2016 1 MTM5245 Lista 05

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Lista de Exercı´cios 05
Transformac¸o˜es lineares, nu´cleo e imagem.
Daqui em diante, sempre que nos referirmos a um espac¸o vetorial V e na˜o mencionarmos as
operac¸o˜es fica subentendido que as operac¸o˜es deste espac¸o vetorial sa˜o as operac¸o˜es usuais.
1. Quais das seguintes aplicac¸o˜es de R3 em R3 sa˜o transformac¸o˜es lineares?
(a) T1(x, y, z) = (x− y, x+ y, 0);
(b) T2(x, y, z) = (2x− y + z, 0, 0);
(c) T3(x, y, z) = (x, x, 1);
(d) T4(x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z).
2. Quais das seguintes aplicac¸o˜es de Pn(R) em Pn(R) sa˜o transformac¸o˜es lineares?
(a) T1(p(x)) = xp′(x);
(b) T2(p(x)) = p′(x) + x2p′′(x).
3. Seja T : V −→ W uma transformac¸a˜o linear tal que T (u) = 3u e T (v) = u − v. Calcule
em func¸a˜o de u e v:
(a) T (u+ v);
(b) T (3v);
(c) T (4u− 5v).
4. Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear determinada por T (1, 0, 0) = (2, 3, 1), T (0, 1, 0) =
(5, 2, 7) e T (0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Calcule T (x, y, z), em que (x, y, z) e´ um vetor qualquer
de R3.
5. Seja T : R2 −→ R3 a transformac¸a˜o linear determinada por T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) =
(1, 1, 0).
(a) Calcule T (x, y), em que (x, y) e´ um vetor qualquer de R2;
(b) Encontre (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (−2, 1,−3).
6. Seja T : P2(R) −→ P2(R) a transformac¸a˜o linear determinada por T (1) = x, T (x) = 1−x2
e T (x2) = x+ 2x2. Calcule T (ax2 + bx+ c), em que ax2 + bx+ c e´ um vetor qualquer de
P2(R).
7. Existe uma transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 tal que T (1, 1, 1) = (1, 2, 3), T (1, 2, 3) =
(1, 4, 9) e T (2, 3, 4) = (1, 8, 27)?
8. Seja T : R2 −→ R2 a transformac¸a˜o linear dada por T (x, y) = (2x+ y, 4x+ 2y).
Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T )?
(a) (1,−2);
(b) (2,−3);
(c) (3,−6).
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9. Para a mesma transformac¸a˜o linear do exercı´cio anterior, verifique quais dos vetores per-
tencem a Im(T ).
(a) (2, 4);
(b)
(−12 ,−1);
(c) (−1, 3).
10. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo, determine uma base para o seu nu´cleo,
e uma base para a sua imagem. Diga quais sa˜o as dimenso˜es destes subespac¸os vetoriais
em cada caso.
(a) T : R3 −→ R dada por T (x, y, z) = x+ y − z;
(b) T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (2x, x+ y);
(c) T : R3 −→ R4 dada por T (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z, 2x− y + z,−y).
11. Determine uma transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 cuja imagem e´ gerada pelos vetores
w1 = (2, 1, 1) e w2 = (1,−1, 2).
12. Determine uma transformac¸a˜o linear T : R4 −→ R4 cujo nu´cleo e´ gerado pelos vetores
v1 = (1, 1, 0, 0) e v2 = (0, 0, 1, 0).
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