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� Revista Brasileira de Ensino de F��sica� vol� ��� n o � �� mar co� � � Ondas Estacion�arias Longitudinais no Tubo de Chamas � �Estationary Longitudinal Waves in the Flaming Tube� Antonio Carlos Baratto Departamento de F��sica� Centro de Ci�encias Exatas Universidade Federal do Esp��rito Santo � UFES Av� Fernando Ferrari� s�n ���� �� � Vit�oria � ES Trabalho recebido em � de fevereiro de ���� Apresenta�se uma solu�c�ao para o problema do diagrama sinuoso das chamas no Tubo de Chamas� baseada num tratamento em termos da vaz�ao m�edia temporal do g�as� pelos furos� ao longo do tubo� Esta vaz�ao �e obtida pela aplica�c�ao da equa�c�ao de Bernoulli ao escoamento do g�as pelos furos� O resultado obtido est�a em bom acordo com o observado no experimento� In this work we present a solution to the fhenomenon of the sinusoidal diagram of the �ames in the �aming tube� By means of Bernnoulli s equation it is attempt to nd the time average �ow through the holes along the tube� Our results are in good agreement with the observed behavior of the experiment� � Introdu�c�ao O Tubo de Chamas �e um aparato experimental tradi� cionalmente usado para demonstrar a exist�encia de on� das sonoras estacion�arias numa coluna de g�as� Muito embora seja freq�uentemente usado como uma muito bonita demonstra�c�ao� nem sempre a explica�c�ao do fen�omeno �e convincente ����� sendo mesmo� por vezes� �agrantemente equivocada� apresentando o fen�omeno como devido a diferen�cas na press�ao m�edia ao longo do tubo ��� O experimento consiste de um tubo longo ���m�� fechado numa das extremidades e tendo um alto�falante na outra extremidade� Ao longo do tubo� longitudinal� mente� h�a uma s�erie de pequenos furos� espa�cados de cerca de � cm� G�as �GLP� �e injetado no tubo e sai pelos furos� In�amando�se o g�as que sai pelos furos tem�se uma linha de chamas cuja altura pode ser controlada pela vaz�ao imprimida ao g�as� O alto�falante �e alimentado por um gerador de sinal senoidal� cuja freq�u�encia pode ser variada� Em certas frequ�encias as alturas das chamas ao longo do tubo ap� resentam um aspecto sinuoso estacion�ario� indicando uma condi�c�ao de resson�ancia� Figura �� � Condi�c�ao de Resson�ancia Busquemos� primeiro� estabelecer as condi�c�oes para a exist�encia de ondas estacion�arias no tubo� O alto�falante cria� na extremidade esquerda do tubo �em x���� uma perturba�c�ao peri�odica longitudi� nal� de amplitude B pequena� e freq�u�encia �� Chamemos de X o deslocamento de uma in nitesi� mal camada de g�as� na dire�c�ao x� a partir de sua posi�c�ao de equil��brio x� � Trabalho realizado com suporte �nanceiro de VITAE e CAPES A�C� Baratto � A perturba�c�ao iniciada pelo alto�falante se propaga pelo tubo� devendo obedecer �a equa�c�ao de movimento� � � X �x � � � v � � � X �t � onde v �e a velocidade do som no g�as� e pode ser dada em termos do m�odulo volum�etrico de elasticidade adiab�atico �K ad � e da densidade ��� do g�as por� v � � K ad � � ��� Como o tubo� de comprimento L� �e fechado �a dire� ita� o deslocamento do g�as� a��� �e nulo� Devemos� pois� buscar solu�c�oes est�aveis para as perturba�c�oes ao longo do tubo do tipo� X�x� t� � f�x�cos�t � Asen �kx� ��cos�t �onde k � � v � �� � � e que satisfa�cam �as condi�c�oes de contorno� X��� t� � Bcos�t X�L� t� � � Temos� pois� X�L� t� � �� sen � � v L� � � � � Assim� � v L � � � n� n � �� �� �� ��� � � n� � � v L Mas� X��� t� � Bcos�t � Asen�cos�t Portanto� B � Asen�� A � B sen� A � B sen � n� � �L v � ou X�x� t� � B sen � n� � �L v � sen � kx� n� � �L v � cos�t Vemos que� quando �L v � n�� a amplitude das per� turba�c�oes se tornar�a virtualmente in nita� n�ao obstante a amplitude da perturba�c�ao inicial �B� ser pequena� Isso caracteriza um comportamento ressonante� Essa diverg�encia s�o n�ao se manifesta na pr�atica devido �a ex� ist�encia de for�cas dissipativas n�ao consideradas nesse tratamento simples� As condi�c�oes de resson�ancia s�ao� portanto� kL � n� � �� L � n� � � �L n Teremos nodos de deslocamento �anti�nodos de press�ao� em x � L e �aproximadamente� em x � �� Em termos da press�ao� a onda estacion�aria pode ser escrita� P �x� t� � P � coskxcos�t � Ondas longitudinais esta� cion�arias Antes de prosseguir �e instrutivo procedermos �a visu� aliza�c�ao de um modelo sobre como se comporta uma coluna de g�as na resson�ancia� isto �e� quando nela se estabelece uma onda longitudinal estacion�aria� Vimos que a express�ao que descreve o deslocamento de uma camada de g�as� a partir da sua posi�c�ao de equil��brio� em fun�c�ao do tempo deve ser do tipo� X�x� t� � X � senkx cos�t A gura � apresenta uma s�erie de instant�aneos do comportamento de algumas camadas do g�as� tomados a intervalos temporais regulares de ���� do per��odo� Nesta s�erie foram calculadas as posi�c�oes das camadas nos diversos instantes de tempo tomando� para a onda estacion�aria� uma amplitude �exagerada em rela�c�ao a qualquer intensidade razo�avel de som� de X � � �� �cm� e um comprimento de onda � ��� �cm� Observe�se que� nos nodos de deslocamento� local� izados nas posi�c�oes �� ��� �� e ��� a press�ao apresenta a m�axima varia�c�ao em rela�c�ao �a press�ao m�edia no tubo� � Revista Brasileira de Ensino de F��sica� vol� ��� n o � �� mar co� � � Figura �� Ondas estacion�arias � Diagra� mas das chamas Na Figura � est�a esquematizada a situa�c�ao f��sica do problema� Na gura� P a �e a press�ao atmosf�erica� �P a �e a so� brepress�ao dentro do tubo e P � �e a amplitude da onda estacion�aria de press�ao� Supomos P � �� �P a � P a � Figura �� Na aus�encia da onda estacion�aria as alturas das chamas s�ao iguais� Na presen�ca da onda estacion�aria as alturas das chamas apresentam um comportamento caracter��stico� A primeira pergunta evidente frente ao comporta� mento do Tubo de Chamas na resson�ancia �e� �o que causa o diagrama sinuoso das chamas ! E a primeira resposta evidente ser�a� �as varia�c�oes na press�ao m�edia ao longo do tubo"!� �P � �P a � P � coskxcos�t Ora� a press�ao m�edia �e a mesma ao longo tubo""� Pois a m�edia temporal de cos�t � � cos�t � � T Z T � cos�tdt � �e nula� Apliquemos a equa�c�ao de Bernoulli �Daniel������ ao escoamento do g�as pelos furos do tubo� sendo P � e P � as press�oes no exterior e no interior do tubo� P � � � � �v � � � �gz � � P � � � � �v � � � �gz � onde o ��ndice !�! se refere ao interior do tubo� Como o tubo �e horizontal os terceiros termos se cancelam mu� tuamente� O segundo termo da direita se anula pois v � � �� Assim� c P a � � � �v � � P a ��P a � P � coskxcos�t v � �x� t� � � � ��P a � P � coskxcos�t� � ��P a � � � � P � �P a coskxcos�t � A�C� Baratto # v�x� t� � � ��P a � � ��� � � � P � �P a coskxcos�t � ��� A velocidade m�edia temporal pelos furos ao longo do tubo ser�a� v�x� � � T Z T � v�x� t�dt onde T �e o per��odo da onda estacion�aria� v�x� � � ��P a � � ��� � T Z T � � � � P � �P a coskxcos�t � ��� dt Uma grande di culdade �e que a integral emquest�ao �e muito complicada �embora n�ao pare�ca� �a primeira vista�� Contornamos esse problema fazendo a expans�ao do integrando� o que pode ser feito� equivalentemente� pelo Teorema Binomial ou em s�erie de Taylor� Fazendo� y � P � �P a coskxcos�t � tem�se f�y� � �� � y� ��� f�y� � f��� � f � ��� �" y � f!��� �" y � � ��� �S�erie de Taylor� ou �� � y� n � ny � n�n� �� �" y � � n�n� ���n� �� �" y � � ��� �Teorema Binomial� Ambos os procedimentos dar�ao como resultado� f�y� � � � � � y � � � y � � � �� y � � $ ��� y � � ��� substituindo� � � � P � �P a coskxcos�t � ��� � � � � � P � �P a coskxcos�t� � � � P � �P a coskx � � cos � �t� � � �� � P � �P a coskx � � cos � �t� $ ��� � P � �P a coskx � � cos � �t � ��� As integrais dos termos ��mpares em cos�t se anulam� Desprezando os termos maiores que �a ordem� v�x� � � ��P a � � ��� � � T Z T � dt� � T Z T � � � � P � �P a coskx � � cos � �tdt � fazendo Z � �t� dZ � �dt � T Z T � cos � �tdt � � �� Z �� � cos � ZdZ � � �� � � � Assim� v�x� � � ��P a � � ��� � �� � �� � P � �P a � � cos � kx � O �uxo m�edio temporal de g�as� ou vaz�ao� em cada furo de �area A� em fun�c�ao da posi�c�ao x� ser�a� ��x� � Av�x� � A � ��P a � � ��� � �� � �� � P � �P a � � cos � kx � �� Revista Brasileira de Ensino de F��sica� vol� ��� n o � �� mar co� � � Obtivemos� assim� uma express�ao para o �uxo de g�as pelos furos em fun�c�ao da posi�c�ao x� A rigor as alturas das chamas n�ao precisam obedecer necessari� amente �a mesma fun�c�ao� embora seja razo�avel supor alguma proporcionalidade entre a altura da chama e o �uxo� Pode�se ver que� onde a press�ao n�ao varia� isto �e� num nodo de press�ao �antinodo de deslocamento�� o �uxo �e maior e tamb�em maior a velocidade m�edia do g�as �chama mais alta�� A condi�c�ao para chama m��nima �e� cos � kx � �� kx � n�� x � n � n � �� �� ���� A dist�ancia entre dois m��nimos �ou dois m�aximos� consecutivos �e � � � o que pode ser medido com uma r�egua� Conhecendo a frequ�encia de excita�c�ao �do som� temos� nalmente� v � Bibliogra�a � RESNICK� R�� HALLIDAY� D� F��sica� Livros T�ecnicos e Cient�� cos editora S�A� vol��� p� ���� �#��� � SEARS� F� W�� ZEMANSKY M� W� F��sica � Mec�anica� Calor� Ac�ustica� Ao Livro T�ecnico Ltda� p� ���� �#��� � FREIER� G� D� ANDERSON� F� J� A� Demon� stration Handbook for Physics� American Associ� ation of Physics Teachers� p� $��� �#�$�
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