Lista 3

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Engenharias
Cálculo A
Prof.Dr. Eduardo Miqueles
Lista #3
Funções Trigonométricas
? Relações fundamentais: sin
2 q + cos2 q = 1
sin(p± u) = sin(p) cos(u)± sin(u) cos(p)
cos(p± u) = cos(p) cos(u)∓ sin(u) sin(p)
1. Mostre as seguintes afirmações:
(a) sin(−a) = − sin(a)
(b) cos(−a) = cos(a)
(c) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
(d) cos(2a) = cos2(a)− sin2(a)
(e) tan(2a) = 2 tan(a)1−tan2(u)
(e) tan(a± b) = tan(a)±tan(v)1∓tan(u) tan(v)
(f) sin2(u) = 1−cos(2u)2
(g) cos2(u) = 1+cos(2u)2
(h) tan2(u) = 1−cos(2u)1+cos(2u)
(i) sin(u) + sin(v) = 2 sin
(
u+v
2
)
cos
(
u−v
2
)
(j) cos(u)− cos(v) = −2 sin (u+v2 ) sin (u−v2 )
2. Seja f(x) = sin(kx). Dizemos que o período da
função senoidal f e dado por 2pik . Justifique esta
afirmação! Esboce os casos onde k = 1, k = 2,
k = 3. Faça o mesmo para a função cosseno.
3. Seja f(x) = A sin(x) é uma senóide com ampli-
tude A. Ilustre no eixo xy o efeito do valor A,
considerando A ∈ {1, 14 , 5}. Faça o mesmo para a
função cosseno.
4. Verifique todas as relações fundamentais dadas em
(?)
5. Justifique, através de cálculos elementares, os
seguintes fatos:
(a) sin(pi6 ) =
1
2
(b) cos(pi3 =
1
2
(c) sin(pi3 ) =
√
3
2
(d) sin(pi6 ) =
√
3
2
6. Considere a função “seno”. Encontre uma justifica-
tiva geométrica, através do círculo unitário, para a
seguinte afirmação
| sin(a)− sin(b)| ≤ |a− b|, a, b ∈ [0, 2pi]
Existe alguma restrição para os valores de a, b?
Faça o mesmo para o “cosseno”.
7. Usando a questão anterior, verifique que
(a) | cos(t)− 1| ≤ |t|
(b) | sin(t)− 1| ≤ |t|
(c) | sin(t)|/|t| ≤ 1, t 6= 0
8. Se cos(w) = 910 e cos(x − w) = 1√8 , encontre o
valor de cos(x).
9. Se cos(w) = 910 e cos(x + w) =
1√
8
, encontre o
valor de cos(x).
10. Se sin(w) = 34 e sin(x+w) =
1√
6
, encontre o valor
de sin(x).
11. Se sin(w) = 34 e sin(x−w) = 1√6 , encontre o valor
de sin(x).
12. Esboce um gráfico, intuitivo, da função f(x) =
tan(x) no intervalo aberto ]− pi/2, pi/2[.
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