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Ondas Estacionarias Longitudinais no tubo de chamas www sbfisica org br rbef pdf v20 6 pdf

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� Revista Brasileira de Ensino de F��sica� vol� ��� n
o
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�� mar	co� �
�
Ondas Estacion�arias Longitudinais
no Tubo de Chamas
�
�Estationary Longitudinal Waves in the Flaming Tube�
Antonio Carlos Baratto
Departamento de F��sica� Centro de Ci�encias Exatas
Universidade Federal do Esp��rito Santo � UFES
Av� Fernando Ferrari� s�n 	
����
�� � Vit�oria � ES
Trabalho recebido em � de fevereiro de ����
Apresenta�se uma solu�c�ao para o problema do diagrama sinuoso das chamas no Tubo de
Chamas� baseada num tratamento em termos da vaz�ao m�edia temporal do g�as� pelos furos�
ao longo do tubo� Esta vaz�ao �e obtida pela aplica�c�ao da equa�c�ao de Bernoulli ao escoamento
do g�as pelos furos� O resultado obtido est�a em bom acordo com o observado no experimento�
In this work we present a solution to the fhenomenon of the sinusoidal diagram of the �ames
in the �aming tube� By means of Bernnoulli	s equation it is attempt to 
nd the time average
�ow through the holes along the tube� Our results are in good agreement with the observed
behavior of the experiment�
� Introdu�c�ao
O Tubo de Chamas �e um aparato experimental tradi�
cionalmente usado para demonstrar a exist�encia de on�
das sonoras estacion�arias numa coluna de g�as� Muito
embora seja freq�uentemente usado como uma muito
bonita demonstra�c�ao� nem sempre a explica�c�ao do
fen�omeno �e convincente 
����� sendo mesmo� por vezes�
�agrantemente equivocada� apresentando o fen�omeno
como devido a diferen�cas na press�ao m�edia ao longo do
tubo 
���
O experimento consiste de um tubo longo ���m��
fechado numa das extremidades e tendo um alto�falante
na outra extremidade� Ao longo do tubo� longitudinal�
mente� h�a uma s�erie de pequenos furos� espa�cados de
cerca de � cm� G�as �GLP� �e injetado no tubo e sai pelos
furos� In�amando�se o g�as que sai pelos furos tem�se
uma linha de chamas cuja altura pode ser controlada
pela vaz�ao imprimida ao g�as�
O alto�falante �e alimentado por um gerador de sinal
senoidal� cuja freq�u�encia pode ser variada� Em certas
frequ�encias as alturas das chamas ao longo do tubo ap�
resentam um aspecto sinuoso estacion�ario� indicando
uma condi�c�ao de resson�ancia�
Figura ��
� Condi�c�ao de Resson�ancia
Busquemos� primeiro� estabelecer as condi�c�oes para a
exist�encia de ondas estacion�arias no tubo�
O alto�falante cria� na extremidade esquerda do
tubo �em x���� uma perturba�c�ao peri�odica longitudi�
nal� de amplitude B pequena� e freq�u�encia ��
Chamemos de X o deslocamento de uma in
nitesi�
mal camada de g�as� na dire�c�ao x� a partir de sua posi�c�ao
de equil��brio x�
�
Trabalho realizado com suporte �nanceiro de VITAE e CAPES
A�C� Baratto �
A perturba�c�ao iniciada pelo alto�falante se propaga
pelo tubo� devendo obedecer �a equa�c�ao de movimento�
�
�
X
�x
�
�
�
v
�
�
�
X
�t
�
onde v �e a velocidade do som no g�as� e pode ser
dada em termos do m�odulo volum�etrico de elasticidade
adiab�atico �K
ad
� e da densidade ��� do g�as por�
v �
�
K
ad
�
�
���
Como o tubo� de comprimento L� �e fechado �a dire�
ita� o deslocamento do g�as� a��� �e nulo� Devemos� pois�
buscar solu�c�oes est�aveis para as perturba�c�oes ao longo
do tubo do tipo�
X�x� t� � f�x�cos�t � Asen �kx� ��cos�t
�onde k �
�
v
�
��
�
� e que satisfa�cam �as condi�c�oes de
contorno�
X��� t� � Bcos�t
X�L� t� � �
Temos� pois� X�L� t� � �� sen
�
�
v
L� �
�
� � Assim�
�
v
L � � � n� n � �� �� �� ���
� � n� �
�
v
L
Mas�
X��� t� � Bcos�t � Asen�cos�t
Portanto�
B � Asen�� A �
B
sen�
A �
B
sen
�
n� �
�L
v
�
ou
X�x� t� �
B
sen
�
n� �
�L
v
�
sen
�
kx� n� �
�L
v
�
cos�t
Vemos que� quando �L	v � n�� a amplitude das per�
turba�c�oes se tornar�a virtualmente in
nita� n�ao obstante
a amplitude da perturba�c�ao inicial �B� ser pequena�
Isso caracteriza um comportamento ressonante� Essa
diverg�encia s�o n�ao se manifesta na pr�atica devido �a ex�
ist�encia de for�cas dissipativas n�ao consideradas nesse
tratamento simples�
As condi�c�oes de resson�ancia s�ao� portanto�
kL � n� �
��
L � n� � 
 �
�L
n
Teremos nodos de deslocamento �anti�nodos de
press�ao� em x � L e �aproximadamente� em x � ��
Em termos da press�ao� a onda estacion�aria pode ser
escrita�
P �x� t� � P
�
coskxcos�t
� Ondas longitudinais esta�
cion�arias
Antes de prosseguir �e instrutivo procedermos �a visu�
aliza�c�ao de um modelo sobre como se comporta uma
coluna de g�as na resson�ancia� isto �e� quando nela se
estabelece uma onda longitudinal estacion�aria�
Vimos que a express�ao que descreve o deslocamento
de uma camada de g�as� a partir da sua posi�c�ao de
equil��brio� em fun�c�ao do tempo deve ser do tipo�
X�x� t� � X
�
senkx cos�t
A 
gura � apresenta uma s�erie de instant�aneos do
comportamento de algumas camadas do g�as� tomados
a intervalos temporais regulares de ���� do per��odo�
Nesta s�erie foram calculadas as posi�c�oes das camadas
nos diversos instantes de tempo tomando� para a onda
estacion�aria� uma amplitude �exagerada em rela�c�ao a
qualquer intensidade razo�avel de som� de X
�
� �� �cm�
e um comprimento de onda 
 � ��� �cm�
Observe�se que� nos nodos de deslocamento� local�
izados nas posi�c�oes �� ��� �� e ��� a press�ao apresenta a
m�axima varia�c�ao em rela�c�ao �a press�ao m�edia no tubo�
� Revista Brasileira de Ensino de F��sica� vol� ��� n
o
�
�� mar	co� �
�
Figura ��
	 Ondas estacion�arias � Diagra�
mas das chamas
Na Figura � est�a esquematizada a situa�c�ao f��sica do
problema�
Na 
gura� P
a
�e a press�ao atmosf�erica� �P
a
�e a so�
brepress�ao dentro do tubo e P
�
�e a amplitude da onda
estacion�aria de press�ao� Supomos P
�
�� �P
a
� P
a
�
Figura ��
Na aus�encia da onda estacion�aria as alturas das
chamas s�ao iguais� Na presen�ca da onda estacion�aria
as alturas das chamas apresentam um comportamento
caracter��stico�
A primeira pergunta evidente frente ao comporta�
mento do Tubo de Chamas na resson�ancia �e� �o que
causa o diagrama sinuoso das chamas !
E a primeira resposta evidente ser�a� �as varia�c�oes
na press�ao m�edia ao longo do tubo"!�
�P � �P
a
� P
�
coskxcos�t
Ora� a press�ao m�edia �e a mesma ao longo tubo""�
Pois a m�edia temporal de cos�t �
�
cos�t �
�
T
Z
T
�
cos�tdt
�
�e nula�
Apliquemos a equa�c�ao de Bernoulli �Daniel������
ao escoamento do g�as pelos furos do tubo� sendo P
�
e
P
�
as press�oes no exterior e no interior do tubo�
P
�
�
�
�
�v
�
�
� �gz
�
� P
�
�
�
�
�v
�
�
� �gz
�
onde o ��ndice !�! se refere ao interior do tubo� Como o
tubo �e horizontal os terceiros termos se cancelam mu�
tuamente� O segundo termo da direita se anula pois
v
�
� �� Assim�
c
P
a
�
�
�
�v
�
� P
a
��P
a
� P
�
coskxcos�t
v
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�x� t� �
�
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��P
a
� P
�
coskxcos�t� �
��P
a
�
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P
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�P
a
coskxcos�t
�
A�C� Baratto #
v�x� t� �
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��P
a
�
�
���
�
� �
P
�
�P
a
coskxcos�t
�
���
A velocidade m�edia temporal pelos furos ao longo do tubo ser�a�
v�x� �
�
T
Z
T
�
v�x� t�dt
onde T �e o per��odo da onda estacion�aria�
v�x� �
�
��P
a
�
�
���
�
T
Z
T
�
�
� �
P
�
�P
a
coskxcos�t
�
���
dt
Uma grande di
culdade �e que a integral emquest�ao �e muito complicada �embora n�ao pare�ca� �a primeira vista��
Contornamos esse problema fazendo a expans�ao do integrando� o que pode ser feito� equivalentemente� pelo
Teorema Binomial ou em s�erie de Taylor� Fazendo�
y �
P
�
�P
a
coskxcos�t �
tem�se
f�y� � �� � y�
���
f�y� � f��� �
f
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y �
f!���
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y
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� ��� �S�erie de Taylor�
ou
�� � y�
n
� ny �
n�n� ��
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y
�
�
n�n� ���n� ��
�"
y
�
� ��� �Teorema Binomial�
Ambos os procedimentos dar�ao como resultado�
f�y� � � �
�
�
y �
�
�
y
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�
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��
y
�
�
$
���
y
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� ���
substituindo�
�
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P
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�P
a
coskxcos�t
�
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�
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P
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coskxcos�t�
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�t�
�
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��
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$
���
�
P
�
�P
a
coskx
�
�
cos
�
�t � ���
As integrais dos termos ��mpares em cos�t se anulam� Desprezando os termos maiores que �a ordem�
v�x� �
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��P
a
�
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���
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T
Z
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dt�
�
T
Z
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fazendo Z � �t� dZ � �dt
�
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Z
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Assim�
v�x� �
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a
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���
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P
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a
�
�
cos
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kx
�
O �uxo m�edio temporal de g�as� ou vaz�ao� em cada furo de �area A� em fun�c�ao da posi�c�ao x� ser�a�
��x� � Av�x� � A
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��P
a
�
�
���
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��
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��
�
P
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�P
a
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cos
�
kx
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�� Revista Brasileira de Ensino de F��sica� vol� ��� n
o
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�� mar	co� �
�
Obtivemos� assim� uma express�ao para o �uxo de
g�as pelos furos em fun�c�ao da posi�c�ao x� A rigor as
alturas das chamas n�ao precisam obedecer necessari�
amente �a mesma fun�c�ao� embora seja razo�avel supor
alguma proporcionalidade entre a altura da chama e o
�uxo� Pode�se ver que� onde a press�ao n�ao varia� isto
�e� num nodo de press�ao �antinodo de deslocamento�� o
�uxo �e maior e tamb�em maior a velocidade m�edia do
g�as �chama mais alta��
A condi�c�ao para chama m��nima �e�
cos
�
kx � �� kx � n�� x �
n
�
 n � �� �� ����
A dist�ancia entre dois m��nimos �ou dois m�aximos�
consecutivos �e
�
�
� o que pode ser medido com uma
r�egua� Conhecendo a frequ�encia 
 de excita�c�ao �do
som� temos� 
nalmente�
v � 
 Bibliogra�a
� RESNICK� R�� HALLIDAY� D� F��sica� Livros
T�ecnicos e Cient��
cos editora S�A� vol��� p� ����
�#���
� SEARS� F� W�� ZEMANSKY M� W� F��sica �
Mec�anica� Calor� Ac�ustica� Ao Livro T�ecnico
Ltda� p� ���� �#���
� FREIER� G� D� ANDERSON� F� J� A� Demon�
stration Handbook for Physics� American Associ�
ation of Physics Teachers� p� $��� �#�$�

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