prova 1 2006.1 cálculo I area II CIn UFPE

Prévia do material em texto

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
PRIMEIRO EXERCI´CIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006
17 de julho de 2006
1aQuesta˜o -
2aQuesta˜o -
3aQuesta˜o -
4aQuesta˜o -
Total -
Nome leg´ıvel –
Curso – Turma –
ASSINATURA –
OBS: Verifique se seu caderno de prova esta´ completo.
Na˜o e´ permitido o uso de ma´quina de calcular.
Entender o enunciado das questo˜es e´ parte integral da prova; os fiscais na˜o dara˜o in-
formac¸o˜es complementares.
1. (2,0 pontos) Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limite vistas em
classe. Justifique suas respostas.
(a) lim
x→1
x4 − 5x+ 1
x+ 1
; (b) lim
x→1+
x3 + 3x+ 2
x− 1 ; (c)limx→0
tg5x+ x5
sen5x
; (d) lim
x→0+
√
x5 sen4 (
1
x3
).
2. (2,0 pontos) Considere a curva determinada pela equac¸a˜o
x2 − y2 + 3xy = −3.
(a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto P = (1,−1).
(b) Determine os pontos de tangeˆncia das retas tangentes a` curva que sa˜o paralelas a` reta
y = x.
3. (4,0 pontos) Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x3(5 ln x+ sen x);
(b) g(x) = etg x; (OBS. tg=tan denota a tangente)
(c) h(x) =
arcsenx
2 + cos x
;
(d) q(x) =
cos2 x+ arctg( 3
√
x)
x2 + 1
.
4. (2,0 pontos) Seja f : R→ R a func¸a˜o definida por
f(x) =
{
x2 + 2 se x < 1,
2x+ 1 se x ≥ 1.
Justifique a resposta de cada um dos itens abaixo.
(a) Calcule lim
x→1
f(x); a func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua em x = 1?
(b) A func¸a˜o f(x) e´ diferencia´vel em x = 1?
(c) Esboce os gra´ficos de f(x) e f ′(x).