Mecanica dos fluidos, unid 1 e 2

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APOSTILA
DE
MECÂNICA 
DOS
FLUIDOS
PARA TECNÓLOGOS
	PREFÁCIO
	Esta apostila é dedicada aos futuros tecnólogos, que poderão utilizar a Mecânica dos Fluidos em algumas das suas disciplinas do ciclo profissional. 
	A Mecânica dos Fluidos é parte da Ciência Fenômenos de Transporte, incluída na maioria dos cursos de Engenharia aonde as suas aplicações são essenciais. 
	A obra foi desenvolvida com base na experiência obtida em sala de aula, além da necessidade da sua integração aos cursos de tecnologia. A sua principal característica é tornar a teoria e aplicação da Mecânica dos Fluidos mais fácil para um determinado típico de estudante de tecnologia, e portanto, os cálculos diferenciais e integrais não serão utilizados neste livro.
	Aqui adotar-se-á o Sistema Internacional de Unidades (SI), uma vez que além de ser um sistema de unidades completo, o mesmo está indo em direção da adoção de um sistema padrão na maioria dos livros didáticos na área de Engenharia e Tecnologia, bem como nas indústrias e seus equipamentos industriais. Ocasionalmente, pode aparecer ao longo do texto o Sistema Inglês (pés, slug, pound), mas o leitor será perfeitamente capaz de fazer a conversão das unidades.
	É esperado que esse texto traga aos estudantes Tecnologia a compreensão dessa ciência, cujo entendimento da evolução dos seus conceitos, ao longo de séculos, faz-se necessário para uma maior compreensão e entendimento dos fenômenos que envolvem fluidos, quer seja na natureza, nos laboratórios, o em máquinas industriais.
Capítulo I
INTRODUÇÃO, HISTÓRIA E NOÇÕES BÁSICAS
1. Introdução
 CONCEITO
FLUIDOS: São substâncias que são capazes de escoar e cujo volume toma a forma do recipiente. Todos os fluidos possuem um certo grau de compressibilidade e oferecem pequena resistência a mudança de forma. Os fluidos podem ser divididos em líquidos, e em gases. 
LÍQUIDOS: Praticamente incompressíveis e ocupam volumes definidos.
GASES: São compressíveis e uma dada massa de gás expande-se, até ocupar todo recipiente.
COMPRESSIBILIDADE: É uma propriedade que a matéria apresenta quando sofre a ação de uma força, ou de forças atuando sobre ela.
	As moléculas de um sólido são muito mais unidas do que as moléculas de um líquido. A atração das moléculas de um corpo sólido é tão forte, que dificilmente, muda de forma. Já com os fluidos acontece o contrário, suas moléculas possuem uma força de atração baixa e portanto, facilmente deformáveis sob ação de forças, não importando o quão viscoso seja este fluido.
O mundo está rodeado por fluidos como água e ar, essenciais para nossa vida. Neles nos deslocamos e sofremos consequências das alterações que se produzem naturalmente ou provocadas pelo próprio homem. Também é fundamental a presença dos fluidos na conversão, transporte e utilização da energia em diferentes campos da engenharia.
A Mecânica dos Fluidos é a parte da mecânica clássica aplicada ao movimento dos fluidos, das suas propriedades e comportamento.
 Nesta seção apresenta-se uma introdução do movimento dos fluidos, bem como da evolução da Mecânica dos Fluidos. O movimento dos fluidos pode ser estudado da mesma forma que o movimento de corpos sólidos usando-se as leis fundamentais da física juntamente com as propriedades físicas dos fluidos. Conforme a natureza do escoamento será a complexidade de sua análise. 
A física lida na mecânica com trabalho, força, velocidade, energia e atrito. Tais termos também serão utilizados aqui, muito embora, em alguns casos, com uma abordagem diferente, entretanto, permanecendo o conceito o mesmo.
O estudo de Mecânica dos Fluidos é essencial para analisar qualquer sistema no qual o fluido produz trabalho. 
HISTÓRIA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
Os fluidos, desde a pré-história, despertaram o interesse dos homens, conforme atestam algumas pinturas rupestres encontradas em caverna. Encantavam-se com a observação do movimento das águas e do vento. Ao longo de anos e anos, assim permaneceu esta ciência, sem nenhum caráter científico.
Obras hidráulicas de grande importância nos conduzem à Mesopotâmia, aonde surgem os primeiros canais de irrigação construídos nas planícies situadas entre os rios Tigre e Eufrates. Já na antiga Babilônia, já existiam os coletores de esgotos desde 3750 a.C.
No Egito antigo, verificou-se o desenvolvimento de aquedutos e a primeira necessidade do homem da construção de uma bomba hidráulica, devido à agricultura, e da consequente necessidade do desenvolvimento de formas de irrigação. Então, surgem os primeiros registros dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios, que a princípio transportavam água em potes, mas cerca de 1.500 a.C., desenvolveram a primeira máquina de elevação de água. Era preciso utilizar as cheias e distribuir a água de forma equitativa, aumentando a área irrigada e drenar os pântanos. Não eram obras de engenharia, tudo se baseava na Hidráulica empírica. Construíram assim represas, canais e diques, que aproveitavam melhor as águas do Rio Nilo, que gerou para o Egito uma economia razoável, em uma região situada em pleno deserto.
Também foi com base em estudos fenomenológicos que se aprimorou continuamente o projeto das embarcações movidas à vela e a remo, que evoluíram no sentido de minimizar as forças de atrito, facilitando assim o movimento das embarcações. Até então, desde antes do nascimento de Cristo, não há registros que comprovem a aplicação dos conhecimentos científicos nos dimensionamentos e projetos.
 Uma primeira abordagem científica surge com a solução de um problema de fluidos, solucionado por um físico e matemático chamado Archimedes (285 – 213 a.C.) estudando as flutuações de corpos submersos com a célebre determinação da quantidade de ouro na coroa do rei Hieros. Archimedes é considerado o pai da Hidrostática.
Mesmo na idade média, não se entendia, ao observar fenômenos da natureza, porque uma flecha atirada caía ao chão imediatamente após ser lançada. Intuitivamente, começaram a empregar os conceitos da Aerodinâmica, passaram a desenvolver flechas, por exemplo, com pontas feitas de forma, também a diminuir os efeitos de atrito. 
Mas foi só após o renascimento, que estudos matemáticos começaram a confirmar algumas teorias propostas. Nessa época, Leonardo da Vinci iniciou algumas aplicações no campo da hidráulica, estabelecendo proposições científicas em tal área. Foi ele que deduziu a equação da conservação da massa para um fluido em regime permanente e unidimensional. De forma experimental, os seus registros apresentam descrições de jatos, ondas e bombas hidráulicas.
No século XVII, Newton enunciou as suas famosas Leis do Movimento. Pouco tempo depois, Euler, estudando os elementos fluidos, estabeleceu equações básicas do movimento. Depois vieram as equações de Bernoulli da energia.
Mas a falta de conhecimento de uma propriedade muito importante para esta ciência, a viscosidade, estagnou o desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos. Navier e Stokes, em trabalhos independentes, começaram a introduzir o conceito de viscosidade, entretanto, aplicada apenas a uma determinada classe de fluidos, os Newtonianos. Tais equações, embora corretas, apresentam um resultado tão complicado, que a sua aplicação ainda é muito restrita.
Experiências como a de Reynolds, começaram a elucidar a possibilidade de aplicação das equações de Navier-Stokes. Mas foi Prandtl, no início do século XX que demonstrou analítica, e experimentalmente a existência de duas regiões distintas de escoamento. Introduzindo o conceito de camada limite, e firmando a importância da viscosidade para os fluidos.
LEIS BÁSICAS PARA O ESTUDO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
As leis básicas que governam os problemas de Mecânica dos Fluidos são:
• A conservação da massa
• A segunda lei do movimento de Newton
• O princípio do momento da quantidade de movimento
• A primeira lei da termodinâmica
• A segunda lei da termodinâmica
A Mecânica dos fluidos é a ciência que trata das leis do movimento e do equilíbrio dos fluidos, das leis de forças
e movimentos de fluidos, isto é, líquidos e gases, sendo dividida em:
Estática trata das relações das forças que produzem equilíbrio entre corpos materiais.
Dinâmica é parte da Mecânica que trata do movimento dos corpos sob a influência de forças. Na estática, a propriedade mais importante do fluido é o peso específico. Enquanto na dinâmica, a propriedade mais importante de um fluido é a viscosidade.
A Mecânica dos Fluidos trata das leis de forças e movimentos de fluidos, isto é, líquidos e gases.
Na Mecânica dos Fluidos estuda-se o movimento das partículas de fluido e não o movimento das moléculas do fluido. A descrição de qualquer propriedade do fluido como massa específica, pressão, velocidade, aceleração é formulada em função das partículas. Ou seja, na aplicação em ciência e tecnologia, não se está interessado nos aspectos moleculares, mas sim em manifestações macroscópicas e mensuráveis. Aqui, adotaremos a teoria do contínuo, ou seja, uma idealização de distribuição contínua da matéria, onde as propriedades têm um valor definido em cada ponto do espaço.
A representação dos parâmetros dos fluidos em função das coordenadas espaciais denomina-se campo de escoamento.
Campo é uma distribuição contínua de quantidades escalares, vetoriais ou tensoriais. O campo de escoamento é uma região do espaço de interesse do escoamento, na qual uma determinada propriedade está sendo considerada descrita por coordenadas espaciais e de tempo (x,y,z,t).
Este método denomina-se descrição Euleriana. Desta forma obtém-se informação do escoamento em função do que acontece em pontos fixos do espaço. Existe outro método denominado descrição Lagrangiana no qual as partículas de fluidos são rotuladas (identificadas) e suas propriedades são determinadas acompanhando seu movimento. Geralmente o método Euleriano é mais fácil de ser utilizado para descrever os escoamentos nas investigações experimentais. No presente curso de Mecânica dos Fluidos os fluidos serão estudados pelo método Euleriano.
Método Euleriano – Abordagem Instantânea.
Método Langragiano – Acompanha as partículas de Fluido+ em movimento, ou seja, não é uma abordagem instantânea, mas o acompanhamento do movimento da partícula de fluido, e a determinação das suas propriedades ao longo de sua trajetória.
Movimento de uma Partícula de Fluido
Qualquer elemento de fluido observará as leis da mecânica clássica. Quando a um elemento de fluido é aplicada uma força, o seu comportamento pode ser descrito da seguinte forma:
O fluido permanecerá em repouso, ou em movimento uniforme até que uma força externa o atinja.
A taxa desta mudança (ou seja, a mudança da quantidade de movimento do corpo, é proporcional à força imposta e na direção contrária a esta força).
Para toda ação, existe uma reação.
A partir dessas leis, vamos determinar, algumas equações envolvidas acima.
Força = Massa x Aceleração = Massa x (∆V/∆t) (1)
Onde V é a velocidade da partícula.
t é o tempo
	A Eq. (1) é a SEGUNDA Lei do Movimento de Newton
OBS!!!! Lembrando que partícula é uma quantidade de massa invariável de Fluido, com propriedades bem determinadas, que anda no espaço.
Quantidade de Movimento = Massa de Fluido x Velocidade de escoamento (2)
Necessário se faz dizer, que na Mecânica dos Fluidos estamos lidando com o mundo macroscópico, ou com a teoria do Continnum.
Teoria do Continunn – Idealização da continuidade da matéria.
Sistemas em Equilíbrio
Como vimos anteriormente, pelas Leis da Mecânica Clássica, na seção anterior, deve existir uma Força oposta, e é esta força que mantém um sistema em equilíbrio. Se a Força oposta, é dividida por uma área (A), então pode-se introduzir um importante parâmetro da Mecânica dos Fluidos: a Pressão.
P = Força/Área (3)
Em outras palavras, o fluido é submetido a uma pressão, como uma reação à Força, outrora a ele aplicada.
1.6. Escoamentos
Em ciência e tecnologia existe um compromisso entre a realidade e as simplificações necessárias para os cálculos matemáticos. Iremos aqui estudar os escoamentos suscetíveis ao tratamento matemático simples, ou seja, idealizações, mas que serão úteis à compreensão dos escoamentos reais.
1.6.1. Conceitos Fundamentais:
Bidimensionalidade: Todas as propriedades do fluido e parâmetros de escoamento dependem apenas de duas coordenadas espaciais.
Incompressibilidade: A massa específica não varia com o tempo.
Irrotacionalidade: Implica em um escoamento de um fluido que presume-se ideal (sem viscosidade), ou seja, as partículas de fluido movem sem rotação.
Permanente: As propriedades e características do escoamento são invariáveis com o tempo.
1.7.Tipos de Escoamento
• Escoamento uniforme: Se no escoamento a velocidade tem a mesma magnitude e direção em todo ponto do fluido é dito ser uniforme. Isto se aplica em geral para todas as propriedades do fluido numa determinada seção reta de um sistema em estudo.
• Não-uniforme: Se em um dado instante, a velocidade não é a mesma em todo ponto (numa determinada seção reta) o escoamento é não-uniforme. Na prática, por tal definição, todo fluido que escoa próximo de uma fronteira sólida é não-uniforme – o fluido na fronteira deve tomar a velocidade da fronteira, geralmente zero. Entretanto se o tamanho e a forma da seção dacorrente de fluido é constante o fluxo é considerado uniforme.
• Estacionário: Um escoamento é denominado estacionário ou permanente quando as propriedades do fluido (velocidade, pressão e também a seção transversal) podem ser diferentes de um ponto a outro mas não mudam com o tempo.
• Não-Estacionário: Se em qualquer ponto do escoamento, as propriedades mudam com o tempo, o escoamento é considerado como não estacionário. Na prática há sempre ligeiras variações em velocidade e p
ressão, mas se os valores médios são constantes o escoamento é considerado estacionário ou permanente.
Cada uma das classes de escoamento definidos acima apresenta uma complexidade ascendente. Desta forma o fluxo uniforme estacionário é o mais simples dos quatro. Neste curso são tratados basicamente esta classe de escoamentos. Dificilmente será analisado um escoamento não-uniforme. 
Linhas de Corrente e Tubos de Corrente
Na análise do escoamento é útil visualizar a forma do escoamento. Isto pode ser feito desenhando linhas unindo pontos de igual velocidade – contornos de velocidade. Essas linhas são conhecidas como linhas de corrente. As linhas de corrente são linhas tangentes à direção do escoamento, isto é, são linhas tangentes ao vetor velocidade em cada ponto.
OBS! LEMBRANDO QUE VETORES SÃO TODAS AS GRANDEZAS FÍSICAS QUE POSSUEM DIMENSÃO, DIREÇÃO E SENTIDO.
Fig. 1 – Representação de uma Linha de Corrente
Na Fig. 2 mostra-se um exemplo simples de linhas de corrente em torno de uma asa de avião.
Fig. 2 – Linhas de Corrente em torno de uma asa de avião.
Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas de corrente onde o fluido escoa.
Fig. 3 – Tubo de corrente bidimensional
As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto acima, o fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma parede do tubo de corrente. 
Também é importante definir as linhas de trajetória e as linhas de emissão:
Linha de Trajetória:
Caminho ou trajetória deixada por uma partícula de fluido em movimento.
Linha de Emissão Ponto fixo no espaço no qual passam diversas partículas de fluido.
Somente num escoamento permanente a velocidade em cada ponto do campo é constante com o tempo. Neste caso, as linhas de corrente, de emissão e trajetórias são idênticas.
1.8. Escoamento Compressível e Incompressível
Todos fluidos são compressíveis – como a água – sua massa específica mudará com mudanças de pressão.
Sob condições de escoamento permanente, e considerando que as mudanças de pressão sejam pequenas, é possível simplificar a análise do fluxo considerando o fluido como incompressível e com massa específica constante. Os líquidos são difíceis de comprimir e na maioria das condições em regime permanente são tratados como incompressíveis. Em algumas condições não-estacionárias podem ocorrer diferenças muitas altas de pressão sendo necessário levar em conta a compressibilidade nos líquidos. Os gases, ao contrário, são facilmente comprimidos, sendo tratados como fluidos compressíveis, levando em consideração as mudanças de pressão e temperatura =f(P,T). 
Os escoamentos em que as variações da massa específica são desprezíveis denominam-se incompressíveis. Quando existem variações da massa específica que não são desprezíveis o escoamento é denominado compressível. 
Escoamento Uni, Bi e Tridimensional
Os escoamentos na natureza são geralmente tridimensionais, transitórios e complexos. O campo de velocidades é dependente das coordenadas de posição e do tempo V=V(x,y,z,t). Num escoamento tridimensional o vetor velocidade apresenta três componentes de velocidade V= ui + vj + wk.
Embora em geral todos os fluidos escoem de forma tridimensional, com pressões e velocidades e outras propriedades de fluxo variando em todas as direções, em muitos casos as maiores mudanças ocorrem unicamente em duas direções ou até mesmo numa única direção. Nestes casos mudanças nas outras direções podem ser desprezíveis tornando-se a análise muito mais simplificada.
Existem regimes de escoamento nos quais um dos componentes do vetor velocidade é pequeno, em relação aos outros dois componentes. Neste caso falamos de escoamento bidimensional V= ui + vj.
1.8. Escoamento Viscoso e Não-viscoso
Num fluido real (fluido viscoso) são geradas forças viscosas dependentes da viscosidade do fluido e da variação da velocidade numa terminada seção transversal, denominado gradiente de velocidade. Neste caso a velocidade é zero nas paredes do tubo e máxima no centro. Se existe variação da velocidade através da seção transversal (gradiente de velocidade), portanto se manifestam as forças viscosas. 
Num fluido não viscoso o perfil de velocidade é uniforme e as tensões de cisalhamento são nulas já que não existe variação da velocidade (gradiente de velocidade nulo). Denomina-se fluido não-viscoso, já que se considera que se desprezam os efeitos da viscosidade do fluido (μ=0).
Num fluido viscoso são importantes os efeitos das forças por pressão e forças viscosas. A presença de forças viscosas significa que o escoamento é rotacional. Num escoamento não-viscoso as únicas forças que se manifestam são as forças de pressão. A condição de irrotacionalidade é uma hipótese válida para aquelas regiões do escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis.
1.9. Escoamento Laminar e Turbulento
O cientista britânico Osborne Reynolds realizou experiências que permitiram visualizar os diferentes regimes de escoamento numa tubulação. Injetando líquido colorido numa tubulação na qual escoa água e regulando a vazão com um registro ele detectou diferentes regimes de escoamento. Para uma vazão “baixa” o fluido se comporta como lâmina sem perturbação, sendo o escoamento denominado laminar. Para “grandes” vazões o líquido mostra-se com flutuações aleatórias típicas de um escoamento turbulento. Para vazões “intermediárias” o fluido colorido apresenta leves flutuações no espaço e no tempo. Neste caso o escoamento está numa fase de transição entre laminar e turbulento. Foi observado que a natureza laminar ou turbulenta estava relacionada com o diâmetro (D) da tubulação, a velocidade média do escoamento (V) e a viscosidade cinemática do fluido. Foi assim definido um número característico denominado na sua homenagem número de Reynolds. Considera-se (dutos e tubos) que para número de Reynolds menores que 2300 o escoamento é laminar e para Reynolds maiores que 4000 o escoamento é plenamente turbulento.
Então, os escoamentos viscosos são classificados como escoamentos laminar e turbulento tendo por base a sua estrutura. 
1.10.Escoamento Interno e Externo
 	
Os escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados de escoamentos internos (escoamentos que ocorrem em tubulações e dutos). O escoamento interno de líquidos nos qual o duto não fica completamente preenchido, existindo uma superfície livre submetida à pressão constante, é denominado escoamento em canal aberto (rios, canais de irrigação, aquedutos.
O estudo de escoamento em placas (Fig.3) é um caso muito utilizado para estudar o escoamento externo. Numa placa plana a transição do escoamento laminar para o turbulento geralmente ocorre para Rex < 5x105 devendo ser turbulento para valores maiores. Nesse caso onde x é a distância a partir da borda de ataque da placa.
Fig. 3 – Escoamento em Placa Plana
Fig. 4 – Escoamento Interno em Tubos
1.11. Camada Limite
A Mecânica dos Fluidos sofreu uma parada em seu desenvolvimento, pela falta de conhecimento de uma propriedade dos fluidos denominada de viscosidade. Em meados do século XVII dois termos foram introduzidos nesta ciência: (1)Hidrodinâmica e (2)Hidráulica. Tratando-se de estudos matemáticos e teóricos do comportamento de fluidos, adotava-se o termo Hidrodinâmica, enquanto, o termo Hidráulica, descrevia o comportamento experimental dos fluidos. Muito embora, por muitas vezes, o estudo da Hidrodinâmica e da Hidráulica caminhassem juntos. 
Em 1904 o cientista Alemão Ludwind Prandtl finalmente unificou as duas abordagens, ao introduzir o conceito de Camada Limite. Por este motivo Prandtl é geralmente considerado como o fundador da Mecânica dos Fluidos moderna.
Prandtl demonstrou, teórica e experimentalmente, que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados, dividindo-se o fluxo em duas regiões, uma próxima das fronteiras sólidas e outra cobrindo o restante. Apenas na região muito delgada adjacente a fronteira sólida (camada limite) o efeito da viscosidade é importante (Fig.5).
Na região fora da camada limite o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como não viscoso. Em muitas situações reais a camada limite desenvolve-se sobre uma superfície sólida plana. 
Nos escoamentos internos (dutos e tubulações) também há a formação da camada limite. Como se observa na figura a natureza da espessura da camada limite dependerá do regime de escoamento (Laminar ou Turbulento).
Anexos (Lista de símbolos gregos)
Capítulo II
PROPRIEDADE DOS FLUIDOS
2.1 Introdução
Como já vimos No Capítulo I, a Mecânica dos Fluidos é o ramo da mecânica clássica que lida com os fluidos, estudando e avaliando as suas propriedades, bem como seu comportamento estático e dinâmico. Com esta finalidade utilizam-se as leis fundamentais que governam o movimento dos fluidos, tais como a equação da conservação da massa, equação da quantidade de movimento, equação do momento e leis de termodinâmica.
Objetivos da Ciência:
• Definir a natureza dos fluidos.
• Mostrar onde o conceito de Mecânica dos Fluidos tem semelhanças com os sólidos e assinalar algumas diferenças fundamentais.
• Introduzir o conceito de viscosidade e mostrar a diferença entre fluidos newtonianos e não newtonianos.
• Definir as propriedades físicas e mostrar suas diferenças entre sólidos e fluidos assim como entre líquidos e gases.
Características de um Fluido:
Dois aspectos diferenciam a mecânica dos fluidos e a mecânica dos sólidos:
1. A natureza de um fluido é muito diferente a de um sólido.
2. Nos fluidos geralmente lidamos com correntes contínuas de fluido. Nos sólidos considera-se elementos individuais de matéria.
Três estados de matéria são reconhecidos: sólido, líquido e gasoso. No estado líquido e gasoso a matéria é denominada fluido. Os sólidos têm a propriedade de resistir à deformação. Como um fluido não pode resistir a uma força de deformação este se move e, portanto, escoa sob a ação desta força. Sua
forma muda continuamente conforme é aplicada a força. Um sólido pode resistir a uma força de deformação. A força pode causar alguma deformação ou deslocamento do sólido, contudo este não tenderá a mover-se continuamente.
A deformação de um fluido é originada por forças de cisalhamento que atuam tangencialmente em relação à superfície. Quando um fluido está em movimento são desenvolvidas forças de cisalhamento se as partículas do fluido se movem adjacentes umas às outras. Quando isto acontece partículas adjacentes têm velocidades diferentes. Se a velocidade do fluido é a mesma em todo ponto então não há tensão de cisalhamento: as partículas apresentam velocidade relativa zero.
Obs!!!!! Todo fluido real possui uma propriedade denominada de viscosidade, que dá origem a forças de cisalhamento, inexistentes na teoria do escoamento de um fluido perfeito. Um fluido perfeito é aquele que não possui nenhuma viscosidade, ou aquele, cujos efeitos da viscosidade podem ser desprezados. 	
	A viscosidade não é difícil de ser visualizada, entretanto os termos matemáticos que a descrevem, tornam a sua compreensão um pouco complicada.
Seja considerar o escoamento de um fluido viscoso sobre uma placa plana, conforme mostrado na Fig.2.1. O fluido escoa com uma velocidade u, na direção x, sendo y a coordenada normal à placa. Imediatamente após a entrada do fluido (i.e. x = 0), a velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos. Entretanto, à medida que o fluido escorre sobre a placa, o perfil de velocidade muda drasticamente. As forças viscosas tendem a segurar o fluido nas regiões próximas à placa, e assim sendo, as partículas de fluido em contato com a placa, assumem uma velocidade igual a zero, enquanto que na região suficientemente distante da placa, o fluido possui uma velocidade, a qual denominaremos de u∞. Esta velocidade permanece inatingível! Esta situação implica que a velocidade do fluxo u, deve crescer do ponto y = 0, até u = u∞. Assim, para cada ponto em x, há um ponto y = δ(x). O ponto onde u corresponde a 0,99% de u∞ é denominado de camada limite, e a notação δ(x), é conhecida como espessura da camada limite.
Com estas considerações, podemos dizer que o fluxo é separado em duas regiões distintas: (1) A região da camada limite, aonde a velocidade u cresce rapidamente com a distância da placa, e (2) a região fora da camada limite onde o gradiente de velocidade é desprezível. 
As forças são descritas em termos de uma tensão de cisalhamento, , entre as camadas de fluido. Admitindose que essa tensão seja proporcional ao gradiente da velocidade que normal, resulta a equação de definição da viscosidade
				 (1)
A constante de proporcionalidade, , é chamada de viscosidade dinâmica, dada tipicamente em N.s-1m-2; outras unidades são usadas, devendose tomar cuidado na seleção de um grupo adequado que seja consistente com a formulação adotada.
A região do escoamento que se desenvolve a partir da borda de ataque da placa, onde os efeitos da viscosidade são observados, é chamada de camada limite. 
Fig.2.1 – Desenvolvimento de um escoamento SOBRE PLACA
	A Eq. 1 é conhecida como a Lei de Newton.
 Então a viscosidade é definida através da Lei da viscosidade de Newton, que teoricamente especifica:
̎Para certos fluidos denominados Newtonianos, a Tensão de cisalhamento na direção paralela ao escoamento é diretamente proporcional a razão de variação de velocidade e na direção normal da superfície aonde o fluido escoa.̎
Logo este coeficiente de proporcionalidade é definido como a viscosidade dinâmica μ (mi), que é uma função da pressão e da temperatura. Para os líquidos, μ decresce com a temperatura e é particularmente independente da pressão. Nos gases, μ cresce com a temperatura.
Através de experimentos comprovou-se que uma força F, seria proporcional à Àrea x u(velocidade)/y.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Uma placa considerada infinita é movimentada horizontalmente a uma superfície horizontal. Para um espaçamento y = 0,5 mm entre a placa e a superfície, existe um líquido cuja viscosidade dinâmica é 7,2 x 10=2 poise. Sendo a velocidade da placa igual a 0,5 m∕s, determine a tensão de cisalhamento na face interior da placa, e na superfície horizontal. Admitir um perfil de velocidade com variação linear.
 U
 F
 y
 x
 Fig. 2.2 – Distribuição de velocidade no movimento de uma placa plana.
CONTINUANDO!
Inicialmente o desenvolvimento da camada limite é laminar, porém a alguma distância crítica da borda de ataque, dependendo do campo de escoamento e das propriedades do fluido, pequenas perturbações no escoamento podem ser amplificadas, ocorrendo um processo de transição até que o escoamento se torne turbulento. A região de escoamento turbulento é caracterizada por um movimento aleatório das partículas fluidas. A transição de regime laminar para turbulento ocorre quando:
 (2) 
onde	u = velocidade do fluido nãoperturbado
	x = distância a partir da borda de ataque
	 = / = viscosidade cinemática
Este agrupamento particular de termos é chamado de número de Reynolds e é adimensional se as unidades das propriedades forem coerentes.
Embora o número crítico de Reynolds para a transição numa placa plana seja geralmente tomado como 5 x 105, este valor, na prática, é fortemente dependente das condições de rugosidade superficial e do "nível de turbulência" da corrente livre. A faixa normal para o início da transição é entre 5 x 105 e 106. Com perturbações muito grandes no escoamento, a transição pode ser iniciada com um número de Reynolds da ordem de 105 e, para escoamentos livres de flutuações, a transição não deve ocorrer antes de Re = 2 x 106 . Na realidade, o processo de transição ocorre dentro de uma faixa de números de Reynolds, sendo a transição completada com o escoamento turbulento, desenvolvido, geralmente, para números de Reynolds iguais ao dobro dos valores para os quais a transição teve início.
Pode-se verificar, que o número de Re é baseado em 3 variáveis distintas: velocidade, viscosidade e espessura característica. A espessura x foi escolhida devido ao escoamento se dar sobre uma placa plana. No caso de escoamentos em tubos cilíndricos, ou esfera, o diâmetro é utilizado como dimensão característica.
A solução exata para a espessura da camada limite hidrodinâmica foi desenvolvida por Blasius, e é dada por:
 (3)
2.3 Fluidos Newtonianos e Não-Newtonianos
Até mesmo fluidos que são aceitos como tais podem ter grandes diferenças de comportamento quando submetidos a tensões de cisalhamento. Fluidos obedecendo a Lei de Newton onde o valor de μ é constante são conhecidos como fluidos newtonianos. Se μ é constante a tensão é linearmente dependente do gradiente de velocidade. Isto é verdadeiro para a maioria dos fluidos.
Os fluidos em que o valor de μ não é constante são conhecidos como fluidos não-newtonianos. Há várias categorias destes, sendo apresentados brevemente abaixo.
Essas categorias são baseadas nas relações entre a tensão e o gradiente de velocidade (variação da tensão de cisalhamento) no fluido. Tais relações podem ser vistas no gráfico abaixo para várias categorias de fluidos.
Fig.2.3 - Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação
Como fluidos não-newtonianos independentes do tempo temos os seguintes:
• Plásticos: A tensão aplicada deve atingir certo valor mínimo antes de iniciar o escoamento. Um exemplo típico é a pasta de dentes que não flui para o exterior até apertar o tubo e superar certo esforço.
• Plástico tipo Bingham: Tal como o plástico deve atingir a tensão um valor mínimo.
Como exemplo: chocolate, mostarda, quetchup, maionese, tintas, asfalto, sedimentos de águas residuais.
• Pseudoplásticos: Não é necessária uma tensão mínima para se dar o escoamento. A viscosidade diminui com o aumento da taxa de tensão. Exemplos:
plasma sangüíneo, polietileno fundido, soluções polímeras e polpa de papel em água. Conhecidos como não dilatantes.
• Fluidos Dilatantes; A viscosidade aumenta com a taxa de deformação. No gráfico a tensão de corte se encontra por baixo da tensão de corte dos fluidos newtonianos. Inicia com uma inclinação baixa o que indica baixa viscosidade aparente. Suspensões de amido e de areia.
Fluidos Tixotrópicos: Existem também fluidos não-newtonianos dependentes do tempo, os quais são complicados de analisar e denominados fluidos tixotrópicos, nestes o gradiente de velocidade varia com o tempo. Exemplo: alguns óleos de petróleo cru a baixa temperatura, a tinta de impressão, o nylon, a massa de farinha e várias soluções de polímeros.
RESUMINDO!!!!
Para um fluido ideal (μ = 0), a resistência à deformação é nula. Não apresenta resistência à mínima força atuando sobre ele. Portanto, sem força, não existe Tensão de cisalhamento e assim, a sua curva coincide com o eixo dos x.
Para os fluidos Newtonianos a curva é uma linha reta que passa pelo eixo do gráfico, cuja inclinação expressa a velocidade.
Para um sólido ideal, ou elástico, nenhuma deformação ocorrerá, qualquer que seja a força imposta a ele. Obedece à Lei de Hooke.
Plástico Ideal: Necessita de uma tensão mínima, ou seja, sofre a ação da força, resiste, demorando até que se deforma.
2.4 Líquidos e Gases
Embora líquidos e gases apresentem muitas características semelhantes, eles também possuem características diferentes.
• Um líquido é “difícil” de comprimir e frequentemente é considerado como incompressível. Um gás pode ser comprimido facilmente mudando o volume em função da pressão e temperatura.
• Certa massa de líquido ocupará um volume num reservatório formando uma superfície livre quando o reservatório é de maior volume. Um gás não tem volume fixo, isto é, o volume muda, expandindo-se preenchendo todo o reservatório sem deixar nenhuma superfície livre.
2.5 Propriedades dos Fluidos
As propriedades dadas no presente material são aquelas gerais de fluidos que são de interesse no campo da Tecnologia: Massa específica, peso específico, densidade, viscosidade cinemática, viscosidade dinâmica, o módulo volumétrico e tensão superficial. 
DIFERENÇA ENTRE MASSA E PESO
	Na física, massa e peso são propriedades diferentes. A massa é uma grandeza escalar, uma medida de inércia. A massa é a quantidade de matéria presente em um corpo e medida em uma balança. Já o peso é uma grandeza vetorial, oriunda da interação gravitacional entre algum corpo, e sua vizinhança. Ou seja, o peso é calculado por meio da multiplicação da massa do corpo e da aceleração gravitacional. 
2.6 Massa Específica - Peso Específico - Densidade
A relação da quantidade de matéria de uma substância por unidade de volume pode ser expressa de três modos diferentes.
2.6.1 Massa Específica
Massa Específica ρ, é definida como a massa (m) de substância por unidade de volume (V):
ρ = m ∕ V
2.6.2 Peso Específico
Peso específico γ, é definido como peso por unidade de volume ou força exercida pela gravidade g, sobre uma unidade de volume de substância. A relação entre g e γ pode ser determinada pela segunda Lei de Newton já que Peso por unidade de volume = massa por unidade de volume × aceleração da gravidade:
γ = ρ x g (N/m3)
2.6.3 Densidade
Densidade d é definida como a relação entre a massa específica (ou peso específico) de uma substância e uma massa específica (ou peso específico) padrão.
Obs. Alguns textos denominam a massa específica (ρ) como densidade devido a sua forma de tradução do inglês density. No inglês o termo que nos chamamos densidade (d) denomina-se specific gravity, literalmente gravidade específica. No presente texto adotamos o nome de densidade ou também densidade relativa.
	Em geral toma-se como essa massa específica padrão a densidade da água, ou seja, 1000 kg∕m3.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
2.2. A massa específica do mercúrio é 13566 kg∕m3. Pede-se determinar o seu volume específico, peso específico na Terra e na Lua (onde a aceleração da gravidade é 1,667 m∕s2) e a sua densidade.
2.7 Viscosidade
Viscosidade é a propriedade de um fluido, devido à coesão e interação entre moléculas, que oferece resistência para deformação de cisalhamento. Ou seja, é a propriedade que o fluido possui, para oferecer resistência ao escoamento. Fluidos diferentes deformam com valores diferentes para uma mesma tensão de cisalhamento. Fluidos com uma alta viscosidade deformam mais lentamente que fluidos com uma viscosidade baixa. Todos os fluidos viscosos denominados
“Fluidos Newtonianos” obedecem à relação linear denominada Lei da Viscosidade de Newton.
2.7.1 Viscosidade Dinâmica
A viscosidade dinâmica, μ, é definida como a força de cisalhamento, por unidade de área, requerido para arrastar uma camada de fluido com velocidade unitária
para outra camada afastada a uma distância unitária.
Unidades: N sm−2 ( ou Pa.s ), μ é também dado em Poise ( P) 10 Poise = 1 kgm-1 s −1. (1 centiPoise - 1cP = Pa s/1000)
2.7.2 Viscosidade Cinemática
Viscosidade cinemática, ν, é definida como a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.
(ν também é expressa em Stokes, 
St, onde 104 St = 1 m2 s−1 )
2.3. Um fluido tem viscosidade igual a 4 centipoise e massa específica igual a 80 kg/m3. Qual é a sua viscosidade cinemática em stokes?
2.7.3 Efeito da pressão na viscosidade
A alta pressão pode também provocar mudanças na viscosidade de um líquido. As pressões aumentam o movimento relativo das moléculas requerendo mais energia e desta forma aumenta a viscosidade. Em gases a viscosidade é praticamente independente da pressão desde alguns centésimos de atmosfera até várias atmosferas. Para altas pressões a viscosidade aumenta com a pressão. Na maioria dos líquidos a viscosidade não é afetada pela pressão, contudo para pressões muito elevadas a viscosidade aumenta com o aumento da pressão. 
2.9 Propriedades Inerentes aos Fluidos Compressíveis
	De acordo com as seções anteriores, os fluidos compressíveis são os gases. Eles apresentam características comuns aos líquidos, mas, de certa forma apresentam comportamento distinto em muitos aspectos. O gás mais utilizado na indústria é o ar. O termo PNEUMÁTCO é frequentemente utilizado quando o ar é o fluido de trabalho.
2.9.1. Teoria Cinética dos Gases
	A Teoria Cinética dos Gases assume que:
Gases são compostos por um número infinito de partículas denominadas moléculas.
As moléculas estão em constante movimento e a diferentes velocidades.
As colisões entre as moléculas, resulta em uma energia interna do gás (lembrando que energia interna é a soma da energia cinética e potencial dos átomos, partículas e moléculas subatômicas).
A temperatura e a pressão são parâmetros que afetam a energia interna das moléculas.
2.9.2. Lei de Boyle
	Através de experimentos, Boyle demonstrou que o volume de um certo gás, varia inversamente com a pressão do mesmo, caso a temperatura do gás seja mantida constante. Ou seja:
P1V1 = P2V2 = P3V3
Onde os números indicam as diferentes condições de volume e pressão. Assim sendo, Boyle concluiu, que para um certo gás e à T constante:
PV = cte
2.9.3. Lei de Charles
	Charles deduziu que se o volume de um certo gás é mantido constante, a pressão varia diretamente com a temperatura.
P = cte x T
	Caso diferentes condições sejam utilizadas:
P1 = cte x T1 e P2 = cte x T2
	Combinando as equações acima, temos:
P1/P2 = (cte x T1)/ (cte x T2)= T1/T2
2.9.4.Leis dos Gases Perfeito
	Quando um gás é considerado sob 3 diferentes condições envolvendo temperatura, pressão e volume pode-se relacionar estas 3 variáveis através da equação de estado ou equação dos gases perfeitos, desenvolvida a partir das equações de Boyle e de Charles e definida como:
pV = nRT
Onde p é a pressão absoluta (Pa), m a massa (kg) do gás V o volume (m3) ocupado pelo gás, T a temperatura absoluta (K) e R a constante do gás. Como m/V representa
a massa específica (ρ) podemos escrever a equação acima como:
p = ρRT
Nenhum gás segue a equação dos gases perfeitos, entretanto, a maioria dos gases segue a lei com muita aproximação, podendo portanto, ser utilizada na maioria dos casos.
2.9.5. A Constante Universal dos Gases
	A constante universal dos gases é obtida multiplicando-se o peso molecular de uma molécula de gás por R. O peso molecular de uma molécula é a soma do peso de todos os átomos no composto. Essa quantidade massa x R é praticamente constante para todos os gases, uma vez, que a maioria deles segue a Lei dos gases ideais. 
	No SI:
mR = R = 8,314 J/mol K
2.9.6. COMPRESSÃO DOS GASES
A compressão dos gases pode ocorrer de acordo com as Leis da Termodinâmica. Para uma mesma massa de gás, sujeita a duas diferentes condições, podemos escrever:
P1v1∕T1 = P2v2∕T2 = Peso x R
Ou
P1∕ γ1T1 = P2∕ γ2T2 = R
Onde P é a pressão absoluta (kg∕m2)
v é o volume em m3
Peso em kgf
γ o peso específico em kgf∕m
R a constante dos gases (m∕K)
T é a temperatura em K
PARA CONDIÇÕES ISOTÉRMICAS (ou seja, para temperaturas constantes):
P1v1 = P2v2
Ou
P1∕ P2 = γ1 ∕ γ2
EXERCÍCIOS E DISCUSSÕES
a. Calcule o peso específico, o volume específico e a massa específica do metano a 27 ̎C e 9 Kgf∕cm2 de pressão absoluta. Nestas condições R = 53 m∕K.
b. Se 6 m3 de óleo pesam 4800 kg, calcule o seu peso específico, a sua massa específica e a sua densidade.
c. A 32̎ C 21kgf∕cm2 o volume específico de um certo gás, era 0,70 m3∕kg. Determinar a constante específica do gás R e a sua densidade.
d. Um cilindro contém 0,375 m3 de ar a 2,8 kgf∕cm2. O ar é comprimido a 0,075 m3. Considerando-se as condições isotérmicas, qual é a pressão do novo volume?
e. Um compressor alimenta ar a 100 Pa. 10 m3 deste ar são adicionados a um segundo tanque, cuja pressão está regulada a 20 Pa. Qual será a temperatura do ar no segundo tanque? Sabe-se que R = 53 m∕K e a massa específica do gás é 203 Kg∕m3.
f. O peso molecular de uma molécula de oxigênio é 32. Qual será o volume de 0,3 mols de oxigênio, submetidos a 14,7 Pa e 460 K? R = 53 m∕K
2.10 Propriedades Peculiares aos Fluidos Incompressíveis.
	Os líquidos apresentam algumas propriedades que os gases não possuem, tais como: tensão superficial, capilaridade e pressão de vapor. 
2.10.1. Tensão superficial
Definiu-se Tensão de Cisalhamento como sendo:
A primeira observação interessante que temos a fazer sobre tensão superficial é que esta é:
Na interface de um líquido e um gás ou entre dois líquidos imiscíveis se originam forças superficiais. A superfície do líquido se comporta como uma membrana esticada sobre a massa de fluido. 
As forças de atração na superfície de um líquido são diferentes das forças de atração no interior deste líquido. Isto ocorre porque no interior do líquido, as moléculas são atraídas umas pelas outras em todas as direções, enquanto que na superfície, não existindo moléculas acima, estas forças de atração se restringem às moléculas abaixo e ao lado. (ver Fig.2.4)
Essa desigualdade de coesão, cria uma força sobre as moléculas da superfície, provocando uma contração no líquido e causando a Tensão Superficial.
A Tensão Superficial, ơ, é uma grandeza física decorrente das forças de atração moleculares. As moléculas na superfície do fluido são atraídas para o interior do mesmo por uma força perpendicular à superfície do líquido. Ou seja, tal partícula sofre, na direção perpendicular à superfície, efeitos de forças que tendem a atraí-la para o interior de um meio mais denso, o que resulta na tendência de deformar a superfície para uma geômetra não plana. A Tensão Superficial depende da natureza dos fluidos em contato, da temperatura e da pressão.
Considerando as forças atuando em um cilindro de raio r, temos:
Força devido à Pressão Interna = P x πr2
Força devido à tensão superficial em torno do perímetro: 2πr x ơ
No equilíbrio:
P x πr2 = 2πr x ơ
P = 2ơ∕r
g. Ar é introduzido em um tanque cilíndrico para formar bolhas de vapor. Se essas bolhas de vapor devem ter 2 mm de diâmetro, calcule qual seria a pressão de ar necessária, para exceder àquela pressão da água que envolve as bolhas. Dados ơ 72,7 x 10=3 N∕m.
2.10.2. Capilaridade
A tensão superficial origina em tubos de pequeno diâmetro uma subida ou descida, dependendo do grau de adesão e coesão do líquido nas paredes do tubo. Este fenômeno é denominado de capilaridade. Os líquidos sobem nos tubos que eles molham (adesão > coesão) e descem nos tubos que não molham (coesão > adesão). Para tubos com diâmetro menor que 10mm a capilaridade é importante sendo desprezível para tubos com diâmetros maiores que 12mm. Em Mecânica dos Fluidos a capilaridade é importante em problemas de movimento dos líquidos no solo ou em outros meios porosos, no escoamento de filmes finos, formação de gotas e quebra do jato de líquidos.
2.10.3. Pressão de Vapor
	Todos os líquidos têm a tendência a evaporarem em condições de pressão atmosférica. Assim sendo, se a água, por exemplo passa para o estado de vapor, esse vapor irá exercer uma pressão parcial, que será denominada de Pressão de Vapor. Um aumento na temperatura irá aumentar a taxa com que essa evaporação ocorre. 
	A pressão de vapor é um parâmetro importante no design de sistemas hidráulicos. Considerando que a pressão em qualquer ponto do sistema torna-se baixa o suficiente para igualar-se à pressão do líquido, a retenção do vapor ocorre, e o líquido não mais poderá ser bombeado através do sistema. 
2.10.4. Compressibilidade dos Líquidos
	A premissa de que os líquidos são incompressíveis é precisa o suficiente para utilizar-se na maioria dos cálculos e nos trabalhos necessários para solução dos problemas em hidráulica.
ESTUDO DIRIGIDO
Defina Fluidos.
O que você entende pelo Princípio da Aderência
O que você entende pela Lei de Newton
O que diferencia a abordagem Euleriana da abordagem Langragiana.
Escreva um pequeno texto discorrendo sobre a TEORIA DO CONTÍNUO.
Qual o significado de escoamento uniforme e não-uniforme. 
Qual o significado de escoamento em regime permanente. 
Que se entende por fluido viscoso e não viscoso. Exemplos
Qual o significado de escoamento em regime não-permanente.
Defina as linhas de corrente num campo de escoamento. O que você entendeu por filamento de corrente e tubo de corrente.
Defina linha de trajetória 
Qual o de escoamento compressível e incompressível. Exemplos.
De que trata escoamento uni bi e tridimensional.
Qual o significado de escoamento em laminar e turbulento.
Qual o significado de escoamento interno e externo.
Em que aspectos as equações do movimento de Newton se aplicam aos fluidos.
Escreva um pequeno texto discorrendo sobre campo. Defina campo de escoamento.
Qual o significado de camada limite apresente exemplos práticos.
Qual o significado e o fenômeno que ocorre quando existe separação da camada limite.
O que você entendeu por volume de controle.
Identifique as diferenças fundamentais entre um fluido e um sólido
Como podemos saber que uma substancia é efetivamente um fluido.
Quais as principais diferenças entre líquidos e gases.
Diferencie massa e peso.
O que você entende por tensão de cisalhamento nos fluidos.
Que especifica a lei da viscosidade de Newton.
Qual a equação que representa a lei da viscosidade de Newton.
Qual a principal característica dos fluidos Newtonianos.
Qual a principal característica dos fluidos não-Newtonianos.
Apresente exemplos de fluidos não-newtoninos.
Qual o significado de fluido ideal e fluido real.
Quais as principais propriedades dos fluidos estudadas no presente curso. Defina e equacione cada uma delas.
Defina quantidade vetorial, escalar e tensorial. Exemplifique.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A PRIMEIRA PROVA
A viscosidade cinemática do óleo é 0,028 m2/s e o seu peso específico é 0,9. Determine a viscosidade dinâmica nas unidades do sistema CGS.
São dadas duas placas paralelas à distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade
de 4 m/s, enquanto a de baixo é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo com ν = 0,1 stoke e =90 kg/m3. Qual será a tensão de cisalhamento no óleo? Ual será a forca necessária para rebocar a superior de A = 0,5 m2.
A densidade de uma substância é 0,8, qual será o seu peso específico?
Numa tubulação escoa hidrogênio (R = 4,122 m2/s2K). Numa seção (1), P1 = 3x105 N/m2 e T1 = 30ºC. Ao longo da tubulação a temperatura mantém-se constante. Qual a massa específica do gás, numa seção (2) em que P2 = 1,5 N/m2.
Um gás tem peso específico de 0,6 kgf/m3, em relação ao ar a uma pressão inicial de 9,8x 104 N/m2 a 15ºC. Qual é o peso específico deste gás a uma pressão de 1,7x105 N/m2 a uma mesma temperatura. Qual é a constante deste gás? Qual é a massa específica deste gás?