Segunda lista de cálculo 2

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Ca´lculo II - 2017
Lista de Exerc´ıcios II
1) Obtenha as derivadas parciais indicadas em cada item:
a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2, fxxy, fyyy b) f(x, t) = x
2 e−xt, fttt, ftxx
c) f(x, y, z) = cos(4x+ 3y + 2z), fxyz, fzyx d) f(r, s, t) = r ln(rs
2t3), frss, frst
e) v = erθsen(θ), urrθ, fyyy f) z = x
√
y − t, ∂
2z
∂x ∂y
,
∂3z
∂x ∂y ∂t
g) ω =
x
y + 2z
,
∂3ω
∂z ∂y ∂x
, ωxxy h) u = x
aybzc,
∂6u
∂x ∂y2∂z3
2) Mostre que a func¸a˜o
u = e−α
2k2tsen(kx),
conhecida como func¸a˜o da difusividade te´rmica, resolve a equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor
ut = α
2uxx .
3) Verifique se cada uma das seguintes func¸o˜es resolve a equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0 :
a) u = x2 + y2 b) u = x2 − y2 c) u = e−xcos(y)− e−ycos(x) d) u = ln(√x2 + y2)
4) Se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis de uma u´nica varia´vel, mostre que
u(x, t) = f(x+ at) + g(x− at)
satisifaz a equac¸a˜o de onda utt = a
2uxx.
Dica: lembre-se que a regra da cadeia em uma u´nica varia´vel e´
(
h
(
p(x)
))′
= p
′
(x)h
′ (
p(x)
)
.
5) Obtenha a equac¸a˜o geral do plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto especificado:
a) f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y, (−1, 2, 4) b) f(x, y) = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12)
c) f(x, y) = y ln(x), (1, 4, 0) d) f(x, y) = ex
2−y2 , (1,−1, 1)
6) Se a figura abaixo representa as curvas de n´ıvel de uma func¸a˜o f , qual e´ o sinal de fx(2, 1)? E o
de fy(2, 1)?
7) Um modelo para calcular a a´rea S da superf´ıcie do corpo humano fornece a expressa˜o
S = 72.09 ω0.425 h0.725,
sendo ω o peso (medido em kg) e h a altura (medida em cm). Se os erros nas medidas de ω e h forem
no ma´ximo de 2%, utilize o diferencial total para estimar a porcentagem de erro ma´xima no ca´lculo do
valor de S.
8) Se g e f sa˜o func¸o˜es diferencia´veis das varia´veis s e t que satisfazem
g(s, t) = f(s2 − t2, t2 − s2),
mostre que
t
∂g
∂s
+ s
∂g
∂t
= 0.
Dica: utilize a regra da cadeia, considerando x = s2 − t2 e y = t2 − s2: voceˆ obtera´ ∂g
∂s
= 2s ∂f
∂x
− 2s ∂f
∂y
e tambe´m ∂g
∂t
= −2t ∂f
∂x
+ 2t ∂f
∂y
.
9) Um modelo do efeito Doppler afirma que
f0 =
(
c+ v0
c− vs
)
fs,
onde fs e´ a frequeˆncia do som produzido, ao longo de uma reta, por uma fonte em movimento com
velocidade vs, e f0 e´ a frequeˆncia aparente que um observador em movimento, com velocidade v0, escuta.
A constante c e´ a velocidade do som, aproximadamente 332m/s.
Suponha que voceˆ esta´ em um trem se movendo a 34m/s e acelerando a 1.2m/s2. Se um trem se
aproxima da direc¸a˜o oposta no trilho ao lado a 40m/s e acelerando a 1.4m/s2, tocando um apito com
frequeˆncia de 460Hz, pergunta-se:
a) qual e´ a frequeˆncia aparente f0 que voceˆ ouve?
b) qual e´ a variac¸a˜o no tempo da frequeˆncia f0?
10) Supondo diferencia´veis todas as func¸o˜es abaixo, mostre que:
a) se z = f(x, y), com x = r cos(θ) e y = r sen(θ), enta˜o(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+
1
r2
(
∂z
∂θ
)2
b) se z = f(x− y), mostre que ∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 0.
c) se x = f(x, y), com x = s+ t e y = s− t, enta˜o(
∂z
∂x
)2
−
(
∂z
∂y
)2
=
∂z
∂s
× ∂z
∂t
11) A produc¸a˜oW de trigo em um determinado ano depende da temperatura me´dia T e da quantidade
anual de chuva R. Meteorologistas estimam que a temperatura me´dia anual cresce a` taxa de 0.15◦C/ano
e que a quantidade anual de chuva esta´ decrescendo a` taxa de 0.1cm/ano. Tambe´m estima-se que, no
atual n´ıvel de produc¸a˜o,
∂W
∂T
= −2 e ∂W
∂R
= 8.
a) Qual o significado do sinal dessas derivadas parciais?
b) Estime a taxa de variac¸a˜o da produc¸a˜o de trigo no ano,
∂W
∂t
.