Slides Fundamentos do Concreto Protendido

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1
•Entendimento dos mecanismos de 
resistência e fatores influentes
•Verificação da segurança estrutural
•Processos de execução
•Exemplos práticos de aplicação
•Atualização da NBR 6118/2003
UMA FILA DE LIVROS
2
3
• Elementos do “sistema estrutural”
• Materiais empregados
• Ações sobre o sistema
• “Caminho das cargas” e esforços 
solicitantes
• Processo de construção/montagem
“um artifício que consiste em introduzir
numa estrutura um estado prévio
de tensões capaz de melhorar
sua resistência ou seu comportamento,
sob diversas situações de carga”
Walter Pfeil
... brincando com a Mecânica 
das estruturas de concreto ...
4
ep
P
P
ep
Construção de uma viga pela 
montagem de aduelas
L1 L3L2
A B C D
Balanços progressivos Balanços progressivos
Detalhe
Viaduto central de acesso (6,5 km) à
Ponte Vasco da Gama, Lisboa (18 km)
5
Ponte Vasco da 
Gama, Lisboa
Trecho de 829m, vão 
livre de 200m,
altura de passagem 
de 45m
6
7
Comprimento usual da pista entre 80 e 200 m
Grade de proteção Grade de proteção
CABECEIRA ATIVA CABECEIRA PASSIVA
pista de concretagembloco, perfis 
e chapas de 
reação
elementos pré-fabricados
Cordoalhas ancoradas 
individualmente nos 
perfis e chapas de 
reação 
Limpeza das
fôrmas e/ou
da pista
Posiciona-
mento dos
fios e/ou
cordoalhas
e de iso-
ladores
Pré-tração
dos fios e/ou
cordoalhas
e encunha-
mento
Colocação
da armadu-
ra passiva
e espaça-
dores
Posiciona-
mento das
fôrmas ou
do carro
vibratório
Corte dos
fios e/ou
cordoalhas/
acabamento
e transporte
Alívio
da
pré-tração
Retirada
das
fôrmas
Cura do
concreto
(a vapor)
Lançamento
e adensa-
mento do
concreto
8
Bainhas
Operação de
pós-traçãoCordoalhas na região
de ancoragem
Vigas celulares de pontes 
com protensão sem aderência
Aplicação de cordoalhas
engraxadas em estruturas diversas
Lajes protendidas com
cordoalhas engraxadas
Perspectiva de um sistema 
de cabos de protensão
9
q
g
7,00 m
0,75
AÇÕES:
Peso próprio (a calcular)
Carga acidental: 15 kN/m
Força de protensão: - 600 kN
(excentricidade e = 12,5 cm)
37,5
12,5
25,0
75,0 cm
20
Recordando a velha Resistência dos Materiais
CG N
–
A
N
 =σ
CG
y>0
CG
N
y>0
e ≡
N
M = N . e
CG
+
–
––
+
+ ≡
 
W
 A. e
 1 
A
N
 
W
e . N
 
A
N
 
W
M
 
A
N
 σ 

 +=+=+=
10
CG
y>0
–
+
e
N
borda superior → índice 2
borda inferior → índice 1
 
W
e . N
 
A
N
 
2
+=2σ
 
W
e . N
 
A
N
 
1
+=1σ
 0) ( 
y
I
 
1
>=1W 0) ( y
I
 
2
<=2W
Determinação dos valores da excentricidade e para as quais
as tensões nas bordas da seção são nulas:
 0 
W
 A. e
 1 
A
N
 ⇒=

 +=σ
A
W
 - e 0 
W
 A. e
 1 =⇒=

 +
K1
y>0
K2
ek1
ek2
Os pontos K1 e K2 constituem os
extremos do núcleo central da
seção, isto é, da região na qual
uma força normal aplicada produz
em toda a seção tensões de mesmo
sinal.
Tensão nula na borda inferior:( )
 CG) do cima para ( 
6
h
 - 
 
bh
6bh
 
A
W
 - e
2
1
k1
=
=−==
Tensão nula na borda inferior:( )
 CG) do baixo para ( 
6
h
 
 
bh
6bh
 
A
W
 - e
2
2
k2
+=
=−−==
h/3
b/3
11
Pede-se: verificar as tensões normais na viga
1. Cálculo das características geométricas e mecânicas
da seção transversal
2. Cálculo de esforços solicitantes (momento fletor) e de
tensões normais na seção mais solicitada
3. Combinação de ações
4. Análise dos resultados
5. Reformulação do problema
Repetir toda a verificação com:
→ excentricidade = 37,5 - 5 = 32,5 cm
→ q = 34,6 kN/m
1. Cálculo das características geométricas e
mecânicas da seção transversal
I = b.h3 /12 = 7,03 . 10 m3
y1 = - y2 = 0,375 m
W1 = - W2 = I / y1 = 18,75 . 10 m3
A = b . h = 0,150 m2 = 150 . 10-3 m2
ek1 = - ek2 = h / 6 = 0,125 m (distancias das extremidades do
núcleo central de seção ao centro
de gravidade)
Índice 1 → borda inferior
Índice 2 → borda superior
2. Cálculo de esforços solicitantes (momento fletor)
e de tensões normais na seção mais solicitada
a) tensões devidas ao peso próprio
Mg1 = 3,75 . 72 / 8 = 22,97 kNmσ1g1 = Mg1 / W1 = + 1,23 MPa σ2g1 = Mg1 / W2 = - 1,23 MPa 
b) tensões devidas à carga acidental
Mq = 15 . 72 / 8 = 91,88 kNmσ1q = Mq / W1 = + 4,90 MPa σ2q = Mq / W2 = - 4,90 MPa 
c) tensões devidas à força de protensão
P = - 600 kN ; Mp = P . epσ1p = P / Ac + P . ep / W1 = - 8,00 MPaσ2p = P / Ac + P . ep / W2 = 0
12
3. Combinação de ações
4. Primeira análise dos resultados
(discussão)
a) estado em vazio
-
-
+
-
0
-8,00
-1,23
+1,23
-1,23 MPa
-6,77 MPa
(P) v = (P+g1 )(g1)
CG + =
b) estado em serviço
-
-1,23 MPa
-6,77 MPa
v = (P+g1 )
+ =
-
+
-
-4,90
+4,90
-6,13 MPa
-1,87 MPa
(q) s = P + g1 + q
CG
5. Reformulação do problema
Repetir toda a verificação com:
→ excentricidade = 37,5 - 5 = 32,5 cm
→ q = 34,6 kN/m
a) tensões devidas ao peso próprio
São as mesmas já calculadas.
b) tensões devidas à carga acidental
 MPa 11,30 = 
M
 = q
1
q1 W
σ
 MPa 11,30- = 
M
 = q
2
q2 W
σ
Mq = 34,6 . 72 / 8 = 211,93 kNm
(na borda inferior)
(na borda superior)
c) Tensões devidas à protensão
P = -600 kN
Mp = P . e
 MPa 14,40- = 
P.e
A
P = p
c 1
p1 W
+σ
 MPa ,40 = 
P.e
A
P = p
c
6
W2
p2 ++σ
a) estado em vazio
-
-
+
-
-1,23
+1,23
(P) v = (P+g1 )(g1)
CG + =
+
+6,40
-14,40
+5,17 MPa
-13,17 MPa
b) estado em serviço
-
v = (P+g1 )
+ =
-
+
-
(q) s = P + g1 + q
CG
+5,17
-13,17
+
-13,07
+13,07
-7,90 MPa
-0,10 MPa
6. Nova combinação de ações
7. Segunda análise dos resultados
(discussão)
13
1. COMBINAÇÃO DE AÇÕES
→ verificação de todas as fases da vida da peça
→ situação mais desfavorável nem sempre ocorre com
todas as cargas externas atuando
2. CONTROLE DOS EFEITOS DA PROTENSÃO
→ intensidade
→ excentricidade
3. SOLICITAÇÕES AO LONGO DO VÃO
→ verificar várias seções ou aplicar processo contínuo
4. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS E DE UTILIZAÇÃO
→ tensões de tração/fissuração 
→ deformação excessiva 
→ solicitações normais
→ solicitações tangenciais
→ outras verificações
•Elemento de concreto protendido
•Armadura de protensão (armadura ativa)
•Armadura passiva
•Concreto protendido com aderência inicial
(armadura de protensão pré-tracionada)
•Concreto protendido com aderência posterior
(armadura de protensão pós-tracionada)
•Concreto protendido sem aderência
A protensão aplicada às
estruturas de concreto possibilita:
• Melhor controle da fissuração, podendo até
eliminá-la
• Melhor aproveitamento das características do 
concreto
• Uso de aços de alta resistência, sem os 
problemas de fissuração do concreto
• Execução de estruturas mais leves
• Redistribuição de esforços nas estruturas
• Montagem de elementos pré-moldados para 
constituir estruturas monolíticas
14
• Utilização mais eficiente 
de materiais de maior 
resistência
• Redução da incidência 
de fissuras, melhor 
proteção da armadura
• Melhor resistência aos 
esforços tangenciais
• Utilização plena do 
concreto na seção 
resistente
• Redução das quantidades 
de concreto e aço; redução 
do peso próprio
• Favorecimento da 
aplicação de técnicas de 
pré-moldagem
• Realização, em certos 
casos, de testes de 
resistência dos elementosestruturais
• Realização da união de 
elementos para compor 
estruturas monolíticas
• Melhor controle de qualidade dos materiais
• Cuidados especiais de proteção contra corrosão 
das armaduras
• Melhor controle de execução
• Equipamentos especiais e mão-de-obra 
especializada para execução da protensão
• Projeto mais elaborado e especializado
Tecnologia mais requintada, requer:
Custo mais elevado em obras de 
pequeno porte ou de baixa produção
Fatores Concreto
Armado
Concreto
Protendido
Relação
CP/CA
Resistência do
concreto (MPa) ~20 ~40 ~2
Lim.escoamento
do aço (MPa) 250~600 ~1.500 6~2,5
Preço/m3 de
concreto ~1,3
Preço/kg de
aço colocado 2~3
1
Propriedades do concreto endurecido
Propriedades do concreto fresco
•Resistência aos 28 dias e na data de protensão
•Módulo de elasticidade
•Tipo de cimento
•Retração e fluência
•Durabilidade
•Consistência/trabalhabilidade
•Coesão
•Tempo de pega do cimento
NOTAS:
1.O concreto empregado na execução de estruturas deve cumprir com os 
requisitos estabelecidos na NBR 12655.
2.CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto 
armado.
3.CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto
protendido.
≥ C40≥ C35≥ C30≥ C25CP
≥ C40≥ C30≥ C25≥ C20CAClasse de 
concreto 
(NBR 8953)
≤ 0,45≤ 0,50≤ 0,55≤ 0,60CP
≤ 0,45≤ 0,55≤ 0,60≤ 0,65CARelação 
água/cimento 
em massa
IVIIIIII
Classe de agressividade (Tabela 6.1 da NBR 6118)TipoConcreto
Tabela 2.1- Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do 
concreto
(Tabela 7.1 da NBR 6118)
2 5 13 15
t Tmax = 8 horas
Tmax= 75
T = 23
0
T (ºC)
tciclo = 13 horas
Horas 
2 5 13 15
t Tmax = 8 horas
Tmax= 75
T = 23
0
T (ºC)
tciclo = 13 horas
Horas 
2
0
3
maxTmaxc
10) + (T
10) + (T
 . 
2
t + t
 = M
Fórmula da Maturidade, para cura a vapor:
M.E. Velasco, apud A.C. Vasconcelos ("Manual 
Prático para a Correta Utilização dos Aços no 
Concreto Protendido", LTC, 1980), 
2
•em geral, são aços de elevada resistência, sem
patamar de escoamento
Tipos e apresentação
•Fios trefilados de aço
carbono, diâmetro de
3 - 8 mm, fornecido em
rolos ou bobinas
•Cordoalhas: fios enrolados
em forma de hélice, com
2, 3 ou 7 fios
•Barras de aço-liga
de alta resistência,
laminadas a quente,
diâmetro maior que
12mm, comprimento
limitado
(ex. sistema Dywidag)
•Cordoalhas engraxadas:
com camada de graxa e 
revestimento de polietileno
de alta densidade extrudado
Modalidades de tratamento
•Aços aliviados ou de relaxação normal (RN)
•Aços estabilizados ou de relaxação baixa (RB)
Designação dos aços de protensão
Exemplo:
concreto protendido
resistência à ruptura
tipo de relaxação
3
Propriedades mecânicas
•fptk = resistência à ruptura característica
•fpyk = resistência de escoamento característica
(corresponde a deformação residual de 0,2% após descarga)
Para fios trefilados e cordoalhas,
o limite de escoamento
convencional é aproximadamente
igual à tensão correspondente à
deformação de 1%.
Ep = valor médio do
módulo de elasticidade
Para fios: 210.000 MPa
Para cordoalhas: 195.000 MPa
fptk
fpyk
fpel ≅ 0,7fpyk
0,2% ~1%
Características do cabo Freyssinet de 12φ12,5
4
Ancoragem do cabo Freyssinet de 12φ12,5
Equipamento de tração e operação de protensão
Sistema de monocordoalhas engraxadas
Cordoalhas dispostas na obra Elementos da ancoragem
Cordoalha ancoradaEquipamento de tração
5
Dimensionamento de um elemento
pré-fabricado de concreto protendido
Roteiro para elaboração do trabalho prático
1. Descrição do elemento estrutural
1.1. Nome do elemento
1.2. Função e relação com outros elementos do sistema construtivo
1.3. Dados da seção transversal e seção longitudinal
1.4. Ações sobre o elemento
1.5. Outros dados relevantes
2. Descrição do processo de fabricação e montagem
2.1. Sistema de protensão
2.2. Pista de fabricação/fôrmas
2.3. Posicionamento da armadura/pré-tração
2.4. Lançamento e adensamento do concreto
2.5. Cura
2.6. Transporte interno à fábrica
2.7. Estocagem
2.8. Transporte externo à fábrica
2.9. Montagem e fixação dos elementos
2.10. Principais equipamentos
2.11. Outros dados relevantes
3. Materiais empregados
3.1- Concreto
a) Características gerais de qualidade do concreto: durabilidade, 
resistência, deformabilidade, etc.
b) Resistência característica à compressão aos 28 dias e na data de
protensão
c) Resistência característica à tração aos 28 dias e na data de 
protensão
d) Módulo de deformação longitudinal
e) Outros dados: relação água/cimento máxima, tipo de cimento, tipos 
de agregados, aditivos, adições minerais, etc.
f) Controle de qualidade
3.2- Aço de protensão
a) Características gerais
b) Resistências características à ruptura e ao escoamento
c) Módulo de elasticidade real ou aparente
d) Tipo de relaxação
e) Forma de apresentação
f) Cuidados no armazenamento
g) Controle de qualidade
3.3- Aço comum (fios, barras e telas)
a) Características gerais
b) Resistência característica ao escoamento
c) Módulo de elasticidade
d) Forma de apresentação
e) Cuidados no armazenamento
f) Controle de qualidade
4. Características geométricas e mecânicas da seção transversal
4.1- Características da seção bruta de concreto
4.2- Características da seção homogeneizada
A ser atualizada após o cálculo da armadura
6
5. Cálculo de esforços e tensões de referência (Estádio I)
Determinação de esforços e tensões para todas as ações previstas em 
projeto, separadamente.
6. Cálculo da força de protensão e da armadura ativa
a) Estimativa da força de protensão
b) Cálculo da seção transversal da armadura ativa
c) Recálculo da força inicial Pi, da força ancorada Pa e da força 
instalada no concreto P0, com a armadura efetivamente empregada.
d) Cálculo das perdas progressivas e da força de protensão P
7.Verificação de tensões na seção mais solicitada
(Estados Limites de Serviço)
a) Consideração de todas as fases de fabricação e da vida útil do 
elemento, e estabelecer as combinações possíveis de ações.
b) Verificação dos estados limites de utilização.
8. Verificação de tensões ao longo do vão
Consideração de duas combinações extremas, mais desfavoráveis 
de ações e verificação das tensões de referência por meio de 
processo gráfico.
9. Estado Limite Último - Solicitações Normais
a) Verificação da segurança.
b) Disposição da armadura passiva complementar.
10. Estado Limite Último - Solicitações Tangenciais
a) Verificação da segurança.
b) Disposição da armadura passiva complementar.
11. Especificações e detalhes construtivos
Desenhos esquemáticos da armadura, outras especificações de 
produção, transporte e montagem.
7
Bloco de fundação, vigas-baldrame
Viga-calha, telha W,
vigas intermediárias de pórtico
Telhas W
Detalhes de montagem e forro 
suspenso
1
R = 0
R = 0
R ≠ 0
R ≠ 0 R ≠ 0
R ≠ 0
- sistema autoequilibrado
- não há “forças de coação”
- sistema estaticamente
indeterminado
- reações de apoio são
“forças de coação”
Um elemento é dito de concreto protendido quando
está submetida a um sistema de forças especial
e permanentemente aplicadas, chamadas de 
forças de protensão ...
Entretanto, as forças de protensão, conquanto
devam ser permanentes, elas estão sujeitas a
variações de intensidade para maiores ou
menores valores.
Perda de protensão: diminuição da intensidade
da força de protensão ao longo da armadura
e ao longo do tempo.
Como a retração e a fluência do concreto
podem causar perda de protensão?
•O que é a retração do concreto?
•O que é a fluência do concreto?
•Quais são os principais fatores influentes
nesses fenômenos?
Perdas por retração e fluência do concreto
2
Efeito da retração e da fluênciado concreto
εc
tempot0 t0
εc,s+c(∞,t0)
εe (elástica imediata)
εcs (retração)
CARREGAMENTO
εccd (fluência)
εc
tempot0 t0
εc,s+c(∞,t0)
εe (elástica imediata)
εcs (retração)
CARREGAMENTO
εccd (fluência)
∆L(t,t0)
∆P(t,t0)
∆L(t,t0)
∆P(t,t0)
Resiliência da
força de protensão
(“efeito de mola”)
Ap (aço de alta 
resistência)
As (aço de baixa 
resistência)
Ap (aço de alta 
resistência)
As (aço de baixa 
resistência)
As (aço de baixa 
resistência)
σp
εp0
arc tg Ep
σs,lim
σp,lim
εp,limεs,lim
∆Ls/L
∆Lp/L
~∆εc
~∆εc
σs,∞
σp,∞
σp
εp0
arc tg Ep
σs,lim
σp,lim
εp,limεs,lim
∆Ls/L
∆Lp/L
~∆εc
~∆εc
σs,∞
σp,∞
Relaxação e fluência do aço de protensão
σp
t
0
σpi
σp∞
L = constante
σ = variável
RELAXAÇÃO
σp
t
0
σpi
σp∞
L = constante
σ = variável
RELAXAÇÃO
εp
t
0
ε p0
ε p∞
L = variável
σ = constante
FLUÊNCIA
∆L
εp
t
0
ε p0
ε p∞
L = variável
σ = constante
FLUÊNCIA
∆L
3
Deformação imediata do concreto
Acomodação das ancoragens
Atrito nos cabos
Método semi-probabilístico de Estados Limites,
conforme NBR-8681 e NBR-6118 (NB-1)
Estados limites últimos
Principais estados limites últimos:
•Ruptura
•Deformação plástica excessiva
•Instabilidade elástica
•Outros estados limites últimos
"Estados a partir dos quais a estrutura apresenta 
desempenho inadequado às finalidades da construção".
Estados limites de uma estrutura
"Estados que, pela sua simples ocorrência determinam a 
paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção".
4
"Estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, 
causam efeitos estruturais que não respeitam as condições 
especificadas para o uso normal da construção, ou que são 
indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura".
Estados limites de serviço
Principais estados limites de serviço:
“Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a 
tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção.”
•Descompressão
+
-
Mext
ep
P
+
0
+
-
=
-
(P) (Mext)
•Abertura das fissuras
•Formação de fissuras
“Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que 
este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima 
na seção transversal for igual a fct,f.” 
•fct,f = 1,2 fctk para elementos estruturais de seção T ou duplo T;
•fct,f = 1,5 fctk para elementos estruturais de seção retangular.
“Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais 
aos máximos especificados na seção 13 (ver 13.4.2 e 17.3.2).” 
•Deformação excessiva
•Compressão excessiva
“Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos 
para a utilização normal dados na seção 13 (ver 13.4.2 e 17.3.2).” 
“Estado em que as tensões de compressão atingem o limite 
convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido
na ocasião da aplicação da protensão.” 
(o limite de compressão excessiva é estabelecido para evitar 
microfissuração por compressão) 
5
Combinação quase-permanente de utilização
Combinação freqüente de utilização
Combinação rara de utilização
 F F F
n
1j
kQj,j2,
m
1i
kGi,uti,d ∑ψ∑ += ==
 F F F F
n
2j
kQj,j2,kQ1,1
m
1i
kGi,uti,d ∑ ψ+ψ∑ += ==
 F F F F
n
2j
kQj,j,1kQ1,
m
1i
kGi,uti,d ∑ ψ+∑ += ==
Protensão completa
•Comb. freqüente: E.L. Descompressão
•Comb. rara: E.L. Formação de Fissuras
Protensão limitada
•Comb. quase-permanente: E.L. Descompressão
•Comb. freqüente : E.L. Formação de Fissuras
Protensão parcial
•Comb. freqüente : E.L. de Abertura de Fissuras 
De modo geral:
NOTAS:
1. As definições de ELS-W, ELS-F e ELS-D encontram-se no item 3.2 (da NBR 6118).
2. Para as classes de agressividade ambiental CAA-III e IV exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham proteção especial na região de suas 
ancoragens.
1) A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap = 25 mm (figura 3.1 da NBR 6118).
Combinação freqüenteELS-D1)
Combinação raraELS-F
Verificar as duas condições abaixoPré tração com CAA III e IVConcreto protendido nível 
3 (protensão completa)
Combinação quase 
permanente
ELS-D1)
Combinação freqüenteELS-F
Verificar as duas condições abaixoPré tração com CAA II
ou
Pós tração com CAA III e IV
Concreto protendido nível 
2 (protensão limitada)
Combinação freqüenteELS-W wk ≤ 0,2 mmPré tração com CAA I
ou
Pós tração com CAA I e II
Concreto protendido nível 
1 (protensão parcial)
ELS-W wk ≤ 0,2 mmCAA IV
ELS-W wk ≤ 0,3 mmCAA II a CAA III
Combinação freqüenteELS-W wk ≤ 0,4 mmCAA IConcreto armado
--Não háCAA I a CAA IVConcreto simples
Combinação de ações em 
serviço a utilizar
Exigências relativas à
fissuração
Classe de agressividade 
ambiental (CAA) e tipo de 
proteção
Tipo de concreto 
estrutural
Tabela 4.4– Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes 
de agressividade ambiental (Tabela 13.3 da NBR 6118)
Escolha do nível de protensão pelo critério da durabilidade
6
Classes de agressividade ambiental
Estimativa da força de protensão P∞
EXEMPLO DE PROTENSÃO LIMITADA
 0 p1q122g11g1 =σ+σψ+σ+σ ∞
 - - - q122g11g1p1 σψσσ=σ⇒ ∞
 
W
e . P
 
A
P
 
1
pest,
c
est,
p1
∞∞∞ +=σ⇒ P∞,est (valor A)
y1
y2
ep
-
+ + +
+- -
-
-
σ1g1 σ1g2 σ1q σ1p∞,est
σ2p∞,est
σ1s
σ2s 0,7 fck
0
σ2qσ2g2σ2g1
Ψ2+ + + =
a) Combinação quase-permanente
Na borda inferior:
7
 ) f1,2 (ou f1,5 tktkp1q112g11g1 =σ+σψ+σ+σ ∞
 - - - f1,5 q112g11g1tkp1 σψσσ=σ⇒ ∞
 
W
e . P
 
A
P
 
1
pest,
c
est,
p1
∞∞∞ +=σ⇒
P∞,est (valor B)
b) Combinação freqüente
Na borda inferior:
y1
y2
ep
-
+ + +
+- -
-
-
σ1g1 σ1g2 σ1q σ1p∞,est
σ2p∞,est
σ1s
σ2s 0,7 fckσ2qσ2g2σ2g1
Ψ1+ + + =
+
1,5 ftk (seção retangular) ou 
1,2 ftk (seção T ou similar)
(ou 1,2 ftk)
Estimativa da força de pré-tração Pi
a) dos valores A e B de P∞,est , escolhe-se o de
maior valor absoluto;
b) arbitra-se um valor de perda de protensão total
∆Parb entre 20% e 30%;
c) calcula-se Pi,est em função de P∞,est . 
arb
est,
est,i P -1
P
 P ∆=
∞
Por ocasião da aplicação da força de pré-tração Pi : 
σpi ≤
σpi ≤
0,77 fptk
0,90 fpyk
0,77 fptk
0,85 fpyk
(para aços da classe RN)
(para aços da classe RB)
8
Cálculo da armadura ativa necessária
Considerando o valor limite da tensão na armadura
de protensão σpi,lim : 
limpi,
est,i
est,p
P
 A σ=
Consultando-se as tabelas disponíveis de aço para
protensão, escolhe-se o número de fios ou
cordoalhas: 
Ap = n (fios ou cordoalhas)/aço CP-XXX/RN ou RB
Pi ≅ Ap . σpi,lim .0,97 (folga de ~3% na tensão limite)
Valor a ser adotado para os cálculos subseqüentes
Valores representativos da força de protensão (caso de pré-tração)
∆Ppr2 = por relax. posterior/armadura∆Pcs2 = por retração posterior/concreto∆Pcc = por fluência do concretoestiramentoda armadura
início da retração
do concreto
aplicação da protensão ao concretot0t-1t-2 Tempo t
P (força na armadura)
Pi
Pa
P0
P∞
∆Panc = por acomodação da ancoragem
∆Ppr1 = por relaxação inicial da armadura∆Pcs1 = por retração inicial do concreto
∆Pe = por deformação imediata do concreto
∆Ppr1 + ∆Pcs1
∆Ppr2 + ∆Pcs2 + ∆Pcc 
Pt
Perdas de protensão
a) perda por acomodação das ancoragens
•escorregamento dos fios ou cordoalhas:
caso de cunhas de aço: ~6 mm;
•acomodação da estrutura das cabeceiras:
depende de cada instalação;
•perda relativa: depende do alongamento da
armadura de protensão/comprimentoda pista
b) perda por retração inicial do concreto
•depende das propriedades do concreto e das
condições de cura: em geral pode ser desprezada
nos casos usuais de produção em pistas.
9
c) perda por relaxação inicial e posterior da
armadura de protensão
pi
0pr
0
)t,t(
 )t(t, σ
σ∆=ψ
15,0
0
10000 1000
 t- t
 )t(t, 

ψ=ψ
d) perda por deformação imediata do concreto
(caso de armadura concentrada em uma fibra)
y1
y2
ep
+
-
σcpPi
 
W
e . P
 
A
P
 
h1
2
pi
h
i
cp +=σ
 . A. cppppa0p σα+σ=σ
P0 = Ap . σp0
e) perdas progressivas (relaxação posterior do aço,
retração posterior e fluência do concreto)
Cálculo simplificado (NBR 6118)/ver restrições
•para aços RN:
•para aços RB:
 ) - 3 ()t,( 
47
 18,1 100 . p0gc,
1,57
0
p
0p
rsc,p σ∞φα+=σ
σ∆ ++
 ) - 3 ()t,( 
18,7
 7,4 100 . p0gc,
1,07
0
p
0p
rsc,p σ∞φα+=σ
σ∆ ++
(para cálculo mais preciso, é preciso aplicar
o método geral conforme a NBR 6118)
10
Revisão do método de cálculo da protensão
Cálculo das tensões normais
causadas pelas ações externas 
Estimativa da força de protensão
P∞,est
Cálculo da força de pré-tração
Pi,est
Cálculo da armadura ativa
Ap
Cálculo de Pi
Cálculo de Pa
Cálculo de P0
Cálculo de P∞
escolha do tipo de protensão
perda total de protensão arbitrada
tensões limites na armadura
∆Panc + ∆Ppr1 + ∆Pcs1
∆Pe
∆Ppr2 + ∆Pcs2 + ∆Pcc
(considerar todas as combinações possíveis de ações)
Exemplos:
•g1 + P0 : transferência da força de protensão
•g1 + 0,8 P0 : transporte/redução do efeito do p.p.
•g1 + 1,3 P0 : transporte/aumento do efeito do p.p.
•g1 + g2 + P0 : montagem/utilização cedo
•g1 + g2 + P∞ : montagem/utilização tarde
•g + ψ2q + P∞ : combinação quase-permanente
•g + ψ1q + P∞ : combinação freqüente
•g + q + P∞ : combinação rara
•outras combinações, caso a caso.
Processo das curvas limites
Exemplo básico: viga simplesmente apoiada
a) estado em vazio: g 1 + P0
Atuam peso próprio e protensão antes das perdas progressivas
("pouca" carga e "muita" protensão).
b) estado em serviço: g + q + P∞
Atuam todas as cargas permanentes variáveis ("muita" carga e
"pouca" protensão).
Limitações às
tensões provocadas
pela protensão
11
1. Limitações de tensões para o estado em vazio
Numa seção qualquer ao longo da peça:
Na borda inferior: Na borda superior:
(I) - 
 = + 
1g1lim1v,
lim1v,1v1g1
σσ≥σ⇒
σ≥σσσ
0p1
0p1
(II) - 
 = + 
2g1lim2v,
lim2v,2v2g1
σσ≤σ⇒
σ≤σσσ
0p2
0p2
2. Limitações de tensões para o estado em serviço
Também numa seção qualquer ao longo da peça:
Na borda inferior: Na borda superior:
(III) - - 
 = + + 
1q1glim1s,
lim1s,1s1q1g
σσσ≤σ⇒
σ≤σσσσ
∞
∞
p1
p1
(IV) - - 
 = + + 
2q2glim2s,
lim2s,2s2q2g
σσσ≥σ⇒
σ≥σσσσ
∞
∞
p2
p2
3. Curvas limites para as tensões devidas à protensão
(Ia)
(IIa)
(IIIa)
(IVa)
Curva limite para a borda
inferior, em vazio)
Curva limite para a borda
superior, em vazio)
Curva limite para a borda
inferior, em serviço)
Curva limite para a borda
superior, em serviço)
Dividindo ambos os membros das equações I, II, III e IV pela respectiva tensão 
devida à protensão no meio do vão (σ1p0,m ou σ 2p0,m, para a borda inferior ou 
superior em vazio, e σ1p∞,m ou σ2p∞,m, para a borda inferior ou superior em 
serviço) : 
1v
m1p0,
1g1lim1v,
m,po1
0p1 C 
 - 
 ⇐σ
σσ≤σ
σ
2v
m2p0,
2g1lim2v,
m,po2
0p2 C 
 - 
 ⇐σ
σσ≤σ
σ
1s
m,1p
1q1glim1s,
m,p1
p1 C 
 - - 
 ⇐σ
σσσ≥σ
σ
∞∞
∞
2s
m,2p
2q2glim2s,
m,p2
p2 C 
 - - 
 ⇐σ
σσσ≥σ
σ
∞∞
∞
12
0 1 2 3 4 5
6 cordoalhas
C2s
C1s
C2v
C1v
1/6
1
σp
σp,m
0 1 2 3 4 5
6 cordoalhas
C2s
C1s
C2v
C1v
1/6
1
σp
σp,m
4. Exemplo de aplicação do processo das curvas limites
A verificação do
Estado Limite de Serviço...
...não dispensa
a verificação do
Estado Limite Último.
1. Estado Convencional de Neutralização (NBR 6118)
Força de neutralização Pn = P + ∆P (na armadura ativa) 
Deformação na armadura ativa sujeita a Pn→ εpn = pré-alongamento
Pré-alongamento é a deformação da armadura ativa quando
o concreto está sem tensões, ou seja, neutralizado
(conceito a ser ainda melhor explicitado)pp
n
pn E A
P
 = ε
P+∆P
P+∆P
P
P σcp
σc = 0
13
daí: 
Como se trata de verificação do Estado Limite Último, devemos trabalhar com
os valores de cálculo, e portanto, introduzir os coeficientes de segurança:
Para anular as tensões no concreto, é preciso impor à armadura ativa 
uma deformação adicional igual à deformação do concreto 
correspondente a σcp, na altura do CG desta mesma armadura ativa:
cpp
p
cpp
pc
cp
p E
1 - = || 
E
1 = 
E
||
 = σασασε∆
cpppcpppn A - P = || A + P = P σασα
pp
n
pn E A
P
 = ε
Portanto, com γp = 0,9:
Pd = 0,9 P∞ e I
e
 
A
1 P 0,9 
c
2
p
c
cpd 







+=σ ∞
cpdppdnd A - P = P σα
Interpretação do física do pré-alongamento
Portanto, o pré-alongamento corresponde à deformação da armadura ativa 
quando o concreto, na altura do CG da armadura ativa, está com tensão nula.
Casos de deformação
Hipóteses de cálculo
14
Casos de protensão com aderência e sem aderência
Comportamento geral de uma viga protendida
1.Calcula-se o valor do pré-alongamento εpnd;
2.Arbitra-se um valor de tensão na armadura (σpd,arb), em geral entre fpyd e 
fptd na primeira tentativa;
3. Determina-se a posição da linha neutra, com a condição de equilíbrio 
de forças (Rcc = Rpt);
4. Determina-se a deformação adicional (σp1d) na armadura, 
correspondente às deformações posteriores ao estado de neutralização, 
de acordo com o diagrama de deformações;
5. Determina-se a deformação total de cálculo, somando-se a calculada 
no item anterior com o pré-alongamento (εpd = εp1d + εpnd); em seguida, 
determina-se, de acordo com o diagrama tensão-deformação do aço 
empregado, a tensão na armadura σpd,cal.
Roteiro de cálculo pelo processo das tentativas
15
6. Se o valor σpd,cal for suficientemente próximo ao valor adotado σpd,arb, 
então calcula-se o valor do momento resistente; caso contrário, arbitra-se um 
novo valor e repete-se o processo até se chegar a uma aproximação 
satisfatória;
7. Uma vez determinada a tensão na armadura, calcula-se o valor do 
momento resistente:
Mud = Rcc . z = Rpt . z
onde z é o braço de alavanca (distância entre o centro de pressão na zona 
comprimida e o centro de gravidade da armadura de tração).
8. A condição de segurança estará satisfeita se:
Mud ≥ Md
Processo de tentativas com arbitragem da posição da linha neutra
Ao invés de se arbitrar a tensão na armadura, pode-se arbitrar valores da 
posição da linha neutra, e calcular as resultantes de compressão no 
concreto e de tração na armadura, até que se atinja uma situação em que os 
valores obtidos sejam suficientemente próximos.
Arbitrar um valor
de tensão na armadura
Equação de equi-
líbrio: determinar
a posição da
linha neutra
Equação de compati-
bilidade: determinar
a deformação da
armadura ativa
Determinar a
tensão na armadura
ativa: diagrama real
ou simplificado
Tensão
calculada é próxima
da tensão
arbitrada?
Calcular momento
fletor resistente e
comparar mo-
mento de cálculo
Segurança
é satisfatória?
Início
Dados: esforços, 
geometria,
armadura
NÃO
NÃO
SIM
SIM
Deformação totaL
da armadura ativa:
somar pré-
alongamento
FIM
Calcular arma-
dura passiva
ou modificar
a seção
Calcularo
pré-alongamento
A protensão melhora também a 
resistência às solicitações
tangenciais,
em particular
a resistência
à força
cortante.
16
Influência da fissuração
do banzo tracionado
Inclinação do cabo
resultante junto aos
apoios de uma viga
Efeito de cabos inclinados
Bainhas na alma
Quando houver bainhas com diâmetro maior que bw/8:
bw,ef = bw - Σφ0/2
onde φ0 = diâmetro das bainhas alinhadas na alma
Devem ser verificadas simultaneamente as seguintes condições:
VSd < VRd2
VSd < VRd3 = Vc + Vsw
onde:
VSd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas de concreto, conforme 17.4.2.2 ou 17.4.2.3;
VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por
tração diagonal;
Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares 
ao de treliça;
Vsw a parcela absorvida pela armadura transversal, conforme 17.4.2.2 ou 
17.4.2.3.
(conforme 17.4.2.1/NBR 6118)
17
17.4.2.2 Modelo de cálculo I
Diagonais de compressão inclinadas de θ=45° e Vc constante, 
independente de VSd.
a) verificação da compressão diagonal do concreto
VRd2 = 0,27 av2 fcd bw d
sendo: av2 = (1 - fck/250)
b) cálculo da armadura transversal
Vsw = (Asw/s) 0,9 d fywd (sen α + cos α)
sendo:
Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se 
situa fora da seção;
Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a 
seção;
Vc = Vc0 (1+ Mo/MSd,máx ) ≤ 2Vc0 na flexo-compressão
Vc0 = 0,6 fctd bw d
fctd = fctk,inf/γc
onde:
bw = menor largura da seção, ao longo da altura útil d; no caso de elementos
estruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com diâmetro Φ > 
bw/8, a largura resistente a considerar deve ser (bw - 1/2ΣΦ);
d = altura útil da seção; no caso de elementos estruturais protendidos com 
cabos distribuídos ao longo da altura, d não precisa ser tomado com valor 
menor que 0,8h;
s = espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw,;
fywd = tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de 
estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, 
para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;
α = ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°;
M0 = momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da
seção (tracionada por Md,max), provocada pelas forças normais de diversas
origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valores de γ f e γ p iguais a 0,9;
MSd,max = momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode
ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado.
17.4.2.3 Modelo de cálculo II
Diagonais de compressão inclinadas de θ, com θ variável livremente entre 30° e 
45°. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento
de VSd.
a) verificação da compressão diagonal do concreto
VRd2 = 0,54 av fcd bw d sen2 θ (cotg α + cotg θ)
com: αv = (1- fck/250) e fck em megapascal.
b) cálculo da armadura transversal
Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α
sendo:
Vc= 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da
seção;
Vc= Vc1 , na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;
Vc= Vc1 (1+ M0 / MSd,máx) < 2Vc1 na flexo-compressão , com:
Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0
Vc1 = 0, quando VSd=VRd2, interpolando-se linearmente para valores intermediários.
18
Armadura mínima
17.4.1.1.1 Todos os elementos lineares submetidos a força cortante, à
exceção dos casos indicados em 17.4.1.1.2, devem conter armadura
transversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica:
onde:
Asw é a área da seção transversal dos estribos; 
s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do 
elemento estrutural;
α é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento
estrutural;
bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, 
respeitada a restrição indicada em (17.4.1.1.2).
ywk
ctm
w
sw
sw f
f
2,0
sen.s.b
A ≥α=ρ