café se distribui normalmente com média de 65
kg e desvio padrão de 4 kg. Um caminhão é carregado com 120 sacos. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de a carga do caminhão pesar entre 7.893 kg e 7.910
kg? Resp.: 0; 011.
(b) Qual a probabilidade de a carga do caminhão pesar mais do que 7.722 kg?
Resp.: 0; 9625.
Exercício 99 Sejam X � N (0; 1), Y � N (0; 1) e Z � N (2; 1) variáveis aleatórias
independentes. De…na W = 1
2
X2 + 1
2
Y 2 + Z2 �XY � 4Z + 4. Pede-se:
(a) A distribuição da v.a. W . Resp.: W � Exp(1
2
).
(b) A função geratriz de momentos da variável aleatória W . Resp.: mW (t) =
1
1�2t , para t <
1
2
.
Exercício 100 A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma
turbina de um avião a jato é uma variável aleatória normalmente distribuída com
média de 5000 horas e desvio-padrão de 40 horas. O fabricante do motor intro-
duz uma melhoria no processo de fabricação para esse componente, que aumenta a
vida média para 5050 horas e diminui o desvio-padrão para 30 horas. Suponha que
uma amostra aleatória de 16 componentes seja selecionada do processo "antigo"e
uma amostra aleatória de 25 componentes seja selecionada do processo "melhorado".
Qual a probabilidade de que a diferença entre as duas médias amostrais �Y25� �X16 seja
de no mínimo 25 horas? (Considere que os processos "antigo"e "melhorado"possam
ser considerados como populações independentes.) Resp.: P
�
�Y25 � �X16 � 25
�
=
0; 9838.
Exercício 101 Um fabricante a…rma que seus cigarros não contêm mais que 32 mg
de nicotina, em média. Suponha que os conteúdos de nicotina tenham distribuição
109
normal. Uma amostra de 10 cigarros forneceu os seguintes conteúdos de nicotina:
30; 0 29; 5 29; 8 33; 0 32; 0 30; 5 30; 0 29; 5 31; 0 30; 7
(a) Construa um intervalo de con…ança ao nível de signi…cância de 5% para o nível
médio de nicotina nos cigarros produzidos pelo fabricante.
Resp.: P (29; 7851 � � � 31; 4148) = 0; 95.
(b) À luz do intervalo de con…ança obtido no item (a) há evidências de que
os dados refutam a a…rmação do fabricante? Resp.: Não há evidências contra a
a…rmação do fabricante.
Exercício 102 Se X tem distribuição de Cauchy, encontre a densidade de Y =
a+ bX, com b 6= 0. Resp.: fY (y) = jbj�[b2+(y�a)2] , para �1 < y <1.
Exercício 103 Se X � Gama(�; �), qual a distribuição de Y = cX, onde c > 0?
Resp.: Y � Gama(�; �
c
).
Exercício 104 Se X � Gama(�; �), qual a distribuição de Y = pX? Resp.:
fY (y) =
2��
�(�)
y2��1e��y
2
:1(0;1)(y).
Exercício 105 Se X � �2n, então Y =
p
X é chamada de distribuição Qui com n
graus de liberdade e denotada por Y � �n. Determine a esperança de Y . Resp.:
E (Y ) = 2
1=2�[(n+1)=2]
�(n=2)
.
Exercício 106 Suponha que X1, X2, ..., X6 seja uma amostra aleatória de tamanho
6 de uma população com distribuição normal padrão. Seja
Y = (X1 +X2 +X3)
2 + (X4 +X5 +X6)
2 .
Determine o valor de c para que a v.a. cY tenha distribuição Qui-Quadrado.
Resp.: c = 1=3.
110
Exercício 107 Se lnX � N(�; �2), encontre a distribuição da v.a. X. (Essa dis-
tribuição, extremamente importante em Finanças, é denominada distribuição log-
normal com parâmetros � e �2.
Exercício 108 Suponha que X tenha distribuição lognormal com parâmetros 4; 1
e 8. Encontre a distribuição de 3
p
X. Resp.: X tem distribuição lognormal com
parâmetros 3; 1486 e 2.
Exercício 109 Suponha que X � Beta(�; �). Mostre que Y = 1�X � Beta(�; �).
Exercício 110 Suponha que X1, X2, ..., X5 seja uma amostra aleatória de tamanho
5 de uma população com distribuição normal padrão. Determine a constante c tal
que a v.a.
c (X1 +X2)
(X23 +X
2
4 +X
2
5 )
1
2
tenha distribuição t-Student. Resp.: c =
p
3=2.
111
Capítulo 7
Vetores Aleatórios
Neste capítulo estudaremos as distribuições conjuntas de vetores aleatórios, em par-
ticular dos vetores bivariados.
De…nição 31 Um vetor X = (X1; :::; Xn) com Xi variáveis aleatórias de…nidas no
mesmo espaço de probabilidade (
; P ) é chamado vetor aleatório se para todo
xi 2 R, i = 1; 2; :::; n, fX1 � x1; :::; Xn � xng é um evento aleatório.
De…nição 32 A função de distribuição conjunta F = FX de um vetor aleatório X
é de…nida por
FX(x) = FX(x1; :::; xn) = P (X1 � x1; :::; Xn � xn).
Observação 45 fX1 � x1; :::; Xn � xng =
n\
i=1
f! : Xi(!) � xig.
Proposição 41 Propriedades da Função de Distribuição Conjunta. Se X
é um vetor aleatório em (
; P ), então para qualquer x 2 Rn, sua função de dis-
tribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) F (x) é não-decrescente em cada uma de suas coordenadas.
F2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas.
F3) Se para algum j, xj ! �1, então F (x) ! 0 e, ainda, se para todo j, xj !
+1, então F (x)! 1.
112
F4) F (x) é tal que para todo ai; bi 2 R, ai < bi, 1 � i � n, temos
Pfa1 < X1 � b1; a2 < X2 � b2; :::; an < Xn � bng � 0.
Prova. (Em aula)
Observação 46 A propriedade F4 parece tão óbvia que poderíamos questionar a
necessidade de mencioná-la. No caso unidimensional ela não é necessária, mas no
caso muldimensional ela é essencial, pois há funções que atendem as propriedades
F1, F2 e F3 que não são funções de distribuições de nenhum vetor aleatório, con-
forme o exemplo abaixo.
Exemplo 138 Considere a seguinte função:
F (x; y) =
�
1, em S = f(x; y) : x � 0, y � 0 e x+ y � 1g
0, caso contrário
Então F (x; y) satisfaz F1, F2 e F3, mas Pf0 < X � 1; 0 < Y � 1g = �1 < 0! Logo
F (x; y) não satisfaz F4 e, portanto, não pode ser função de distribuição conjunta.
Exemplo 139 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com função de distribuição
conjunta FX;Y (x; y). Mostre que
Pfa < X � b; c < Y � dg = F (b; d)� F (b; c)� F (a; d) + F (a; c)
Exemplo 140 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) =
�
1� e�x�y, x � 0 e y � 0
0, caso contrário
é uma função de distribuição de algum vetor aleatório.
Exemplo 141 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) =
�
(1� e�x)(1� e�y), x � 0 e y � 0
0, caso contrário
é uma função de distribuição de algum vetor aleatório.
113
Observação 47 A partir da função de distribuição conjunta, pode-se obter o com-
portamento de cada variável isoladamente. A função de distribuição individualizada
é denominada função de distribuição marginal e é obtida da seguinte forma:
FXk(xk) = limxi!1
i6=k
F (x)
em que o limite é aplicado em todas as coordenadas,exceto k.
Se as variáveis do vetor aleatório são discretas, temos um vetor aleatório discreto
e de…nimos sua função de probabilidade conjunta da seguinte forma:
p(x) = p(x1; :::; xn) = P (X1 = x1; :::; Xn = xn).
É imediato veri…car que
p(x) � 0, para todo x 2 Rn eX
x
p(x) = 1.
A função de probabilidade marginal de uma variável, digamos Xk, é obtida a
partir da conjunta, somando-se os valores possíveis em todas as coordenadas, exceto
em k, isto é,
pXk(xk) = P (Xk = xk) =
nX
i=1
i6=k
X
xi
p(x)
=
nX
i=1
i6=k
X
xi
P (X1 = x1; :::; Xn = xn).
Exemplo 142 Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e
de…nimos as variáveis aleatórias X e Y da seguinte forma: X = número de caras
nos dois lançamentos e Y = função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos.
Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y e as funções de probabilidade
marginais de X e de Y.
114
Exemplo 143 (Distribuição Multinomial) Suponha que n experimentos sejam
realizados e que cada experimento pode ensejar r possíveis resultados com proba-
bilidades p1, p2,...,pr, com
Pr
i=1 pi = 1. Seja Xi a v.a. que conta o número de
resultados i nos n experimentos realizados, i = 1; 2; :::; r. Claramente
Pr
i=1Xi = n,
e
P (X1 = n1; X2 = n2; :::; Xr = nr) =
n!
n1!n2!:::nr!
pn11 :p
n2
2 :::p
nr
r
com
Pr
i=1 ni = n.
Denominamos vetor aleatório contínuo, o vetor aleatório cujas componentes são
variáveis aleatórias contínuas. Dada a função de distribuição conjunta de um vetor
aleatório, sucessivas derivadas parciais produzem a função de densidade conjunta,
representada por f(x). Então, podemos considerar que um vetor aleatório é contínuo
se existe uma função f : Rn ! R+ tal que
FX(x) =
Z x1
�1
:::
Z xn
�1
f(y)dy1:::dyn.
Observe que isto é uma generalização do caso univariado, e, como antes, valem
as propriedades
f(x) � 0, para todo x 2 Rn eZ 1
�1
:::
Z 1
�1
f(x)dx1:::dxn = 1
Além disso, decorre do cálculo de várias variáveis que @
n
@x1:::@xn
FX(x) = f(x).
Observação 48 Assim, podemos perceber que
P (X1 2 dx1; :::; Xn 2 dxn) = f(x)dx1:::dxn.
Exemplo 144 Sejam três variáveis aleatórias X, Y e Z com função de densidade
conjunta dada por
f(x; y; z) =
�
kxy2z, se 0 < x � 1, 0 < y � 1 e 0 < z � p2
0, caso contrário
115
Encontre o valor de k e ache a função de densidade marginal de X.
Exemplo 145 (Função Mista) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, sendo X
discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade dada por
f(x; y) =
�
xyx�1
3
, se x = 1; 2; 3 e 0 < y � 1
0, caso contrário
(a) Veri…que que esta função é de fato uma função mista de probabilidade.
(a) Mostre que
F (x; y) =
8>>>>>>>><>>>>>>>>:
0, se x < 1 ou y < 0
y
3
, se 1 � x < 2 e 0 � y < 1
y+y2
3
, se 2 � x < 3 e 0 � y < 1
y+y2+y3
3
, se x � 3 e 0 � y < 1
1
3
, se 1 � x < 2 e y � 1
2
3
, se 2 � x < 3 e y � 1
1, se x � 3 e y � 1
7.1 Independência
De…nição 33 Sejam X1; X2; :::; Xn, n � 2, variáveis aleatórias de…nidas no mesmo
espaço de probabilidade (
; P ), de modo que X = (X1; :::; Xn) é um vetor aleatório
em (
; P ). As variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são (coletivamente) independentes
se para todo xi 2 R, i = 1; 2; :::; n,
P fX1 � x1; :::; Xn � xng =
nY
i=1
P fXi � xig .
Observação 49 (i) (Propriedade de Hereditariedade de Variáveis Aleatórias In-
dependentes) Observe que para toda família de variáveis aleatórias independentes
X1; X2; :::; Xn qualquer subfamília é também formada por variáveis aleatórias inde-
116
pendentes, pois, por exemplo
P fX1 � x1; X2 � x2g = P fX1 � x1; X2 � x2; X3 2 R; :::; Xn 2 Rg
= P fX1 � x1gP fX2 � x2gP fX3 2 Rg :::P fXn 2 Rg
= P fX1 � x1gP fX2 � x2g :1:::1
= P fX1 � x1gP fX2 � x2g
(ii) Se as variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são independentes, então funções
de famílias disjuntas das variáveis são também independentes. Por exemplo, se
X1; X2; X3; X4 são independentes, então
(a) X1 +X2 +X3 e e�X4 são independentes;
(b) min(X1; X2) e max(X3; X4) são independentes;
(c) X1:X2 e X2 +X3 não são necessariamente independentes.
A proposição a seguir nos fornece o critério para independência de variáveis
aleatórias a partir da função de distribuição conjunta. Trata-se do critério de fa-
toração.
Proposição 42 (a) Se X1; X2; :::; Xn, n � 2, são variáveis aleatórias indepen-
dentes, então
FX(x) = FX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
FXi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn.
(b) Reciprocamente, se existem funções F1; F2; :::; Fn tais que limx!1 Fi(x) = 1
para todo i e FX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
Fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn entãoX1; X2; :::; Xn
são variáveis aleatórias independentes e Fi = FXi para todo i = 1; 2; :::; n.
Prova. (Em aula)
Proposição 43 (Critério para independência no caso contínuo)
117
(a) Se X1; X2; :::; Xn, n � 2, são variáveis aleatórias independentes e possuem
densidades fX1 ; :::; fXn, então a função
fX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
fXi(xi), (x1; :::; xn) 2 Rn
é densidade conjunta das variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn.
(b) Reciprocamente, se X1; X2; :::; Xn têm densidade conjunta f satisfazendo
fX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn onde fi(xi) � 0 e
R1
�1 fi(x)dx =
1 para todo i, então X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e fi é a
densidade de Xi para todo i = 1; 2; :::; n.
Prova. (Em aula)
Proposição 44 (a) Se F (x; y) é a função de distribuição conjunta de X e Y , então
a função de distribuição marginal de X é
FX(x) = lim
y!1
FX;Y (x; y) = FX;Y (x;+1).
(b) Se f(x; y) é a função de densidade conjunta de X e Y , então a função de
densidade marginal de X é
fX(x) =
Z 1
�1
f(x; y)dy.
Prova. (Em aula)
Exemplo 146 Enuncie e prove o resultado análogo da proposição anterior para o
caso discreto.
Exemplo 147 Dizemos que o vetor aleatório (X; Y ) possui distribuição normal bi-
variada quando tem densidade dada por
f(x; y) =
1
2��1�2
p
1� �2 :
: exp
(
� 1
2 (1� �2)
"�
x� �1
�1
�2
� 2�
�
x� �1
�1
��
y � �2
�2
�
+
�
y � �2
�2
�2#)
118
onde �1 > 0, �2 > 0, �1 < � < 1, �1 2 R e �2 2 R. Mostre que se � = 0, então X
e Y são independentes e X � N(�1; �21) e Y � N(�2; �22). (Se � 6= 0, então X e Y
não são independentes, pois sua densidade conjunta não é produto das densidades
marginais.
Exemplo 148 Seja G 2 Rn uma região tal que V olG > 0, onde V olG é o volume
n-dimensional de G, de modo que V olG =
R
:::
G
R
1dx1:::dxn. Dizemos que X =
(X1; X2; :::; Xn) é uniformemente distribuído em G se X tem densidade
fX(x1; :::; xn) =
�
1
V olG
, se (x1; :::; xn) 2 G
0, se (x1; :::; xn) =2 G
Observação 50 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias em (
; P ) então
X1; X2; :::; Xn discretas , (X1; X2; :::; Xn) discreto
X1; X2; :::; Xn absolutamente contínuas ; (X1; X2; :::; Xn) absolutamente contínuo
X1; X2; :::; Xn absolutamente contínuas ( (X1; X2; :::; Xn) absolutamente contínuo
7.2 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios
Teorema 15 Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em (
; P ) e � : Rn! R
uma função. Então
E�(X) =
1Z
�1
ydF�(X)(y) =
1Z
�1
:::
1Z
�1
�(x)dFX(x)
onde a última integral é uma integral n-dimensional de Stieltjes.
Prova. (Depende de Teoria da Medida.)
Observação 51 (i) Se X for discreto tomando valores em fx1;x2; :::g temos
E�(X) =
1X
i=1
�(xi)pX(xi).
119
(ii) Se X for contínuo com densidade fX(x) temos
E�(X) =
1Z
�1
:::
1Z
�1
�(x)fX(x)dx1:::dxn.
(iii) E[�1(X) + :::+ �n(X)] = E[�1(X)] + :::+ E[�n(X)].
Proposição 45 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e inte-
gráveis, então
nY
i=1
Xi é integrávele
E [X1:X2:::Xn] =
nY
i=1
E[Xi].
Prova. (Em aula)
O exemplo a seguir nos mostra que a recíproca da proposição anterior não é
sempre verdadeira, isto é, EXY = EX:EY não implica X e Y independentes.
Exemplo 149 Sejam X e Y variáveis aleatórias tomando valores �1; 0; 1 com dis-
tribuição conjunta dada por p(�1;�1) = p(�1; 1) = p(1;�1) = p(1; 1) = p(0; 0) =
1
5
. Então EXY = EX:EY , mas X e Y não são independentes, pois P (X = 0; Y =
0) 6= P (X = 0):P (Y = 0).
De…nição 34 A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é de…nida como
Cov(X; Y ) = E [(X � EX) (Y � EY )]
= E [XY ]� E [X]E [Y ]
Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas não-correlacionadas se Cov(X; Y ) =
0. Segue-se que variáveis aleatórias independentes são não-correlacionadas, mas a
recíproca não é necessariamente verdadeira.
Observação 52 Há certos casos em que não correlação implica em independência.
O caso mais importante é o da Normal. Se X e Y possuem distribuição conjunta
120
normal bivariada e são não-correlacionadas, então � = 0 e como vimos anterior-
mente X e Y são independentes.
Proposição 46 A variância da variável aleatória Y =
nP
i=1
Xi é dada por
V ar
"
nX
i=1
Xi
#
=
nX
i=1
V ar [Xi] + 2
X
i<j
Cov(Xi; Xj).
Prova. (Em aula)
Corolário 7 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias não-correlacionadas, então
V ar
"
nX
i=1
Xi
#
=
nX
i=1
V ar [Xi] .
Prova. (Em aula)
De…nição 35 Dada uma variável aleatória X, a variável aleatória Z =
X � EX
�X
é uma padronização de X (também chamada de redução ou normalização de X).
Observe que EZ = 0 e V arZ = 1.
De…nição 36 Chama-se coe…ciente de correlação entre X e Y , denotado por
�X;Y ou �(X; Y ), a correlação entre as sua variáveis padronizadas, isto é,
�X;Y =
Cov(X; Y )
�X :�Y
= E
��
X � EX
�X
��
Y � EY
�Y
��
.
Exemplo 150 Mostre que �(X; Y ) = �(aX + b; cY + d) para a > 0 e c > 0.
A proposição seguinte nos informa que �X;Y representa a dependência linear entre
X e Y .
Proposição 47 SejamX e Y variáveis aleatórias com variâncias …nitas e positivas.
Então:
(i) �1 � �X;Y � 1.
(ii) �X;Y = 1 se e somente se P fY = aX + bg = 1 para algum a > 0 e b 2 R.
(iii) �X;Y = �1 se e somente se P fY = aX + bg = 1 para algum a < 0 e b 2 R.
121
Prova. (Em aula)
Proposição 48 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) E jXY j � pEX2pEY 2.
Prova. (Em aula)
7.3 Distribuições de Funções de Variáveis e Ve-
tores Aleatórios
Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em (
;A; P ), e considere o problema
de determinar a distribuição de Y = g(X), com g uma função mensurável. Então,
temos
FY (y) = P fY � yg = P fg(X) � yg
De…nindo By = f(x1; x2; :::; xn) : g(x1; x2; :::; xn) � yg, temos
FY (y) = P fX 2 Byg
= PX fByg
ou seja, conhecendo a distribuição conjunta de X1; X2; :::; Xn, podemos obter a dis-
tribuição de qualquer função mensurável de X.
Observação 53 (a) Quando X é discreto, Y é também discreto e o problema torna-
se simples, pois
pY (y) =
X
i:g(xi)=y
pX(xi)
(b) Quando X é contínuo, o problema é mais complexo pois Y pode ser discreto
ou contínuo.
Exemplo 151 Se X e Y são independentes, cada uma com distribuição uniforme
em [0; 1], mostre que Z = X=Y tem função de distribuição
FZ(z) =
8>><>>:
0, se z � 0
z
2
, se 0 < z < 1
1� 1
2z
, se z � 1
122
e função de densidade
fZ(z) = F
0
Z(z) =
8>>><>>>:
0, se z � 0
1
2
, se 0 < z < 1
1
2z2
, se z � 1
Proposição 49 (a) Se X e Y têm densidade conjunta f(x; y), então a variável
aleatória Z = X + Y tem densidade dada por
fZ(z) =
Z 1
�1
f(z � t; t)dt =
Z 1
�1
f(t; z � t)dt.
(b) Se X e Y são independentes com densidades fX e fY então Z = X + Y tem
densidade dada por
fZ(z) =
Z 1
�1
fX(z � t)fY (t)dt =
Z 1
�1
fX(t)fY (z � t)dt.
Prova. (Em aula.)
Observação 54 Se f1 e f2 são densidades de variáveis aleatórias, sua convolução
f1 � f2 é de…nida como
f1 � f2(x) =
Z 1
�1
f1(x� t)f2(t)dt.
Portanto, pela proposição anterior, se X e Y são independentes e absolutamente
contínuas, fX � fY é a densidade da soma X + Y .
Exemplo 152 A partir da fórmula da convolução, encontre a lei de X + Y onde
X e Y são variáveis aleatórias independentes e exponencialmente distribuídas com
parâmetro �.
Exemplo 153 Mostre que se X � P(�1) e Y � P(�2) são variáveis aleatórias
independentes, então X + Y � P(�1 + �2).
123
Observação 55 Outra forma de se obter a convolução de duas variáveis aleatórias
independentes é através da função geratriz de momentos da soma X + Y , pois
mX+Y (t) = E[e
t(X+Y )]
= E[etXetY ]
= E[etX ]E[etY ] (pela independência de X e Y )
= mX(t)mY (t).
Se a f.g.m de X+Y tem forma conhecida, então, pela unicidade da f.g.m., podemos
recuperar a lei de X + Y . Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 154 Mostre que se Xi � B(ni; p), i = 1; 2; :::; k, são variáveis aleatórias
independentes, então Y =
Pk
i=1Xi � B(
Pk
i=1 ni; p).
Exemplo 155 Mostre que se Xi � Geo(p), para i = 1; 2; :::; r, independentes então
X = X1 +X2 + :::+Xr � BN(r; p).
Exemplo 156 Mostre que se Xi � P(�i), i = 1; 2; :::; n, são variáveis aleatórias
independentes, então Y =
Pn
i=1Xi � P(
Pn
i=1 �i).
Exemplo 157 Mostre que se Xi � Exp(�), i = 1; 2; :::; n, são variáveis aleatórias
independentes, então Y =
Pn
i=1Xi � Gama(n; �).
Exemplo 158 Mostre que se Xi � Gama(�i; �), para i = 1; 2; :::; n, independentes,
então X = X1 +X2 + :::+Xn � Gama(
Pn
i=1 �i; �).
Exemplo 159 Mostre que se Xi � N (�i; �2i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes,
então
X = �1X1 + �2X2 + :::+ �nXn + � � N (
nX
i=1�i
�i + �;
nX
i=1
�2i�
2
i ).
124
Exemplo 160 Mostre que se Xi � �21, para i = 1; 2; :::; n, independentes, então
X = X1 +X2 + :::+Xn � �2n.
Exemplo 161 Mostre que se X + Y = Z, com X e Y independentes com X � �2n1
e Z � �2n1+n2, então Y � �2n2.
7.4 Exercícios
Exercício 111 Dadas X e Y duas v.a.d conjuntamente distribuídas como:
PX;Y (x; y) =
8<:
2
n(n+ 1)
, se x = 1; 2; :::; n e y = 1; 2; :::; x
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de probabilidade marginais de X e Y . Resp.: P (X = x) = 2x
n(n+1)
,
x = 1; 2; :::; n e P (Y = y) = 2(n�y+1)
n(n+1)
, y = 1; 2; :::; n
(b) Veri…que se X e Y .são independentes. Resp.: X e Y .não são independentes.
Exercício 112 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
( 1
x
, se 0 < x < 1 e 0 < y < x
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = 1(0;1)(x) e
fY (y) = � ln y:1(0;1)(y)
(b) Veri…que se X e Y .são independentes. Resp.: X e Y .não são independentes.
Exercício 113 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
24xy, se x � 0, y � 0 e x+ y � 1
0, caso contrário
Pede-se:
125
(a) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = 12x(1 �
x)21[0;1](x) e fY (y) = 12y(1� y)2:1[0;1](y)
(b) Veri…que se X e Y .são independentes. Resp.: X e Y .não são independentes.
Exercício 114 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
e�(x+y), se x � 0, y � 0
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = e�x:1(0;1)(x)
e fY (y) = e�y:1(0;1)(y)
(b) Veri…que se X e Y .são independentes. Resp.: X e Y .são independentes.
(c) Calcule P (X � Y � 2). Resp.: e�4
2
.
Exercício 115 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
C(x+ 2y), se 0 < x < 2 e 0 < y < 1
0, caso contrário
Pede-se:
(a) O valor de C. Resp.: 1
4
.
(b) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = x+14 :1(0;2)(x)
e fY (y) = 12(1 + 2y):1(0;1)(y)
(c) Veri…que se X e Y .são independentes. Resp.: X e Y .nãosão independentes.
(d) Ache P (X >
p
Y ). Resp.: 59
80
.
Exercício 116 Seleciona-se ao acaso um ponto do quadrado unitário
f(x; y) : 0 � x � 1, 0 � y � 1g .
Sejam X e Y as coordenadas do ponto selecionado.
(a) Qual a densidade conjunta de X e Y? Resp.: fX;Y (x; y) = 1[0;1]�[0;1](x; y).
126
(b) Calcule P (
�� Y
X
� 1�� � 1
2
). Resp.: 5
12
.
(c) Calcule P (Y � X j Y � 1
2
). Resp.: 3
4
.
Exercício 117 Encontre a probabilidade de que as raízes da equação y2 + 2X1y +
X2 = 0 sejam reais, sabendo-se que:
(a) X1 e X2 são aleatoriamente escolhidos entre 0 e 1. Resp.: 13
(b) X1 é aleatoriamente escolhidos entre 0 e 1 e X2 é aleatoriamente escolhidos
entre �1 e 1. Resp.: 2
3
Exercício 118 Quatro pessoas concordam em se encontrar num restaurante ao
meio-dia. Suponha que cada pessoa chegue num tempo distribuído normalmente com
média 12 (meio-dia) e desvio-padrão de 5 minutos, independentemente de todas as
outras.
(a) Qual a chance de que a primeira pessoa a chegar no restaurante chegue antes
de 11:50h? Resp.: 0; 0881
(b) Qual a chance de que nem todos tenham chegado às 12:15h no restaurante?
Resp.: 0; 005189
Exercício 119 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
C(y � x)8, se 0 < x < y < 1
0, caso contrário
Pede-se:
(a) O valor de C. Resp.: 90.
(b) Ache P (Y > 2X). Resp.: 2
9�1
29
.
Exercício 120 Sejam X e Y duas v.a. exponenciais e independentes com parâmet-
ros � e �, respectivamente. Calcule P (X < Y ). Resp.: �
�+�
127
Exercício 121 Seleciona-se ao acaso um ponto do círculo unitário
A =
�
(x; y) : x2 + y2 � 1	 .
Sejam X e Y as coordenadas do ponto selecionado.
(a) Qual a densidade conjunta de X e Y ? Resp.: fX;Y (x; y) = 1�1A(x; y).
(b) Determine P (Y > X), P (Y < X) e P (Y = X). Resp.: 1
2
, 1
2
, 0.
Exercício 122 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) =
�
1� e�ax � e�ay + e�a(x+y), x � 0 e y � 0
0, caso contrário
com a > 0 é uma função de distribuição de algum vetor aleatório bidimensional
(X; Y ). Resp.: Sim.
Exercício 123 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
1
2
, se 2 � y � x � 4
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = x�22 :1[2;4](x)
e fY (y) =
4�y
2
:1[2;4](y)
(b) Veri…que se X e Y .são independentes. Resp.: X e Y .não são independentes.
(c) Ache P (Y +X2 � 6X � �6). Resp.: 7
12
.
Exercício 124 Se X e Y são v.a.’s independentes com variâncias …nitas, demon-
stre que
V ar (XY ) = V ar (X)V ar (Y ) + (EX)2 V ar(Y ) + (EY )2 V ar(X).
Exercício 125 SejamX e Y v.a.’s com variâncias …nitas. Mostre que se V ar(X) 6=
V ar(Y ), então X + Y e X � Y não são independentes.
128
Exercício 126 Demonstre que a covariância é bilinear, isto é,
Cov
 
mX
i=1
aiXi ;
nX
j=1
bjYj
!
=
mX
i=1
nX
j=1
aibjCov (Xi ; Yj) ,
onde os ai e bj são números reais. (Suponha que as Xi e Yj possuam variâncias
…nitas.)
Exercício 127 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
fX;Y (x; y) =
8<:
3
2
p
x
, se 0 < y < x < 1
0, caso contrário
Pede-se:
(a) A covariância entre X e Y . Resp.: Cov(X; Y ) = 12
350
(b) O coe…ciente de correlação entre X e Y . Resp.: �(X; Y ) = 24p
1776
.
Exercício 128 SejamX1; X2; :::; Xn, variáveis aleatórias não-correlacionadas iden-
ticamente distribuídas com média � e variância �2. De…na a variável aleatória
�Xn =
nX
i=1
Xi
n
,
isto é, �Xn é a média das n variáveis aleatórias.
(a) Mostre que E
�
�Xn
�
= �.
(b) Mostre que V ar
�
�Xn
�
=
�2
n
.
(c) Se �2 = 1, qual deve ser o valor de n para que P (
�� �Xn � ��� < 1) > 0; 9?
Resp.: 10 (Use a desigualdade de Tchebychev.)
Exercício 129 Sejam X1; X2; :::; variáveis aleatórias i.i.d. normalmente distribuí-
das com média � e desvio-padrão 10. Qual deve ser o tamanho da amostra para que
possamos garantir, com 95% de probabilidade, que o valor da média amostral não se
afastará do da média populacional por mais de 0; 5? Resp.: n = 1:536.
129
Exercício 130 As alturas de uma certa população são normalmente distribuídas
com média 160cm e desvio padrão 8cm. Calcule a probabilidade de que a altura
média de uma amostra de tamanho 25 seja maior do que 162cm. Resp.: 0; 10565.
Exercício 131 Uma amostra de tamanho 400 de uma população normal foi ob-
servada e forneceu os seguintes dados: �x400 = 30; 5 e
P400
i=1 (xi � �x400)2 = 12560.
Estime um intervalo de 95% de con…ança para a média populacional. Resp.: IC:
(29; 95; 31; 05)
Exercício 132 Mostre que a covariância de duas v.a’s é invariante para soma de
constantes, isto é, se a e b são constantes e Y1 = X1 + a e Y2 = X2 + b, então
Cov(Y1; Y2) = Cov(X1; X2).
Exercício 133 Sejam X e Y variáveis aleatórias de média zero, variância igual a
1 e correlação �. Seja Z = X � �Y .
(a) Mostre que Z e Y não são correlacionadas.
(b) Ache a média e a variância de Z. Resp.: E(Z) = 0 e V ar(Z) = 1� �2
130