Tópico 7(Complemento)

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COMPLEMENTO DO TÓPICO 7
 
A partir desta unidade, passaremos a tratar das principais
classes de funções reais abordadas na escola e que são fundamentais
para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral: polinomiais,
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas. Nesta unidade,
trataremos das ideias básicas necessárias para o estudo de gráficos
de funções reais (produto cartesiano, pares ordenados etc.) e
introduziremos o estudo de funções polinomiais do primeiro grau.
Ao ler a seção 0. Produto Cartesiano, observe a diferença
conceitual entre par ordenado e conjunto com dois elementos (p. 2) –
daí a razão do termo ordenado. Observe também os diferentes
exemplos de produtos cartesianos (pp. 2-4), diferentes do , que é o
mais explorado na escola básica e que será estudado em maiores
detalhes na seção seguinte. Como comentado na p. 5, qualquer
subconjunto do produto cartesiano X × Y pode ser visto como o
gráfico de uma relação binária R entre os conjuntos X e Y. As
condições (G1 e G2) para que um subconjunto de X × Y seja gráfico
de função são dadas na p. 4. Essas condições serão interpretadas
para o caso particular do na p.11.
A seção 1. O Plano Numérico trata especificamente deste
produto cartesiano, que é o mais importante para a educação básica.
A correspondência biunívoca (p. 7) estabelece o princípio
fundamental da localização de pontos no plano por meio de pares
ordenados de números reais, chamados de coordenadas cartesianas
(abscissa e ordenada): cada ponto P ∈ é representado por um único
par ordenado e, reciprocamente, cada par ordenado representa um
único ponto P ∈ . Este princípio fundamental é base da localização
sem ambiguidades de pontos no plano cartesiano e, portanto, a sua
compreensão adequada é condição indispensável para a continuidade
dos estudos de diversos tópicos de matemática: equações, funções,
geometria analítica, álgebra vetorial e, futuramente, cálculo
diferencial e integral. Para ajudá-los a entender bem esta ideia, você
poderá empregar uma comparação com outros exemplos de sistemas
de localização sem ambiguidades, tais como o sistema de latitudes e
longitudes no mapa do planeta ou os assentos em um cinema ou
teatro, em geral identificados por números e letras. Este princípio
fundamental, por meio do qual identificamos pontos do plano com
suas coordenadas, permite ainda que identifiquemos conjuntos de
pontos do plano por meio de condições algébricas entre duas
coordenadas (de forma geral, igualdades, desigualdades, ou sistemas
de igualdades e desigualdades). Embora este fato possa parecer
bastante básico, pode ser fonte de dificuldades para você. Talvez você
tenha memorizado certos procedimentos específicos para esboço de
tipos de gráficos de funções e outras curvas (tais como retas,
parábolas ou círculos), sem entender no entanto que a curva
esboçada corresponde ao conjunto dos pontos do plano cujas
coordenadas satisfazem à condição algébrica dada. Assim, este ponto
merece ênfase especial em seus estudos. Ainda na seção 1,
certifique-se de entender bem a dedução da equação do círculo (pp.
9-10). Esta decorre da fórmula para distância entre dois pontos no
plano, que, por sua vez, é uma aplicação direta do Teorema de
Pitágoras.
Na seção 2. A Função Afim, começamos a estudar esta classe
de funções reais, que são as mais simples e estão entre as mais
importantes em matemática. Em Cálculo Diferencial, as funções
lineares são empregadas para aproximar funções quaisquer e, por
meio dessas aproximações, descobrir propriedades qualitativas das
funções que seriam difíceis de ser obtidas diretamente. Esta é uma
técnica mais geral, presente em muitas áreas mais avançadas da
matemática: aproximações de objetos não lineares por objetos
lineares fornecem informações qualitativas importantes dos objetos
não lineares. Tenha certeza de entender bem a prova de que o gráfico
de toda função na forma , com , , é uma reta (pp. 14-15). Embora
esta demonstração não seja difícil, ela é muitas vezes ignorada nos
livros didáticos, e este fato é apresentado como dado. Note que este
fato não é parte da definição de função afim, e sim, um teorema,
que, como tal, deve ser demonstrado. Preste bastante atenção
também no significado do coeficiente angular e na sua interpretação
geométrica.
 
Os exercícios propostos nesta Unidade apresentam diversas
aplicações de funções afins, em situações cotidianas, em outras áreas
e na própria matemática. Além desses, sugiro que você resolva os
exercícios a seguir.
 
1. Esboce os seguintes subconjuntos de .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Note que as definições de função crescente, decrescente, não
decrescente e não crescente enunciadas na p. 14 são gerais, isto é,
se aplicam a quaisquer funções (e não somente às funções afins). No
caso de uma função não ser monótona no domínio como um todo,
podemos ainda enunciar definições análogas para restrições a
subconjuntos do domínio.Por exemplo:
Seja . Dizemos que é crescente em A se
. 
 
De acordo com a definição enunciada acima, determine se as
afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas
respostas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
Se é crescente em , então é crescente em .
Se é crescente em e em , então é crescente em .
Se é crescente em e em , então é crescente em .
a)
b)
c)