AVLC 2 2012 EE2 prova 35 CIn UFPE

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1. (Media dificuldade) Considere 0 seguinte sistema com
{
3x + Y + 7 z + w = 5
solu<;:oes em JR4 x + Y + z + w = 1 Quer-
2x + 2y + z + 3w = 2
emos acrescentar a equa<;:ao ax+by+cz+dw=e ao sis-
tema de forma que este admita infinitas solu<;:oes.
Considerando 0 outro sistema linear, aquele das re-
stri<;:oes que se aplicam as incognitas a, b, c, d e e
para que 0 sistema original seja indeterminado, pode-
mos afirmar: (I bUD.
(A) Seu conjunto-solu<;:ao e um plano do JR5.
(B) Assim como 0 sistema original, ele e nao ho-
mogeneo.
(C) E um sistema com uma equa<;:ao, esta faz com
que 0 sistema original seja posslvel, e conse-
q uentemente indeterm inado.
(D) Sua matriz dos coeficientes possui posta 2 e nul-
idade 3.
(E) Sua matriz dos coeficientes possui posta 3 e nul-
idade 2.
2. (Media dificuldade) Considere os subespa<;:os do JR4
51 = [(1,1,2, -1), (2, 1, 0,1)] e 52 = [(0, -1, -4,3),
(1,1,1,1)]. Encontre uma base de 51n52, de maneira
que seus vetores tenham a primeira coordenada nao
nula igual a 1. Assinale a soma dos quadrados das
coordenadas dos vetores.
3. (Facil) Considere a base
{(I, 1, 2), (2, 1,0), (1, -1, In.
[ : ], ",i"l, a + b + c,
do JR3: a
Se [(22,1,16)]<:>
4. (Facil) Considere os seguintes subespa<;:os: 51 C JR3
gerado por {(I, -1,2), (3,2,1), (1,4, -3), (0, 1, -In
e 52 = {p E P41 os monomios de p de graus maiores
que 1 e menores que 4 possuem coeficientes nulos}.
Se d1 = dim(51) e d2 = dim(52), assinale d1 ·2d2
5. (Facil) Considere as retas do JR4 r1 e r2 que passam
na origem e SaG dirigidas por (1,1,-1,2) e (2,1,0,1),
respectivamente. Descreva r1 + r2 como conjunto-
solu<;:ao de um sistema homogeneo. Considere a ma-
triz dos coehcientes desse sistema, em sua forma es-
cada. Assinale 0 produto dos elementos nao nulos
dessa matriz, desconsiderando 0 sinal.
6. (Variada dificuldade)Responda V ou F:
(obs: nota<;:ao IAI e 0 numero de elementos de um
conjunto A).
(A) Se (3 e subconj ••nl0 de uma base a, entao (3 e
base de algum subespa<;:o do espa<;:o gerado por
a.
(B) Seja 5 = {w E JR31w = v x (1,2,1), onde
v E JR3}. Entao 5 = JR3.
(C) Suponha que 51 + 52 = JR2013; se di177,(51)
513 e dim (51 10:1 52) = 200, entao dim(52)
300. .
(D) Seja B uma matriz escolhida arbitrariamente e
fixa. Entao 5 = {A E M2x21AB = BA} e
subespa<;:o de M2x2.
(E) Sejam a e (3 bases de V. Para todo v E a existe
um w E (3 tal que (aU {w}) - {v} e base de V.
(F) Se a eVe U. e (3 eVe L.I., onde lal + 1(31 =
dim(V), entao aU (3 e base de V
(G) Seja a um gerador do JRn, tal que lal = m. A
matriz cujas linhas SaG os veto res de a possui
posta m e nulidade O.
(H) Se 5 e subespa<;:o, entao dim(5) e a nulidade da
matriz dos coeficientes do sistema homogeneo
que 0 define.