Apostila_EC_2022

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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO 
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 1 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
I – Conteúdo programático: 
- Matrizes e determinantes 
- Sistemas lineares 
- Espaços vetoriais. 
- Base e dimensão 
- Transformações lineares 
- Espaço com produto interno 
- Matriz de uma transformação linear. 
 
II – Objetivo geral: 
- Proporcionar ao aluno conhecimento básico sobre matrizes para que este possa de-
senvolver habilidades necessárias, a fim de dar continuidade aos estudos e poder 
trabalhar com mais segurança. 
 
III – Metodologia: 
- Estudo dirigido 
- Aulas expositivas / dialogadas 
- Exercícios de fixação 
 
IV – Avaliação: 
 
Listas de exercícios LE: Exercícios individuais e/ou em duplas. 
 
Provas Pi com i = 1, 2, 3: Provas especificas da disciplina. 
M =
5
*2321 LEPPP  datas das provas P1 em 14/04/22, P2 em 19/05/22 e P3 em 
30/06/22 (a depender do professor substituto). 
 
Prova substitutiva em 07/07/22 (a depender do professor substituto), substituindo 
a menor nota. 
 
Horário de atendimento: Terças feiras às 16 horas no Imperial, sala L17 ou Aquarela sa-
la B2 conforme melhor para os alunos. 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 2 
Estudo das matrizes 
 
 Chamamos de matrizes uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
Exemplo: 
 Tomando os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de 4 pessoas, temos: 
 Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 Assim obtemos a matriz: 












307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
 
I) Definição: Sejam m  1 e n  1 dois números inteiros. Uma matriz real m  n é uma dupla 
seqüência de números reais, distribuídos em m linhas (horizontal) e n colunas (vertical), for-
mando uma tabela que se indica por: 
 












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
 
Abreviadamente: Indicamos por A = (aij) m n a matriz A com m linhas e n colunas onde i indica a 
linha e j indica a coluna, podemos escrever ainda: (aij)1  i  m ou simplesmente (aij). 
 1  j  n 
 Exemplos: 
   1 e 103 ,
0
32
12
 ,
1041
852









 






x
x
 
Você pode escreve assim: 







1041
852
A ou 






1041
852
A ou 
1041
852
A 
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, assim podemos indicar: A = (aij) 23 
aij: termo geral, é o elemento que ocupa a i-ésima linha e j-ésima coluna 
Indicamos por Mm  n(ℝ) o conjunto das matrizes reais m  n 
Exemplo: Determinar a matriz A = (aij) 23 sendo aij = 2i + 3j –1 
Você não pode escreve assim: 
1041
852
, 
pois isso é notação de determinantes e não de matriz. 
 
 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 3 
II) Tipos de matrizes: 
1) Matriz quadrada: m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas. 
Indicação: M n (ℝ), dizemos que é uma matriz de ordem n. 
 
Exemplo: 






06
91
A 
 
Na matriz quadrada destacamos a diagonal principal e a diagonal secundária, a diagonal princi-
pal é composta pelos elementos aij para os quais i = j, a diagonal secundária é aquela composta 
dos elementos aij, para os quais j = n – i + 1. 
 
2) Matriz identidade: matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 
1 e os demais elementos são todos iguais a zero. Indicamos tal matriz por In. 
 
Exemplo: 











100
010
001
3I 
3) Matriz Diagonal 
É uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a 
zero. 











4
300
020
002
D 
4) Matriz linha: m = 1 
 
Exemplo: 
B = ( -2 ½ 0 4 ) 
 
5) Matriz coluna: n = 1 
 
Exemplo: 











3
5
6
A 
 
Exercícios 
 
1. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 
cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante 
i do dia j. 
35,6 36,4 38,6 36,0 38,0
36,1 37,0 37,2 40,5 40,4
35,5 35,7 36,1 37,0 39,2
 
 
 
  
 
Determine: 
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 
 
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2. Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no 
domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi 
dividida: 
4 1 4 5 5 3
S = 0 2 0 e D = 0 3 0
3 1 5 2 1 3
   
   
   
      
 
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. 
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Ber-
nardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada ma-
triz). 
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláu-
dio (primeira linha da matriz S). 
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? 
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 
 
3. Encontre a matriz A = (aij)2x2 tal que 
2 2
2
i i
A
j j
 
   
. 
4. Calcule a soma dos elementos da segunda coluna da matriz B = (bij)2x3, em que bij = 2i + j – 1. 
5. Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária 
da matriz A = (aij) de ordem 4, em que aij = i – j. 
6. Construa as matrizes: 
a) A = (aij)1x3, tal que aij = 2i – j . 
b) B = (bij)4x2, tal que 
, se 
, se ij
i j i j
b
i j i j
 
   
. 
c) C = (cij)3x3, tal que 
( 1) , se 
0, se 
i j
ij
i j
c
i j
  
 

. 
7. Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz 
A = (aij), em que aij representa quantas unidades do material j serão empregados para fabricar 
uma roupa do tipo i. 
5 0 2
0 1 3
4 2 1
A
 
   
  
 
a) Quantas unidades de material do tipo 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do ti-
po 2? 
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do 
tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 
 
III) Igualdade de matrizes 
 Considere as matrizes de mesmo tipo: A = (aij) e B = (bij). Se cada elemento de A for igual ao 
elemento correspondente (que ocupa a mesma posição) de B, as matrizes A e B são ditas iguais. 
Exemplo: As matrizes 
3 8
0 5
1 2
A
 
   
  
 e 
4 1 5 3
2 2 5 1
1 2 4 : 2
B
  
    
  
 
sãoiguais. 
 
 
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IV) Mais alguns tipos de matrizes 
 
 5) Matriz transposta (At ) 
Se A = (aij) m  n sua transposta será At = (bji) tal que bji = aij 
Exemplo: 






531
012
A  











50
31
12
tA 
6) Matriz simétrica 
É uma matriz quadrada A de ordem n > 0 natural, em que aij = aji, em outras palavras, é quando 
A = At. 
Exemplo: 













501
023
134
A 
7) Matriz anti-simétrica 
É uma matriz quadrada A de ordem n > 0 natural, em que aij = – aji, em outras palavras, é quando 
A = – At. 
Exemplo: 














053
502
320
A 
Exercícios: 
 
1. Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais: 
3
1 4 0
a b
A
c
 
   
 e 
2 5 1
4 3
x
B
y z
  
   
 
2. Determine a, b, x e y, sabendo que: 
2 3 1
2 0 7
x y a b
x y a b
     
       
 
3. Determine a transposta das matrizes: 
a) 
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
M
 
 
 
 
 
 
 b) A = (aij) quadrada de ordem 2 com aij = ij + 2. 
4. Dada a matriz A = 
1 2
3 4
 
 
 
, mostre que  ttA A . 
5. A matriz 
1 2 3
2 1
A x y z
z
 
   
 
 
 admite a transposta 𝐴𝑡 =
1 𝑥 2
𝑥 − 2 𝑦 1
3𝑦 6 − 𝑦 𝑧
. Nessas condições, cal-
cule x, y e z. 
6. Determine x para que a matriz 
20
4 1
x
M
 
  
 
 seja simétrica. 
 
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V) Operações com Matrizes 
 
1) Adição (A + B) 
Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m  n. A adição de A com B, indicada A + B, será a matriz C cujo 
termo geral é dado por: cij = aij + bij. 
 
Exemplo: Dadas as matrizes A = 
 3 4 5 
 1 3 0 
 
 
 
 e B = 
5 7 1
2 10 9
 
  
, calcule A + B. 
 
Propriedades: 
- Comutativa: A + B = B + A 
- Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
- Elemento neutro: Existe uma matriz O, chamada de matriz nula, pois é composta por zeros, 
tal que: 
A + O = O + A = A 
- Existência da matriz oposta: Dada uma matriz A Existe uma matriz B = –A, tal que: 
A + (–A) = O 
2) Subtração: 
 
A – B = A + (–B) 
Exemplo: Dadas as matrizes A = 
 3 4 5 
 1 3 0 
 
 
 
 e B = 
 5 7 1 
2 10 9 
 
  
, calcule A – B. 
Exemplo: Sendo 
3 2
1 5
 
   
A e 
2 0
4 3
 
   
B , calcule X, tal que X + A – B = 0. 
Exemplo: Dada a matriz A = (aij)3×3 na qual 
0, se 
1, se 
1, se 

 
 
ij
i j
a i j
i j
, calcule A – At + I3. 
Exercícios: 
 
1. Dada a matriz 
1 1 0
2 3 4
0 1 2
 
   
  
A , obtenha a matriz X tal que X = A + At. 
2. Considere as seguintes matrizes: 
A = (aij)2×3, definida por aij = i + j e B = (bij)2×3, definida por bij = i – j 
Determine o elemento c23 da matriz C = A + B. 
 
3. Sejam as matrizes 
1 2
3
 
  
 
y
A
x
 e 
2 1
0
 
  
 
y
B
y
. Se 
0 3
3 3
 
   
 
A B , determine a transposta de 
A. 
4. Dadas as matrizes 
2 5 1
0 3 6
2 1 7
 
   
  
A e 
4 5 0
1 3 8
6 9 1
 
   
   
B . 
a) Calcule At + Bt e (A + B)t. 
b) O que você pode observar nos cálculos do item a? 
 
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5. Sejam as matrizes A = (aij)2×2, com aij = 2i – j2 e B = (bij)2×2, com bij = aij + 1, encontre a matriz 
X de modo que: 
a) X – A + B = 0 b) X – At + Bt = 0 c) – A – X = – B 
 
3) Multiplicação de um matriz por um número 
 
Dados a matriz A = (aij)m n e um número real , o produto de  por A é a matriz real m  n dada 
por: 
 













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
.
21
22221
11211








 
 
Exemplo: Calcule 2.A sendo A = 





 0 3 1 
 5 4- 3 
. 
Propriedades: 
- ( . ) A =  ( A) 
- ( + ) A =  A +  A 
-  (A + B) =  A +  B 
- I A = A 
 
Exemplo: Sendo 
3 2 1
0 5 4
 
   
A e 
4 2 0
3 1 1
 
    
B , Dê a matriz X, tal que 2X + A – B = 0. 
 
Exercícios: 
 
1. Dadas as matrizes 
1 2 0
5 4 3
 
   
A e 
3 6 12
9 6 15
 
   
B , determine: 
a) – 2A 
b) 
1
3
B c) 
1
( )
2
A B d) −4𝐴 − 𝐵
 
2. Encontre o valor de x para que a igualdade 
2 8 105
2
21 1
   
      
x
x
 seja verdadeira. 
3. Resolva o sistema 
2
  
   
X Y A B
X Y A B
, sendo 
3
2
 
   
A e 
1
5
 
  
 
B . 
4. Calcule a matriz X sabendo que 
1 2
1 0
4 3
 
   
  
A e 
5 1 3
2 0 2
 
   
B e (X – A )t = B. 
4) Multiplicação de matrizes. 
Sejam A = (aij)m  n e a matriz B = (bij) n  p. O produto A . B (também indicado AB) é matriz C = (cij) 
m  p cujo termo geral cij é obtido somando-se a multiplicação ordenada dos elementos da i-ésima 
linha pela j-ésima coluna. 
 
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Observação (IMPORTANTE): Só definimos (ou só existe) o produto de duas matrizes A e B, 
quando o número de colunas da 1a for igual ao número de linhas da 2a . 
Am  n . Bn  p = Cm  p 
 
Exemplo: Calcular A.B e A.C sendo 
A = 





 0 3 1 
 5 4- 3 
 B = 












31
05
21
e C = 





 6 2 0 
7 5 2-
 
Propriedades: 
- A (BC) = (AB) C (associativa) 
- A ( B + C ) = AB + AC (distributiva à esquerda) 
- (A + B ) C = AC + BC (distributiva à direita) 
Obs. No geral AB  BA, mas se AB = BA dizemos que as matrizes são comutáveis. 
 
Exemplo: A.B ≠ B.A no exemplo anterior. 
 
Exemplo: Resolva a equação matricial AX = B, em que 
2 3
5 1
 
  
 
A e 
14
9
 
  
 
B . 
Exercícios: 
 
1. Efetue, quando possível: 
a) 
2 3 3
5 1 2
  
    
 
b) 
1 1
1 4 0
2 5
2 3 5
3 3
 
  
     
 
c)  
2
1 3 5 0
3
 
 
 
 
 
 
d) 
3 1 5 1 2
4 2 2 4 5
   
      
 
e)  
3
2 0 3 2
1
 
   
 
 
 
2. Sejam A = (aij)4  3 B = (bij) 3  4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectiva-
mente. Se AB = C , então qual é o elemento c32 da matriz C ? 
 
3. Seja A = (aij) de ordem 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = – 1 se i > j . Calcule A2. 
 
4. Dados 
3 2
5 1
 
  
 
A e 
0 1
3 0
 
  
 
B , calcule AB e BA. As matrizes A e B comutam? 
 
5. Considere a matriz 
1
0
 
  
 
a
A
b
. Determine a e b reais, tais que: 2
3 2
2
0 1
 
    
A A . 
 
Definição: Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, tam-
bém de ordem n, tal que: 
 
A.B = B. A = In 
 
Esta matriz B, caso exista, é única e chama-se inversa de A e indica-se por A–1. 
 
Então: A.A –1 = A –1.A = In 
 
Álgebra Linear – 2022 
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Exemplo: A matriz A = 





10
02
 é inversa de B = 





10
02
1
 , verifique isso. 
 
Obs: 1) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula, então a não é invertível. 
Prove isto. 
 
2) Se A e B são matrizes de ordem n, ambas invertíveis, então AB também é invertível e temos: 
(A B) –1 = B –1. A –1. 
 
Exemplo: Encontre duas matrizes invertíveis A e B de ordem 2 por 2 e demonstre a afirmação acima 
para esse caso particular. 
 
Determinação da Inversa. 
 
Para determinarmos a inversa de uma matriz utilizaremos um algoritmo. Para tanto definimos: 
 
Definição: dada uma matriz A entendemos por operações elementares com as linhas de A, qualquer 
uma das seguintes alternativas: 
a) permutar duas linhas de A 
b) multiplicar uma linha de A por um número diferente de zero 
c) somar a uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por um número. 
 
Se uma matriz B é obtida de A através de um número finito dessas operações, dizemos que B é 
equivalente a A, isto é, B  A 
Teorema: Uma matriz é invertível se e só se I  A. 
Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que transforma A em In, transformam In em 
A –1. 
 
O algoritmo que utilizaremos para determinar a inversa de uma matriz consiste em: 
1) colocar a matriz An e a matriz In lado a lado, separadas por uma reta 
2) utilizaremos as operações elementares visando transformar a matriz An na In. Essas opera-
ções serão aplicadas simultaneamente em An e em In. 
3) Quando transformamos An em In teremos transformado In em A –1. 
Exemplo: Verificar se as matrizes dadas são inversíveis e determinar sua inversa, caso exista. 
 
a) 











201
110
011
A b) 






10
02
B c) 











732
510
621
C 
 
Exercícios. 
 
1) Escrever a matriz A 22 e a matriz B22 sendo: 
 (aij) = – 2i + 3j e (bij) = i + j 
 
2) Utilizando as matrizes do exercício 1, calcule: 
a) X – 2 I = 3X –3 ( A – 2 B) 
b) –3 A + 2 B c) At – Bt d) A.B 
 
 
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3) a) Dada a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = 2i + j, obtenha as matrizes A e B, sendo B a transposta 
de A. 
b) Determine as matrizes C = 3A e D = AB. 
 
4) Verifique se a matriz 











814
312
201
A é invertível. Em caso afirmativo, determine A-1. 
 
4) Considere as matrizes de M3(ℝ): 
 











400
020
001
A e 











400
020
004
B 
determine B.A 
 
5) Sendo A e B do exercício anterior, determine X e Y de M3(ℝ) tal que: 
 





BAYX
BAYX2
 
 
Determinantes 
 
A cada matriz quadrada de ordem n, A = (aij) está associado um número real chamado determinan-
te de A, denotado por Det (A), ou A ou 
 
nnnn
n
n
 ... a a a
 ... a a a
 ... a a a
21
22221
11211

 
A função determinante é um instrumento indispensável para investigar e obter propriedades de ma-
trizes quadradas. 
 
1) Determinantes de ordem um e dois 
 
Define-se como segue os determinantes de ordem um e dois: 
 11a = a11 
 
11 12 
21 22
 
 
 
a a
a a
 = a11 a22 – a12 a21 
Assim, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, isto é, sendo A = (aij )1  1 temos que 
det (A) = a11 
 
Exemplos: Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
a)   24 
 
b) 





 3- 2 
4 5 
 
 
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2) Determinante de matriz de ordem 3 (Regra de Sarrus) 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 
 
a a a
a a a
a a a
 
 
A regra de Sarrus pode ser utilizada seguindo-se os passos: 
 
1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira 
 
2o passo: Fazemos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos 
obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal. 
Obs: o sinal dessa soma será multiplicado por +1, isto é, conserva-se o sinal da soma 
 
3o passo: Fazemos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos 
obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal 
Obs: está soma será multiplicada por –1, isto é o sinal da soma será trocado. 
 
Assim teremos que: 
 
333231
232221
13 1211
 
 
 
aaa
aaa
aaa
 = + (a11a 22 a33 + a 12a23a 31 + a13a 21 a 32) – (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33) 
 
Exemplo: Calcule o determinante das matrizes: 
 
A = 










 1 2 3-
2 1 4 
1- 3 2 
 B = 
 5 4 0 
 3- 3 1 
1 1 0 
 
 
3) Propriedades dos determinantes: 
 
P1) Quando uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) nula, o determinante dessa matriz será nulo 
Exemplo: 
 










 7 0 1- 
3- 0 2 
 15 0 3 
 
 
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo 
Exemplo: 
 










3 1 2 
 9 2 4 
 3 1 2 
 
 
 
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P3) Se duas filas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo 
Exemplo: 










 6 2 3 
 4 1 2 
2 4 1 
 
 
P4) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais 
Exemplo: 
 










 1 2 3-
2 1 4 
1- 3 2 
 
 
P5) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determi-
nante dessa matriz fica multiplicado por esse número 
Exemplo: 
 










 1 2 3-
2 1 4 
1- 3 2 
 
 
P6) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de 
sinal. 
Exemplo: 
 










 1 2 3-
2 1 4 
1- 3 2 
 
 
P7) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o 
determinante é igual ao produto dessa diagonal 
Exemplo: 
 










 1 0 0
2 1 0
1- 3 2
 
 
P8) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nu-
los, o determinante é igual ao produto dessa diagonal multiplicado por (-1) 
 
Exemplo: 










 0 0 3-
0 1 4 
1- 3 2 
 
 
 
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P 9) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que 
 
Det ( A . B) = Det (A) . Det (B) 
 
 Exemplo: 
 
A = 










 1 2 3-
2 1 4 
1- 3 2 
 B = 
 5 4 0 
 3- 3 1 
1 1 0 
 
 
P10) Como A . A –1 = I temos que det(A –1) =
Adet 
1
. 
 
P11) Se k ℝ, então det (k . A ) = k n . det A 
Exemplo: 
 
A = 




 3- 2 
4 5 
 e B = 










 1 2 3-
2 1 4 
1- 3 2 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
 a) A = 





 3 2 
 1 1 
 
 b) 










 1 1 0 
 0 1 2 
 1 3 1 
 
 
2) Ache os valores de k para os quais 
k
kk
24
= 0 
 
 
3) Ache o determinante de A = 









 
 1 4- 1
1- 1/2 3/4
1/3- 1 2/1
 
 
4) Calcule o determinante da matriz A de ordem 2 × 2, cujos elementos são: 
𝑎 = 𝑖 + 2𝑗, se 𝑖 ≥ 𝑗
𝑎 = 𝑖 − 𝑗, se 𝑖 < 𝑗
 
 
5) Resolva a equação 
2 5 1
5 4

x
x x
. 
 
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6) Resolva a inequação
3
14
4 2

x x
x
 
7) Dada a matriz 
2 1 1
3 1 2
1 1 0
 
   
  
A e a função f (x) = –x2 – x – 1, calcule 
1 
 
 A
f
D
. 
 
Determinantes e Matriz Inversa 
 
I) Inversa de uma matriz quadrada de ordem 2 
 
Já vimos que uma matriz quadrada A é invertível, isto é, admite inversa, (ou A é não singular) se 
A . B = B . A = I, sendo B = A –1 
 
Considere a matriz de ordem 2 A = 





 d c 
b a
. Se det A  0, a inversa de A se obtém: 
1) permutando os elementos da diagonal principal 
2) tomando os negativos dos outros elementos 
3) multiplicando a matriz por 1/  A  
 
Ou seja, A –1 = 







ac
bd
A ||
1
 
 
Exemplo: Determine a inversa da matriz A = 





3 1 
 5 2 
 
Exercício 
1. Calcule os determinantes e a matriz inversa caso exista; 
a) 
1 3
5 4
 
   
A b) 
2 5
2 0
 
  
 
A c) 
1 1
2 2
 
  
 
A 
 
III) Teorema de Laplace 
 
a) Menor complementar 
 
Considere uma matriz quadrada de ordem n. A = (aij) e denotaremos por Mij a sub-matriz quadrada 
de ordem (n – 1) de A obtida eliminando-se a linha i e a coluna j. 
O determinante de Mij (  Mij  ) é chamado menor relativo ao elemento aij de A . 
 
Exemplos: 
A = 





 a a
 aa
2221
1211 
 
 
B = 










 1 9 8 
7 6 5 
4 3 2 
 
b) Cofator 
 
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadra-
da de ordem n o número Aij tal que: 
 
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Aij = (– 1 ) i+j .  Mij  
 
Exemplos: Determine os cofatores das matrizes anteriores. 
 
c) Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada A = aij de ordem n  2 é igual à soma dos produtos obtidos 
pela multiplicação dos elementos de qualquer fila (linha ou coluna) por seus respectivos cofatores, 
ou seja, Det A = 

m
1i
ij Aa ij 
 Exemplos: Utilizando o teorema de Laplace, calcule o determinante das matrizes: 
 
A = 










6 5 0 
2 1 2-
4- 3 2 
 B = 












 3 2 0 1-
1 1 1- 3 
 0 2 0 0 
1- 4 3 2 
 
 
Exercícios 
 
2. Dada a matriz 
1 2 3
0 1 4
3 0 1
 
   
  
M , calcule det M pela regra de laplace. 
3. Calcule 
0 1 0 0
5 8 0 0
1 3 7 0
4 4 2 2

 
. 
4. Resolva as equações 
2
1 1 5 1
0 1
0
1 2 0 1
1 1 0 1

x x
 e 
2
0 4 0 0
3 3
0
6 3 4
0 7 0 5

x x x
x
 
 
Regra de Chió e Regra de Cramer 
 
1) Regra de Chió 
Esta regra permite, sob certas condições, abaixar de uma unidade a ordem de um determinante, faci-
litando seu cálculo. Para poder aplicar a regra de Chió precisamos ter uma matriz quadrada de or-
dem n  2, com aij = 1 
 
Procedimento: 
1) Eliminar a linha e coluna correspondente ao elemento aij = 1, dessa forma abaixamos a or-
dem da matriz A, obtendo assim uma nova matriz B de ordem n – 1 
2) De cada elemento da nova matriz B, subtraímos o produto dos elementos da linha e coluna reti-
rada, que estão na mesma direção do elemento considerado. Obtemos assim uma matriz C. 
3) Det A = (-1)i+j det C 
 
 
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Exemplo: 
 
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo pela regra de Chió 
 
 A = 










 6 1- 0 
5 2 3-
 4 2 1 
 
 
B = 
 1 -1 2 0
 2 -2 1 -1
 0 3 -2 1
-1 2 -3 -2
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
 
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
A = 










4- 1 5 
2 2 3 
1- 3 2 
 B = 
 3 -3 -4 0
 2 5 4 3
-4 0 2 -2
-5 3 0 -4
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule pela regra de Chio: 
a) 
1372
1473
521
 b) 
0331
2211
5321
1111


 c) 
210
752
301

 
3) Dadas as matrizes A = (aij)3x2 tal que 





jia
jia
ij
ij
 se ,0
 se ,1
 e B =(bij)2x3 tal que 





jib
jib
ij
ij
4 se ,0
4 se ,2
. Quanto vale det(AB) ? 
 
4) O valor de x tal que 1
112
001
11

x
 é: 
 
 
Sistemas Lineares e Matrizes 
 
1) Equação linear 
 
 Uma equação linear nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn, é uma equação que pode ser posta na forma 
padrão: 
 
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b 
 
Onde a1, a2, ..., an, b são constantes, ak é coeficiente de xk e b é a constante da equação. 
 
 
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Uma solução dessa equação é um conjunto de valores das incógnitas x1 = k1 , x2 = k2 , x3 = k3 , ..., 
xn = kn , ou simplesmente uma ênupla u = ( k1, k2, ..., kn) de constantes que levadas na equação a tor-
nam uma identidade. Isto é, 
 
a1 k1 + a2 k2 + ... + an kn = b, este conjunto satisfaz a equação. 
 
Exemplo: Resolver a equação 2x – 5y + 4z – 3t = 3 
 
2) Sistemas de equações lineares 
Estudaremos um sistema de m equações com n incógnitas que pode ser colocado na forma padrão: 
 









 
...........................................
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



 onde aij e bi são constantes 
 
Uma solução do sistema é um conjunto de valores da incógnitas, x1 = k1 , x2 = k2 , x3 = k3 , ..., xn = 
kn , ou simplesmente uma ê-nupla u = ( k1, k2, ..., kn) de constantes que é uma solução de cada uma 
das equações do sistema. O conjunto de todas as soluções é chamado conjunto solução ou solução 
geral do sistema. 
 
3) Sistema de Cramer 
 
Seja, 









 
...........................................
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



 
um sistema linear S de m equações com n incógnitas sobre ℝ. Se formarmos as matrizes: 
 













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
, 













nx
x
x
X

2
1
 e 













mb
b
b
B

2
1
 
de tipos m  n, n  1 e m  1, respectivamente, então S poderá ser escrito soba forma matricial: 
 AX = B, onde A recebe o nome de matriz dos coeficientes de S. 
 
 Um sistema de Cramer é um sistema linear de n equações com n incógnitas cuja matriz dos coe-
ficientes é invertível. 
 
Se AX= B é um sistema de Cramer, como AX = B  X = A–1B , então esse sistema é compatível 
determinado e sua única solução é dada por A-1B. 
 
Exemplo: Verificar se o sistema é um sistema de Cramer, caso afirmativo resolver o sistema. 
 
 
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







0 2 
1 
1 
zx
zy
yx
 
 
Classificação de um sistema linear: 
 
1) Sistema Compatível (ou possível): é aquele para o qual existe alguma solução. 
 
Os sistemas possíveis podem ser de dois tipos: 
a) possível determinado: é o que admite apenas uma solução. 
b) possível indeterminado: é aquele que admite infinitas soluções. 
 
2) Sistema incompatível (ou impossível): é o sistema que não possui solução. Seu conjunto 
solução é vazio. 
 
3) Sistema homogêneo: é aquele no qual todos os bi são iguais a zero. Neste caso, a ênupla 
(0, 0, ..., 0) é a solução desse sistema. Esta solução chama-se solução trivial. 
 
2) Regra de Cramer 
 
Vimos no estudo de Sistemas Lineares (SL), que m sistema pode ser escrito na forma matricial. 
Vamos considerar um sistema com n equações lineares com n incógnitas, tal sistema pode ser es-
crito na forma AX = B sendo: 
A: n  n a matriz dos coeficientes 
B: n  1 a matriz dos termos independentes (vetor coluna) 
X: n  1 a matriz das variáveis (vetor coluna) 
 
Teorema: (Regra de Cramer) 
O sistema acima tem solução única se e somente se det A  0. E a solução única é dada por: 
 
x1 = 
D
Dx1 x2 = 
D
Dx2 ...................xn = 
D
Dxn 
 Onde: 
D: é o determinante da matriz A 
Dxi = é o determinante da matriz A’, sendo A’ obtida substituindo-se a coluna dos coeficientes da 
variável xi, pelos termos constantes. 
Exemplo: 
1) 





 1 5y 3x 
 7 3y -2x 
 2) 








 4 3z -2y - x 
 1 z y x 
 3 z -y 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1. Resolva os sistemas abaixo usando a regra de Cramer. 
 
1) 








yxz
yzx
zxy
213
5823
123
 
 
S = {(3, -1, 2)} 
2) 











23222
8263
143
552
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
S = {(2, 1/5, 0, 4/5)} 
 
3) 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0
2𝑎 + 5𝑑 = 4
−2𝑎 − 2𝑑 = −1
 4𝑏 + 3𝑑 = 5
 
1 1
, , 1,1
2 2
S
      
  
 
3) Resolva as equações matriciais. 
2 1 9
1 3 13
x
y
    
         
 
1 4 7 2
2 3 6 2
5 1 1 8
x
y
z
    
        
        
 
 
4) Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando o método de Cramer: 
 
a) 








2z 
42 
1 2
yx
zy
zyx
 b) 








13343
53 2
3 2
zyx
zyx
zyx
 
 
5) Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A– 1 = At 
Verifique se a matriz a é ortogonal. 







22
21
A 
6) Determinar o valor de a  ℝ a fim se que a matriz real A abaixo seja inversível em M3(ℝ). 











a
A
21
212
111
 
 
7) Resolva o seguinte sistema linear, verificando primeiro se o sistema é um sistema de Cramer : 
 
 a) 








2 
42 
12
zyx
zy
zyx
 b) 





0
4
yx
yx
 
 
 
Resolução de Sistemas Lineares por Escalonamento: 
 
Sistemas de equações lineares nas mesmas incógnitas são equivalentes se admitem o mesmo 
conjunto solução. Uma forma de se obter um sistema equivalente a um sistema dado, com equações 
L1, L2, ...Ln é aplicar uma seqüência das operações elementares, como fizemos com matrizes. 
 
 
Álgebra Linear – 2022 
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Teorema: Seja um sistema (B) de equações lineares, obtido de outro sistema (A) de equações linea-
res por uma seqüência finita de operações elementares. Então A e B tem o mesmo conjunto solução. 
 
Nosso método de resolução do sistema consiste de dois passos: 
 
1o) Use as operações elementares para reduzir o sistema a um sistema equivalente mais simples (em 
forma triangular ou escalonada) 
 
2o) Use a retro-substituição para obter a solução do mais simples 
 
Exemplo: 








113 2 3 
2221115
44 2 
zyx
zyx
zyx
 
 
Observação: considerando o sistema na forma escalonada, podemos ter uma das situações: 
 
a) o número de equações é igual a número de incógnitas, então o sistema tem uma única solu-
ção 
 
b) o número de equações é menor que o número de incógnitas, então o sistema é compatível 
mas indeterminado. Neste caso, atribuímos valores arbitrários para as variáveis livres, ob-
tendo assim uma solução geral em termos dessas variáveis. 
 
Exemplo: 





 24 
5334
tz
tzyx
 
 
Exercícios 
 
1) Resolver utilizando o escalonamento os seguintes sistemas: 
 
a) 








3z 34
14 3
2225
yx
zyx
zyx
 b) 





 02
13
tzyx
tzyx
 c) 








32
2 
1 
zyx
zyx
zyx
 
 
2) Resolva os SL utilizando escalonamento. 








12y 3
3 2 
4z 32
zx
zyx
yx
 S = { ( 2, -1, 3)} 
 








223
12
32
zyx
zyx
zyx
 S =  
 
 
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







322
122
6
tzyx
tzyx
tzyx
 S = 
1 5
, 3, , |
2 2
t t
t t t
      
  
 
 
 
3 0
2 1
2 2 2
x y z
x y z
x y z
  
   
   
 S =  
 
 








6 43
4232
2 
zyx
zyx
zyx
 S = {(2 – 5z, 4z, z) | z  } 
Sistemas Homogêneos. 
 
São sistemas nos quais as constantes (b) são iguais a zero. 
Em um sistema homogêneo temos duas possibilidades para a solução: 
 
1) o número de equações ( r ) é igual ao número de incógnitas (n), no sistema dado ou no esca-
lonado. Neste caso o sistema tem apenas a solução zero 
2) r < n. Neste caso o sistema tem uma solução não zero. 
 
Exemplos: 
 








0532
023
032
wzyx
wzyx
wzyx
 
Matriz aumentada 
 
Um SL pode ser resolvido por escalonamento utilizando-se a matriz aumentada do sistema. 
 
Matriz aumentada: é a matriz cujas linhas correspondem a uma equação do sistema e cada coluna 
corresponde ao coeficiente de uma incógnita, com exceção da última coluna que corresponde às 
constantes do sistema. 
 
Exemplos: 
 
2 4 5
2 2 3 3
3 3 4 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
   
    
    
 S = {( – 9 – y + 10t, y, – 7 +7t, t )} 
 
 
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







5475
3332
432
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
 S =  
 








523
452
32 
zyx
zyx
zyx
 
 
Exercícios: 
 
1) Considere a equação linear x + 2y – 3z = 4. Verifique se u = (8, 1, 2) é solução da equação. 
 
2) Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo nas incógnitas x, y e z tenha: 
 
i) solução única 
ii) nenhuma solução 
iii) uma infinidade de soluções 
 








23 
332
1 
zkyx
kzyx
zyx
 S = i) k  2, k  3 ii) k = – 3 iii) k = 2 
 
3) Resolva o SL utilizando a matriz aumentada 
 








7643
3532
242 
zyx
zyx
zyx
 S =  
 
4) Resolva o sistema: 
 








04 3
0252
032 
zyx
zyx
zyx
 S = {(0, 0, 0)} 
 








0223
0 42
0 
zyx
zyx
zyx
 S = {(0, 0, 0)} 
Forma escada de uma matriz 
 
Definição: Uma matriz m  n é linha reduzida à forma escada se: 
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1; 
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus 
outros elementos iguais a zero. 
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. 
4. Se as linhas 1, 2, ..., r são as linhas não nulas, se o primeiro elemento não nulo da linha i 
ocorre na coluna ki, então k1 < k2 < ... < kr . 
 
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Exemplos: 
1. A matriz 











0100
0110
0001
A 
não está na forma escada, pois não satisfaz 2. 
 
2. A matriz 











000
301
120
B 
não está na forma escada pois não satisfaz 1 e 4. 
3. A matriz 













21000
00000
10310
C 
não satisfaz 1. e 3. por isso não está na forma escada. 
 
4. A matriz 









 

00000
21000
20310
D 
Está na forma escada, pois satisfaz todas as propriedades acima. 
 
Teorema: Toda matriz Am  n é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma es-
cada. 
 
Definição: Dada uma matriz Am  n , seja Bm  n a matriz linha reduzida à forma escada linha 
equivalente a A. O posto de A denotado por p é o número de linhas não nulas de B. A nulidade 
de A é o número n – p. 
Exemplos: 
 
1. Encontrar o posto e a nulidade de A. 












1121
5301
0121
A 
Solução: Vamos escalonar a matriz: 






















 

























2
5100
2
5010
2
5001
20800
2
5210
5301
1040
2
5210
0121
1040
5420
0121
A 
Assim, p = 3 e n – p = 4 – 3 = 1. 
 
 
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2. Encontrar o posto e a nulidade de B, onde 
 















8164
151
241
312
B 
Solução: Vamos escalonar novamente: 
123 e 2
000
000
9110
91401
000
190
190
241




























 pnpB 
 
Resolução de Sistemas Lineares usando matriz na forma escada: 
 
Caso geral: Considere um sistema com m equações e n incógnitas x1, x2, ... , xn . 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
 
n n
n n
m m mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    




 
 
cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números reais ou complexos. 
Teorema: 
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o pos-
to da matriz ampliada ou aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. 
ii) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n, a solução será única. 
iii) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incóg-
nitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. 
 Vamos usar a notação: 
Pc posto da matriz dos coeficientes; 
Pa posto da matriz ampliada ou aumentada; 
Se Pc = Pa denotamos simplesmente por P. 
 
Exemplos: 
 
1. Considere a matriz aumentada 











2100
2010
3001
A 
 
veja que Pc = Pa = 3 e que m = 3, n = 3 e p = 3. Então o sistema tem solução única e x1 = 3, 
x2 = –2 e x3 = 2. 
 
2. Considere agora a matriz aumentada 
 
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








6510
10701
B 
 
veja que Pc = Pa = 2 e que m = 2, n = 3 e p = 2. Temos um grau de liberdade x1 = – 10 – 7x3 e 
x2 = – 6 – 5x3. Assim o sistema possui infinitas soluções. 
 
3. Considere a matriz aumentada 













2000
6510
10701
C 
veja que Pc = 2 e Pa = 3 e que m = 3, n = 3. O sistema é impossível, não existe solução. 
 
4. Considere a matriz aumentada, 









 

00000
41710
1021001
D 
veja que Pc = Pa = 2 e que m = 3, n = 4 e p = 2. Temos dois graus de liberdade 
x1 = – 10 + 10x3 + 2x4 e x2 = 4 – 7x3 – x4. Assim o sistema possui infinitas soluções. 
 
5. Resolva o sistema, 





023
02
tzyx
tzyx
 
Solução: 
 
Matriz associada aumentada, 


















 01210
015012211
01210
01121
12202131
01121 lll
lll
 
 











tzy
ztx
tzy
tzx
2
5
02
05
 
 
 Observe que [ –5 2 1 0 ] e [ 1 –1 0 1 ], são soluções do sistema obtidas da seguinte forma: 
i) A primeira fazendo z = 1 e t = 0; 
ii) A segunda fazendo t = 1 e z = 0 
são as soluções básicas pois geram todas as outras, aqui temos grau de liberdade 2. 
O conjunto solução é: 
S = {(x , y , z , t ) | x = t – 5z e y = 2z – t }. 
Ou S = {( t – 5z , 2z – t , z , t ) | t   e z  } 
6. Resolver o sistema, 








03
0262
03
zyx
zyx
zyx
 
Solução: 
 
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7. Resolver o sistema, 





323
12
tzyx
tzyx
 
Solução: 
 
Matriz associada, 


















 21210
315012211
21210
11121
12232131
11121 lll
lll
 
 











22
35
22
35
tzy
tzx
tzy
tyx
 
 
Compare com o exemplo 5 e note que esta solução é a soma da solução daquele sistema que é 
homogêneo com uma solução particular (–3, 2, 0, 0) deste sistema. 



































































0
0
2
3
1
0
1
1
0
1
2
5
22
35
tz
t
z
tz
t
t
z
y
x
 
 
Exercícios: 
 
1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos siste-
mas. 
2 3 11
4 3 2 0
 6
3 4
x y z
x y z
x y z
x y z
  
   
  
   
 
2. Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2, que estão na forma escada reduzida por linhas. 
 
3. Reduza as matrizes á forma escada reduzida por linhas. 
a) 
1 2 3 1
2 1 2 3
3 1 2 3
  
  
  
 
 
b) 
0 1 3 2
2 1 4 3
2 3 2 1
 
  
  
 
 
c) 
0 2 2
1 1 3
3 4 2
2 3 1
 
 
 
 
  
 
4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3. 
 
5. Dado o sistema 
3 5 0
2 3
5 0
x y
x z
x y z
 
  
   
 
escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a forma escada reduzida por linhas, para 
resolver o sistema original. 
 
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6. Determine k, para que o sistema admita solução. 
4 3 2
 5 4 0
 2 
x y
x y
x y k
  
  
  
 
7. Encontre todas as soluções do sistema 
 3 2 3 7 14
2 6 2 5 2
 3 2 1
x y z t w
x y z t w
x y z w
    
      
     
 
 
8. Explique porque a nulidade de uma matriz nunca é negativa. 
 
9. Resolva os sistemas a seguir achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e 
dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o 
seu grau de liberdade. 
a) 
 4
2 5 2 3
x y z
x y z
  
   
 
b) 
3 2 4 1
 3
 3 3
3 3 5 0
 1
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
  
       
   
   
 
Vetores 
 
 A cada par ordenado de números reais (x, y) está associado um ponto do plano, além disso, po-
demos associar também ao par (x, y) uma seta com comprimento, sentido e direção. 
 
 
Temos assim a seguinte: 
 
Definição: Um vetor no plano é um par ordenado de números reais (x , y) e a seta a representação 
gráfica do vetor. 
 
Exemplos: 
1 – A seta F da figura abaixo que pode ser imaginada como sendo uma força de in-
tensidade igual a cinco unidades, aplicada no ponto O é a representação do vetor 








2
1
5,
2
3
5 . 
 x 
 y 
 
 (x , y) 
 
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 Como se vê F fica determinado pelo par 






2
5
,
2
35 que equivale dar a direção e o 
sentido e a intensidade de F. 
 O comprimento da seta que representa um vetor ),( 11 yxu 

, chama-se norma do 
vetor 

u e se representa por 

u cujo valor real é 22 yxu 

. 
Exemplo: O módulo do vetor )3,2(

u é 
1332 22 

u . 
Os vetores )3,2(

v e )1,1(

w . 
 
Possuem comprimentos dados por: 
 139432 22 

v e 2111)1( 22 

w 
chamadas de normas dos vetores )3,2(

v e )1,1(

w . 
 Um vetor pode ser representado por uma seta que não parte necessariamente da 
origem, isto é, pode ser dado por dois pontos. 
 Exemplo: 
 Os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) determinam o vetor 
),(),(),( 12121122 yyxxyxyxAB 

 
 O 
 
F 
30° 
x 
 y 
 
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 Veja que as duas setas da figura acima têm o mesmo módulo, direção e sentido, 
logo qualquer uma das duas representa o vetor 

AB . 
 O estudo em ℝ3 é feito de modo análogo ao do plano. 
 
Exercício 
 
1º) Represente graficamente os vetores: 
a) )3,1(

v c) 






2
1
,5v 
b) )3,1( 

v d) )5,4( e )3,1( sendo BAAB

 
Calcule o comprimento de cada um deles, isto é, o módulo de cada um deles. 
Vetores iguais: Dois vetores 

vu e são iguais se possuem mesmo módulo, direção e 
sentido. 
Exemplo: )3,2(

u e 

 ABv onde A = (0,3) e B = (2,6) e 

 CDw onde C = (2,1) e 
D = (4,4). y 
 x 
Vetores opostos: 

vu e são opostos se possuem mesmo módulo, mesma direção e sen-
tidos contrários. 
 
Vetor unitário: é aquele de módulo igual a um. 
y 
 
 B 
 
 v 
 D 
 
 A u 
 w 
 
 C 
x 
 
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Exemplo: )0,1(

u pois 1

u . 
Versor: Dado o vetor 

u , seu versor é o vetor 

v que tem mesma direção e sentido de 
 

u mas seu módulo é um. 
Exemplo: 




u
u
v é o versor de 

u , pois 1





u
u
u
u
v e possui mesmo sentido e 
direção de 

u . Assim, 

 uv v . 
Soma de vetores 
Se v = (a,b) e w = (c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a + c , b + d) 
Propriedades da soma de vetores 
 I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de ℝ2: 
 v + w = w + v 
 II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de ℝ2: 
 u + (v + w) = (u + v) + w 
 III) Elemento neutro: Existe um vetor O = (0,0) em ℝ2 tal que para todo vetor u de ℝ2, se tem: 
 O + u = u 
 IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de ℝ2, existe um vetor – v em ℝ2 tal que: 
 v + ( – v ) = O 
Diferença de vetores 
Se v = (a,b) e w = (c,d), definimos a diferença entre v e w, por: v – w = ( a – c , b – d ) 
 Produto de um escalar por um vetor 
Se v = (a , b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como: 
c.v = (ca ,cb) 
Propriedades do produto de escalar por vetor 
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: 
 
 
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 1 v = v 
 (k c) v = k (c v) = c (k v) 
 k v = c v implica k = c, se v for não nulo 
 k (v + w) = k v + k w 
 (k + c)v = k v + c v 
 Exemplos: 
 
1º) Vamos usar a forma algébrica para mostrar as propriedades da soma. 
Sejam ),( 11 yxu 

, ),( 22 yxv 

 e ),( 33 yxw 

 
I – 

 uvyyxxyyxxvu ),(),( 12122121 
II – 
)(),(),( 
),(),(),()(
323211
321321332121




wvuyyxxyx
yyyxxxyxyyxxwvu
 
III – Seja )0,0(

O 
 

 uxxxxxxOu ),()0,0()0,0(),( 212121 
 

 uxxxxxxuO ),()0,0(),()0,0( 212121 
IV – 

 Oyyxxyxyxvv )0,0())(),((),(),()( 22222222 
 Obs: Com relação ao produto de k ℝ pelo vetor 

v qualquer, podemos dizer que sendo 

 O v 
sempre é possível escrever 

 ukv se 

u e 

v são colineares. Sendo assim, se você tem um vetor 
0 

v , qualquer vetor 0 

u colinear a 

v é obtido através do produto 

vk , k ℝ conveniente. 
Dizemos também que 

u tem mesma direção e sentido de 

v se k > 0 e mesma direção mas com 
sentido opostose k < 0. 
Exemplo: Seja )2,1(

v . Tomando k = 5, obtemos )10,5()2,1.(55 

vu , note que 

u tem 
mesma direção e mesmo sentido de 

v . 
 Já (-5,-10)5.(1,2)- 5- 

vw tem mesma direção e sentido contrário ao de 

v , porém 

u e 
 

w são colineares com 

v . 
(Faça uma figura para compreender melhor esta propriedade) 
Além disso, podemos dizer que o módulo de 

v é 

 ukv , pois: 





ukxxkxkxkkxkxkxkxxxkukv
2
2
2
1
2
2
22
1
22
)2(
2
)1()2,1()2,1(
 
Exercícios 
 
1) Determine x para que se tenha 

CDAB , sendo A(x,1), B(4,x + 3), C(x, x + 2) e D(2x, x +6). 
 
2) Encontrar números reais K1 e K2 tais que 
 
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
v = K1

u + K2

w 
sendo 

u = (–1, 2), 

v = (2, 3) e 

w= (1, 2). 
3) Determinar o vetor 

w na igualdade 
3

w + 2

u = 

 wv
2
1
, 
sendo dados 

u = (3, –1) e 

v = (–2, 4). 
4) Verifique se os vetores 

u e 

v abaixo são paralelos: 
a) 

u = (– 1, 2, – 4 ) e 

v = ( 24 ,22 ,2  ) 
b) 

u = ( 2, – 5, 8) e 

v = (6, – 15, 30 ). 
5) Escreva os vetores 

u e 

v acima como combinação linear dos vetores da base canônica 



  kji , , . 
6) Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o módulo do vetor 

AB seja 5 . 
 
7) Dados os pontos A(2, 3) e B(5, 4), determine um ponto C tal que 

AC seja paralelo ao vetor 

u = (2, 1) e 

 ABAC . 
Espaços vetoriais 
 
Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, que a 
cada dois vetores u e v de V associa um vetor w = u + v em V e multiplicação por escalar que a ca-
da b real e u em V associa um vetor b.u em V. Tais operações satisfazem as 8 propriedades a seguir: 
I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de ℝ2: 
 v + w = w + v 
 II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de ℝ2: 
 u + (v + w) = (u + v) + w 
 III) Elemento neutro: Existe um vetor O = (0,0) em ℝ2 tal que para todo vetor u de ℝ2, se tem: 
 O + u = u 
 IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de ℝ2, existe um vetor – v em ℝ2 tal que: 
v + ( – v ) = O 
 V) 1 v = v 
 
 VI) (k c) v = k (c v) = c (k v), k v = c v implica k = c, se v for não nulo 
 
 VIII) k (v + w) = k v + k w 
 
Álgebra Linear – 2022 
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IX) (k + c)v = k v + c v 
 
Portanto, pelo que vimos acima o conjunto dos vetores tanto do plano quanto do espaço constituem 
espaços vetoriais. 
Outros exemplos de espaços vetoriais 
 
10. O conjunto dos vetores do espaço V =  Rxxxx i );,,( 321 é evidentemente um espaço veto-
rial real, verifique isto. 
11. O conjunto das matrizes V = M (2 , 2) = 












Rdcba
dc
ba
,,,: com soma e produto por 
escalar usuais é um espaço vetorial. 
12. O conjunto P2 =  Raxaxaaxp i  |)( 2210 dos polinômios de grau 2 é um espaço 
vetorial. 
Exercícios 
 
1. No conjunto V =  Ryxyx ,);,,( definimos “adição” assim: 
(x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , 0) 
e multiplicação por escalares como no ℝ2, ou seja, 
a.(x , y) = (a.x , a.y). 
Nessas condições V é um espaço vetorial sobre ℝ? Por quê? 
2. O conjunto M(2,2) = 












Rcba
cb
ba
,,: das matrizes simétricas é um espaço vetorial? Justifi-
que. 
 
3. O conjunto V = }|)({ 10 Raxaaxp i  dos polinômios reais de grau 1 é um espaço vetorial? 
Justifique. 
Subespaços vetoriais 
 
Definição: Dado um espaço vetorial V real, um subconjunto W de V, não vazio, será um subespaço 
vetorial de V, se: 
i) Para quaisquer u, v  W tivermos u + v  W. 
ii) Para quaisquer a  ℝ, e u  W tivermos a.u  W. 
 
Exemplos: 1) O conjunto W = {(x , 0) | x  ℝ} subconjunto de ℝ2 é um subespaço vetorial de ℝ2. 
 
2) V = M (2, 2) e W o subconjunto das matrizes 2 x 2 triangulares superior é um subespaço vetorial 
de V. 
 
3) O conjunto W = {(x , y) | x, y  ℝ, x = y} é um subespaço vetorial de ℝ2. Observe que neste 
caso W é geometricamente uma reta passando pela origem. 
 
4) Já o conjunto W = {(x , y) | x, y  ℝ, x = y + 1} representa uma reta do ℝ2 mas não é subespaço 
de ℝ2, veja que ela não passa pela origem. 
5) Qualquer reta do plano que passa pela origem é um espaço vetorial do plano. 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1. Dados os vetores 

u = (1, 2, 3), 

v = (– 2, 3, 0) e 

w = (1, 1, 1) é possível encontrar números 
reais k1, k2 e k3 tais que (5, 4, 3) = k1. 

u + k2. 

v + k3. 

w ? Se sim, determine k1, k2 e k3 . 
 
2. Mostre que as matrizes simétricas de ordem 2 formam um subespaço vetorial do espaço M(2,2). 
 
3. Mostre que o conjunto W =  ( , , ) | 2x y z z x y  é um subespaço de V = ℝ3 . 
 
Exercícios de revisão 
 
1. Calcule o valor do determinante da seguinte matriz, usando Laplace. 
 
A = 














1332
1132
2011
0201
 
 
2. Calcule o seguinte determinante usando a regra de Chió. 
 
4312 
3114 
3102
4321 



D 
3. Determine os valores de a e b para que o sistema: 
 








0
2
02
zayx
bzyx
zyx
 
a) tenha solução única; 
b) tenha infinitas soluções; 
c) não tenha soluções. 
Utilizando Regra de Cramer. 
1. Dados os vetores 

u = (1, 2, 3), 

v = (– 2, 3, 0) e 

w = (1, 1, 1) é possível encontrar números 
reais k1, k2 e k3 tais que (5, 4, 3) = k1. 

u + k2. 

v + k3. 

w ? Se sim, determine k1, k2 e k3 . 
 
2. Mostre que a matrizes simétricas de ordem 2 formam um subespaço vetorial do espaço M(2,2). 
 
Combinação linear 
 
Definição: Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v1, v2, v3, .... , vn  V e a1, a2, a3, ... , an 
números reais (ou complexos). Então, o vetor 
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 35 
é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, v2, v3, .... , vn. 
 
 Uma vez fixados vetores v1, v2, v3, .... , vn em V , o conjunto W de todos os vetores v que são 
combinação linear destes, é um subespaço vetorial. W é chamado subespaço gerado por v1, v2, v3, 
.... , vn e usamos a notação 
W = [v1, v2, v3, .... , vn ] 
Exemplos 
 
1) V = ℝ3, v  V , v  0. 
Então [v] = av | a  ℝ, isto é, [v] é a reta que contém o vetor v 
 
2) Se v1, v2  ℝ3 são tais que v1  v2 para todo   ℝ, então [v1, v2] será o plano que passa pela 
origem e contém v1 e v2. 
 
observe que se v3  [v1, v2 ], então [v1, v2, v3 ] = [v1, v2 ], pois todo vetor que pode ser escrito como 
combinação linear de v1, v2 e v3 é uma combinação linear apenas de v1 e v2 (pois v3 é combinação 
linear de v1 e v2). 
 
3) V = ℝ2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). Logo V = [v1, v2] pois, dado v = (x, y)  V, temos 
(x, y) = x.(1, 0) + y.(0, 1), ou seja, v = x.v1 + y.v2 
 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 364) Sejam as matrizes 






00
01
1v e 






00
10
2v então temos 
 












 Rba
ba
vv ,:
00
],[ 21 
 
é o subespaço vetorial gerado pelas matrizes v1 e v2. 
 
5) Determine o subespaço gerado pelos vetores v1 = (2, 3) e v2 = (–1, 2). 
 
6) Escreva o vetor v = (3, 2) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1). 
 
7) Dado o subespaço vetorial W = }2|),{( 2 xyRyx  , determine um vetor v1 tal que W = [v1]. 
 
8) Dado o subespaço vetorial W =  yzxyRzyx  e 2|),,( 3 , determine um vetores v1 e 
v2 tal que W = [v1, v2]. 
Exercícios 
 
1) Escreva o vetor v = (3, 2) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2, 0). 
 
2) Determine o subespaço gerado pelo vetor v1 = (2, 1). Faça um gráfico representando este subes-
paço. 
 
3) Determine o subespaço gerado pelos vetores v1 = (1, 2, 3) e v2 = ( 0, –1, 0). Faça um gráfico 
representando este subespaço. 
 
4) Encontre os vetores que geram os seguintes subespaços: 
a) }0|),{( 2  xyRyx 
b) }03|),{( 2  xyRyx 
c) }2|),,{( 3 xzexyRzyx  
d) }3|),,{( 3 yzexyRzyx  
 
5) Determine o subespaço gerado pelas matrizes A = 
1 0
0 0
 
 
 
 e B = 
0 1
0 1
 
  
 
 
Dependência linear 
 
 Dizemos que os vetores v1, v2, v3, .... , vn do ℝn são Linearmente Independentes (LI), quando a 
combinação linear 
a1 v1 + a2 v2, + a3 v3 + .... + an vn = 0 
 
acarreta necessariamente 
a1 = a2 = a3 = .... = an = 0 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 37 
Exemplos: 
1. Verifique se os vetores (1, 2) e (0, 3) são ou não Linearmente Independente (LI). 
 
2. Verificar se os vetores v1 = (0, 1, 3), v2 = (2, 1, 4) e v3 = (–2, 0, –1) são ou não linearmente inde-
pendentes. 
Exercícios 
 
1. Verifique se os vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependente (LD) 
em cada um dos casos seguintes: 
a) v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1) 
b) v1 = (1, 1) e v2 = (2, 5) 
c) v1 = (2, 3) e v2 = (4, 6) 
d) v1 = (1, 5), v2 = (0, 3) e v3 = (6, 2) 
e) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) 
f) v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (2, 1, 2) 
g) v1 = (0, 2, 1), v2 = (2, 1, 3) e v3 = (2, –1, –2) 
h) v1 = (2, 4, 6), v2 = (1, 3, 5) e v3 = (0, 1, 4) 
i) v1 = (3, 1, 8), v2 = (–3, 1, –6) e v3 = (0, 2, 2) 
j) v1 = (0, 0, 1), v2 = (3, 1, 4), v3 = (0, 1, 5) e v4 = (3, 8, 9) 
k) v1 = (0, 0, 1, 1), v2 = (2, 1, 0, 3), v3 = (0, 1, 4, 8) e v4 = (1, 0, 0, 0) 
l) v1 = (0, 1, 5, 2), v2 = (0, 0, 3, 8), v3 = (0, 1, 8, 10) e v4 = (0, 1, 1, 1) 
 
R: a) LI b)LI c) LD d) LD e) LI f) LI g) LI h) LI i) LD j) LD k) LI l) LD 
 
Base de um espaço vetorial V 
 
 Um conjunto {v1, v2, v3, .... , vn } de vetores de V será uma base de V se: 
i) {v1, v2, v3, .... , vn } é Linearmente Independente, LI 
ii) [v1, v2, v3, .... , vn ] = V, isto é v1, v2, v3, .... , vn geram V, que é o mesmo que dizer qualquer 
vetor v de V é escrito como combinação linear dos vetores v1, v2, v3, .... , vn . 
 
Exemplos: 
1. Sendo V = ℝ2, encontre duas bases distintas para V. 
 
2. Apresente um conjunto com dois vetores de V = ℝ2 que não forma base de V. É possível haver 
uma base de V = ℝ2 com apenas um vetor? 
 
3. Sendo V = ℝ3, encontre duas bases distintas para V. 
 
4. Apresente um conjunto com três vetores de V = ℝ3 que não forma base de V. É possível haver 
uma base de V = ℝ3 com apenas um vetor? E com dois? 
 
5. Determine uma base para V = M (2, 2) ( das matrizes 2  2 ). 
 
Exercícios 
 
1. Mostre que o conjunto B = v1 , v2onde v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1) é uma base de V = ℝ2. 
 
2. Mostre que 
 
Álgebra Linear – 2022 
Prof. Emivan Ferreira da Silva 38 
1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
        
        
        
 
é base de M (2 , 2). 
 
3. Quais são as coordenadas de v = (1, 0, 0) em relação à base  = (1, 1, 1), (– 1, 1, 0 ), 
(1, 0, – 1)? 
Dimensão de um espaço vetorial 
 
 Qualquer base de um espaço vetorial V, tem sempre o mesmo número de elementos. Este núme-
ro é chamado dimensão de V. 
 
Exemplos: 
1. Seja V = ℝ2, então (1, 0), (0, 1) e (1, 1), (0, 1) são bases de V . Então dim V = 2. 
2. dim ℝ3 = 3. Por quê? 
3. Se V = M (2, 2). Uma base para V é o conjunto B = 






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
, 
logo dim V = 4. 
Exercícios 
 
1. Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores v1 = (1, – 1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), 
v3 = (– 2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). 
a) O vetor v = (2, – 3, 2, 2)  [v1, v2, v3, v4]? Justifique. 
b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual é a dimensão? 
c) [v1, v2, v3, v4] = ℝ4 ? Por quê ? 
 
2. Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, – 1, 1), v3 = (1, 1, 1). 
[v1, v2, v3 ] = ℝ3? Por quê? 
3. Dê dois exemplos de subespaços de ℝ3, um de dimensão 1 e outro de dimensão 2. Justifique. 
4. Dê um exemplo de subespaço de ℝ2, com dimensão 1 e faça uma interpretação geométrica. 
 
Mudança de base 
Exemplos: 
1. Sejam  = (2, –1), (3, 4) e ’ = (1, 0), (0, 1) bases de ℝ2. Procuramos escrever 
(1, 0) = a11(2, –1) + a21(3, 4) 
donde (1, 0) = (2 a11 + 3 a21 , – a11 + 4 a21 ), assim a11 = 
11
4
 e a21 = 
11
1
 
(0, 1) = a12(2, –1) + a22(3, 4) 
resolvendo, a12 = 
11
3
 e a22 = 
2
11
 
Temos:   'I 
11 12
21 22
4 3
11 11 
1 2
11 11
a a
a a
   
    
   
  
. 
Se v = (5, –8) , então; 
 
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























 

1
4
8
5
11
2
11
1
11
3
11
4
)]8,5[(  
 
(5, –8) = 4.(2, –1) + (–1).(3, 4) 
 Assim, não há necessidade de resolver um sistema para cada vetor. 
 Note que     '
'
.I][  

vv  . 
 
A inversa da matriz de mudança de base. 
 
2. No exemplo anterior, podemos obter  

 '
I a partir de  
'
I


 
Note que  
'
I


 é fácil de ser calculada pois ’ é a base canônica. 
(2, –1) = 2.(1, 0) – 1.(0, 1) 
(3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1) 
donde,   







41
32
I
'

 então  









 









11
2
11
1
11
3
11
4
41
32
I
1'


. 
Exercícios. 
 
5. Sejam 1 = (1, 0), (0, 2) e 2 = (–1, 0), (1, 1) e 3 = (–1, –1), (0, –1) três bases de ℝ3, 
determine: 
a)  
1
2I


 b)  
2
3I


 c)  
1
3I


 d)    
2
3
1
2 I.I




 
Exercícios de revisão. 
1. Escrever o vetor v como combinação linear dos vetores v1, v2, v3 , ... , vn. 
a) v = (0, 2); v1 = (1, 0); v2 = (0, 1) 
b) v = (2, 5); v1 = (1, 1); v2 = (2, 3) 
c) v = (0, 1, 2); v1 = (0, 1, 0); v2 = (1, 0, 0), v3 = (0, 0, 1) 
d) v = (2, 4, 6); v1 = (1, 2, 3); v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, 0, 1) 
 
2. Determine o conjunto gerado pelos vetores, isto é, de determine [v1, v2, v3 , ... , vn]. 
a) v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 1, 0) 
b) 












01
10
 e 
02
01
21 vv 
3. Dar um conjunto de geradores para os seguintes subespaços de 3; 
a) U = (x, y, z) | x – 2y = 0 
b) V = (x, y, z) | x + z = 0 e x – 2y = 0 
 
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c) W = (x, y, z) | x + 2y – 3z = 0 
 
4. Verifique se os vetores são linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) em 
cada um dos casos seguintes. 
a) v1 = (1, 0); v2 = (0, 1) 
b) v1 = (1, 5); v2 = (0, 3), v3 = (6, 2) 
c) v1 = (1, 0, 0); v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) 
d) v1 = (2, 4, 6); v2 = (1, 3, 5), v3 = (0, 1, 4) 
 
5. Determine uma base para os subespaços do exercício 3. 
6. Determine uma base para as matrizes simétricas de ordem 2. Determine a matriz  
1
2I


 de mu-
dança da base 2 = (1, 2), (1, 3) para a base 1 = (–2, 0), ( 2, 3) 
 
Transformações lineares 
 
 Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis. Muitos proble-
mas podem ser representados por tais funções. 
 
Exemplo: Se de um quilo de soja, são extraídos 0,2 litros de óleo, de uma produção de x quilos se 
soja, seriam extraídos 0,2x litros de óleo. 
Escrevendo na forma de função teremos: 
Q(s) = 0,2s 
Onde Q é a quantidade em litros de óleo de soja e s é a quantidade em quilos de soja. 
Estes dados podem ser colocados graficamente: 
 
 
Vamos analisar neste exemplo simples duas características importantes: 
1. Note que para calcular a produção fornecida por (s1 + s2) quilos de soja, podemos multiplicar (s1 
+ s2) por 0,2 ou calcular as produções de cada uma das quantias s1 e s2 e somá-las, isto é, 
 
Q (s1 + s2) = 0,2(s1 + s2) = 0,2s1 + 0,2s2 = Q (s1) + Q (s2) 
 
2. Se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k, a produção de óleo de soja será multipli-
cada por este mesmo fator, isto é, 
 
 Q 
 
 
 Q = 0,2s 
 
 s 
 
 
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Q (ks) = 0,2(ks) = k (0,2s ) = k Q (s) 
 
 Estas duas propriedades, que neste caso são óbvias, servirão para caracterizar o que denomina-
mos, “transformações lineares” . 
 
Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função de V em 
W, F : V W que satisfaz as seguintes condições: 
i) Quaisquer que sejam u e v em V , 
F (u + v ) = F (u) + F (v) 
ii) Qualquer que seja k  R e v  V, 
F (kv) = k F (v) 
No caso em que V = W , uma transformação linear F : V W é chamada também de operador li-
near. 
Exemplos: 1. F : ℝ  ℝ definida por F (u ) = .u. 
Mais ainda qualquer transformação linear de ℝ em ℝ só pode ser deste tipo 
 
2. F : ℝ  ℝ definida por F (u ) =u2 não é linear. 
 
3. F : ℝ2 ℝ3 definida por F (x, y) = ( 2x, 0, x + y ) é uma transformação linear. 
 
4. Seja V = ℝ2 e W = ℝ3 Seja A uma matriz 3  2. Definimos FA : ℝ2  ℝ3 por FA( v ) = A.v 
onde v é tomado como matriz coluna, v = 





y
x
. 
Exercícios: 
 
1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares: 
a) F : ℝ2 ℝ definida por F (x, y) = x.y 
b) F : ℝ2 ℝ2 definida por F (x, y)= (x + y, x – y). 
c) F : ℝ2 ℝ definida por F (x, y) = x + y – 2 
d) F : ℝ  ℝ definida por F (x ) = | x |. 
e) F : ℝ2 ℝ definida por F (x, y) = x + y 
 
 
2. Seja T : V W uma função. Mostre que: 
a) Se T é uma transformação linear, então T (0) = 0. 
b) Se T (0) ≠ 0, então T não é uma transformação linear. 
 
3. a) Determine a transformação linear T : ℝ3  ℝ2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e 
T (0, 0, 1) = (0, –1). 
b) Encontre v  ℝ3 tal que T ( v ) = (3, 2). 
 
Alguns tipos de transformações lineares 
 
Diz-se que uma aplicação f : U  V é injetora se, e somente se, 
 u1 e u2  U, u1  u2  f (u1 )  f (u2 ) 
Isso é o mesmo que 
f ( u1) = f ( u2 )  u1 = u2 
Exemplos: A aplicação S: ℝ2  ℝ2 dada por S (x , y) = (x, – y) é injetora. 
Já a aplicação F: ℝ2  ℝ3 dada por F(x , y) = (0, x + y, 0) não é injetora. 
 
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Diz-se que T é uma aplicação sobrejetora se T (U ) = V, ou seja, se para todo v  V , existe u  U 
tal que T (u ) = v. Se T é injetora e sobrejetora é chamada de aplicação bijetora. 
Exemplos: S: ℝ2  ℝ2 definida por S(x , y ) = (x , – y ) é sobrejetora. 
Já a transformação F: ℝ2  ℝ2 dada por F(x , y) = (0 , x + y, 0 ) não é sobrejetora. Basta ver o elemen-
to (1, 0, 0) de ℝ3. 
A aplicação S: ℝ2  ℝ2 dada por S(x , y) = (x , –y) é conforme já vimos é injetora e sobrejetora, logo 
é bijetora. 
Exercícios 
 
1. Verifique se a transformação T : ℝ  ℝ dada por T(x ) = 2x é linear. Verifique também se ela é 
bijetora. 
 
2. Faça o mesmo para a aplicação F : ℝ2  ℝ2, definida por F (x, y) = (2x , x – y ). 
 
Propriedades das transformações lineares. 
 
 Sejam U e V espaços vetoriais sobre ℝ e consideremos uma transformação linear F : U  V . Va-
lem as seguintes propriedades para F. 
 
P1- F (0) = 0 (F transforma o vetor nulo de U no vetor nulo de V ). 
P2- F (– u ) = – F (u ),  u  U. 
P3- F (u1 – u2 ) = F ( u1 ) – F ( u2 ),  u1 e u2  U . 
P4- Se W é um subespaço de U, então a imagem de W por F é um subespaço de V. 
P5- Sendo F : U  V linear então 







 n
i
ii
n
i
ii uFauaF
11
)( 
 
Exercícios 
 
1. Verificar se a aplicação F : ℝ3  ℝ3 definida por: 
F (x , y, z ) = (z , x + y ) é linear. 
 
2. Verificar se F : ℝ  ℝ2 é uma transformação linear, onde F ( x ) = (x , 2)  x  ℝ. 
 
3. Verificar se a transformação F : ℝ2  ℝ2 definida por: 
F (x , y ) = (x 2 + y 2 , x ) é uma transformação linear. 
4. Sabendo que F : ℝ2  ℝ2 é um operador linear e que F (1, 2) = (3, – 1) e F (0, 1) = (1, 2), achar 
F(x , y), onde (x , y ) é um vetor genérico de ℝ2. 
 
5. Seja F o operador linear do ℝ2 tal que F (1, 0) = (2, 1) e F (0, 1) = (1, 4). 
a) Determinar F (2, 4); 
b) Determinar (x , y)  ℝ2 tal que F (x , y) = (2, 3) 
c) Provar que F é injetora e sobrejetora (portanto bijetora). 
 
Núcleo e Imagem de uma transformação linear 
 
Definição: Sejam U e V espaços vetoriais sobre ℝ e F : U  V uma transformação linear. Indica-se 
por Ker (F ) e denomina-se núcleo de F o seguinte subconjunto de U: 
 
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Ker (F ) =  0)(|  uFUu 
 
Exemplo: Seja F : ℝ2  ℝ3 a transformação linear dada por: F (x, y) = (0, x + y, 0). 
Achemos o núcleo de F. Geometricamente temos: 
 
(x , y)  Ker (F )  (0, x + y, 0) = (0, 0, 0)  x = – y, logo, Ker (F ) = }|),{( Rxxx  . 
 
Proposição 1: Seja F : U  V uma transformação linear. Então: 
a) Ker (F ) é um sub-espaço vetorial de U. 
b) A transformação linear F é injetora se, e somente se, Ker (F ) = {0}. 
 
Demonstração: 
 
Exemplos: 1. O operador linear D: Pn (ℝ)  Pn (ℝ) dado por D (f (t )) = f ’(t ) é uma transformação 
linear injetora (operador injetor) ? 
 
A imagem de uma transformação linear F : U  V é definida como o conjunto 
Im (F ) =  UuuF |)( 
Pela propriedade P4- Im (F ) é um subespaço vetorial de V. Logo vale o seguinte 
 
Teorema: (Do núcleo e da imagem) – Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre . Dada 
uma transformação linear F : U  V , então 
dim U = dim ker (F ) + dim Im (F ). 
 
Corolário: Sejam U e V espaços vetoriais sobre ℝ com a mesma dimensão finita n e suponhamos que 
F : U  V seja uma transformação linear. Então são equivalentes as seguintes afirmações: 
I) F é sobrejetora; 
II) F é bijetora;