Lista 2 - circunferencia

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2a Lista de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica - MTM 131 - 2013/2 - wenderson
1. Determine as seguintes regio˜es do plano:
(a)
{
(x, y) ∈ R2/x > y}⋃{(x, y) ∈ R2/x > 3};
(b)
{
(x, y) ∈ R2/x > y}⋂{(x, y) ∈ R2/x > 3}.
(c)
{
(x, y) ∈ R2/4 ≤ x2 + y2 < 36}⋃{(x, y) ∈ R2/x > y};
(d)
{
(x, y) ∈ R2/4 ≤ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 16}⋃{(x, y) ∈ R2/x < −4}.
2. Determine a equac¸a˜o das circunfereˆncias:
(a) Centro (-1,-2) e raio
√
3;
(b) Centro (1,-7) e raio 1/4;
(c) Centro (1,3) e raio 5.
3. Determine o centro e o raio de cada uma das circunfereˆncias abaixo, se poss´ıvel. Esboce os gra´ficos.
(a) (x− 1)2 + (x+ 5)2 = 1;
(b) x2 + y2 − 2x− 2y − 2 = 0;
(c) x2 + y2 − 6x− 8y = 0;
(d) x2 + y2 − 6x− 8y = −26.
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` circunfereˆncia λ : x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 e paralela a` reta
r : 12x+ 5y + 1 = 0.
5. Determine dentre os pontos que equ¨idistam de A(1, 2) e B(3, 4) aquele que e´ o mais pro´ximo de P (4, 3).
Determine tambe´m a distaˆncia entre estes pontos. resp.: (3,2),
√
2
6. Verifique a posic¸a˜o relativa entre a circunfereˆncia de equac¸a˜o x2+ y2− 2y = 1 e os pontos: a) P(0,3); b) P(1,
1
2 ); c) P (1,0).
7. Estude a posic¸a˜o relativa entre a circunfereˆncia de centro C(3, 2) e raio 3
√
2 e as retas abaixo:
(a) s : 2x+ y − 3 = 0;
(b) t : x+ y − 20 = 0;
(c) r : 2x− 3y + 3√10 = 0.
8. Determine, quando poss´ıvel, os pontos de intersec¸a˜o entre a circunfereˆncia λ : x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0 e as
retas:
(a) s : y = 2 resp.: (1,2)
(b) s : x− y = 0 resp.:
(
1±
√
2
2 , 1±
√
2
2
)
(c) s : x+ y = 0 resp.: na˜o ha´ intersec¸a˜o.
9. Estude a posic¸a˜o relativa entre as circunfereˆncias λ : x2 + y2 − 4x− 4y + 4 = 0 e γ : x2 + y2 = r2 conforme
os raios:
(a) r=5 resp.: λ interior a γ;
(b) r=1 resp.: secantes.
10. Determine os valores de r a fim de que as circunfereˆncias do exerc´ıcio anterior sejam tangentes:
(a) internamente. resp.:r = 2(1 +
√
2);
(b) externamente resp.:r = 2(
√
2− 1).
11. Determine a(s) equac¸a˜o(o˜es) da(s) reta(s) tangente(s) a` circunfereˆncia λ que passa(m) pelo ponto P , quando
poss´ıvel.
(a) λ : x2 + y2 − 4x+ 2y − 20 = 0 e P(9,-2) resp.:3x− 4y − 35 = 0 e 4x+ 3y − 30 = 0;
(b) λ : x2 + y2 − 6x− 4y + 9 = 0 e P(5,-1) rep.: 5x+ 12y − 13 = 0 e y = 5;
(c) λ : x2 + y2 − 4x− 4y + 4 = 0 e P(2,3); resp.: na˜o ha´.
(d) λ : x2 + y2 + 8x− 12y = 0 e a origem. resp.: 2x− 3y = 0
12. Determine o comprimento da corda formada pela intersec¸a˜o da reta y + x − 1 = 0 com a circunfereˆncia
λ : x2 + y2 + 2x+ 2y − 3 = 0. resp.: √2.
1
13. Determine m para que os pontos A(2m+ 1, 2), B(−6,−5) e C(m, 0) sejam colineares.
14. Num losango ABCD temos que A(11, 4) e B(4,−2) . Sabendo-se que o ponto E(7, 2) pertence a` diagonal
AC, determine as coordenadas de C e D. Represente geometricamente esta situac¸a˜o. (Notar que as diagonais
do losango se interceptam ao meio e sa˜o perpendiculares).
15. Dois lados de um triaˆngulo esta˜o contidos nas retas de equac¸o˜es t : 2x − 3y + 7 = 0 e u : 4x + 3y − 13 = 0.
Sabendo-se que o ortocentro (ponto de encontro das alturas) desse triaˆngulo e´ o ponto (10/9, 10/3) determine
as coordenadas do ve´rtice do triaˆngulo. Represente geometricamente.
16. Demonstre a fo´rmula da distaˆncia entre um ponto M(x0, y0) e uma reta r : ax+ by+ c = 0 utilizando-se dos
seguintes passos:
(a) obtenha a equac¸a˜o da reta s perpendicular a` reta r, a` qual pertence o ponto M .
(b) Determine as coordenadas do ponto P onde r e s se interceptam;
(c) calcule a distaˆncia entre P e M .
17. Represente geometricamente o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem
a equac¸a˜o (x2 + y2 + 1)(2x+ 3y − 1)(3x− 2y + 3) = 0.
18. Considerando a circunfereˆncia de equac¸a˜o x2 + y2 − 4x = 0, e´ correto:
(a) O centro da circunfereˆncia e´ o ponto de coordenadas (−2, 0);
(b) O ponto de coordenadas (2, 2) pertence a` circunfereˆncia;
(c) A reta de equac¸a˜o y = 2 e´ tangente a` circunfereˆncia.
(d) O raio da circunfereˆncia e´ igual a 4;
(e) A reta de equac¸a˜o y = x+ 2 passa pelo centro da circunfereˆncia.
19. A circunfereˆncia λ e´ tangente ao eixo y e a` reta r, possuindo equac¸a˜o x2+ y2− 3x− 2ky+k2 = 0. Determine
o valor de k sabendo-se que α = arctg3/4. resp.: k = 3.
20. Determine o raio e a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia sabendo-se que seu centro encontra-se na intersec¸a˜o entre
as retas r : 2x−y = 5 e s : x+2y = 5 e sabendo-se tambe´m que a reta t : x = −y tangencia tal circunfereˆncia.
resp.: (x− 3)2 + (y − 1)2 = 8.
21. Considere a circunfereˆncia α de equac¸a˜o x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0 e a circunfereˆncia β tangente aos eixos
coordenados e a α. A reta r passa pelos centros das duas circunfereˆncias e a reta s e´ perpendicular a r. Sabe-
se que o ponto central de α pertence a s. Determine a equac¸a˜o de s e o centro de β. resp.; s : y + x− 4 = 0
e β = (6− 4√2, 6− 4√2).
22. Obtenha o baricentro do triaˆngulo 4ABC e tambe´m a a´rea da regia˜o entre o triaˆngulo e o c´ırculo na figura.
23. Determine os valores inteiros de p tais que x2 + y2 − 6x + 4y + p2 = 0 represente uma circunfereˆncia.
resp.:p = ±1,±2,±3.
24. As circunfereˆncias x2 + y2 − (2a + b)x + 2ay + 15 = 0 e x2 + y2 − 3x − (a + 2b)y + 2 = 0 sa˜o conceˆntricas.
Determine a e b. resp.: a = 6 e b = −9
25. Determine b de modo que a reta y = 2x − 2b seja tangente a` circunfereˆncia unita´ria de centro na origem.
resp.: b =
√
5/2
26. Obtenha e equac¸a˜o das semicircunfereˆncias das figuras.
27. Represente geometricamente e determine o comprimento da corda comum a`s circunfereˆncias x2 + y2 = 4 e
x2 + y2 = 4y.
28. Determine o raio da circunfereˆncia inscrita em um triaˆngulo retaˆngulo de catetos 3 e 4.
29. Um engenheiro deseja construir um galpa˜o cuja frente mostramos no desenho. O telhado deve ser um arco
de circunfereˆncia, apoiado na viga AB por pequenas colunas de altura y1, y2..., y11, com espac¸amento de 2m
entre elas. Determine as alturas das colunas.
30. Determine,s e poss´ıvel, a intersec¸a˜o entre as circunfereˆncias:
(a) de raio 3, centrada na origem e a circunf. de raio 5 e centro em (-1,4).
(b) x2 + y2 − 4x+ 20y − 66 = 0 e x2 + y2 + 4x− 4y − 2 = 0.
31. Considere as retas tangentes a λ : x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 e no ponto P (9,−2). Determine as equac¸o˜es
das retas pelo ponto (2, 1) e paralelas a`s retas obtidas. resp.:3x− 4y − 2 = 0 e 4x+ 3y − 11 = 0.
32. Determine o comprimento da secante a` circunfereˆncia de centro (x− 2)2 + (y + 3)2 = 100 e que passa pelos
pontos (10,3) e (1,1).
33. Determine a equac¸a˜o da reta paralela a` reta tangente a` circunfereˆncia x2 − 2x+ y2 − 24 = 0 no ponto (1,5)
e que passa por (-3,-1). Qual a posic¸a˜o relativa entre esta reta e a circunfereˆncia?
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