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Cálculo 2 – Lista 1 Prof.: Augusto César 1-3 Encontre o domínio e a imagem das funções 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 − 5 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥+𝑦 3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 𝑦 4-6 Determine e esboce o domínio da função 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦√𝑥2 + 𝑦 5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+𝑦2 𝑥2−𝑦2 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥𝑦 − 1) 7-9 Faça o mapa de contorno da função mostrando três curvas de nível 7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 9𝑦2 10-16 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe 10. lim (𝑥,𝑦)→(2,3) (𝑥2𝑦2 − 2𝑥𝑦5 + 3𝑦) 11. lim (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥2𝑦3+𝑥3𝑦2−5) 2−𝑥𝑦 12. lim (𝑥,𝑦)→(𝜋,𝜋 ) 𝑥𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥+𝑦 4 ) 13. lim (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥+𝑦)2 𝑥2+𝑦2 14. lim (𝑥,𝑦)→(1,4 ) ℯ√𝑥+2𝑦 15. lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 2𝑥𝑦 𝑥2+2𝑦2 16. lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑠𝑒𝑛(𝑥2+𝑦2) 𝑥2+𝑦2 17-19 Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua 17. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+𝑦2+1 𝑥2+𝑦2−1 18. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥2−𝑦 19. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(2𝑥 + 3𝑦) 20-26 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 20. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦5 − 2𝑥2𝑦 + 𝑥 21. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2(𝑥4 + 𝑦4) 22. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 23. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℯ𝑥𝑡𝑔(𝑥 − 𝑦) 24. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) 25. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℯ𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 26. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 − 𝑦 √𝑥 27-28 Use a derivação implícita para encontrar 𝜕𝑧 𝜕𝑥⁄ e 𝜕𝑧 𝜕𝑦⁄ 27. 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 = 𝑥𝑧 28. 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 2𝑥(𝑦 + 𝑧) 29-32 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem 29. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 𝑥√𝑦 30. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) 31. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)3 2⁄ 32. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠2(5𝑥 + 2𝑦) 33-38 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado 33. 𝑧 = 𝑥2 + 4𝑦2, (2, 1, 8) 34. 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2, (3, −2, 5) 35. 𝑧 = 5 + (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2, (2, 0, 10) 36. 𝑧 = 𝑥𝑦, (−1, 2, −2) 37. 𝑧 = √𝑥 − 𝑦, (5, 1, 2) 38. 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦), (1, −1, 0) 39-41 Use diferenciais para aproximar o valor de f em um dado ponto 39. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √20 − 𝑥2 − 7𝑦2, (1,95; 1,08) 40. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 − 3𝑦), (6,9; 2,06) 41. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2 sen 𝜋𝑧 , (3,99; 4,98; 4,03) 42-47 Use a regra da cadeia para determinar 𝜕𝑧 𝜕𝑠⁄ e 𝜕𝑧 𝜕𝑡⁄ 42. 𝑧 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑦, 𝑥 = 𝑠2 + 𝑡2, 𝑦 = 2𝑠𝑡 43. 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦, 𝑥 = (𝑠 − 𝑡)2, 𝑦 = 𝑠2 − 𝑡2 44. 𝑧 = 𝑥2 − 3𝑥2𝑦3, 𝑥 = 𝑠ℯ𝑡, 𝑦 = 𝑠ℯ−𝑡 45. 𝑧 = 𝑥 𝑡𝑔−1(𝑥𝑦), 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑠ℯ𝑡 46. 𝑧 = 2𝑥−3𝑦, 𝑥 = 𝑠2𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑡2 47. 𝑧 = 𝑥ℯ𝑦 + 𝑦ℯ−𝑥, 𝑥 = ℯ𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑡2 48-50 Use a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas 48. 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑧 = 𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 𝜕𝑤 𝜕𝑠 , 𝜕𝑤 𝜕𝑡 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 1, 𝑡 = 0 49. 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥, 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = ℯ𝑠𝑡, 𝑧 = 𝑡2; 𝜕𝑤 𝜕𝑠 , 𝜕𝑤 𝜕𝑡 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 0, 𝑡 = 1 50. 𝑧 = 𝑦2𝑡𝑔 𝑥, 𝑥 = 𝑡2𝑢𝑣, 𝑦 = 𝑢 + 𝑡𝑣2; 𝜕𝑧 𝜕𝑡 , 𝜕𝑧 𝜕𝑢 , 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 2, 𝑢 = 1, 𝑣 = 0
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