Geometria_Analítica_-_Circunferência_-_Exercícios

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Matemática 3 Circunferência
Equação reduzida
1. Determine a equação reduzida da circun-
ferência de centro C e raio R nos seguintes
casos:
(a) C(4, 6) e R = 10
(b) C(7, 0) e R =
√
3
(c) C(0, 1) e R = 2
3
(d) C(0, 0) e R = 4
2. Obtenha o centro C e o raio R da circun-
ferência de equação:
(a) (x− 6)2 + (y − 2)2 = 49
(b) (x− 4)2 + y2 = 5
(c) (x+ 1)2 + (y + 2)2 = 16
25
3. Em qual das alternativas a seguir os
dois pontos pertencem à circunferência de
equação (x− 1)2 + (y + 5)2 = 25?
A. (5, 8) e (1, 3)
B. (−2,−1) e (−3,−4)
C. (6,−5) e (1,−1)
D. (4,−9) e (1, 0)
E. (0, 0) e (3, 2)
4. A circunferência de equação
(x− 5)2 + (y + 6)2 = 20
passa pelo ponto P (1, k). Determine os
possı́veis valores de k.
5. Determine o número real k para que a circun-
ferência de equação (x − 6)2 + (y − 8)2 = k
passe pela origem do sistema cartesiano de
eixos.
6. Escreva a equação reduzida da circun-
ferência representada no gráfico a seguir.
7. Determine os pontos de intersecção da cir-
cunferência (λ) (x − 3)2 + (y − 7)2 = 64 com
o eixo das ordenadas.
8. A circunferência representada abaixo tan-
gencia os eixos coordenados. Determine a
equação reduzida dessa circunferência.
9. (UFPB) Escreva as equações das circun-
ferências de raio R =
√
5 que passam pelo
ponto (2,−1) e têm centro sobre o eixo Ox.
10. Dada a circunferência λ de equação
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 100
e os pontos A(7, 10) e B(9, 8):
(a) mostre que A e B pertencem a λ.
(b) obtenha a equação da mediatriz r da
corda AB.
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(c) mostre que a o centro C da circun-
ferência λ pertence à mediatriz r da
corda AB.
11. Obtenha a equação reduzida da circun-
ferência λ que passa pelos pontos E(4, 2),
F (6,−2) e G(−2,−6).
12. Considere a equação (x−5)2+(y+1)2 = k−4,
nas variáveis x e y. Determine o(s) valor(es)
real(is) de k de modo que essa equação re-
presente:
(a) uma circunferência
(b) um ponto
(c) o conjunto vazio.
Equação geral
13. Aplicando o método da comparação, deter-
mine o centro C e o raio R da circunferência
de equação:
(a) x2 + y2 − 10x− 2y + 17 = 0
(b) x2 + y2 − 8x+ 6y + 19 = 0
(c) x2 + y2 − 14x+ 44 = 0
(d) x2 + y2 − 3 = 0
(e) 5x2 + 5y2 − 10x+ 10y − 10 = 0
14. Utilizando o método da redução, obtenha o
centro C e o raio R da circunferência de
equação:
(a) x2 + y2 − 6x− 2y − 26 = 0
(b) x2 + y2 + 4x− 8y + 19 = 0
(c) x2 + y2 + 10x+ 23 = 0
(d) 9x2 + 9y2 − 6x− 9y + 1 = 0
15. (Ufam) A equação x2 + y2 − 4x − 6y = 0 de-
termina, no plano cartesiano, um conjunto de
pontos equidistantes do ponto:
A. (−2,−3) B. (2, 0) C. (0, 3) D. (3, 2)
E. (2, 3)
16. (FGV) No plano cartesiano, a circunferência
que passa pelo ponto P (1, 3) e é concêntrica
com a circunferência x2+y2−6x−8y−1 = 0
tem a seguinte equação:
A. x2 + y2 + 6x+ 8y − 40 = 0
B. x2 + y2 − 3x− 4y + 5 = 0
C. x2 + y2 − 6x− 8y + 20 = 0
D. x2 + y2 + 3x+ 4y − 25 = 0
E. x2 + y2 − 3x+ 4y − 19 = 0
17. Obtenha a equação geral da circunferência
λ que passa pelos pontos A(3, 1) e B(6, 2),
cujo centro C pertence ao eixo das abscis-
sas.
18. Um ponto C da bissetriz dos quadrantes
ı́mpares é o centro de uma circunferência λ
que passa pelos pontos A(2, 8) e B(4,−2).
Obtenha a equação normal de λ.
19. Obtenha a equação geral da circunferência
λ que passa pelos pontos A(1, 3) e B(7,−5),
cujo centro pertence à reta r de equação y =
x− 5.
Reconhecimento de uma circunferência
20. Verifique, em cada caso, se a equação repre-
senta ou não uma circunferência.
(a) 5x2 + y2 + 6x+ 4y − 2 = 0
(b) x2 + 2y − 2y + 1 = 0
(c) x2 + y2 + 3xy + 2x = 0
(d) x2 + y2 + 6x+ 6y + 2 = 0
21. Para que valores reais de k a equação x2 +
y2 − 2x + 6y + k = 0, nas variáveis x e y,
representa uma circunferência?
22. A equação ax2 + 2y2 + bxy + 4x − 2y + c −
2 = 0, nas variáveis, x e y, representa uma
circunferência para que números reais a, b e
c?
Posição relativa ponto circunferência
23. Qual é a posição do ponto P em relação à
circunferência λ, em cada caso?
(a) P (4, 2) e (λ) (x− 3)2 + (y − 1)2 = 6
(b) P (4, 9) e (λ) x2 + y2 − 14y + 30 = 0
(c) P (10, 14) e (λ) (x− 5)2 + (y − 2)2 = 169
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24. Obtenha k, com k ∈ R, de modo que o poto
P (k + 2, 1) pertença à circunferência λ de
equação x2 + y2 − 8x+ 14 = 0.
25. Determine os valores reais de K para que
poto P (k, 3) seja interior à circunferência λ
de equação (x− 5)2 + (y − 1)2 = 20.
26. Para que valores reais de k o ponto P (2, k +
1) é exterior à circunferência λ de equação
x2 + y2 − 4x+ 6y + 4 = 0
27. Represente no plano cartesiano as soluções
(x, y) das inequações:
(a) (x− 6)2 + (y − 1)2 ≤ 4
(b) x2 + y2 − 4x− 4y + 7 < 0
(c) (x+ 4)2 + (y + 2)2 ≥ 25
(d) x2 + y2 − 6x− 2y + 1 > 0
28. Construa o gráfico cartesiano da região for-
mada pelos pontos (x, y) que são soluções
de cada sistema:
(a)
{
(x− 1)2 + (y − 2)2 ≥ 4
(x− 1)2 + (y − 2)2 ≤ 16
(b)
{
x2 + y2 ≤ 9
x ≤ 2
Posição relativa reta circunferência
29. Descreva a posição da reta s em relação à
circunferência λ, em cada um dos casos a
seguir:
(a) (s) 3x+ 4y + 19 = 0 e (λ) (x− 1)2 + (y −
2)2 = 25
(b) (s) 12x−5y−6 = 0 e (λ) x2+(y−4)2 = 9
(c) (s) y = x
4
+1 e (λ) x2+y2−10x+4y+12 =
0
30. Determine o raio da circunferência de centro
C(2, 3) e tangente à reta s de equação 5x +
12y + 3 = 0.
31. A reta s de equação kx + y + 1 = 0, sendo
k uma constante real, é tangente a uma cir-
cunferência λ de centro C(2, k) e raio
√
10.
Uma equação dessa circunferência é:
A. 4x2 + 4y2 − 16x− 12y − 11 = 0
B. x2 + y2 − 4x− 3y − 1 = 0
C. 4x2 + 4y2 + 8x− 12y + 3 = 0
D. x2 + y2 − 4x− 6x+ 3 = 0
E. 2x2 + 2y2 − 6x− 2y − 13 = 0
32. A equação 5x + y + m = 0, com m ∈ R,
representa um feixe de retas paralelas. Ob-
tenha as equações das retas desse feixe
de tangentes á circunferência λ de equação
(x− 1)2 + (y + 3)2 = 26.
33. Obtenha as equações das retas tangentes à
circunferência (λ) (x − 4)2 + (y − 2)2 = 10 e
paralelas á reta (s) 3x+ y − 2 = 0.
34. Obtenha as equações das retas paralelas à
reta s e tangentes à circunferência λ de cen-
tro C, representadas no gráfico.
35. Exiba os valores reais de n para que a reta r
de equação x−n = 0 seja tangente à circun-
ferência λ de equação x2+ y2− 12x+20 = 0.
36. Para que valores reais de k a reta r de
equação 5x− 12y+k = 0 é secante à circun-
ferência λ de equação (x−6)2+(y−2)2 = 39?
37. Determine os valores de k para que a reta s
de equação y − k = 0 tenha pelo menos um
ponto em comum com a circunferência λ de
equação (x− 3)2 + y2 = 4.
38. Considere o ponto P (3,−2) e a circun-
ferência (λ) (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 32.
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(a) Mostre que o ponto P pertence à circun-
ferência λ.
(b) Obtenha a equação da reta tangente á
λ no ponto P .
39. Dados o ponto P (0,−5) e a circunferência
(λ) (x− 1)2 + (y − 2)2 = 5:
(a) mostre que o ponto P não pertence à
circunferência λ.
(b) obtenha as equações das retas que pas-
sam por P e são tangentes à circun-
ferência λ.
40. Obtenha uma equação da reta s tangente à
circunferência λ representada no gráfico a
seguir.
Intersecção Reta Circunferência
41. Determine a intersecção da reta s com a cir-
cunferência λ nos seguintes casos:
(a) (s) x+ y − 6 = 0 e
(λ) (x+ 1)2 + y2 = 25
(b) (s) x+ y − 1 = 0 e
(λ) x2 + y2 − 2x− 4y + 3 = 0
(c) (s) x+ 3y − 4 = 0 e
(λ) (x− 4)2 + (y − 3)2 = 3
(d) (s) y − 5 = 0 e
(λ) x2 + y2 = 169
(e) (s) y = x+ 1 e
(λ) x2 + y2 − 4x− 6y + 11 = 0
42. A circunferência λ de centro C(1, 2) é tan-
gente à reta (s) x + 2y = 0. Determine
os pontos de intersecção de λ com a reta
(t) 4x− y = 0.
43. No gráfico abaixo, a reta s é secante à cir-
cunferência λ de centro C nos pontos A e B.
Determine as coordenadas desses pontos.
44. Calcule o comprimento da corda que a cir-
cunferência (λ) x2 + (y − 5)2 = 10 determinana reta s de equação x− y + 1 = 0
45. Calcule a distância do ponto P à circun-
ferência λ de centro C, representados no
gráfico abaixo.
(Nota: Lembre-se de que a distância entre
duas figuras geométricas é a medida do me-
nor segmento que liga uma figura à outra.)
46. No plano cartesiano a seguir o ponto C é o
centro da circunferência λ. Qual é o ponto da
circunferência λ mais distante da origem O?
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47. (UFG-GO) Dado o sistema de equações:{
x2 + y2 − 4x− 2y + 4 = 0
y = mx, m ∈ R
(a) Represente geometricamente, no plano
cartesiano, as equações do sistema
quando a reta y = mx passa pelo centro
da circunferência descria pela primeira
equação.
(b) Determine o conjunto de valores de
m para que o sistema admita duas
soluções.
48. Dadas a reta (s) y = 3 e a circunferência
(λ) x2 + y2 = 25:
(a) determine o conjunto s ∩ λ.
(b) represente no plano cartesiano a região
determinada pelos pontos (x, y) que são
soluções do sistema
{
y ≤ 3
x2 + y2 ≤ 25
49. (UFV-MG) Sabendo que o ponto (4, 2) é o
ponto médio de uma corda AB da circun-
ferência (x− 3)2 + y2 = 25, determine:
(a) a equação da reta que contém A e B.
(b) as coordenadas dos pontos A e B.
(c) a distância entre A e B.
50. (UFRJ) A reta y = x + k, k fixo, intercepta
a circunferência x2 + y2 = 1 em dois pontos
distintos, P1 e P2, como mostra a figura a se-
guir.
(a) Determine os possı́veis valores de k.
(b) Determine o comprimento do segmento
P1P2 em função de k.
Posição relativa duas circunferências
51. Descreva a posição relativa entre as circun-
ferências λ− 1 e λ2 nos seguintes casos:
(a) (λ1) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 25 e
(λ2) (x− 5)2 + (y − 2)2 = 169
(b) (λ1) x2 + y2 − 2y − 24 = 0 e
(λ2) (x+ 3)
2 + (y − 5)2 = 100
(c) (λ1) x2 + y2 = 5 e
(λ2) (x− 53)2 + (y − 6)2 = 20
(d) (λ1) x2 + (y − 3)2 = 1 e
(λ2) x
2 + y2 − 8x+ 7 = 0
(e) (λ1) x2 + y2 − 8x− 18y + 81 = 0 e
(λ2) (x− 6)2 + (y − 8)2 = 100
(f) (λ1) (x− 2)2 + (y − 1)2 = 94 e
(λ2) 4x
2 + 4y2 − 16x− 8y + 11 = 0
52. Considere as circunferências de equações
(λ1) (x− 1)2 + (y − 2)2 = 25 e (λ2) (x− 9)2 +
(y − 8)2 = k. Determine a constante positiva
k de modo que λ1 e λ2 sejam:
(a) tangentes.
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(b) secantes.
53. Obtenha as equações das circunferências
concêntricas de centro C(1, 0) e tangentes à
circunferência (λ) (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9.
54. Duas antenas de rádio emitem ondas a par-
tir de dois pontos distintos A e B. Cada onda
atinge a distância máxima de 20 km.
Em relação a um plano cartesiano horizon-
tal que contém {A,B}, em que a unidade
adotada nos eixos é o quilômetro, tem-se:
A(1, 2) e B(6, 10).
(a) Obtenha uma equação da onda de
circunferência máxima transmitida por
cada uma das antenas.
(b) Qual é o comprimento do segmento con-
tido na reta AB, que recebe sinal de
rádio das duas antenas?
Intersecção duas circunferências
55. Determine a intersecção das circunferências
λ1 e λ2, em cada um dos casos:
(a) (λ1) (x− 2)2 + y2 = 10 e
(λ2) (x+ 4)
2 + (y + 3)2 = 25
(b) (λ1) x2 + y2 − 2x+ 4y + 3 = 0 e
(λ2) x
2 + y2 − 10x− 4y + 11 = 0
(c) (λ1) x2 + (y − 1)2 = 2 e
(λ2) x
2 + y2 − 8x− 10y + 31 = 0
56. Calcule o comprimento da corda comum às
circunferências: (λ1) (x + 6)2 + (y − 4)2 = 25
e (λ2) (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 34.
57. Considere as circunferências secantes λ1 e
λ2 de equações (x − 2)2 + (y − 1)2 = 85 e
(x− 5)2 + (y + 2)2 = 37, respectivamente:
(a) Obtenha uma equação da reta r que
passa pelos pontos de intersecção de λ1
e λ2.
(b) Determine o ponto de λ2 mais distante
da reta r, obtida no item a.
GABARITO
1. (a) (x− 4)2 + (y − 6)2 = 100
(b) (x− 7)2 + y2 = 3
(c) x2 + (y − 1)2 = 4
9
(d) x2 + y2 = 16
2. (a) C(6, 2); R = 7
(b) C(4, 0); R =
√
5
(c) C(−1,−2);R = 4
5
3. D
4. k = −8 ou k = −4
5. k = 100
6. (x− 3)2 + (y − 2)2 = 25
7. (0, 7 +
√
55) e (0, 7 +
√
55)
8. (x− 4)2 + (y + 4)2 = 16
9. x2 + y2 = 5; (x− 4)2 + y2 = 5
10. (b) x− y + 1 = 0
11. (x− 1)2 + (y + 2)2 = 25
12. (a) qualquer número real k, com k > 4
(b) k = 4
(c) qualquer número real k, com k < 4
13. (a) C(5, 1); R = 3
(b) C(4,−3); R =
√
6
(c) C(7, 0); R =
√
5
(d) C(0, 0); R =
√
3
(e) C(1,−1); R = 2
14. (a) C(3, 1); R = 6
(b) C(−2, 4); R = 1
(c) C(−5, 0); R =
√
2
(d) C(1
3
, 1
2
); R = 1
2
15. E
16. C
17. x2 + y2 − 10x+ 20 = 0
18. x2 + y2 − 6x− 6y − 8 = 0
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19. x2 + y2 − 8x+ 2y − 8 = 0
20. (a) não
(b) não
(c) não
(d) sim
21. qualquer número real k, com k < 10
22. a = 2; b = 0; c < 9
2
23. (a) P é interior à circunferência λ
(b) P é exterior à circunferência λ
(c) P pertence à circunferência λ
24. k = 1 ou k = 3
25. qualquer número real k, com 1 < k < 9
26. qualquer número real k, com k < −7 ou k >
−1
27.
28.
29. (a) exterior
(b) secante
(c) tangente
30. 49
13
31. D
32. 5x+ y − 28 = 0 e 5x+ y + 24 = 0
33. 3x+ y − 24 = 0 e 3x+ y − 4 = 0
34. 2x− y − 8− 3
√
5 = 0 e 2x− y − 8 + 3
√
5 = 0
35. n = 10 ou n = 2
36. qualquer número real k, com
−13
√
39− 6 ≤ k ≤ 13
√
39− 6
37. qualquer número real k, com −2 ≤ k ≤ 2
38. (b) x− y − 5 = 0
39. (b)11x+ 2y + 10 = 0 e 2x− y − 5 = 0
40. 8x− 15y − 64 = 0
41. (a) {(2, 4), (3, 3)}
(b) {(0, 1)}
(c) {}
(d) {(12, 5), (−12, 5)}
(e) {(1, 2), (3, 4)}
42. (0, 0) e (18
17
, 72
17
)
43. A(2,−2); B(5,−1)
44. 2
√
2
45. 10
46. (4, 8)
47. (b) qualquer número real m, com 0 < m < 4
3
48. (a) {(−4, 3), (4, 3)}
49. (a) x+ 2y − 8 = 0
(b) A(8, 0); B(0, 4)
(c) 4
√
5
50. (a) qualquer número real k, com−
√
2 < k <√
2
(b)
√
4− 2k2
51. (a) λ1 é interior a λ2
(b) λ1 e λ2 são tangentes interiormente
(c) λ1 e λ2 são tangentes exteriormente
(d) λ1 e λ2 são exteriores
(e) λ1 é interior a λ2
(f) λ1 e λ2 coincidem
52. (a) k = 25 ou = 225
(b) qualquer número real k, com 0 < k < 25
53. (x− 1)2 + y2 = 1 e 9x− 1)2 + y2 = 25
54. (a) Antena A: (x− 1)2 + (y − 2)2 = 400;
Antena B: (x− 6)2 + (y − 10)2 = 400
(b) (40−
√
89) km
55. (a) {(1,−3), (1,−1)}
(b) {(2,−1)}
(c) ∅
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56. 2
√
17
57. (a) x− y − 2 = 0
(b)
(
5 +
√
74
2
,−
√
74
2
− 2
)
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