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MEC – SETEC INSTITUTO FEDERAL MINAS GERAIS - CAMPUS AVANC¸ADO PIUMHI CURSO: Engenharia Civil Disciplina Ca´lculo Diferencial e Integral II - MAT021 Professor Vinı´cius Barbosa de Paiva Nome: Questa˜o 1 - Se f(x, y) = 16 − 4x2 − y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2) e interprete esses nu´meros como inclinac¸o˜es. Questa˜o 2 - Se f(x, y) = √ 4− x2 − 4y2, determine fx(1, 0) e fy(1, 0) e interprete esses nu´meros como inclinac¸o˜es. Questa˜o 3 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das func¸o˜es: a) f(x, y) = x2y3 b) f(x, y) = 1 1 + x2y2 c) f(x, y) = y5 − 3xy d) f(x, y) = x4y3 + 8x2y e) f(x, t) = e−tcospix f) f(x, t) = √ xln t g) z = (2x+ 3y)10 h) z = tg xy i) f(x, y) = x y j) f(x, y) = x (x+ y)2 l) f(x, y) = ax+ by cx+ dy m) w = ew u+ v2 n) g(u, v) = (u2v − v3)5 o) f(x, t) = arctg(x √ t) p) w = senαcosβ q) f(x, y) = xy r) f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4 s) f(x, y, z) = xsen(y − z) t) w = ln (x+ 2y + 3z) u) w = zexyz v) u = xysen−1(yz) x) u = xy/z z) u = √ x21 + x 2 2 + . . .+ x 2 n Questa˜o 4 - Determine as derivadas parciais indicadas. a) f(x, y) = ln (x+ √ x2 + y2); fx(3, 4) b) f(x, y) = arctg(y/x); fx(2, 3) c) f(x, y, z) = y x+ y + z ; fy(2, 1,−1) d) f(x, y, z) = √ sen2x+ sen2y + sen2z; fz(0, 0, pi/4) Questa˜o 5 - Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para encontrar fx(x, y) e fy(x, y). a) f(x, y) = xy2 − x3y 1 b) f(x, y) = x x+ y2 Questa˜o 6 - Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para encontrar fx(x, y) e fy(x, y). a) f(x, y) = xy2 − x3y b) f(x, y) = x x+ y2 Questa˜o 7 - Use a derivac¸a˜o implı´cita para encontrar ∂z/∂x e ∂z/∂y. a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1 b) x2 − y2 + z2 − 2z = 4 c) ez = xyz d) yz + xln y = z2 Questa˜o 8 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y b) f(x, y) = sen2(mx+ ny) c) w = √ u2 + v2 d) v = xy x− y e) z = arctg x+ y 1− xy f) v = exe y Questa˜o 9 - Verifique se a conclusa˜o do Teorema de Clairaut e´ va´lida, isto e´, uxy = uyx. a) u = x4y3 − y4 b) u = exyseny c) u = cos(x2y) d) u = ln (x+ 2y) Questa˜o 10 - Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s). a) f(x, y) = x4y2 − x3y; fxxx fxyx b) f(x, y) = sen(2x+ 5y); fyxy c) f(x, y, z) = exyz 2 ; fxyz d) g(r, s, t) = ersen(st); grst e) u = erθsen(θ); ∂3u ∂r2∂θ f) z = u √ u− w; ∂ 3z ∂u∂v∂w g) w = x y + 2z ; ∂3w ∂z∂y∂x ∂3w ∂x2∂y Bons estudos! Prof. √ inicius 2
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