lista de Geometria e Algebra Linear.pdf

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Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
Primeira lista de GAAL
Professor: Luiz Carlos Gabriel Filho
1. Sejam as matrizes e vetores
A =


2 −3 0
1 4 6
5 −2 8

 B =


1 0 9
4 2 −1
−3 6 5

 x =


1
2
3

 y =


10
20
30


Calcule
a) A+B;
b) A · x;
c) A · B;
d) xTy;
e) xyT .
2. Suponha que A e B sejam matrizes de dimensa˜o 3 × 3 cada uma. Mostre que
(A+B)T = AT + BT .
3. Obtenha as soluc¸o˜es dos sistemas triangulares superior abaixo:
a)


6 −2 5
0 4 −3
0 0 7




x1
x2
x3

 =


19
3
−7

 ;
b)


7 0 −3 5
0 −1 6 2
0 0 4 −3
0 0 0 3




x1
x2
x3
x4

 =


−9
12
−3
5

 .
4. A matriz A abaixo invers´ıvel? Se for, determine sua inversa, com a, b e c ∈ R
A =


1 0 0
b 1 0
a c 1


5. Resolva a equac¸a˜o, na varia´vel x ∈ R∣∣∣∣∣ 2 −11 x
∣∣∣∣∣ = 0
6. Resolver o sistema linear

2x + y + 7z = 3
x + 3y + 2z = 5
5x + 3y + 4z = −5
7. O produto de matrizes quadradas e´ comutativo? Se for verdadeira esta afirmac¸a˜o,
prove-a. Sena˜o, exiba um contra-exemplo.
8. Seja A =
[
B 0
0 C
]
uma matriz de dimensa˜o 4 × 4, onde 0 a matriz nula de
dimenso 2 × 2, onde B e C tambe´m sa˜o matrizes de dimenso 2 × 2. Prove que
detA = detB · detC.
9. Sendo A e B duas matrizes de dimensa˜o igual a 3, mostre que
det(A+B) = det(A) + det(B).
10. Prove que a matriz [
2 −1
0 0
]
na˜o e´ invers´ıvel.
11. As matrizes abaixo sa˜o invers´ıveis? Em caso afirmativo, determine a inversa de
A e de B.
A =


2 −3 0
1 4 6
5 −2 8

 B =


1 0 9
4 2 −1
−3 6 5

