DERIVDAS PARCIAIS

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Derivadas parciais
APRESENTAÇÃO
No cálculo de funções de uma variável, a derivada f’(a) é a taxa de variação da função f(x) no 
ponto x = a. Já, no cálculo de funções de várias variáveis, essa taxa não é única. Ela ocorre em 
várias direções e de forma particular para cada variável. Por exemplo, a corrente elétrica de um 
circuito é uma função das variáveis tensão e resistência. Pela Lei de Ohm, a taxa de variação da 
corrente em relação à tensão é positiva, enquanto a taxa em relação à resistência é negativa.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário conhecer as 
definições e regras de derivação de funções de uma variável.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá o conceito de derivadas parciais, como calculá-las e 
sua interpretação geométrica.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir derivadas parciais de funções de várias variáveis.•
Descrever a inclinação da reta tangente à superfície em um ponto, inserido em um plano 
paralelo a um plano coordenado, por uma derivada parcial.
•
Calcular derivadas parciais, usando as propriedades de derivadas de funções de uma 
variável.
•
DESAFIO
Derivadas parciais são as derivadas de funções que dependem de mais de uma variável. O nome 
de derivadas parciais se dá pelo fato de ser preciso determinar as derivadas da função em relação 
a cada uma das variáveis. A derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis 
determina a taxa de variação da função em relação a essa variável. Utilize derivadas parciais 
para resolver o desafio abaixo.
Suponha que você está analisando o clima de cidades brasileiras para um estudo.
Com base nessas informações, calcule:
a) A derivada de parcial de T em relação ao tempo.
b) Determine a variação da temperatura em relação ao tempo quando t=12 horas e h=100m.
INFOGRÁFICO
As derivadas parciais são calculadas exatamente como as derivadas ordinárias (funções que 
dependem de uma varável) com a diferença de que, para derivar em relação a x , consideramos y 
constante; para derivar em relação a y, consideramos x constante.
Veja, no Infográfico a seguir, as regras de derivação básicas.
CONTEÚDO DO LIVRO
Uma função de duas ou mais variáveis não tem uma única taxa de variação, pois cada uma das 
variáveis pode afetar a função de formas diferentes. As derivadas parciais são as taxas de 
varição da função em relação a cada variável separadamente.
No capítulo, Derivadas parciais, do livro Cálculo: integrais e funções de várias variáveis, você 
verá as derivadas parciais desde seus cálculos a sua interpretação geométrica e como calculá-las.
Boa leitura.
CÁLCULO: INTEGRAIS 
E FUNÇÕES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS 
Rejane Izabel Lima Corrêa 
Derivadas parciais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir derivadas parciais de funções de várias variáveis.
 � Descrever a inclinação da reta tangente à superfície em um ponto, 
inserido em um plano paralelo a um plano coordenado, por uma 
derivada parcial.
 � Calcular derivadas parciais usando as propriedades de derivadas de 
funções de uma variável.
Introdução
O cálculo de várias variáveis se assemelha ao de uma variável aplicado 
a várias variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as variáveis 
independentes, exceto uma, e derivamos em relação a esta variável, 
obteremos uma derivada parcial da função.
Neste capítulo, você estudará o conceito de derivadas parciais e sua 
interpretação geométrica e observará como calculá-las aplicando as 
regras de derivação de funções de uma variável.
Definição
As derivadas parciais oferecem as taxas de variação em relação a cada variável 
separadamente. 
Considere a função de duas variáveis f(x, y) e o ponto (x0, y0) no domínio 
de f. A interseção do plano y = y0 com a superfície z = f(x, y) (Figura 1) é a 
curva dada por z = ( f, y0), a qual está contida no plano y = y0. Assim, y se 
mantém constante se deslocarmos ao longo dessa curva, fazendo com que y 
não seja uma variável.
Figura 1. Interseção do plano y = y0 com a superfície z = f(x, y).
Fonte: Adaptada de Thomas, Weir e Hass (2012).
Definimos a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0, y0) como 
a derivada ordinária de f(x, y0) em relação a x no ponto x = x0 (THOMAS; 
WEIR; HASS, 2012).
Para diferenciar derivadas parciais das ordinárias, utilizamos a notação 
∂ no lugar da letra d.
A derivada parcial de f(x, y) em relação a x no ponto (x0, y0), desde que o 
limite exista, é:
A derivada parcial em (x0, y0) fornece a taxa de variação de f em relação 
a x quando y é mantido fixo.
Derivadas parciais2
Analogamente, podemos definir a derivada parcial de f(x, y) com relação 
a y no ponto (x0, y0). Mantemos x fixo no valor x0 e realizamos a derivada 
ordinária de f(x0, y) com relação a y em y0.
A derivada parcial de f(x, y) em relação a yno ponto (x0, y0), desde que o 
limite exista, é:
A derivada parcial em (x0, y0) fornece a taxa de variação de f em relação 
a x quando y é mantido fixo.
Utilizamos diversas notações para a derivada parcial:
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma 
função. Um exemplo típico refere-se à função velocidade que representa a 
taxa de variação da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é 
a derivada da função. Uma derivada parcial representa a taxa de mudança 
de uma função dependente de várias variáveis independentes, quando todas 
as variáveis exceto uma são mantidas constantes. Assim, podemos analisar 
a taxa de variação de uma função de várias variáveis em relação a cada uma 
das variáveis independentes.
Uma das aplicações de derivadas parciais consiste na determinação das 
retas tangentes à superfície z = f(x, y) em um ponto (x0, y0). Para cada uma 
das derivadas parciais, podemos definir as inclinações das retas tangentes em 
relação a cada uma das variáveis.
3Derivadas parciais
Reta tangente à superfície
Como anteriormente, a interseção da superfície z = f(x, y) com o plano y = y0 
é a curva z = f(x, y0). O coeficiente angular da reta tangente a essa curva no 
ponto P(x0, y0, f(x0, y0)) refere-se ao valor da derivada parcial de f em relação 
a x no ponto (x0, y0).
A reta tangente à superfície z = f(x, y0) em P é a reta no plano y = y0, que 
passa por P com esse coeficiente angular (Figura 2). 
Figura 2. Reta tangente à superfície z = f(x, y) que passa por P no plano y = y0.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 227).
De maneira análoga, a interseção da superfície z = f(x, y) com o plano x = x0 
é uma curva z = f(x0, y). O coeficiente angular da reta tangente a essa curva 
no ponto P(x0, y0, f(x0, y0)) no plano x = x0 consiste na derivada parcial de f em 
relação a y no ponto (x0, y0).
Derivadas parciais4
A reta tangente à superfície z = f(x, y0) em P é a reta no plano x = x0, que 
passa por P com esse coeficiente angular (Figura 3).
Figura 3. Reta tangente à superfície z = f(x, y) que passa por P 
no plano x = x0.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 227).
Assim, obtemos duas retas tangentes à superfície z = f(x, y) no ponto P(x0, 
y0, f(x0, y0)) (Figura 4). O plano que essas retas determinam é o plano tangente 
à superfície z = f(x, y) em P.
5Derivadas parciais
Figura 4. Retas tangentes no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) determinando o plano tangente 
à superfície z = f(x, y).
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 228).
Cálculo das derivadas parciais
As definições de derivadas parciais fornecem duas maneiras diferentes de 
calcular a derivada da função f em um ponto:
 � para calcularmos , tratamos y como uma constante e derivamos a 
função de maneira usual em relação à variável x;
 � para calcularmos , tratamos x como uma constante e derivamos a 
função de maneira usual em relação à variável y.
Calcule os valores de e no ponto (3, –2) sabendo que f(x, y) = 3x – 2xy + 4y3.
Para encontrarmos , tratamos y como constante e derivamos f em relação a x:
Derivadasparciais6
Assim,
Para encontrarmos , tratamos x como constante e derivamos f em relação a y:
Assim,
Observe que, em geral, os valores das derivadas parciais em ponto são 
diferentes.
Calcule os valores de e no ponto (–4, π) sabendo que f(x, y) = 5 – x² + 3xsen y – cos y.
Para encontrarmos , tratamos y como constante e derivamos f em relação a x:
Assim,
7Derivadas parciais
Para encontrarmos , tratamos x como constante e derivamos f em relação a y:
Assim,
Encontre e em que f(x, y) = x cos xy.
Para encontrarmos , tratamos y como constante e derivamos f em relação a x:
Assim,
Para encontrarmos , tratamos x como constante e derivamos f em relação a y:
Assim,
Derivadas parciais8
No exemplo anterior, utilizamos a regra do produto:
[ f(x) ∙ g(x)]´ = f (́x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g (́x)
Encontre fx e fy em que .
Para encontrarmos fx, tratamos y como constante e derivamos f em relação a x:
Assim,
Para encontrarmos fy, tratamos x como constante e derivamos f em relação a y:
Assim,
9Derivadas parciais
No exemplo anterior, utilizamos a regra do quociente: 
Encontre e em que a equação xz – y + y2z = 2xy – 3 define z como uma função 
das variáveis independentes x e y.
Para determinar , derivamos ambos os lados da equação em relação a x, mantendo 
y constante e derivando z implicitamente em função de x:
Para determinar , derivamos ambos os lados da equação em relação a y, mantendo 
x constante e derivando z implicitamente em função de y:
Derivadas parciais10
A derivação implícita funciona para derivadas parciais do mesmo modo 
que para derivadas ordinárias.
Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao paraboloide z = x2 + y2 que passa 
pelo ponto (1, 2, 5) no plano x = 1.
O coeficiente angular é o valor da derivada parcial em (1, 2):
 
Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao paraboloide z = x2 + y2 que passa 
pelo ponto (1, 2, 5) no plano y = 2.
O coeficiente angular é o valor da derivada parcial em (1, 2):
 
Funções de mais de duas variáveis
As derivadas parciais de funções de mais de duas variáveis independentes são 
análogas às definições de funções de duas variáveis — são derivadas ordinárias 
em relação a uma variável considerando as demais variáveis independentes 
constantes. 
11Derivadas parciais
Determine as derivadas parciais da função:
f(x, y, z) = 3x2 + 4y2 – z2 + 7xyz
A função f depende de três variáveis: x, y e z. Assim, devemos encontrar as derivadas 
parciais , e para cada uma das variáveis.
 � Para encontrarmos , tratamos y e z como constante e derivamos f em relação a x:
 � Para encontrarmos , tratamos x e z como constante e derivamos f em relação a y:
 � Para encontrarmos , tratamos x e y como constante e derivamos f em relação a z:
Derivadas parciais de ordem superior
Quando derivamos uma função f(x, y) duas vezes, estamos calculando a de-
rivada de segunda ordem, um tipo de derivada denotado por:
Observe a ordem em que as derivadas são tomadas, por exemplo:
 � → Deriva primeiro em relação a y e, depois, a x.
 ■ fyx = ( fy)x significa a mesma coisa.
Derivadas parciais12
 � → Deriva primeiro em relação a x e, depois, a y.
 ■ fxy = ( fx)y significa a mesma coisa.
Encontre as derivadas de segunda ordem da função f(x, y) = x cos y – yex + 4x3y2.
Devemos determinar todas as derivadas de segunda ordem:
O primeiro passo consiste em determinar as derivadas de primeira ordem:
Agora, encontramos as derivadas parciais de cada derivada parcial de primeira ordem:
13Derivadas parciais
Você deve ter notado que as derivadas parciais de segunda ordem mistas e 
são iguais. Tal resultado não é coincidência. Se f(x, y) e suas derivadas parciais fx, fy, fxy 
e fyx forem contínuas, então:
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Apesar de, na maior parte das vezes, lidarmos com derivadas parciais de 
primeira e segunda ordem, podemos resolver derivadas de terceira e de quarta 
ordens, e assim por diante.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo, volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. 
548 p.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo, volume II. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
688 p.
AYRES JUNIOR, F.; MENDELSON, E. Cálculo: mais de 1000 problemas resolvidos. 5. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2013. 544 p. (Coleção Schaum).
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo, volume 2. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. 608 p.
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 1154 p.
Referência
Derivadas parciais14
DICA DO PROFESSOR
As derivadas parciais de funções de mais de duas variáveis independentes são análogas às 
definições de funções de duas variáveis. Elas são derivadas ordinárias em relação a uma 
variável, considerando as demais variáveis independentes constantes.
Veja, na Dica do Professor, um problema de produção, utilizando o cálculo das derivadas 
parciais.
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EXERCÍCIOS
1) 
Determine e no ponto (1, -1) sabendo que f (x, y) =2x2-3y-4.
A) 
 
B) 
C) 
D) 
 
E) 
2) 
Encontre f x e f y considerando .
A) f x = 0 e f y= 0
B) f x = 1 e f y= -1
C) 
D) 
E) 
3) Encontre fx, fy e fz onde f (x, y,z) = 1+xy2-2z2.
A) fx= 1+y
2
, fy=1+2xy e fz=1-4z
B) f x= 1- y 
2
, f y= 2y-2z
2
 e f z=xy
2
- 4z
1. 
C) f x= y 
2
-2z2 , f y= 2xy-2z
2
 e f z=x y 
2
- 4z
D) f x= y 
2
 , f y= 2xy e f z=- 4z
E) f x= 1 , f y= 2y e f z= 4z
4) Determine fxy e fyx onde f(x,y)= x+y+xy.
A) f xy = f yx = 1
B) f xy = f yx = 2
C) f xy = f yx = 0
D) f xy = 1 e f yx = 0
E) f xy = 1 e f yx = 2
5) 
Encontre se a equação xy+z3x-2yz=0 define z como função de duas variáveis 
independentes x e y.
A) 
B) 
 
C) 
 
D) 
E) 4x33y2
NA PRÁTICA
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis são as taxas de variação da função em 
relação a cada uma das variáveis. Por exemplo, a corrente i em um circuito depende da 
resistência R e da voltagem V, e é dada pela Lei de Ohm.
Acompanhe, Na prática, Edison, um engenheiro elétrico que precisa calcular a resistência total 
de um circuito.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Cálculo II - Derivadas Parciais
Neste vídeo, você acompanha a professora Martha Salermo Monteiro, do Instituto de 
Matemática e Estatística da US, explicando o conceito de derivada parcial.
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Derivadas Parciais
Neste link, você acessa um material sobre derivadas parciais com algumas aplicações na 
engenharia e equações diferenciais parciais.
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Aplicação e cálculo da derivada de sinais de processos industriais
Neste link, você acessa uma dissertação sobre a aplicação da derivada na área de processos 
industriais.
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Lista de Exercícios
Para aprender derivadas parciais, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para 
tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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