Álgebra Linear elementar

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
PARFOR MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR ELEMENTAR
Elizardo Lucena
Belém - Pará
2012
1
Sumário
1 Matrizes 5
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Definição de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Matrizes Usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Matriz Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Escalonamento de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Operações Sobre Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Inversão de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Obtenção da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Cálculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Determinantes de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Desenvolvimento por Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Sistemas de Equações Lineares 34
2.1 Solução de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
2.1.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Resolução de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 O Método de Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Discussão de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Espaços Vetoriais 43
3.1 Axiomas de Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Consequências dos axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Operações com Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Combinações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Definições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Subespaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.1 LI ou LD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Transformações Lineares 70
4.1 Definições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.1 Reconhecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Determinação de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Definindo uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3
4.3.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Isomorfismo de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.1 Obtenção da Matriz de uma Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.1 Matriz de Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.2 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7 Transformações Lineares no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.1 Transformações Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Ortogonalidade 97
5.1 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Distância e Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Conjunto Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2 BaseOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1 Projeções ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2 Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Autovalores e Autovetores 107
6.1 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.1 Cálculo do Autovalor e do Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 Diagonalização de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.1 Base de Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4
Caṕıtulo 1
Matrizes
Neste caṕıtulo intrudozimos o conceito de matriz. Definimos algumas operações usuais e exibi-
mos alguns tipos especiais de matrizes. Em seguida, apresentamos o escalonamento de matrizes e
aplicamos esse método na obtenção da inversa de uma matriz dada. Por fim mostraremos o cálculo
do determinante para matrizes de ordem 2 e 3.
1.1 Matrizes
Objetivos
• Definir matriz
• Apresentar alguns tipos usuais de matrizes
1.1.1 Definição de Matriz
Podemos pensar informalmente em matrizes como tabelas de números, como por exemplo:
A =
[
8 15
12 3
]
, B =
[
8 75 0
6 3 7
]
e C =
 18 35 42 6 29
0 32 −3
.
Matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas: A, B, C, ... O número de linhas e
colunas de uma dada tabela nos permite classifica-las em diversos tipos. A esse respeito, temos a
seguinte definição:
Definição 1.1. Chamamos matriz real de ordem m × n (lê-se: ”m por n”), ou simplesmente
matriz de ordem m×n, a uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, em que m,n ∈ N.
Exemplo 1.1. Considerando as matrizes A =
[
8 15
12 3
]
, B =
[
8 75 0
6 3 7
]
e C =
 18 35 42 6 29
0 32 −3

vemos que a matriz A é de ordem 2× 2 (lê-se: ”dois por dois”), pois ela possui duas linhas e duas
colunas; já a matriz B é de ordem 2× 3, pois essa matriz tem duas linhas e três colunas. A matriz
C é de ordem 3× 3. �
É muito útil, para resolver problemas com matrizes, pensar em sua ”forma”. Desse modo cha-
mamos matriz quadrada à uma matriz A de ordem m×n, tal que m = n e, matriz retangular
quando m ̸= n. Considerando ainda as matrizes do exemplo acima, vemos que A é uma matriz
5
quadrada de ordem 2× 2 (nesse caso diz-se simplesmente: ”ordem 2”), B é uma matriz retangular
de ordem 2× 3 e C é uma matriz quadrada de ordem 3.
Cada elemento de uma matriz tem sua posição determinada pela linha e coluna em que se
encontra. Podemos pensar na posição de cada elemento como seu endereço na matriz.
Exemplo 1.2. Dada a matriz
A =
[
a b c d
e f g h
]
O elemento c encontra-se no cruzamento da primeira linha com a terceira coluna. Logo sua
posição é 13. Já o elemento h está no cruzamento da segunda linha com a quarta coluna. Segue-se
que a posição do elemento h é 24. A posição de a é 11 e a posição de g é 23. O endereço de b é
12. �
Podemos usar essa idéia para representar os elementos de uma matriz usando uma única letra
com dois ı́ndices.
Exemplo 1.3. A forma genérica de uma matriz de ordem 2 × 3 (lembre-se: ”duas linhas e três
colunas”) é.
D =
[
d11 d12 d13
d21 d22 d23
]
Representamos uma matriz genérica de ordem m× n assim
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

Ou ainda, de um modo mais compacto A = [aij]m×n. �
Os elementos a11, a22, a33, ..., ann formam a diagonal principal da matriz, também chamada
simplesmente diagonal.
Exemplo 1.4. A matriz C = [cij]2×2, é uma matriz de ordem 2 cuja forma genérica é
C =
[
c11 c12
c21 c22
]
�
Observamos na matriz acima que sua diagonal é formada por c11 e c22.
Exemplo 1.5. Observemos a matriz
A =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

6
Trata-se de uma matriz quadrada com 5 linhas e 5 colunas, logo A é uma matriz quadrada de ordem
5. Descrevendo essa matriz de modo genérico, temos
A =

a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55

Essa forma genérica é muito útil, pois desse modo vemos a descrição da posição (endereço) de todos
os elementos da matriz. Comparando as duas formas, vemos, por exemplo, que os elementos não
nulos de A são a11, a22, a33, a44 e a55 (sua diagonal). Notemos que em todos esses elementos os
ı́ndices são iguais e, em todas as demais posições os ı́ndices são diferentes. Logo podemos descrever
essa matriz do seguinte modo:
A = [aij]5×5, tal que aij =
{
1 se i = j
0 se i ̸= j
�
Em geral descrevemos matrizes usando a notação mais compacta A = [aij]m×n seguida de uma
fórmula que nos permita obter os elementos da matriz, um por um, como no exemplo a seguir.
Exemplo 1.6. Considere a matriz dada por A = [aij]2012×2012, tal que aij = i + j. Essa matriz
possui 2012 linhas e 2012 colunas! Seria muito trabalhoso descrever explicitamente todos os ele-
mentos dessa matriz. Mas podemos determinar alguns. Por exemplo, o elemento a15×3(que fica no
cruzamento da décima quinta linha com a terceira coluna) é
a15×3 = 15 + 3 = 18
(note que, nesse caso, o ”i vale 15 e, o j vale 3”)
Por outro lado, o elemento a200×200 (que fica na diagonal da matriz) é
a200×200 = 200 + 200 = 400
�
Mais um exemplo.
Exemplo 1.7. Determine a matriz D = [dij]4×4 dada por aij =
{
0 se i ≤ j
i− j se i > j
Primeiro escrevemos a matriz genérica. Temos:
C =

d11 d12 d13 d14
d21 d22 d23 d24
d31 d32 d33 d34
d41 d42 d43 d44

A seguir calculamos cada elemento da matriz. Primeiramente olhemos para os elementos que
estão na diagonal e acima dela. Em todos esses elementos o primeiro ı́ndice (i) é menor do que,
ou igual ao segundo (j). Segundo a fórmula dada, todos esses elementos são nulos. Logo
7
d11 = d22 = d33 = d44 = d55 = d12 = d23 = d34 = d13 = d24 = d14 = 0
Para os demais, temos:
d21 = 2− 1 = 1
d32 = 3− 2 = 1
d43 = 4− 3 = 1
d31 = 3− 1 = 2
d42 = 4− 2 = 2
d41 = 4− 1 = 3
Portanto,
C =

0 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0

�
1.1.2 Matrizes Usuais
A seguir descrevemos alguns tipos de matrizes que aparecem com bastante frequência no estudo
de matrizes.
Definição 1.2. Chamamos matriz nula de ordem m× n a uma matriz 0m×n = [aij]m×n, tal que
aij = 0, quaisquer que sejam i ∈ {1, ...,m} e j ∈ {1, ..., n}.
Notemos que usamos o mesmo śımbolo 0 para representar a matriz nula e o número zero. Uma
matriz nula é uma matriz que tem 0 em todas as posições. Podemos ter matriz nula de qualquer
ordem. Por exemplo, as matrizes
02×2 =
[
0 0
0 0
]
02×4 =
[
0 0 0 0
0 0 0 0
]
são nulas. Notemos que o śımbolo usado para representa-las é o mesmo. A fim de evitar
confusão costuma-se indicar a ordem da matriz. Entretanto, quando não houver perigo de confusão
indicaremos a matriz nula apenas por 0.
Definição 1.3. Chamamos matriz identidade de ordem n×n, à matriz quadrada In×n = [aij]n×n,
tal que
aij =
{
1 se i = j
0 se i ̸= j
Um exemplo de matriz identidade foi dada no exemplo (1.5). As matrizes identidades possuem
valor 1 na diagonal e zero nas demais posições. É importante notar que toda matriz identidade é
necessariamente quadrada.
Definição 1.4. Chamamos matriz diagonal à uma matriz quadrada da forma Dn×n = [dij]n×n,
tal que dij = 0 qualquer que seja i ̸= j (fora da diagonal).
8
Matrizes diagonais são matrizes quadradas que possuem todos os elementos fora dadiagonal
nulos (independentemente do que se tem na diagonal). Um exemplo bem estranho de matriz
diagonal é uma matriz quadrada nula, como 02×2 exibida anteriormente. Um exemplo mais usual é
D =

0 0 0 0
0 15 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4

As matrizes identidades constituem o exemplo mais importante de matriz diagonal. No caṕıtulo
de diagonalização de operadores, que estudaremos mais adiante, as matrizes diagonais desempenham
um papel fundamental.
Definição 1.5. Chamamos matriz linha à uma matriz de ordem 1×n. Analogamente, definimos
matriz coluna à uma matriz de ordem m× 1.
Matriz linha é uma matriz que possui apenas uma linha e, matriz coluna é uma matriz dada
por apenas uma coluna. Um exemplo de matriz linha é L1×4 =
[
1 2 3 4
]
e, um exemplo de
matriz coluna é L3×1 =
 15
8
.
1.1.3 Exerćıcios
1. Escreva explicitamente a matriz genérica dada em cada ı́tem
(a)A = [aij]2×2 (b)B = [brs]3×4 (c)C = [ckl]5×5 (d) D = [dij]n×n
2. Descreva a matriz dada em cada ı́tem.
(a)A = [aij]2×3, tal que aij = 2i+3j (b)B = [bij]3×4, tal que bij =
{
1 se i = j
2i+j se i ̸= j
(c) C = [cij]3×3, tal que cij =
{
1 se i = j
0 se i ̸= j (d) D = [dij]4×1, tal que dij = i− j
(e) E = [eij]4×4, tal que eij =
{
2i+ j se i = j
0 se i ̸= j (f) F = [fij]1×4, tal que fij = j − i
(g) G = [gij]2×2, tal que gij = 0 (h) H = [hij]2×4, tal que hij = i+ 5j
3. Dada a matriz A = [aij]2012×2012, tal que aij =
{
ij se i = j
i+ j − 1 se i ̸= j . Determine:
(a) a55 (b) a2000×2000 (c) a1000×200 (d) a2012×2012 (e) a5×2000
1.2 Operações com Matrizes
Objetivos
• Calcular a soma de duas matrizes
• Multiplicar um número real por uma matriz
• Multiplicar duas matrizes
• Usar as propriedades das operações matriciais em equações com matrizes
9
1.2.1 Adição
Pensamos em matrizes reais como tabelas de números e, podemos pensar nesses números como
dados numéricos de algum problema. Seria útil resolver problemas numéricos em que pudéssemos
determinar todos os dados de uma só vez. Motivados por isso definimos operações no conjunto das
matrizes, com o objetivo de resolver equações com matrizes, de modo parecido com o que fazemos
com números reais. O primeiro passo é definir a igualdade de matrizes.
Definição 1.6. Duas matrizes são iguais quando têm mesma ordem e possuem os mesmos ele-
mentos ocupando a mesma posição.
Exemplo 1.8. Sejam A =
[
a b
c d
]
e B =
[
1 3
5 10
]
tais que A = B. Então a = 1, b = 3, c = 5
e d = 10. �
A seguir, temos a definição de adição de matrizes.
Definição 1.7. Dadas duas matrizes de mesma ordem A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, definimos
Adição, ou soma das matrizes A e B à matriz A + B, obtida somando cada elemento da matriz
A com o elemento da matriz B que ocupa a mesma posição. Em śımbolos temos A+B = [aij + bij].
É importante notar que definimos a adição de matrizes apenas para matrizes de mesma ordem.
Para esclarecer melhor essa idéia temos o seguinte.
Exemplo 1.9. Dadas A =
 2 51 −4
6 2
 e B =
 0 55 0
0 5
, temos
A+B =
 2 + 0 5 + 51 + 5 −4 + 0
6 + 0 2 + 5
 =
 2 106 −4
6 7

Notemos que se tivéssemos calculado B + A, teŕıamos
B + A =
 0 + 2 5 + 55 + 1 0 + (−4)
0 + 6 5 + 2
 =
 2 106 −4
6 7
 o mesmo resultado!
Isso, como veremos a seguir, é apenas um exemplo de uma propriedade da adição de matrizes.
�
Para somar mais de duas matrizes, é preciso definir quais somas serão efetuadas primeiro, pois
definimos a soma para apenas duas matrizes. A esse respeito, temos o seguinte.
Exemplo 1.10. Sejam as matrizes A, B e C, dadas por A =
[
1 2 6
5 6 0
]
, B =
[
12 3 2
8 4 3
]
e
C =
[
2 5 0
10 −1 1
]
.
A soma (A+B) + C é dada por:
(A+B) + C =
([
1 2 6
5 6 0
]
+
[
12 3 2
8 4 3
])
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
=
[
1 + 12 2 + 3 6 + 2
5 + 8 6 + 4 0 + 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
[
13 5 8
13 10 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
=
[
13 + 2 5 + 5 8 + 0
13 + 10 10 + (−1) 3 + 1
]
=
[
15 10 8
23 9 4
]
10
Do mesmo modo, temos:
A+ (B + C) =
[
1 2 6
5 6 0
]
+
([
12 3 2
8 4 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
])
=
=
[
1 2 6
5 6 0
]
+
[
12 + 2 3 + 5 2 + 0
8 + 10 4 + (−1) 3 + 1
]
=
[
1 2 6
5 6 0
]
+
[
14 8 2
18 3 4
]
=
=
[
1 + 14 2 + 8 6 + 2
5 + 18 6 + 3 0 + 4
]
=
[
15 10 8
23 9 4
]
Notemos que, nesse caso, (A + B) + C = A + (B + C). Ou seja, a soma é associativa. Esse
exemplo também é caso particular de uma propriedade mais geral, exibida abaixo. �
O próximo exemplo nos ensina a somar com uma matriz nula.
Exemplo 1.11. Sejam A =
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
e 02×3. Temos que
A+ 02×3 =
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
+
[
0 0 0
0 0 0
]
=
[
2012 + 0 2011 + 0 2010 + 0
12 + 0 11 + 0 10 + 0
]
=
=
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
Com a finalidade de evidenciar as analogias, em relação a adição, no conjunto das matrizes e no
conjunto dos números reais, definimos o seguinte.
Definição 1.8. Dada a matriz A = [aij]m×n, de ordem m×n, definimos a matriz −A = [−aij]m×n,
de mesma ordem que A, chamada matriz oposta de A.
Dada uma matriz A, para obter sua oposta, basta trocar o sinal de todos os seus elementos.
Exemplo 1.12. Dada A =
[
2 −1
−7 5
]
, temos −A =
[
−2 1
7 −5
]
�
Uma vez definida a matriz oposta, podemos atribuir um sentido para subtração de matrizes.
Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, definimos A− B = A+ (−B). Ou seja, subtrair uma
matriz é o mesmo que somar com a matriz oposta.
A seguir temos as propriedades da adição de matrizes. Essas propriedades nos mostram que,
pelo menos em relação a adição, as matrizes têm um comportamento idêntico aos números reais.
Proposição 1.1. (Propriedades da adição de matrizes) Considere o conjunto de todas as matrizes
reais de mesma ordem m × n. Esse conjunto será denotado por Mm×n(R). Dadas A,B,C ∈
Mm×n(R), temos:
(i) A+B = B + A (comutatividade)
(ii) (A+B) + C = A+ (B + C) (associatividade)
(iii) A+ 0 = 0 + A = A (elemento neutro)
(iv) A+ (−A) = −A+ A = 0 (Inverso aditivo)
Acima, 0 representa a matriz nula de ordem m× n e −A representa a matriz oposta de A. �
Exemplos do uso dessas propriedades foram dados acima em (1.9), (1.10), (1.11) e (1.12).
11
1.2.2 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
Definição 1.9. Dado um número real α e uma matriz A = [aij]m×n, definimos α ·A = [α · aij]m×n.
Dada uma matriz A e um número real α, a fim de obter a matriz α · A, basta multiplicar cada
elemento de A por α.
Exemplo 1.13. Dada a matriz A =
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
, temos
(a) 2A = 2 ·
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 =
 2 · 2 2 · (−7) 2 · 12 · 3 2 · 4 2 · 2
2 · 5 2 · (−9) 2 · 6
 =
 4 −14 26 8 4
10 −18 12

(b) (−3) ·A = (−3) ·
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 =
 (−3) · 2 (−3) · (−7) (−3) · 1(−3) · 3 (−3) · 4 (−3) · 2
(−3) · 5 (−3) · (−9) (−3) · 6
 =
 −6 21 −3−9 −12 −6
−15 27 −18

(c) 0 · A = 0 ·
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 =
 0 · 2 0 · (−7) 0 · 10 · 3 0 · 4 0 · 2
0 · 5 0 · (−9) 0 · 6
 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 �
A seguir temos as propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz.
Proposição 1.2. Sejam as matrizes A,B ∈ Mm×n(R) e o números reais α e β, valem as seguintes
propriedades:
(i) (α · β) · A = α · (β · A) (Associatividade)
(ii) (α + β) · A = α · A+ β · A (distributividade)
(iii) α · (A+B) = α · A+ α ·B (distributividade)
(iv) 1 · A = A (multiplicação por 1) �
A primeira propriedade nos conta que multiplicar dois números e a seguir multiplicar o resultado
por uma matriz, é o mesmo que multiplicar um deles pela matriz e depois o outro. A segunda diz
que o mesmo vale para a soma de dois números: tanto faz somar os números primeiro e depois
multiplicar pela matriz, como multiplicar um de cada vez e depois somar as matrizes obtidas. A
terceira propriedade nos ensina que multiplicar um número por uma soma de matrizes é o mesmo
que multiplicar esse número por cada matriz separadamente e depois somar os resultados. A última
é no mı́nimo curiosa, por parecer totalmente óbvia. Em breve, no caṕıtulo de Espaços Vetoriais,
voltaremos a esseponto para mostrar que essa propriedade não é tão óbvia quanto parece.
O objetivo de estabelecer essas operações e propriedades é poder tratar os cálculos com matrizes
da mesma forma que já estamos acostumados a efetuar cálculos com números reais e equações com
números reais. O próximo exemplo mostra isso.
Exemplo 1.14. Sejam A =
[
−7 1
4 2
]
, B =
[
5 0
1 3
]
e C =
[
2 −1
0 2
]
.
(a) Calcule 2 · (3A).
Temos, devido ao ı́tem (i) da proposição 1.2, que 2 · (3A) é o mesmo que 6 ·A. Pois 2 · (3A) =
(2 · 3)A. Logo
2 · (3A) = 6 ·
[
−7 1
4 2
]
=
[
−42 6
24 12
]
12
(b) Calcule 5B + 3B.
Devido a propriedade (ii), da proposição (1.2) temos 5B + 3B = 8B. Logo
5B + 3B = 8 ·
[
5 0
1 3
]
=
[
40 0
8 24
]
(c) Calcule a matriz X, de modo que 2X − 10A = 6B + 10C.
Usando as propriedades das proposições (1.2) e (1.1), temos:
2X − 10A = 6B + 10C é o mesmo que 2X − 10A+ 10A = 6B + 10C + 10A que por sua vez
equivale a 2X = 6B+10C+10A. Logo 2X = 6B+10(C+A). Segue-se que X = 3B+5(C+A).
Agora calculamos a matriz X.
X = 3B+5(C+A) = 3
[
5 0
1 3
]
+5
([
2 −1
0 2
]
+
[
−7 1
4 2
])
=
[
15 0
3 9
]
+5
[
−5 0
4 4
]
=
=
[
15 0
3 9
]
+
[
−25 0
20 20
]
=
[
−10 0
23 29
]
�
1.2.3 Multiplicação de Matrizes
Na subseção anterior vimos que as matrizes se comportam de maneira similar aos números reais
em relação a adição e a multiplicação de um número por uma matriz. Isso nos permite resolver
algumas equações de modo análogo ao que fazemos com equações de números reais. Perceber essas
similaridades é um dos principais objetivos da álgebra linear. Entretanto, veremos nesta subseção,
que matrizes e números reais têm comportamento bem distintos com relação a multiplicação de
seus elementos.
MOTIVAÇÃO
Dois times de futebol, FLAZÃO e FLUZINHO, disputaram um torneio nacional, tendo
cada um deles realizado 20 jogos. A matriz X a seguir exibe o número de vitórias (V), empates (E)
e derrotas (D) dos dois clubes. A primeira linha indica os reultados do FLAZÃO e, na segunda
linha temos os resultados do FLUZINHO. A matriz Y indica o número de pontos que o clube
obtém em cada resultado: 3 pontos para vitória, 1 ponto para empate e 0 para derrota.
V E D
X =
[
11 4 5
8 6 6
]
Y =
 31
0

Quantos pontos cada time obteve nesse torneio?
Independentemente do que se estudou sobre matrizes até esse ponto, podemos resolver esse
problema efetuando algumas simples contas. Observe:
• O FLAZÃO teve 11 vitórias, 4 empates e 5 derrotas. Como cada vitória vale 3 pontos, cada
empate, 1 ponto e cada derrota vale 0, os pontos do FLAZÃO são: 11×3+4×1+5×0 = 37.
• De modo inteiramente análogo, os pontos do FLUZINHO são: 8× 3 + 6× 1 + 6× 0 = 30
Comparando os cálculos efetuados com as matrizes X e Y , nessa ordem, vemos que para obter
o total do FLAZÃO multiplicamos cada elemento da primeira linha por um elemento da coluna da
matriz Y . Analogamente o resultado 30 foi obtido multiplicando a segunda linha pela coluna de Y .
�
Situações como essa nos levam a definir abstratamente o seguinte.
13
Definição 1.10. Dadas duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]n×p a matriz P = [pij]m×p, tal que
pij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + ai4 · b4j + ...+ ain · bnj é chamada matriz produto de A por B.
Escrevemos A ·B = P .
Escrito desse modo, pode parecer a primeira vista bem complicado, mas não é. ”Trocando em
miúdos”, temos o seguinte: as matrizes A e B são
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
ai1 ai2 ai3 ... ain
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

m×n
e B =

b11 b12 b13 ... b1j ... b1p
b21 b22 b23 ... b2j ... b2p
b31 b32 b33 ... b3j ... b3p
... ... ... ... ... ... ...
bi1 bi2 bi3 ... bij ... bip
... ... ... ... ... ...
bn1 bn2 bn3 ... bnj ... bnp

n×p
A matriz produto A ·B é
P =

p11 p12 p13 ... p1j ... p1n
p21 p22 p23 ... p2j ... p2n
p31 p32 p33 ... p3j ... p3n
... ... ... ... ... ... ...
pi1 pi2 pi3 ... pij ... pin
... ... ... ... ... ... ...
pm1 pm2 pm3 ... pmj ... pmn

m×p
Raciocinando como na motivação, cada elemento da matriz produto, é obtido multiplicando
certa linha de A, por determinada coluna de B. Por exemplo:
• O elemento p23, que está no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna é obtido
multiplicando a segunda linha de A pela terceira coluna de B. Logo
p23 = a21 · b13 + a22 · b23 + a23 · b33 + a24 · b43 + ...+ a2n · bn3
• Já o elemento p2j, que está no cruzamento da segunda linha com a j-ésima coluna é obtido
multiplicando a segunda linha de A, com a j-ésima coluna de B. Temos:
p2j = a21 · b1j + a22 · b2j + a23 · b3j + a24 · b4j + ...+ a2n · bnj
Se ainda parece complicado, vejamos o exemplo a seguir
Exemplo 1.15. Sejam as matrizes A =
[
1 3 2
5 7 0
]
2×3
e B =
 3 1 5 20 2 6 5
1 1 1 3

3×4
.
Calcule a matriz produto A ·B.
A primeira tarefa é escrever a matriz produto na forma genérica. Para isso devemos prever a
ordem de P . Temos A2×3 e B3×4. Logo devemos ter P2×4 (número de linhas de A e número de
colunas de B). Logo P = [pij]2×4. Temos
P =
[
p11 p12 p13 p14
p21 p22 p23 p24
]
2×4
Agora calculamos cada elemento da matriz P .
14
• p11 = 1× 3 + 3× 0 + 2× 1 = 5 (primeira linha de A e primeira coluna de B)
• p12 = 1× 1 + 3× 2 + 2× 1 = 9 (primeira linha de A e segunda coluna de B)
• p13 = 1× 5 + 3× 6 + 2× 1 = 25 (primeira linha de A e terceira coluna de B)
• p14 = 1× 2 + 3× 5 + 2× 3 = 23 (primeira linha de A e quarta coluna de B)
• p21 = 5× 3 + 7× 0 + 0× 1 = 15 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
• p22 = 5× 1 + 7× 2 + 0× 1 = 19 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
• p23 = 5× 5 + 7× 6 + 0× 1 = 67 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
• p24 = 5× 2 + 7× 5 + 0× 3 = 45 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
Com isso obtemos,
P =
[
5 9 25 23
15 19 67 45
]
2×4
�
É importante notar que para obter o produto de A por B, multiplicamos as linhas de A, pelas
colunas de B. Logo nem sempre será posśıvel calcular A ·B. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 1.16. Considerando as matrizes do exemplo anterior, calcule B · A.
Olhando para o exemplo anterior, vemos que cada linha de B tem 4 elementos e, cada coluna
de A tem 2 elementos. Portanto, não temos como multiplicar as linhas de B pelas colunas de A.
Desse modo não existe, nesse caso, o produto B · A. �
O exemplo anterior exibe claramente certo detalhe impĺıcito na definição do produto de matrizes.
Dadas as matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]r×s, só podemos efetuar o produto A ·B se n = r (número
de colunas de A=número de linhas de B). Caso exista, a matriz produto terá ordem m× s.
Portanto, nem sempre podemos efetuar um produto de matrizes. Caso exista o produto A · B,
pode não existir B ·A. Mesmo que seja posśıvel multiplicar A ·B e B ·A, pode ser que A ·B ̸= B ·A,
ou seja o produto não é, em geral, comutativo. Veja!
Exemplo 1.17. Sejam A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
5 7
6 8
]
. Temos
A ·B =
[
1 2
3 4
]
·
[
5 7
6 8
]
=
[
17 23
39 53
]
Por outro lado,
B · A =
[
5 7
6 8
]
·
[
1 2
3 4
]
=
[
26 38
30 44
]
�
Entretanto, existem casos de matrizes cujo produto é comutativo. Esses casos constituem grande
interesse em álgebra linear. Um deles, talvez o mais importante, será estudado na seção seguinte.
Trata-se da matriz inversa. Outro caso, mais simples, mas não menos importante é mostrado no
exemplo abaixo.
15
Exemplo 1.18. Sejam as matrizes A =
[
3 4
1 2
]
e I =
[
1 0
0 1
]
(matriz identidade de ordem 2).
Temos
A · I =
[
3 4
1 2
]
·
[
1 0
0 1
]
=
[
3 4
1 2
]
e
I · A =
[
1 0
0 1
]
·
[
3 4
1 2
]
=
[
3 4
1 2
]
Logo A · I = I · A �
Para finalizar esta seção temos as propriedades do produto de matrizes.
Proposição 1.3. (Propriedades do produto de matrizes)
(i) Dadas as matrizes Am×n, Bn×p e Cp×r, vale a associatividade do produto: (AB)C = A(BC).
(ii) Dadas as matrizes Am×n, Bm×n e Cn×p, vale a distributividade à esquerda: (A + B)C =
AC +BC.(iii) Dadas as matrizes An×p, Bn×p e Cm×n, vale a distributividade à direita: C(A+B) = CA+CB.
(iv) Se Am×n, então vale a comutatividade com a identidade: Im · A = A · In = A.
(v) Dadas as matrizes Am×n, Bn×p e um número real α, vale a homogeneidade do produto: (αA)B =
A(αB) = α(AB).
(vi) O produto de matrizes não é, de um modo geral, comutativo.
(vii) O produto de duas matrizes ser nulo, não implica que uma delas seja nula.
�
Como já foi dito anteriormente, as propriedades das operações com matrizes nos permitem
manipular equações matriciais, de modo análogo ao que já fazemos com equações de números reais.
Isso ajuda a tornar os cálculos mais ”naturais”. Portanto, vale salientar o que não é permitido
quando se trata de matrizes. Um fato importante, como já vimos, é que o produto não é comutativo.
Outro fato muito usado para resolver equações com números reais que não vale para matrizes é
expresso pela propriedade (vii) acima. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.19. Seja as matrizes A =
[
0 1
0 1
]
e B =
[
1 1
0 0
]
.
Temos que A ·B =
[
0 1
0 1
]
·
[
1 1
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
(matriz nula).
Ou seja, A ·B = 0 (matriz nula). Entretanto A ̸= 0 e B ̸= 0. �
1.2.4 Exerćıcios
1. Determine x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais.
(a) A =
[
5 3x
26− y 0
]
e B =
[
5 75
6 0
]
(b) A =
[
x2 − 40 y2 + 4
6 3
]
e B =
[
41 13
6 3
]
(c) A =
[
16 25
1 x2
]
e B =
[
16 25
1 10− x2
]
16
2. Dadas as matrizes
A =
[
1 2 5
3 −4 10
]
, B =
[
6 −5 −2
0 1 6
]
e C=
[
2 0 7
0 1 4
]
Calcular:
(a)A+B (b)B + C (c)A+ C
(d)A−B (e)A− C (f)B − C
(g)X = 4A− 3B − 3C (h)X = 2B − 4A− 8C (i)X = 4C + 2A− 6B
3. Considerando ainda as matrizes do exerćıcio anterior, determine a matriz X, de modo que
3(X + A)−B = C +X.
4. Nos ı́tens abaixo, calcular o produto das matrizes A e X
(a) A =
[
2 1
3 −4
]
e X =
[
x
y
]
(b) A =
 1 2 30 0 0
1 −1 1
 e X =
 x1x2
x3

(c) A =
 −1 0 1 52 0 1 −3
−4 0 7 2
 e X =

x1
x2
x3
x4

5. Dadas as matrizes
A =

1 2
3 1
7 −4
5 9
, B = [ 1 3 −5 −76 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3

Calcular:
(a) AB (b) BA (c) CB (d) (AB)D
(e) A(BD) (f) (BA)C (g) B(AC) (h) C2
1.3 Matrizes Especiais
Objetivos
• Determinar a transposta de uma matriz
• Reconhecer uma matriz simétrica
• Conhecer a definição de matriz inverśıvel
1.3.1 Matriz Transposta
Definição 1.11. Dada uma matriz A = [aij]m×n, chamamos matriz transposta de A, à matriz
AT = [aji]n×m.
Segundo essa definição, dada uma matriz A = [aij]m×n, obtemos a transposta de A trocando os
ı́ndices ij, por ji. Notemos que A é de ordem m × n, enquanto que AT tem ordem n × m. Isso
significa que para obter a transposta, trocamos as linhas por colunas. Veja o exemplo.
17
Exemplo 1.20. Dada a matriz A =
[
2 5 7
1 3 8
]
, sua transposta AT é
AT =
 2 15 3
7 8

Notemos que a primeira linha de A, se tornou a primera coluna de AT e, a segunda linha de A
se tornou a segunda coluna de AT . Cada linha em A vira uma coluna em AT . Notemos também
que a ordem de A é 2× 3, enquanto que a ordem de AT é 3× 2. �
Matrizes transpostas possuem propriedades muito úteis para o cálculo matricial. Vejamos as
mais notáveis.
Proposição 1.4. Sejam A e B matrizes de mesma ordem e α ∈ R. valem as seguintes igualdades.
(i) (A+B)T = AT +BT
(ii) (α · A)T = α · AT
(iii) (AT )T = A
(iv) (A ·B)T = BT · AT
A primeira propriedade diz que somar duas matrizes e tomar a transposta do resultado, é o
mesmo que tomar a transposta de cada matriz e a seguir somar as matrizes obtidas. Veja um
exemplo:
Exemplo 1.21. Dadas A =
[
1 1
2 5
]
e B =
[
2 3
7 9
]
, temos:
A+B =
[
1 1
2 5
]
+
[
2 3
7 9
]
=
[
3 4
9 14
]
. Logo (A+B)T =
[
3 9
4 14
]
. Por outro lado,
AT +BT =
[
1 2
1 5
]
+
[
2 7
3 9
]
=
[
3 9
4 14
]
. Ou seja, (A+B)T = AT +BT . �
A segunda propriedade conta que multiplicar uma matriz por um número real e a seguir tomar
a transposta do resultado, é o mesmo que calcular primeiro a transposta e depois multiplicar pelo
número dado. Veja um exemplo.
Exemplo 1.22. Dada a matriz A =
[
3 4
9 14
]
e o número real
√
2. temos que:
(
√
2 · A) =
√
2 ·
[
3 4
9 14
]
=
[
3
√
2 4
√
2
9
√
2 14
√
2
]
. Logo (
√
2 · A)T =
[
3
√
2 9
√
2
4
√
2 14
√
2
]
. Por outro
lado,
√
2 · AT =
√
2 ·
[
3 9
4 14
]
=
[
3
√
2 9
√
2
4
√
2 14
√
2
]
. O mesmo resultado! �
A terceira propriedade das matrizes transpostas, diz que a transposta da transposta é a própria
matriz. Isso é simples de verificar. Construa um exemplo! Por fim a última propriedade não é
nada trivial. Ela nos ensina que a transposta do produto é o produto das transpostas na ordem
contrária. Vejamos um exemplo.
18
Exemplo 1.23. Sejam as matrizes A =
[
2 9
4 1
]
e B =
[
1 5
3 7
]
. O produto dessas matrizes é
dado por:
A ·B =
[
2 9
4 1
]
·
[
1 5
3 7
]
=
[
29 73
7 19
]
. Logo (A ·B)T =
[
29 7
73 19
]
. Por outro lado,
AT ·BT =
[
2 4
9 1
]
·
[
1 3
5 7
]
=
[
22 34
14 34
]
̸=
[
29 73
7 19
]
. Entretanto,
BT · AT =
[
1 3
5 7
]
·
[
2 4
9 1
]
=
[
29 73
7 19
]
= (A ·B)T .
1.3.2 Matriz Simétrica
Definição 1.12. Uma matriz A é chamada simétrica, quando A = AT .
Isso significa que uma matriz é simétrica quando for igual a sua transposta. Ou seja, quando a
troca de linhas por colunas não mudar a matriz.
Exemplo 1.24. A matriz A =
 1 2 32 5 7
3 7 9
 é simétrica pois sua transposta é dada por AT = 1 2 32 5 7
3 7 9
. Notemos que A = AT . �
Existe um truque simples para reconhecer matrizes simétricas. Basta pensar na diagonal da
matriz como um espelho e notar que os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal
são iguais.
Há também um truque para se obter matrizes simétricas. Dada uma matriz A, obtemos uma
matriz simétrica multiplicando A pela sua transposta. Veja o exemplo.
Exemplo 1.25. Seja A =
 2 0 21 −1 2
0 3 0
. Temos AT =
 2 1 00 −1 3
2 2 0
. Logo
A · AT =
 2 0 21 −1 2
0 3 0
 ·
 2 1 00 −1 3
2 2 0
 =
 8 6 06 4 −3
0 −3 0
 que é uma matriz simétrica. �
1.3.3 Matriz Inversa
Recordemos, sobre números reais, que dado um número real não nulo a, seu inverso multiplicativo
b, deve ser tal que a · b = 1. Logo o inverso de a é b = 1
a
. Por exemplo, o inverso de 2 é 1
2
, pois
2 · 1
2
= 1. De um modo parecido, definimos para matrizes o seguinte.
Definição 1.13. Dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem n× n. Dizemos que B
é a inversa de A quando A ·B = B · A = In. Neste caso denotamos B = A−1.
Exemplo 1.26. Considere as matrizes A =
[
8 5
3 2
]
e B =
[
2 −5
−3 8
]
. Notemos que
A ·B =
[
8 5
3 2
]
·
[
2 −5
−3 8
]
=
[
1 0
0 1
]
19
e
B · A =
[
2 −5
−3 8
]
·
[
8 5
3 2
]
=
[
1 0
0 1
]
Logo B é a inversa de A e, escrevemos B = A−1.
(Faça as contas e confirme os resultados!) �
Recordando o exemplo (1.17), no qual foi afirmado que o produto de matrizes não é, em ge-
ral, comutativo. As matrizes inversas constituem um importante exemplo de produto comutativo.
Podemos afirmar que: matrizes inverśıveis comutam com sua inversa.
Fica claro na definição e mais ainda no exemplo acima que se B for a inversa de A, então A será
inversa de B. Logo, se B = A−1, então A = B−1.
É fato que todo número real, não nulo, a possui um inverso multiplicativo 1
a
. Isso torna prático
resolver equações, como por exemplo 2x + 5 = 10. Temos 2x = 10 − 5. Ou seja, 2x = 5. Logo
x = 5
2
. Gostaŕıamos de fazer contas análogas com matrizes. Por exemplo, dadas as matrizes A, B e
C, gostaŕıamos de resolver equações do tipo A ·X +B = C, em que se deseja determinar a matriz
X. Temos o seguinte
• A ·X +B = C, logo
• A ·X = C −B, tomando a oposta de B. Segue-se que
• X = C −B
A
, logo
• X = 1
A
· (C −B), finalmente
• X = A−1 · (C −B)
Entretanto, para que isso faça sentido, precisamos da inversa da matriz A, que nem sempre
existe! E, caso exista, como determina-la? Vamos desenvolver mais alguns resultadose voltaremos
a esse ponto na seção de inversão de matrizes.
1.3.4 Exerćıcios
1. Dada a matriz A =
[
1 2 5 2
0 −3 1 4
]
, determine AT .
2. Dadas as matrizes A =
 1 0−3 2
5 3
, B = [ 4 2 1 −3
6 5 −1 0
]
, C =
 1 2 30 −1 2
5 4 1
 e
D =

0 0 0 1
−1 0 0 2
−1 0 1 0
0 1 0 2

calcule:
(a) (AB)T (b) (AB)DT (c) A(BDT ) (d) BTC
20
3. Dadas as matrizes A =
 1 −2 52 3 4
1 5 −8
, B = [ 0 1 −3
2 7 2
]
e C =
 1 5 32 −1 −5
1 2 −1

Calcule
(a) A+ AT (b) C + CT (c) A · AT (d) C − CT
4. Nos ı́tens que se seguem, verifique se B é a inversa de A.
(a) A =
 5 −1 15 5 5
0 2 3
 e B =
 2 4 12 0 −2
−2 0 1

(b) A =
 −4 −2 02 −6 −2
10 −8 −4
 e B =
 −1 1 −0, 51, 5 −2 1
−5, 5 6, 5 −3, 5

(c) A =
 4 5 02 3 0
−6 −1 −2
 e B =
 9 3 4−7 2 5
1 6 8

5. Nos ı́tem a seguir, calcule m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
(a) A =
[
m −22
−2 n
]
e B =
[
5 22
2 9
]
(b) A =
[
2 5
3 8
]
e B =
[
8 m
n 2
]
6. Determine a matriz X em cada ı́tem a seguir, supondo que as matrizes A, B, C e D são
quadradas, de mesma ordem e inverśıveis.
(a)ADX = ABC (b)DXT = DC (c)ABCX2D2 = ABCXD
(d)D−1XD = AC (e)CX + 2B = 3B
1.4 Escalonamento de Matrizes
Objetivos
• Conhecer as três operações elementares sobre linhas de uma matriz
• Obter a forma escalonada de uma matriz
• Obter o posto de uma matriz.
O principal objetivo desta seção é desenvolver uma ferramenta para a obtenção da inversa de
uma matriz. Essa ferramenta terá diversas aplicações no decorrer do curso, como por exemplo:
resolução de sistemas lineares, cálculo da dimensão de subespaços vetoriais. A partir desse ponto
trataremos apenas, salvo menção em contrário, de matrizes quadradas.
21
1.4.1 Operações Sobre Linha
Considere uma matriz A. As operações indicadas a seguir são chamadas operações elemen-
tares sobre as linhas de A.
(i) Permutar duas linhas.
(ii) Multiplicar uma linha por um número real, não nulo.
(iii) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha, previamente multiplicada por um número
real.
As linhas da matriz serão indicadas por L1, L2, L3,... As operações acima descritas serão
denotadas da seguinte forma:
(i) Li ↔ Lj para a permutação da linha Li com a linha Lj.
(ii) Li ↔ α · Li para a troca da linha Li pela linha Li multiplicada pelo número real α.
(iii) Li ↔ Lk + α · Lj para a substituição da linha Li pela linha Lk + α · Lj.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.27. Dada a matriz A =
 8 5 73 2 0
3 3 3
, temos o seguinte.
(a) Aplicando em A a operação L1 ↔ L3, obtemos a matriz
A1 =
 3 3 33 2 0
8 5 7

(b) Aplicando em A a operação L3 ↔ 2 · L3, obtemos:
A2 =
 8 5 73 2 0
6 6 6

(c) Aplicando agora, a operação L1 ↔ L1 + 2 · L3 em A, obtemos:
A3 =
 14 11 133 2 0
3 3 3

�
Veremos mais exemplos a seguir. Agora temos mais uma definição.
Definição 1.14. Dada uma matriz A, dizemos que outra matriz B é equivalente a A, se B puder
ser obtida a partir de A, por meio de uma sequência de operações elementares. Denotamos por
B ∼ A.
Quando aplicamos uma operação elementar sobre uma matriz, alteramos os elementos da matriz.
Após aplicarmos seguidas operações elementares em uma matriz podemos obter como resultado uma
matriz com muitos zeros.
22
Exemplo 1.28. Dada a matriz A =
 2 1 71 3 2
5 3 4
. Aplicamos as seguintes operações elementares:
• A1 =
 1 12 721 3 2
5 3 4
, fazendo L1 ↔ 12 · L1 em A
• A2 =
 1 12 720 5
2
−3
2
5 3 4
 fazendo L2 ↔ L2 + (−1) · L1 em A1
• A3 =
 1 12 720 5
2
−3
2
0 1
2
−27
2
 fazendo L3 ↔ L3 + (−5) · L1 em A2
• A4 =
 2 1 70 5
2
−3
2
0 1
2
−27
2
 fazendo L1 ↔ 2 · L1 em A3
• A5 =
 2 1 70 5 −3
0 1
2
−27
2
 fazendo L2 ↔ 2 · L2 em A4
• A6 =
 2 1 70 5 −3
0 1 −27
 fazendo L3 ↔ 2 · L3 em A5
• A7 =
 2 1 70 1 −27
0 5 −3
 fazendo L2 ↔ L3 em A6
• A8 =
 2 1 70 1 −27
0 0 132
 fazendo L3 ↔ L3 + (−5)L2 em A7
Após sucessivas operações elementares a matriz A se transformou em A8. Logo A8 ∼ A.
�
1.4.2 Escalonamento
Na subseção anterior, vimos que a aplicação sucessiva de operações elementares em uma matriz
pode produzir uma matriz com muitos zeros. Isso é, como veremos, particularmente útil para a
obtenção da inversa de uma matriz e para a resolução de um sistema linear. Nesta subseção vamos
estabelecer a ferramenta nessária para esse fim.
Definição 1.15. Dizemos que uma matriz A está na forma escalonada, se satifaz as seguintes
condições:
(i) Todas as linhas nulas de A, se existirem, ficam abaixo de todas as linhas não nulas.
(ii) A quantidade de zeros antes do primeiro elemento não nulo de cada linha aumenta a cada
linha.
23
Exemplo 1.29. Observe as seguintes situações.
(a) A matriz A =
 1 2 70 3 5
0 0 4
 está na forma escalonada. Há um zero antes do 3 e, dois zeros
antes do 4 (aumentou a quantidade de zeros).
(b) A matriz B =
 3 1 50 0 5
0 1 4
 não está na forma escalonada, pois a segunda linha tem dois zeros
antes do 5 e, a terceira linha tem apenas um zero antes do 1. Contradizendo a condição (ii)
da definição.
(c) A matriz C =
 0 3 1 50 0 0 5
0 0 0 1
 não está na forma escalonada, pois a segunda linha tem três
zeros antes do 5 e, a terceira linha tem, também três zeros antes do 1. Contradizendo a
condição (ii) da definição.
(d) A matriz D =
 0 3 0 0 00 0 0 5 2
0 0 0 0 1
 está na forma escalonada. Só importam os zeros antes de
cada elemento não nulo em uma linha. Na primeira linha há 1 zero antes do 3. Na segunda,
temos 3 zeros antes do 5 e, na terceira, 4 zeros antes do 1.
(e) A matriz E =

0 3 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 0 4 5
 não está na forma escalonada. Pois, há uma linha nula (a
segunda), acima de linhas não nulas.
�
Agora que já sabemos reconhecer matrizes na forma escalonada, podemos aprender a escalonar
matrizes. Toda matriz pode ser reduzida a sua forma escalonada por meio de operações elementares.
Você pode tentar fazer isso, desenvolvendo seu próprio método. Esse processo é, em geral, traba-
lhoso e exige muito cuidado na sua execução. A seguir sugerimos um método para obter a matriz
escalonada.
Método do escalonamento
(1) Usando permutação de linhas, coloque todas as linhas nulas, se existirem, abaixo de todas as
linhas não nulas. Se alguma linha se anular no processo, use permutação, novamente, e a
coloque abaixo de todas as linhas não nulas.
(2) Novamente usando permutações, arrume as linhas da matriz de modo que o número de zeros
antes do primeiro elemento não nulo em cada linha não diminua linha após linha.
(3) Identifique o primeiro elemento não nulo na primeira linha. Chamamos esse elemento de pivô
da primeira linha. Usando operações elementares, obtenha 0 para todos os elementos abaixo
dele.
(4) Repita o passo (2).
24
(5) Repita o passo (3) para cada linha seguinte, após a primeira.
Vejamos um exemplo de aplicação desse método.
Exemplo 1.30. Considere a matriz A =
 1 2 34 1 7
6 5 12
. Essa matriz não têm elementos nulos.
Começamos o escalonamento do passo (3).
(i) O pivô da primeira linha é 1 (fica mais fácil quando o pivô é 1. Se não for, procure obtê-lo.
Trocando linhas, por exemplo ou dividindo a linha por uma constante). Devemos ”zerar”os
elementos abaixo do pivô, que são 4 e 6. Para ”zerar”o 4 fazemos a seguinte operação:
L2 ↔ L2 + (−4)L1. Para ”zerar”o 6, fazemos o seguinte: L3 ↔ L3 + (−6)L1. Obtemos:
A1 =
 1 2 30 −7 −5
0 −7 −6

(ii) Identificamos o pivô da segunda linha, que é −7. O objetivo agora, é ”zerar”os elementos
abaixo do pivô. Nesse caso só há um elemento para tornar zero, o −7. Aplicamos a seguinte
operação elementar: L3 ↔ L3 + (−1)L2. Note que não usamos mais a primeira linha. Após
os cálculos, obtemos:
A2 =
 1 2 30 −7 −5
0 0 −1

A matriz, agora, encontra-se na forma escalonada.
�
Definição 1.16. Chamamos posto de uma matriz ao número de linhas não nulas de sua formaescalonada. Denotamos o posto da matriz A assim posto(A).
A fim de saber o posto de uma matriz, escalonamos essa matriz e contamos o número de linhas
não nulas da forma escalonada.
Exemplo 1.31. Observe os casos a seguir
(a) A matriz P =
 1 2 30 −7 −5
0 0 −1
 está na forma escalonada. E nenhuma linha é nula. Logo seu
posto é 3
(b) A matriz Q =
 1 2 32 4 6
3 6 9
, após escalonada toma a forma Q1 =
 1 2 30 0 0
0 0 0
, com apenas
uma linha não nula.
Logo posto(Q) = posto(Q1) = 1
�
25
1.4.3 Exerćıcios
1. Decida em cada ı́tem se a matriz dada está ou não na forma escalonada.
(a) A =
 1 2 30 −3 8
4 0 0
 (b) B =
 3 1 50 2 8
0 0 0
 (c) C =
 0 0 10 0 0
0 0 2

(d) F =

1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 0 1
0 0 0 0
 (e) E =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
 (f) G =

0 2 3 1
0 0 −1 3
0 0 0 1
0 0 0 0

2. Obtenha uma forma escalonada para cada matriz a seguir e dê seu posto
(a) A =
[
1 2
3 4
]
(b) B =
 1 23 4
5 7
 (c) C =
 1 2 32 −3 8
4 15 10

(d) D =
 1 3 25 −1 10
3 12 1
 (e) E =

1 2 5
1 −2 0
2 3 10
0 5 4
 (f) F =
 1 3 7 12 −1 0 3
1 3 5 0

(g) G =
 −1 10 −7−1 −4 3
1 −2 1
 (h) H =
 2 2 23 4 7
1 2 5
 (i) J =

−1 −2 −3
−2 −4 −5
−3 −5 −6
−2 −7 −6

1.5 Inversão de Matrizes
Objetivo
• Obter a inversa de uma matriz
1.5.1 Obtenção da Inversa
No final da seção (1.3) levantamos a questão sobre quando uma matriz possui inversa e, caso
exista, como obter tal inversa. Essa seção tem o objetivo de responder essas questões. E a resposta
está em um resultado bem conhecido.
Proposição 1.5. Considere uma matriz quadrada A. A mesma sequência de operações elementares
que transforma a matriz A na matriz identidade I, transforma a matriz I na matriz inversa de A.
Portanto, uma matriz quadrada será inverśıvel quando for posśıvel, por meio de operações ele-
mentares, obter a matriz identidade. Isso responde a primeira questão discutida acima. Para a
obtenção da inversa, vejamos o seguinte.
Método da Inversa
Considere uma matriz A, cuja inversa queremos determinar.
(1) Primeiramente escrevamos a matriz A e, ao lado dessa, a matriz identidade I de mesma ordem.
Com isso obtemos a matriz A. Vamos denotar A = [A||I].
26
(2) Agora aplicamos operações elementares sobre a matriz A, objetivando transformar a matriz A
em I. Para isso usaremos uma variação do método do escalonamento.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.32. Determine, se posśıvel, a inversa da matriz A =
 2 1 34 2 2
2 5 3
.
• Primeiro escrevemos a matriz A. Temos A =
 2 1 34 2 2
2 5 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
• Agora identificamos o pivô da primeira linha, que é 2. Devemos ”zerar”os elementos 4 e
2, abaixo do pivô. Aplicamos as seguintes operações elementares: L2 ↔ L2 + (−2)L1, para
”zerar”o 4 e, L3 ↔ L3 + (−1)L1, para ”zerar”o 2. Após os cálculos, temos:
A1 =
 2 1 30 0 −4
0 4 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
−1 0 1

• Agora permutamos a segunda linha com a terceira. Obtemos:
A2 =
 2 1 30 4 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−1 0 1
−2 1 0

• A matriz à esquerda já está escalonada. Entretanto, precisamos transforma-la na matriz
identidade. Para isso, vamos olhar para a segunda linha e Zerar o elemento acima do 4.
Primeiro vamos dividir a segunda linha por 4, para facilitar as contas. façamos a seguinte
operação elementar L2 ↔ 14L2. Ficamos com:
A3 =
 2 1 30 1 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−1
4
0 1
4
−2 1 0

• Agora sim, vamos olhar para a segunda linha e ”zerar”o elemento acima do 1, que é também
1. Façamos o seguinte: L1 ↔ L1 + (−1)L2. Resulta em:
A4 =
 2 0 30 1 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
5
4
0 −1
4
−1
4
0 1
4
−2 1 0

• O próximo passo é simplificar a terceira linha, fazendo L3 ↔ −14L3. Vem que:
A5 =
 2 0 30 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
5
4
0 −1
4
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

• Olhando para a terceira linha, precisamos ”zerar”os elementos acima do 1. Nesse caso, só
falta o 3. Logo fazemos L1 ↔ L1 + (−3)L3. Obtemos:
A6 =
 2 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−1
4
3
4
−1
4
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

27
• Finalmente, basta dividir a primeira linha por 2. Para isso, usamos a seguinte operação
elementar: L1 ↔ 12L1. Resulta em:
A7 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−1
8
3
8
−1
8
−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

Como a matriz à esquerda foi reduzida a identidade, segue-se, pela proposição 1.5, que a
matriz resultante à direita é a inversa de A. Temos:
A−1 =
 −18 38 −18−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

�
Caso a matriz A, não seja inverśıvel, não será posśıvel reduzi-la a identidade. Veja um exemplo
disso.
Exemplo 1.33. Considere a matriz A =
 1 2 32 4 6
5 1 4
. Vamos tentar aplicar o método da inversa
nessa matriz.
• Primeiramente escrevemos
A =
 1 2 32 4 6
5 1 4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1

• A seguir, identificamos o pivô da primeira linha, que é 1 e, objetivando ”zerar”os elementos
abaixo dele, fazemos L2 ↔ L2 + (−2)L1. Após os cálculos, obtemos:
A1 =
 1 2 30 0 0
5 1 4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
0 0 1

Notemos que a segunda linha da matriz à esquerda se anulou! Isso significa que não há como
transforma-la na matriz identidade. Segue-se que a matriz A não é inverśıvel.
�
1.5.2 Exerćıcios
1. Transforme a matriz dada na matriz identidade, por meio de operações elementares.
(a) A =
[
3 5
1 2
]
(b) B =
 −3 4 −50 −1 2
3 −5 4
 (c) C =

1 0 0 0
−2 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1

28
2. Obtenha, se posśıvel, a inversa da matriz a seguir.
(a) A =
[
5 2
1 3
]
(b) B =
[
3 1
2 3
]
(c) C =
[
3 1
9 3
]
(d) D =
 2 0 00 3 0
0 0 7
 (e) E =
 −1 0 0−1 −1 0
−1 −1 −1
 (f) F =
 −1 10 −7−1 −4 3
1 −2 1

(g) G =
 2 2 23 4 7
1 2 5
 (h) H =
 0 2 −11 4 −2
−1 −7 3
 (i) I =
 −1 10 −7−1 −4 3
1 −2 1

(j) J =

1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
 (k) K =
 −3 4 −50 1 2
3 −5 4
 (l) L =
 −1 −2 −3−2 −4 −5
−3 −5 −6

(l)
 −4 0 −10−2 −4 −4
2 −2 6
 (q)
 0 0 50 6 0
9 0 0
 (r)

−1 2 0 −8
0 −1 2 1
0 0 −1 1
0 0 0 −1

1.6 Cálculo de Determinantes
Objetivo
• Calcular determinantes de ordem 2
• Desenvolver um determinante por uma linha, ou coluna
Determinantes são funções que surgem naturalmente em cálculos matriciais. Precisamos
desse conceito em diversas áreas da matemática que usam matrizes como, por exemplo no cálculo de
funções de várias variáveis. Usaremos determinantes no último caṕıtulo desse texto para determinar
os autovalores e autovetores de um operador linear.
1.6.1 Determinantes de ordem 2
Definição 1.17. Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chamamos determinante
de A ao número real:
a11 · a22 − a21 · a12
Denotamos o determinante da matriz A, por detA, ou |A|. Nesse caso, temos:
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 · a22 − a21 · a12
Como trata-se de um determinante de uma matriz de segunda ordem, chamaremos determi-
nante de ordem 2.
29
Exemplo 1.34. Calcule o determinante da matriz A =
[
2 1
5 3
]
.
Usando a fórmula dada na definição acima, temos: detA =
∣∣∣∣ 2 15 3
∣∣∣∣ = 2 · 3− 5 · 1 = 1 �
Pode parecer sem sentido efetuar um cálculo sem um sentido estabelecido, como estamos fazendo
ao calcular um determinante. Entretanto, por se tratar de um cálculo trabalhoso, é relevante estudá-
lo a parte, para que as idéias possam fluir mais naturalmente quando aplicarmos esse conceito em
uma teoria mais abrangente.
1.6.2 Desenvolvimento por Linha
O determinante, segundo a definição que demos, é um número real, obtido a partir de uma
matriz. Não faz sentido falar em linhas ou colunas de um determinante. Contudo, o faremos
deliberadamente, com a simples intenção de tornar mais fácil a compreensão dos cálculos.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem maior que dois, usamos a
definição a seguir. Para facilitar a compreensão concentremos nossa atenção na linha i. Esse
método de calcular o determinanteé chamado de desenvolvimento a partir de uma linha, no
caso em questão, i-ésima linha.
Definição 1.18. O determinante de uma matriz quadrada A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain
... ... ... ...
an1 an2 ... ann

n×n
, com
n > 2 é dado por:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
ai1 ai2 ai3 ... ain
... ... ... ... ...
an1 an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= (−1)i+1ai1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
... ... ... ...
a(i−1)2 a(i−1)3 ... a(i−1)n
a(i+1)2 a(i+1)3 ... a(i+1)n
... ... ... ...
an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
30
+(−1)i+2ai2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a13 a14 ... a1n
a21 a23 a24 ... a2n
... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)3 a(i−1)4 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)3 a(i+1)4 ... a(i+1)n
... ... ... ... ...
an1 an3 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+(−1)i+3ai3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a14 a15 ... a1n
a21 a22 a24 a25 ... a2n
... ... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)2 a(i−1)4 a(i−1)5 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)2 a(i+1)4 a(i+1)5 ... a(i+1)n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 an4 an5 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ ...
...
...+ (−1)i+nain
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1(n−1)
a21 a22 ... a2(n−1)
... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)2 ... a(i−1)(n−1)
a(i+1)1 a(i+1)2 ... a(i+1)(n−1)
... ... ... ...
an1 an2 ... an(n−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Observemos atentamente a fórmula acima. O determinante foi desenvolvido a partir da i-ésima
linha de A. Vamos analisar a primeira parcela:
(−1)i+1ai1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
... ... ... ...
a(i−1)2 a(i−1)3 ... a(i−1)n
a(i+1)2 a(i+1)3 ... a(i+1)n
... ... ... ...
an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ela foi determinada pelo primeiro elemento dessa linha, no caso: ai1, que está cruzamento da
linha i, com a coluna 1 de A.
Primeiro temos (−1)i+1. Notemos que i+1 é a soma dos ı́ndices de ai1. Agora compare a matriz
A, com essa expressão que estamos analizando. O determinante que aparece nessa expresão foi
obtido da matriz A, eliminando a linha e a coluna do elemento ai1. Por isso, nesse determinante,
está faltando a linha i e a coluna 1. Aparecem as linhas 1, 2, ... até a linha (i−1). A linha seguinte,
é a linha (i+ 1) (observe!). Eliminamos a linha i.
O segundo elemento da linha i é ai2 (estamos desenvolvendo a linha i). Esse elemento está no
cruzamento da linha i, com a coluna 2. Eliminando essa linha e essa coluna, obtemos o determinante
que aparece na segunda parcela. Desse modo, a segunda parcela é
31
(−1)i+2ai2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a13 a14 ... a1n
a21 a23 a24 ... a2n
... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)3 a(i−1)4 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)3 a(i+1)4 ... a(i+1)n
... ... ... ... ...
an1 an3 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Enfatizando mais ainda, notemos que as colunas que aparecem nesse determinante são a coluna
1, depois a coluna 3, a seguir vem a coluna 4, ... até a coluna final. A coluna 2 foi, de fato,
eliminada.
Seguindo esse racioćınio, obtemos cada parcela do desenvolvimento do determinante. É impor-
tante notar que, para calcular o determinante de A, o desenvolvemos em uma soma com determi-
nantes ”menores”(uma linha e uma coluna a menos). Vejamos agora alguns exemplos numéricos.
Exemplo 1.35. Dada a matriz de ordem 3, A =
 2 1 53 0 2
10 5 1
, calcule detA.
A fórmula dada nos permite desenvolver o determinante por uma linha i qualquer. Vamos
desenvolvê-lo a partir da primeira linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
2 1 5
3 0 2
10 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 ·
∣∣∣∣ 0 25 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1 · ∣∣∣∣ 3 210 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 5 · ∣∣∣∣ 3 010 5
∣∣∣∣
Notemos que estamos desenvolvendo a primeira linha. Os elementos em questão são: 2, 1 e 5.
Olhando para o 2, vemos que ele está no cruzamento da primeira linha com a primeira coluna. Isso
justifica o (−1)1+1. Analogamente, o elemento seguinte, 1, está no cruzamento da primeira linha
com a segunda coluna. Por isso, aparece o fator (−1)1+2. Analogamente para o 5.
Agora, como já sabemos calcular determinantes de segunda ordem, conclúımos o cálculo. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
2 1 5
3 0 2
10 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 ·
∣∣∣∣ 0 25 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1 · ∣∣∣∣ 3 210 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 5 · ∣∣∣∣ 3 010 5
∣∣∣∣ =
2 · (−10) + (−1) · (−17) + 5 · 15 = 72
�
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 1.36. Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 4
0 0 3
8 1 2
∣∣∣∣∣∣.
Vamos calcular esse determinante, desenvolvendo-o a partir da segunda linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 4
0 0 3
8 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1 · 0 ·
∣∣∣∣ −1 41 2
∣∣∣∣+ (−1)2+2 · 0 · ∣∣∣∣ 3 48 2
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 3 · ∣∣∣∣ 3 −18 1
∣∣∣∣ =
(−1) · 3 · 11 = −33
�
Notemos que o cálculo ficou bem mais simples, pois a linha escolhida tinha dois zeros. Calcula-
mos a seguir um determinante de ordem 4.
32
Exemplo 1.37. Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Desenvolveremos a terceira linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
3+1 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
Notemos que não escrevemos todas as parcelas. Usamos apenas os elementos não nulos da
terceira linha. Calculando cada determinante separadamente, temos
•
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1 · 1 ·
∣∣∣∣ 2 10 1
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 3 · ∣∣∣∣ 5 21 0
∣∣∣∣ = (−1) · 2 + (−1) · 3 · (−2) = 4
•
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 1 ·
∣∣∣∣ 1 31 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 5 · ∣∣∣∣ 3 13 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 1 · ∣∣∣∣ 3 11 1
∣∣∣∣ =
−2 + (−1) · 5 · 0 + 2 = 0
Desenvolvemos a linha 2, para o primeiro e a linha 1 para o segundo.
Retomando, temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
3+1 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
= 1 · 4 · 4 + 1 · 1 · 0 = 16 �
1.6.3 Exerćıcios
1. Calcule os determinantes abaixo
(a)
∣∣∣∣ 2 15 3
∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣ 2 310 19
∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣ 20 59 8
∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣ 3 16 9
∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣
0 0 5
0 6 0
9 0 0
∣∣∣∣∣∣ (f)
∣∣∣∣∣∣
3 1 1
2 0 0
1 2 2
∣∣∣∣∣∣ (g)
∣∣∣∣∣∣
1 1 2
0 1 −1
3 2 5
∣∣∣∣∣∣
(h)
∣∣∣∣∣∣
5 3 1
2 0 3
4 6 0
∣∣∣∣∣∣ (i)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
3 6 9
−3 0 0
∣∣∣∣∣∣ (j)
∣∣∣∣∣∣
3 0 5
1 2 1
0 2 3
∣∣∣∣∣∣
(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 0 1
1 2 1 3
0 1 0 0
3 5 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ (l)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 5 2
2 0 5 6
1 0 5 7
0 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
33
Caṕıtulo 2
Sistemas de Equações Lineares
2.1 Solução de Sistemas
Objetivos
• Conhecer equações e sistemas lineares
• Saber o que é solução de um sistema linear
• Escrever um sistema linear em notação matricial
2.1.1 Equações Lineares
Definição 2.1. Chamamos equação linear a coeficientes reais a uma expressão do tipo
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b
Na qual, x1, x2, ..., xn são chamadas variáveis. Os termos a1, a2, ..., an são números reais,
chamados coeficientes das variáveis x1, x2,...,xn, respectivamente. O valor b é denominado termo
independente. No caso particular em que b = 0, ficamos com
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = 0
e, chamamos equação homogênea.
Observação: Neste texto, vamos tratar apenas de equações com coefientes reais. Portanto,
diremos apenas, equação linear.
O que caracteriza uma equação linear é que as variáveis estão sujeitas a apenas duas operações
(operações lineares), quais sejam: soma e multiplicação por um número real.
Exemplo 2.1. Considere a equação linear 2x1 + 5x2 − 8x3 + 3x4 = 1
Nessa equação os coeficientes são 2, 5, −8 e 3. O número 1, à direita da igualdade é o termo
independente. �
Caso estejamos considerando uma equação com poucas variáveis, costumamos escrevê-la usando
letras diferentes como no exemplo a seguir.
Exemplo 2.2. A equação 2x+ 3y + 5z = 0 é uma equação linear homogênea. �
34
Definição 2.2. Uma n-upla de números reais (s1, s2, ..., sn) é chamada solução da equação linear
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b quando a igualdade a1s1 + a2s2 + a3s3 + ... + ansn+ = b é
verdadeira.
Exemplo 2.3. Considere a equação 2x + 3y = 17. O par de valores (4, 3) é uma solução dessa
equação. Pois, substituindo na equação, obtemos 2 ·4+3 ·3 = 17. Por tentativaspodemos encontrar
outras soluções para essa equação. Tente encontrar algumas! O par (2, 5) não é solução dessa
equação, pois substituindo na equação, obtemos 2 · 2 + 3 · 5 = 19 ̸= 17.
�
Exemplo 2.4. Considere a equação linear homogênea x+ 2y + z = 0. A terna de valores (0, 0, 0)
é solução dessa equação, pois substituindo na equação obtemos: 0 + 2 · 0 + 0 = 0. �
O exemplo acima evidencia uma propriedade, simples, mas muito útil sobre equações lineares.
Toda equação linear homogênea a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = 0 admite a solução (0, 0, ..., 0),
chamada solução trivial. Uma solução da equação linear homogênea a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +
anxn = 0, diferente da solução trivial será chamada não-trivial. Considerando ainda o exemplo
anterior, vemos que (2, 3,−8) é também solução da equação dada, trata-se de uma solução não-
trivial.
2.1.2 Sistemas Lineares
Definição 2.3. Um sistema linear com coeficientes reais é um conjunto de equações lineares.
Denotamos assim: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Quando ocorre b1 = b2 = b3 = ... = bm = 0, dizemos que o sistema é homogêneo.
Vale uma observação análoga quanto a denominação que usamos para equações lineares. Diremos
apenas sistema linear, ou ainda, simplesmente sistema, para nos referirmos a um sistema linear com
coeficientes reais.
Exemplo 2.5. O sistema
4x− y − 3z = 0
3x− 2y + 5z = 0
2x+ 3y + 4z = 0
é um sistema linear homogêneo, que possui três variáveis e três equações.
�
Definição 2.4. Uma n-upla de números reais (s1, s2, ..., sn) é chamada solução do sistema linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
35
quando 
a11s1 + a12s2 + a13s3 + ...+ a1nsn = b1
a21s1 + a22s2 + a23s3 + ...+ a2nsn = b2
a31s1 + a32s2 + a33s3 + ...+ a3nsn = b3
... ... ...
am1s1 + am2s2 + am3s3 + ...+ amnsn = bm
Ou seja, quando (s1, s2, ..., sn) é solução de cada equação do sistema. O conjunto S de todas as
soluções do sistema linear é chamado conjunto solução do sistema.
Exemplo 2.6. Considere o sistema
2x+ y + 3z = 8
4x+ 2y + 2z = 4
2x+ 5y + 3z = −12
Notamos que (2,−5, 3) é solução de cada equação desse sistema. Vejamos:
• 2 · 2 + 1 · (−5) + 3 · 3 = 8
• 4 · 2 + 2 · (−5) + 2 · 3 = 4
• 2 · 2 + 5 · (−5) + 3 · 3 = −12
Isso significa que (2,−5, 3) é solução do sistema. �
Até esse ponto, nosso objetivo é apenas reconhecer uma solução por simples substituição. Na
seção seguinte estudaremos como obter soluções de um sistema linear.
Definição 2.5. Considere um sistema linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
A matriz
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11
b21
b31
...
bm1

cujos elementos são todos os coefientes do sistema, é chamada matriz ampliada do sistema.
Exemplo 2.7. O sistema
x+ y + 5z = −7
x+ 2y + 3z = 5
2x− 5y = 2
possui a seguinte matriz ampliada
36
A =
 1 1 51 2 3
2 −5 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−7
5
2

�
Definição 2.6. Dizemos que temos um sistema escalonado, ou na forma escalonada, quando
sua matriz ampliada está na forma escalonada.
2.1.3 Exerćıcios
1. Obtenha uma solução particular, não trivial, de cada equação linear a seguir.
(a) 2x+ y − z = 0 (b) x− 2y + z = 0 (c) 5x+ y + z − w = 0
2. Escreva a matriz ampliada de cada sistema. A seguir, determine a forma escalonada da matriz
ampliada.
(a)
{
x+ y = 4
x+ 2y = 5
(b)
{
x+ 2y = 16
x− 3y = 20 (c)
{
5x+ 8y = 34
10x+ 16y = 50
(d)

x+ y + z = 15
x+ 2y − z = 25
−x+ y − z = 8
(e)
{
x+ 3y − 5z = 0
x− y + z = 0 (f)

−x+ 2y + 5z = 0
x+ 3y + z = 0
y + 2z = 1
2.2 Eliminação Gaussiana
Objetivos
• Resolver um sistema linear
• Discutir a solução de um sistema linear
2.2.1 Resolução de um Sistema Linear
A seguir veremos exemplos de como resolver alguns sistemas lineares.
Exemplo 2.8. Considere o seguinte sistema
x+ y − 3z = 15
y + z = 10
z = 7
Da última equação conclúımos que z = 7. Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos:
y + 7 = 10. Logo y = 3. Substituindo os valores z = 7 e y = 3 na primeira equação, podemos
escrever: x + 3 − 3 · 7 = 15. Ou seja, x = 33. Reunindo os valores encontrados conclúımos que a
terna (33, 3, 7) é solução do sistema dado. �
Considerando a matriz ampliada do sistema acima, vemos que
A =
 1 1 −30 1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
15
10
7

ela se encontra na forma escalonada. Logo o sistema foi dado na forma escalonada. Nesses casos
é bastante simples obter a solução do sistema, como vimos no exemplo.
37
2.2.2 O Método de Eliminação Gaussiana
Nesta seção estudaremos como obter soluções de um sistema linear qualquer.
Definição 2.7. Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto
solução.
Teorema 2.1. Dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se suas matrizes ampliadas
são equivalentes.
�
Esse teorema é a base do que chamamos método da eliminação gaussiana. Dado um sistema
linear qualquer, escrevemos sua matriz ampliada e a seguir, escalonamos essa matriz. Devido ao
teorema acima, o sistema escalonado obtido por esse processo, é equivalente ao sistema inicial. Isso
significa que o sistema escalonado tem a mesma solução do sistema original. E, como já vimos, é
bastante simples resolver um sistema escalonado. Desse modo obtemos a solução, caso exista, de
um sistema qualquer.
Exemplo 2.9. Considere o seguinte sistema:
x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + z = 10
Sua matriz ampliada é  1 2 33 4 6
3 2 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
23
10

Escalonamos a matriz ampliada
(1) Primeiro usamos as seguintes operações elementares: L2 ↔ L2 + (−3)L1 e L3 ↔ L3 + (−3)L1.
Obtemos:  1 2 30 −2 −3
0 −4 −8
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−20

(2) Agora aplicamos L3 ↔ L3 + (−2)L2. Com isso chegamos a: 1 2 30 −2 −3
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−6

Após o escalonamento, retornamos a forma de sistema:
x+ 2y + 3z = 10
−2y − 3z = −7
−2z = −6
e, resolvemos por substituição. A última linha nos dá z = 3. Substituindo esse valor na segunda
equação obtemos: −2y − 3 · 3 = −7. Segue-se que y = −1. Substituindo esses valores na primeira
38
equação, temos: x+ 2 · (−1) + 3 · 3 = 10. Logo x = 3. Reunindo os resultados obtidos, conclúımos
que (3,−1, 3) é solução do sistema escalonado. Portanto, (3,−1, 3) é solução do sistema original.
Verifique! �
Vejamos outro exemplo.
Exemplo 2.10. Considere o seguinte sistema:
x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
Sua matriz ampliada é  1 2 33 4 6
3 2 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
23
10

Escalonando (faça as contas!), obtemos: 1 2 30 −2 −3
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−13

Retornando a forma de sistema, temos:
x+ 2y + 3z = 10
−2y − 3z = −7
0 = −13
A última equação é no mı́nimo curiosa, pois afirma algo sem sentido. Portanto, o sistema
escalonado não possui solução. Consequentemente, o sistema original também não possui solução.
�
Vejamos um último exemplo.
Exemplo 2.11. Seja o sistema

x+ 3y + 2z = 10
x+ y + z = 14
2x+ 2y + 2z = 28
Sua matriz ampliada é  1 3 21 1 1
2 2 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
14
28

após o escalonamento, obtemos  1 3 20 −2 −1
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
4
0

Portanto, o sistema escalonado é
39
{
x+ 3y + 2z = 10
−2y − z = 4
Não há como obter um valor numérico para z nesse caso. Isolando z na última equação obtemos:
z = −2y − 4. Podemos supor que y é um valor conhecido e substituir o valor de z na primeira
equação. Segue-se que: x + 3y + 2(−2y − 4) =10. Logo x + 3y − 4y − 8 = 10. Como estamos
supondo que y é um valor conhecido, podemos calcular x. Temos: x = y+ 18. Portanto, os valores
obtidos são: 
x = y + 18
y = y
z = −2y − 4
Conclúımos que a solução do sistema é (y+18, y,−2y−4), supondo y um número real conhecido.
Para cada valor fixado de y obtemos uma solução diferente. Por exemplo, fixando y = 1, obtemos
a solução (19, 1,−6). Portanto, esse sistema possui infinitas soluções. �
2.2.3 Discussão de um Sistema Linear
Definição 2.8. Dizemos que um sistema linear é
1. Imposśıvel caso seu conjunto solução seja vazio.
2. Posśıvel quando ele possui alguma solução.
(a) Posśıvel e determinado quando ele possui exatamente uma solução.
(b) Posśıvel e indeterminado caso possua mais de uma solução
Para melhor entender o teorema a seguir, considere o seguinte. Quando aplicamos o método da
eliminação gaussiana em um sistema
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Temos que escalonar a matriz ampliada
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11
b21
b31
...
bm1

que vamos representar de um modo mais compacto assim [A|B]. Denotemos o posto da matriz
A como posto(A) e, da matriz ampliada [A|B], posto([A|B]). Naturalmente, existem apenas duas
possibilidades:
• posto(A) <posto([A|B])
40
• posto(A) =posto([A|B])
O estudo da discussão de um sistema linear é baseado no seguinte teorema
Teorema 2.2. Considerando o exposto acima temos que o sistema linear dado é:
1. Imposśıvel, se posto(A) <posto([A|B]).
2. Posśıvel, se posto(A) =posto([A|B])
(a) Posśıvel e determinado, se posto([A|B]) = n
(b) Posśıvel e indeterminado, se posto([A|B]) < n
Observe que n é o número de variáveis do sistema. �
Discutir um sistema linear significa classifica-lo segundo a definição 2.8. Vimos, no final da
subsessão anterior, alguns exemplos de como resolver um sistema. Vimos que nem sempre existe
solução para um dado sistema e, mesmo que exista a solução pode não ser única, como se viu no
último exemplo daquela subsessão. O teorema acima nos permite obter essa classificação sem que,
para isso, seja necessário resolver o sistema. Vejamos isso em um exemplo.
Exemplo 2.12. Vamos discutir o seguinte sistema
3x+ 9y + 12z = 24
4x+ 16y + 26z = 46
x+ 7y + 14z = 20
• O primeiro passo é escrever a matriz A, dos coeficientes e a matriz ampliada A. Temos
A =
 3 9 124 16 26
1 7 14
 e A =
 3 9 124 16 26
1 7 14
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
46
20

• Agora, devemos escalonar a matriz ampliada. Após o escalonamento, obtemos:
A =
 3 9 120 4 10
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
14
−2

• Agora comparamos o posto da matriz A, (parte à esquerda da matriz ampliada) com o posto
da matriz ampliada. Vemos que posto(A) = 2 e para a matriz ampliada, posto([A|B)] = 3.
Devido ao teorema 2.2, o sistema dado é imposśıvel. �
�
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 2.13. Consideremos o sistema
2x− 5y − z = −8
3y − 2y − 4z = −11
−5x+ y + z = −9
Sua matriz ampliada é A =
 3 9 124 16 26
1 7 14
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
46
20
. Que após o escalonamento se torna
41
A =
 3 9 120 11 −5
0 0 −74
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
2
−296

Vemos que posto(A) = 3 e posto[(A|B)] = 3. Devido a parte 2 do teorema 2.2, como
posto(A) =posto[(A|B)], trata-se de um sistema posśıvel. Agora, vemos que o sistema dado tem
3 variáveis e que posto[(A|B)] = 3. Portanto, o sistema é posśıvel e determinado. �
É relevante comentar que a forma escalonada de uma matriz não é única. Talvez você obtenha
uma forma escalonada diferente. Mas, o posto é o mesmo, independentemente da forma escalonada.
Vale a pena enfatizar que, a discussão de um sistema é apenas para classifica-lo, ou seja, nesse caso,
não estamos interessados em resolver o sistema.
2.2.4 Exerćıcios
1. Resolva os seguintes sistemas.
(a)

x− y − 3z = 15
y + 5z = −7
z = 7
(b)

x+ y + 2z = 10
y − z = 3
z = 1
(c)

x+ y + z = 25
y + z = 3
z = 12
2. Resolva os seguintes sistemas pelo método do escalonamento.
(a)

x+ y − z = 2
2x+ 3y + z = 15
x− y − z = −14
(b)

x+ 2y + z = 10
2x− y + 2z = 15
x− 2y + z = 4
(c)

x+ y + z = 15
2x− y + z = 7
x+ y − 2z = −8
(d)

4x− y − 3z = 15
3x− 2y + 5z = −7
2x+ 3y + 4z = 7
(e)

3x− 8y − 9z = 14
7x+ 3y + 2z = −12
−8x− 9y + 6z = 11
(f)

5x+ y + z = 7
6x− y − z = 4
7x+ 2y + 2z = 14
(g)
{
6x+ 2y + 4z = 0
−9x− 3y − 6z = 0 (h)

−8x+ 3y + 2z = 16
4x− 2z = 0
3y + 4z = −32
(i)

3x+ 2y − 3z = 18
2x− 4y + 4z = 12
−4x+ 3y − 5z = −24
3. Discuta os seguintes sistemas
(a)

2x+ 3y − 2z = 2
3x− 5y + 4z = 5
x− 2y − 7z = −24
(b)

x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
(c)

x+ 4y + 6z = 11
2x+ 3y + 4z = 9
3x+ 7y + 10z = 20
(d)

2x+ 2y + 4z = 0
3x+ 5y + 8z = 0
5x+ 25y + 20z = 0
(e)

x− 3y − z = 0
4x− y − z = 0
5x− 4y − 2z = 0
(f)
{
x− 8y − 9z = 14
7x+ 3y + 2z = −12
(g)

4x+ 8y + 12z = 24
x− z = 0
−5x− 8y − 11z = −24
(h)

x− y = 0
2y + 4z = 6
x+ y + 4z = 6
4. Determine que condições devem satisfazer os coeficientes a, b e c, para os sistemas abaixo
sejam posśıveis.
(a)

x+ 2y + 8z = a
2x+ 5y + 3z = b
x+ 4y − 4z = c
(b)

x+ 4y + 2z = a
3x+ 8y + 5z = b
4x+ 12y + 7z = c
42
Caṕıtulo 3
Espaços Vetoriais
Neste caṕıtulo começamos o estudo da álgebra linear propriamente dita. Nosso objetivo é
estudar os espaços vetoriais e as transformações lineares entre eles.
3.1 Axiomas de Espaço Vetorial
Objetivos
• Definir os axiomas de espaço vetorial
• Conhecer os principais exemplos de espaço vetorial
• Conhecer as principais consequências dos axiomas de espaços vetoriais
3.1.1 Axiomas
Definição 3.1. Um espaço vetorial real, ou simplesmente espaço vetorial é um conjunto,
cujos elementos chamamos vetores. Para que um conjunto V seja um espaço vetorial, é preciso
que, nesse conjunto, estejam definidas duas operações: uma chamada adição, que a cada par de
vetores u, v ∈ V associa um terceiro vetor u+v ∈ V e, uma outra operação chamada multiplicação
por um número real, que a cada número real α e a cada vetor u ∈ V , associa um vetor αu ∈ V .
Essas operações devem satisfazer a lista de propriedades abaixo, quaisquer que sejam u, v, w ∈ V e
α, β ∈ R. Essas propriedades são chamadas axiomas de espaço vetorial.
As propriedades da adição são:
(A1) u+ v = v + u chamada comutatividade;
(A2) (u+ v) + w = u+ (v + w) chamada associatividade;
(A3) Deve existir um vetor representado por 0 chamado vetor nulo, tal que u + 0 = 0 + u = u.
Essa propriedade é chamada elemento neutro. Observamos que usamos o mesmo śımbolo
para representar o número zero e o vetor nulo.
(A4) Para todo vetor u ∈ V deve existir um vetor representado por −u, chamado oposto de u, tal
que u+ (−u) = −u+ u = 0. Essa propriedade é chamada elemento oposto.
As propriedades da multiplicação por um número real são:
43
(M1) (αβ)u = α(βu) chamada associatividade.
(M2) α(u+ v) = αu+ αv chamada distributividade.
(M3) (α + β)u = αu+ βu chamada também distributividade.
(M4) 1u = u
Espaços vetoriais, são estruturas bastante comuns. Já nos deparamos com diversos exemplos
de espaços vetoriais como por exemplo: as matrizes, os polinômios, o R2 da geometria anaĺıtica,
o próprio conjunto dos números reais entre outros. Por esse motivo, essas propriedades são tão
familiares. A propriedade M4, por exemplo, é tão familiar que parece óbvia e fica dif́ıcil imaginar
que isso possa não ocorrer.
O fato é, que a partir de agora estudaremos esses conjuntos de um ponto de vista mais geral. Uma
matriz, um polinômio ou um ponto do R2 serão chamados simplesmente vetor. Estabeleceremos
agora os primeiros exemplos de espaço vetorial.
Exemplo 3.1. Começaremos com o exemplo mais simples e mais importante, o R2. Considere o
conjunto