Lista 05 - Derivadas Parciais

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LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
 
 7. Se f (x, y) =x³-x²y³-2y², encontre fx(2, 1) e fy(2, 1). 
 8. Se f (x, y) =4-x²-2y², determine fx(1, 1) e fy(1, 1) e interprete esses números 
como inclinações. 
 9. Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela equação 
................x³+y³+z³+6xyz=1 
 
 10. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir: 
 
 
(e) f(x, y) =(x²+y²)sin(
1
√𝑥2+𝑦²
 ) (f) f(x,y)=tg(xy) 
 (g) F(x,t)= arctg(x√𝑡) (h) ∫ cos⁡(𝑒𝑡
𝑥
𝑦
)𝑑𝑡 
 
(i) ∫ tg⁡(𝑒𝑡
√cos⁡(𝑥)
3
𝑥²𝑦
)𝑑𝑡 (j) f(a,b)=⁡∫ √𝑡3 + 1
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 
 
k) F(x,y,z)=√𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛²(𝑧) 
 
 
 11. Calcule as derivadas de segunda ordem das seguintes funções: 
 
a) F(x,y) = sin(2x+5y) b) F(x,y) = ln( x +√𝑥2 + 𝑦²) 
c) F(x,y,z) = xsin(y-z) d) F(x,y)= arctg(
𝑥
𝑦
) 
 
 
 
 7. 8, -16 8. -2, -4 9. ∂z/∂x=
3𝑥2+6𝑦𝑧
3𝑧2+6𝑥𝑦
 ∂z/∂y=
−2𝑥𝑧−𝑦²
𝑧2+2𝑥𝑦
 
 10.a) 
𝜕𝑓⁡
𝜕𝑥
 = x²(x³ + y³)−
2
3 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = y²(x³ + y³)−
2
3 
b) 
𝜕𝑓⁡
𝜕𝑥
 = |y| 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = x se y >0 ou 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = -x se y <0 
c) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 
2𝑥³𝑒
√𝑥4+⁡𝑦4
√𝑥4+⁡𝑦4
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 
2𝑦³𝑒
√𝑥4+⁡𝑦4
√𝑥4+⁡𝑦4
 
d) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 
−𝑥𝑠𝑖𝑛(√𝑥²+⁡𝑦2)
√𝑥²+⁡𝑦2
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 
−𝑦𝑠𝑖𝑛(√𝑥²+⁡𝑦2)
√𝑥²+⁡𝑦2
 
e) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 2xsin(
1
√𝑥²+⁡𝑦2
) - (x²+y²)cos(
1
√𝑥²+⁡𝑦2
)[x(x² + y²)−
3
2] 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 2ysin(
1
√𝑥²+⁡𝑦2
) - (x²+y²)cos(
1
√𝑥²+⁡𝑦2
)[y(x² + y²)−
3
2] 
f) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = xsec²(xy) 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = ysec²(xy) 
g) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 
√𝑡
𝑥2𝑡+1
 
𝜕𝑓
𝜕𝑡
 = 
𝑥
2√𝑡(𝑥2𝑡+1)
 
k)⁡
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 
sin(𝑥)cos⁡(𝑥)
√𝑠𝑒𝑛2(𝑥)+𝑠𝑒𝑛2(𝑦)+𝑠𝑒𝑛²(𝑧)
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 
sin(𝑦)cos⁡(𝑦)
√𝑠𝑒𝑛2(𝑥)+𝑠𝑒𝑛2(𝑦)+𝑠𝑒𝑛²(𝑧)
 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
 = 
sin(𝑧)cos⁡(𝑧)
√𝑠𝑒𝑛2(𝑥)+𝑠𝑒𝑛2(𝑦)+𝑠𝑒𝑛²(𝑧)
 
11. a) 
𝜕²𝑓
𝜕𝑥²
 = 4cos(2x+5y) 
𝜕²𝑓
𝜕𝑦²
 = 10cos(2x+5y) 
c) 
𝜕²𝑓
𝜕𝑥²
 = 0 
𝜕²𝑓
𝜕𝑦²
⁡= -xsin(y-z) 
𝜕²𝑓
𝜕𝑧²
 = -xsin(y-z)