Equação do 1° Grau

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MATEMÁTICA: FUNDAMENTOS BÁSICOS 
Aula: 07 
Temática: Equação do 1° Grau 
 
Vamos recordar as equações do primeiro grau. São ditas do 1º grau, 
pois sua incógnita é elevada a 1. Temos uma equação quando uma sentença 
matemática é igualada a outra sentença. 
 
Exemplo 
6 × 2 = 4 × 3 
De fato, temos 12 = 12. 
Sempre numa equação, teremos o sinal de igualdade, e este sinal indica uma 
situação real: 12 = 12. 
Utilizando o mesmo exemplo, poderíamos ter dito que 6 vezes alguma coisa é 
igual a 12. Vejamos, nós formamos uma sentença matemática e afirmamos que 
era igual a 12. Ficaria assim: 
6 × (alguma coisa) = 12 
 
Essa é a habilidade que precisamos ter: montar sentenças matemáticas e, se 
necessário, estabelecer igualdades, utilizando o sinal de igual (=). Entretanto, 
na matemática, não devemos usar o termo “alguma coisa”, pois não sabemos o 
que na verdade ela representa; ora, se não sabemos o que ela representa, 
vamos chamá-la de “incógnita” ou “variável”, e nas nossas sentenças, as 
incógnitas chamaremos de “x”, “y”, ou qualquer letra do nosso alfabeto. A 
nossa sentença original ficaria assim: 
6x = 12 
 
Temos então a expressão numérica separada pelo sinal de igual; à esquerda 
vamos chamá-la de 1º membro. Logo à direita do sinal de igualdade, temos 
outra expressão numérica (2º membro). O número que sempre acompanha a 
incógnita chama-se “coeficiente”. 
 
Resolução das equações do 1º grau 
 
 
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� Eliminamos os sinais auxiliares, se houver. 
� Eliminamos os denominadores, se houver. 
� Conservamos, no 1º membro, os termos com incógnitas, e, no 2º membro, os 
termos sem incógnita. 
� Quando um termo trocar de membro, ele troca de sinal. 
� Quando o coeficiente da incógnita for negativo, devemos multiplicar toda a 
equação por (–1). 
� O coeficiente da incógnita passa para o outro membro dividindo. 
 
Exemplo 
5x – 4 = 3x + 6 
 
Objetivo Fundamental: isolar a incógnita. 
a) Vamos passar o –4 para o outro membro, logo ele passará como +4: assim: 
5x = 3x + 6+ 4 
b) Vamos agrupar os coeficientes no 1º membro, passando o 3x para o outro 
lado como –3x; assim; 
5x – 3x = 6 + 4, o que dará ⇒ 2x = 10 
c) Isolando o “x”, teremos ⇒ x = 
2
10
, pois o coeficiente que estava 
multiplicando a incógnita agora ele passa dividindo. Resultado final: x = 5 
 
Problemas do 1º grau 
Existem problemas que, traduzidos para uma linguagem matemática, resultam 
numa equação do 1º grau. Precisamos, sim, estar familiarizados com essa 
linguagem matemática. Por exemplo: 
 
Linguagem comum Linguagem matemática 
O dobro de um número 2x 
A metade de um número 
2
x
 
O triplo de um número mais um 3x + 1 
 
 
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O dobro de um número menos um 2x – 1 
O triplo da diferença entre um número e 2 3 (x – 2) 
O quádruplo da soma de um número mais dois 4 (x + 2) 
A terça parte de um número menos 3 3
x
– 3 
Dois terços da diferença entre um número e 6 3
2
 (x – 6) 
A metade da sexta parte de um número 
2
1
.
6
1
x 
O quádruplo de um número mais a terça parte dele 4x + 3
1
x 
A diferença entre a metade de um número e seus 
dois quintos 2
1
x – 
5
2
x 
A soma de um número com seu antecessor x + (x – 1) 
O dobro do sucessor de um número 2 (x + 1) 
A soma de três números consecutivos x + (x + 1) + (x + 2) 
Um número par qualquer 2x 
Um número ímpar qualquer 2x + 1 
 
Sistemas de equações do 1º grau 
Em muitos casos, problemas do 1º grau podem apresentar-se contendo 2 
incógnitas. Por esse motivo, vamos relembrar sistemas de equações do 1º 
grau. 
Vamos observar a equação: x + y = 9. Em verdade, esta equação é 
indeterminada, pois possui 2 incógnitas. Vejamos: 
Se x = 1 ⇒ y = 8 
Se x = 2 ⇒ y = 7 
Se x = 3 ⇒ y = 6, e assim por diante. 
Só podemos determinar um único valor para “x” e para “y” se tivermos outra 
equação em x e y. 
Por exemplo: 



=−
=+
5yx
9yx
 ⇐ sistema de equações 
Agora, sim, podemos dizer que x = 7 e y = 2. Como descobrir? 
 
 
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1º Método: Substituição 
� escolhemos uma equação e uma incógnita; 
� tiramos o valor dessa incógnita nessa equação; 
� substituímos esse valor na outra equação; 
� resolvemos essa equação que agora tem apenas uma incógnita; 
� com o valor dessa incógnita substituímos na outra equação. 
 
Exemplo 



=−
=+
5yx
9yx
 
 
a) vamos escolher a 2ª equação: 
x – y = 5 
b) tirando “x” dessa equação em função de “y”: 
x = 5 + y 
c) substituindo “x” na 1ª equação: 
x + y = 9 ⇒ 5 + y + y = 9 
d) resolvendo-a: 
2y = 9 – 5, logo y = 4 / 2 ⇒ y = 2 
e) substituindo “y” em qualquer equação 
 x – y = 5 ⇒ x – 2 = 5 ⇒ x = 7 
 
2º Método: Adição 
A nosso ver, é o método mais simples, pois consiste em somar as 2 equações 
membro a membro, de modo que uma das incógnitas desapareça. Vamos 
utilizar o mesmo exemplo usado no método das substituições: 
14yyx2
5yx
9yx
=−+



=−
=+
 
2x = 14, logo x = 7. 
 
Substituindo esse valor de “x” em qualquer equação, teremos y = 2. 
 
 
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 Observação 
É claro que uma das incógnitas só desaparecerá na adição, se os seus 
coeficientes forem simétricos. No caso acima, tínhamos +1y e –1y. Quando não 
forem simétricos, será preciso “ajeitar” as equações para torná-las simétricas. 
 
Exemplo 



=−
=+
11y4x
9y32x
 
 
Existe uma propriedade das equações que diz que “uma equação não se altera 
quando multiplicamos toda ela por um mesmo número diferente de zero. 
Diante disto, escolho uma das incógnitas para desaparecer. Vamos fazer 
desaparecer com “y”. 
Seus coeficientes são –3 e 1; portanto, se multiplicarmos a 2ª equação por 3, 
aparecerá –3y, que é simétrico de 3y. 
 
Vamos resolver o sistema: 



×=−
=+
3)( 11y4x
9y32x
 
 



=−
=+
33y312x
9y32x 
 
 
Agora, sim, vou aplicar o método da adição, achando o valor 3 para “x” e o 
valor 1 para “y” 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
1) Resolver a equação: x
6
12x
3
2x
=
+
−
−
 
 
 
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A equação anterior é equivalente a: 
1
x
6
1x2
3
2x
=
+
−
−
 e como MMC (1,3,6) = 6; 
podemos escrevê-la assim: 
6
x6
6
1x2
6
)2x.(2
=
+
−
−
 ⇔ (2x – 4) – (2x + 1) = 6x 
 
Eliminando os parênteses: 2x – 4 – 2x – 1 = 6x ⇔ 2x – 2x – 6x = 4 + 1 
 – 6x = 5. (– 1) ⇔ 6x = – 5 ⇔ x = 
6
5−
 
 
2) Um jogo é composto por 40 etapas. Cada etapa de sucesso vale 10 
pontos positivos e cada etapa de fracasso vale 8 pontos negativos. 
Quantas etapas de fracasso um jogador conseguiu sabendo que ele 
terminou o jogo com 220 pontos. 
 
Designando por x: no. de etapas com sucesso - valor (10) 
 e por y : no. de etapas com fracasso - valor (–8) 
 
Teremos: 



=−+
=+
220y)8(x10
40yx
 ⇔ 



=−
=+
220y8x10
40yx
 
 
Multiplicando a 1ª equação por (–10) e adicionando à 2ª tem-se: 
10y
18
180y
180y18
)1(180y18
220y8x10
400y10x10
=⇔=
=
−×−=−



=−
−=−−
 
Resposta: O jogador fracassou em 10 etapas. 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Dividir 80 em duas partes, de tal modo que uma delas seja 1/3 da outra. 
A menor parte será: 
a) 22 
 
 
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b) 60 
c) 25 
d) 20 
e) 10 
 
2) A soma de dois números é 56, e a diferença entre eles é 18. O número 
menor será: 
a) 19 
b) 20 
c) 21 
d) 28 
e) 37 
 
3) Se adicionarmos 10 à quinta parte de um número, obteremos o 
sêxtuplo desse número. Qual é esse número? 
a) 29/50 
b) 27/40 
c) 24/37 
d) 29/47 
e) 50/294) (TTN, 1992) Num clube, 
3
2
 dos associados são mulheres. Se 
5
3
 das 
mulheres são casadas e 
100
80
 têm filhos, o número de associados do 
clube, sabendo-se que as mães casadas são em número de 360, é de: 
a) 4500 
b) 1125 
c) 750 
d) 1725 
e) 2250 
 
 
 
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5) (TTN, 1992) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da 
idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos 
atrás. Podemos então afirmar que atualmente: 
a) Carlos é uma criança com menos de 5 anos. 
b) Carlos é um jovem com mais de 12 anos e menos de 21. 
c) Carlos tem mais de 21 anos e menos que 30. 
d) Carlos já passou dos trinta anos e não chegou aos 40. 
e) Carlos tem mais de 60 anos. 
 
6) (TTN, 1994) Que horas são, se 
11
4
 do que resta do dia é igual ao tempo 
decorrido? 
a) 7 horas e 40 minutos 
b) 7 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas e 24 minutos. 
 
7) (TTN, 1994) Os 
3
2
 de 
3
5
 do preço de uma moto equivalem a 
2
3
 de 
5
2
 do 
preço de um carro, avaliado em R$ 9.600,00. O preço da moto é de: 
a) R$ 8640 
b) R$ 6400 
c) R$ 5184 
d) R$ 16000 
e) R$ 5760 
 
8) A solução da equação: 
20
1310x
5
12x
4
13x −
=
−
−
−
 é: 
a) x = 4 
b) x = – 4 
c) x = – 5 
d) x = 10 
e) x = 12 
 
 
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9) Numa prova com 20 questões, o aluno ganha 5 pontos por cada 
questão certa e perde 3 pontos por cada questão errada. Quantas 
questões acertou um aluno que obteve 36 pontos? 
a) 10 questões 
b) 8 questões 
c) 12 questões 
d) 6 questões 
e) 15 questões